CG第7章电子教案

(1)将参考点F移至坐标原点 (2)针对原点进行二维几何变换 (3)进行反平移
例：相对于F(xf,yf,zf)点进行比例变换
z
z
z
z
(x',y',z') (x',y',z')
(x',y',z') (x',y',z')
F
x (a)原图
y
y
yF
x (b)移至坐标原点
x
x
y
(c)基本比例变换 (d)移回F点原来位置
7.1.4 观察投影
用户坐标系到 观察坐标系的转换
观察坐标系中的三维形体
规范化投影变换
规范化观察空间中的三维形体 三维裁剪
裁剪后的三维形体 正投影
二维坐标系下的图形 二维变换输出
输出设备上的图形
7.2 三维几何变换
a b c p
p'x'
y'
z'
1pT3Dx
y
z
1d
h
e i
f j
q r
l m n s
1 0 0 0
TFy
0 0
1 0 0 0 1 0
0
0
0
1
关于z轴的对称变换为：
1 0 0 0
TFz
0 0
1 0 0 0 1 0
0
0
0
1
5. 错切变换
1 b c 0
TSH
d
g
1 h
f 1
0
0
0
0
0
1
(1)沿x方向错切
1 0 0 0
T S Hx
d
g
1 0
0 1
0
0
0
1 0 0 0
T Fyz
0 0
1
0
0
0 1 0
0
0
0
1
关于zox平面的对称变换为:
1 0 0 0
T Fzx
0
0
1 0
0 1
0
0
0
0
0
1
(2)关于坐标轴对称变换 关于x轴进行对称变换的矩阵计算形式为：
1 0 0 0
TFx
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0 0 1
关于y轴的对称变换为：
第7章 三维变换及三维观察
提出问题
• 如何对三维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换 • 如何进行投影变换 • 如何方便地实现在显示设备上对三维图形进行观察
7.1 三维变换的基本概念
7.1.1 三维齐次坐标变换矩阵
a b c p
T d
e
f
q
3D g h i r
l
m
n
s
7.1.2 几何变换
cos)( 0 0sin
0 1 0 0
cos 0 0
0 1 0
0
0
0 1
0
0 0 1
7.2.2 三维复合变换
三维复合变换是指图形作一次以上的变换，变换 结果是每次变换矩阵相乘。
P ' P T P ( T 1 T 2 T 3 T n ) ( n 1 )
1. 相对任一参考点的三维变换
相对于参考点F(xf,yf,zf)作比例、旋转、错切等变换的 过程分为以下三步：
7.2.1 三维基本几何变换
三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴 进行的几何变换 假 设 三 维 形 体 变 换 前 一 点 为 p(x,y,z)， 变 换 后 为 p'(x',y',z')。
1. 平移变换
1 0 0 0
Tt
0 0
1 0
0
0
1 0
Tx
Ty
Tz
1
Z (x,y,z) (x',y',z')
sin cos
0 0
z
0 0
0 1
y X
(3)绕y轴旋转
cos 0 sin 0
TR Y
0
sin
1 0
0
cos
0 0
z
0
0
0
1
y
XHale Waihona Puke Baidu
4. 对称变换 (1)关于坐标平面对称 关于xoy平面进行对称变换的矩阵计算形式为：
1 0 0 0
TFxy
0 0
1 0
0 1
0
0
0 0
0
1
关于yoz平面的对称变换为：
(2)比例的逆变换 局部比例变换的逆变换矩阵为：
1
a
T
s
1
0
0 1 e
0 0
0
0
0
0
1 i
0
0 0 0 1
整体比例变换的逆变换矩阵为：
1 0 0 0
T
1 S
0
0
1 0
0 1
0
0
0
0
0
1 s
(3)旋转的逆变换
cos)( sin () 0 0 cossin 0 0
TR 1Zs0 in ()
平面几何投影可分为两大类：
透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的
平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的
平面几何投影
三视图
正投影
正轴测
平行投影
斜投影
斜等测 斜二测
一点透视
透视投影
二点透视
三点透视
图 7-3 平 面 几 何 投 影 的 分 类
主视图 侧视图 俯视图 正等测 正二测 正三测
用户坐标系中的几何形体 观察空间的定义
(2)整体比例变换
1 0 0 0
TS
0
0
1 0
0 1
0
0
0
0
0
s
3. 旋转变换
z
y X
图 7-7 旋 转 变 换 的 角 度 方 向
(1)绕z轴旋转
cos sin 0 0
TR Z
sin
0
cos
0
0 1
0 0
z
0
0 0 1
y X
(2)绕x轴旋转
1 0
0 0
TRX
0 0
cos sin
Y
X
图 7-5 平 移 变 换
2. 比例变换
(1)局部比例变换
a 0 0 0
Ts
0
0
e 0
0 j
0
0
0
0
0
1
例子：对如图7-6所示的长方形体进行比例变换，其中 a=1/2，e=1/3，j=1/2，求变换后的长方形体各点坐标。
z
2E F 2A B x
z
3
H
1
G
Dy
C
1
x
图7-6 比例变换
1 y
观察投影是指在观察空间下进行的图形投影变 换。
投影中心、投影面、投影线：
A' 投影线
投影中心 B'
A 线段
B
A'
投影中心在 无穷远处
投影线
B'
(a) 透视投影
(b) 平行投影
图7-1 线段AB的平面几何投影
A 线 段
B
S
S
S
(a)透视投影
(b)正投影
(c)斜投影
图7-2 平面几何投影分为透视投影和平行投影
0
0
1
(2)沿y方向错切
1 b 0 0
T SHy
0 0
1 h
0 1
0
0
0
0
0
1
(3)沿z方向错切
1 0 c 0
T S Hz
0 0
1 0
f 1
0
0
0
0
0
1
6. 逆变换
所谓逆变换即是与上述变换过程的相反的变换
(1)平移的逆变换
1 0 0 0
Tt 1
0 0
1 0
0 0 1 0
Tx Ty Tz 1
图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平 移、比例、旋转等变换后产生新的图形。
点的矩阵变换 线框图的变换 用参数方程描述的图形的变换
7.1.3 平面几何投影
投影变换就是把三维立体（或物体）投射到投影面 上得到二维平面图形。
平面几何投影主要指平行投影、透视投影以及 通过这些投影变换而得到的三维立体的常用平 面图形：三视图、轴测图。
图7-8 相对参考点F的比例变换
Y
2. 绕任意轴的三维旋转变换
P' B
θ
P
[x ' y ' z ' 1 ] [xyz1 ]T RAB
A
问题：如何求出为TRAB。
Z X
图 7-9 P点 绕 AB轴 旋 转
分析： z'
E
B'
B(a,b,c) a
c
v
c
z' B' a B(a,b,c)