高中数学-空间点线面位置关系
高中数学空间点线面之间的位置关系的知识点总结(1)
高中空间点线面之间位置关系知识点总结 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
D CBAα LA·α C ·B· A· α（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上；② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；P· αLβ共面直线=>a ∥c2④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
人教高中数学必修第二册8.4空间点线面之间的位置关系 知识点
位置关系
交点个数图形Βιβλιοθήκη 言符号语言直线在平面内
无数个
直线在平面外
直线与平面相交
只有一个
直线与平面平行
没有
2、直线和平面平行
1.定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行．
2.判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．
(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
(3)异面直线所成角的范围是 ．
2.求异面直线所成角的步骤
（1）恰当选点，由平移构造出一个交角；
（2）证平行关系成立；
（3）把角放入三角形或其它平面图形中求出；
（4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求异面直线所成的角．
七、直线、平面的位置关系
5．直线与平面垂直的性质
(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，
如图：
(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，
如图：
6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影
(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点．
高中数学高考45第八章 立体几何 8 3 空间点、直线、平面之间的位置关系
例2 (1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平 面β的交线，则下列命题正确的是 A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交
√D.l至少与l1，l2中的一条相交
解析 由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相 交.故选D.
的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 平行 .
2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
平行 直线 共面直线
相交直线 异面直线：不同在 任何 一个平面内，没有公共点
(2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b， 把a′与b′所成的 锐角(或直角) 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). ②范围： 0，π2. .
√D.点C和点M
解析 ∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ. 又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β. 根据公理3可知，M在γ与β的交线上. 同理可知，点C也在γ与β的交线上.
123456
6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH 在原正方体中互为异面的对数为_3_.
解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化， 则AB，CD，EF和GH在原正方体中， 显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线， 而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行. 故互为异面的直线有且只有3对.
解 ∵BE∥AF 且 BE＝12AF，G 为 FA 的中点， ∴BE∥FG且BE＝FG， ∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG. 由(1)知BG∥CH. ∴EF∥CH，∴EF与CH共面. 又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.
高中数学空间点线面之间的位置关系的知识点总结(供参考)
aβ
bβ
a∩b = Pβ∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3—
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a∥α
aβa∥b
高中空间点线面之间位置关系知识点总结
第二章直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1
1平面含义：平面是无限延展的
2平面的画法及表示
（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）
（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
4注意点：
①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；
②两条异面直线所成的角θ∈(0，)；
③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
高中数学立体几何空间点线面的位置关系讲义及练习
课 题： 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系一、内容讲解知识点1 平面的概念: 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 常见的桌面，黑板面都是平面的局部形象 指出: 平面的两个特征：①_薄厚一致___ ②_无限延伸_。
平面的表示：__1.在每个顶点处写大写字母____2.小写的希腊字母,,αβχ______________。
点的表示：大写字母 点A 点B线的表示：小写英文字母 线l,线a 线b平面的画法：在立体几何中，通常画成水平放置的平行四边形来表示平面;锐角画成45ο, 2倍长。
两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画。
图形 符号语言 文字语言（读法）A a A ∈a 点A 在直线a 上A aA ∉a 点A 在直线a 外 Aα A ∈α 点A 在平面α上（内） A αA ∉α 点A 在平面α外 b a A a b A =I直线a,b 交于点A a αa α⊂线a 在面α内 aα a α⊄ 线a 在面α外a Aα a A α=I 直线a 交α于点Al αβ=I平面α交β于线l与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。
知识点2 公理1 ：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内指出：（1）符号语言：____________________________________．（2）应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面。
知识点3 公理2 ：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线指出：（1）符号语言：____________________________________（2）应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上 知识点4 公理3 ：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 指出：（1）符号语言：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.指出：推论1的符号语言：_____________________________-推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面指出：推论2的符号语言：____________________________________推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面指出：推论3的符号语言：________________________________三、典例解析例1 用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.例2 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C∩平面BDC 1=O ，AC 、BC 交于点M ，求证：点C 1、O 、M 共线．五、备选习题1. 画图表示下列由集合符号给出的关系：(1) A ∈α,B ∉α,A ∈l ,B ∈l ; (2) a ⊂α,b ⊂β,a ∥c ,b ∩c =P ,α∩β=c .2. 根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l ，直线AB ⊂α，AB ∥l ，E ∈AB ，直线EF∩β=F ，F ∉l ;（2）平面α∩平面β=a ，△ABC 的三个顶点满足条件:A ∈a ，B ∈α，B ∉a ，C ∈β，C ∉a .3. 画一个正方体ABCD —A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.4. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，(1) 画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面BB 1C 1C 的交线.(2) 设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.5.已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线.6. 点A ∉平面BCD ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，若EH 与FG 交于P （这样的四边形ABCD 就叫做空间四边形）求证：P 在直线BD 上G H AC D E P空间点、线、面位置关系练习题1、下列命题：其中正确的个数为（ ）①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若a ∥b ，α⊂b ，那么直线a 平行于平面α内的无数条直线；A ．1B ．2C ．3D ．02、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行或异面3、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中判断下列位置关系：（1）AD 1所在直线与平面BCC 1的位置关系是 ；（2）平面A 1BC 1与平面ABCD 的位置关系是 ；4、如果直线l 在平面α外，那么直线l 与平面α（ ）A ．没有公共点B ．至多有一个公共点C ．至少有一个公共点D ．有且只有一个公共点5、以下四个命题：其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①③ ①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面β，则“a 与b 相交”等价于“α与β相交”；③若l =⋂βα，直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面β，且P b a =⋂，则l P ∈；④若n 条直线中任意两条共面，则它们共面，6、若一条直线上有两点到一个平面的距离相等，那么这条直线和这个平面的位置关系是（ ）A ．在平面内B ．相交C ．平行D ．以上均有可能7、若直线m 不平行于平面α，且α⊄m ，则下列结论中正确的是（ ）A ．α内的所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一一条直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交8、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的六个表面与六个对角面（面AA 1C 1C ，面BB 1D 1D ，面ABC 1D 1，面ADC 1B 1，面A 1BCD 1及面A 1B 1CD ）所在平面中，与棱AA 1平行的平面共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9、两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上均有可能10、下列命题：其中正确的个数是（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．3①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线异面；③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面，11、下列命题中正确的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4①四边相等的四边形是菱形；②若四边形有两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形； ③“直线不在平面内”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；④若两平面有一条公共直线，则这两个平面的所有公共点都在这条公共直线上；12、若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则（ ）A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面13、与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是14、经过平面外两点可作这个平面的平行平面的个数是15、设有不同的直线a ，b 和不同的平面γβα,,，给出下列三个命题：其中正确命题的序号是 ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；②若a ∥α，a ∥β，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，则α∥γ。
高中数学空间点线面之间的位置关系的知识点总结1
高中空间点线面之间位置关系知识点总结2.1空间点、直线、平面之间的位置关系CD 2.1.1α平面含义：平面是无限延展的1 BA平面的画法及表示20，且45（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成 2倍长（如图）横边画成邻边的）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用2（如平表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，、平面ABCD等。
AC面 3 三个公理： 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（1）公理符号表示为L∈A Aα·LαBL => L ∈∈αA ∈αB 作用：判断直线是否在平面内公理1BA）公理（22：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
·α·C ·符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。
作用：确定一个平面的依据。
2公理．那么它们有且只有一条过该如果两个不重合的平面有一个公共点，）公理3：（3 点的公共直线。
βL ∈=L，且P符号表示为：P∈α∩β=>α∩βαPL·公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线=>a∥c b ∥abc∥ 4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
强调：公理作用：判断空间两条直线平行的依据。
公理4等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3 4 注意点：的选择无关，为Ob的相互位置来确定，与a a'①与b'所成的角的大小只由、?2一般取在两直线中的一条上；简便，点O②两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记；b⊥a作④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
高三数学 空间点线面之间的位置关系
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【名师点评】 题中是先说明D1、 E、F确定一平面，再说明B在所确定 的平面内，也可证明D1E∥BF，从而 说明四点共面．
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考点四 异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法： 1．定义法(不易操作)． 2．反证法：先假设两条直线不 是异面直线，即两直线平行或相交， 由假设的条件出发，经过严密的推理， 导出矛盾，从而否定假设肯定两条直 线异面．此法在异面直线的判定中经 常用到．
A．A∈l，A∈α，B∈l， B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α， B∈β⇒a∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：C
三基能力强化
4.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1
所成的角为
.
答案：45°
5．三条直线两两相交，可以确 定3进一步反映了平面的延展 性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2) 作两平面相交的交线(当知道两个平面 的两个公共点时，这两点的连线就是交 线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是 某两个平面的公共点，则这几个点都在 这两个平面的交线上)．
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PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延
长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求
证：M、N、K三点共线．
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【思路点拨】 要证明M、N、K 三点共线，由公理3可知，只要证明M、 N、K都在平面BCD与平面PQR的交 线上即可．
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【证明】
PQ∩CB＝M
RQ∩DB＝N⇒
RP∩DC＝K
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解：选取平面BCF，该 平面有以下两个特点：①该 平面包含直线CF；②该平面 与DE相交于点E.在平面BCF 中，过点E作CF的平行线交 BF于点N，连结ND，可以看 出：EN与ED所成的角即为 异面直线FC与ED所成的角. 10分
高中数学必修2：点线面的关系
必修Ⅱ点、线、面的位置关系
一、有关平面的公理
1、公理1：（直线在平面内）
2、公理2：（确定一个平面）
推论1：
推论2：
推论3：
3、公理3：（两平面相交）
4、空间中两直线的位置关系：
5、空间中两平面的位置关系：
6、空间中直线与平面的关系：
二、空间中的平行关系
1、平行线公理：（平行线的传递性）
等角定理：
2、线面平行的判定定理：
线面平行的性质定理：
3、面面平行的判定定理：
面面平行的性质定理：
三、空间中的垂直关系
1、两直线垂直的定义：（异面垂直于相交垂直）
直线与平面垂直的定义：
两平面垂直的定义：
2、线面垂直的判定定理：
线面垂直的性质定理：
线面垂直的性质1：（一垂面两垂线）线面垂直的性质1：（一垂线两垂面）3、面面垂直的判定定理：
面面垂直的性质定理：
4、三垂线定理：
三垂线逆定理：
四、空间中的角
1、异面直线所成的角定义（线线角）：
2、斜线与平面所成的角定义（线面角）：
3、二面角的平面角的定义（面面角）：
4、求空间中的角的步骤：
①做：由定义做出相应的角②证：证明做出的角为所求③算：在相应的三角形中运算。
高中数学空间点线面之间的位置关系讲义
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系一、平面1 平面含义：2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
二、三个公理：三、空间直线、平面之间的位置关系D C BA α四、等角定理：五、异面直线所成的角1.定义：2.范围：3.图形表示4.垂直： 六、典型例题1．下面推理过程，错误的是（ ） （A ） αα∉⇒∈A l A l ,//（B ） ααα⊂⇒∈∈∈l B A l A ,,（C ） AB B B A A =⋂⇒∈∈∈∈βαβαβα,,, （D ） βαβα=⇒∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,, 2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ）（A ）1个或3个 （B ）1个或4个 （C ）3个或4个 （D ）1个、3个或4个 3．以下命题正确的有（ ）（1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面； （2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线； （3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β； （4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。
（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12 5．以下命题中为真命题的个数是（ ）（1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； （2）若直线a 在平面α外，则a ∥α； （3）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a ∥α； （4）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。
高中数学-空间点线面位置关系
高中数学-点线面位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L ∈ α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
高中数学(人教B版)必修第四册：空间中点、线、面的位置关系【精品课件】
例 已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是长方体，
且AB=4，AD=3，AA₁=2.
（3）求平面ADD₁A₁与平面BCC₁B₁
之间的距离.
两平面平行，则平面ADD₁A₁与
平面BCC₁B₁ 之间的距离即为
AB=4.
小 结
点在线上
点与线
共面
两条直线
点不在线上
异面
平行
相交
小 结
点在面上
点与面
相交
1.点与直线
2.两条直线
3.点与平面
4.直线与平面
5.两个平面
空间中的直线可看成这条直线上所有点组成的集合.
位置关系
符号表示
图形表示
位置关系
符号表示
a // l
图形表示
空间中的两条直线既不平行也不相交，则称这
两条直线异面.
两条直线异面，则它们不同
在任何一个平面内.
用平面衬托的方法表示
两直线异面.
α//β, ∀A∈ α, 过A作AB⊥ β于B,
则线段AB的长为与的距离.
例 已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是长方体，
且AB=4，AD=3，AA₁=2.
（1）求点A到平面BCC₁B₁的距
离；
（2）求直线AB到平面A₁B₁C₁D₁的
距离；
（3）求平面ADD₁A₁与平面BCC₁B₁
之间的距离.
例 已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是长方体，
反例：
)
例 判断下列命题的正误：
(2)若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直
线都平行.
反例：
(
×
)
例 判断下列命题的正误：
(3)若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直
高中数学复习课件-.4空间点线面的位置关系
考试要求
1. 借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的 位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了 解如下可以作为推理依据的公理和定理.
题型5．作截面
即作出截面与几何体每个面的交线(两个公共点).
例.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4. M为
AA1的中点, N是CC1上的点, 且CN=1，P是BC上
一点，且CP=2.请作出平面MNP截此三棱柱所得的
截面.
A1
C1
截面MNPQ为所求. M
B1
N
A
C
G
QP
B
形状 三角形 四边形
1. 对于空间三条直线，有下列四个条件： ①三条直线两两相交且不共点； ②三条直线两两平行； ③三条直线共点； ④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．
B 其中，使三条直线共面的充分条件有（ ）
( A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
2.空间四点中，如果任意三点都不共线，那么经过其中三
A B C
B
A
aC
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
a
α
b
a
b
α
注3： 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据， 是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.
高中数学 经典资料 第42课--空间点、线、面的位置关系
有 B1E ^ 面 ABHF ，此时 B1E
32 +( 3 )2 3 5 .
2
2
6. 如图，在四棱锥 E ABCD 中，平面 EAB ⊥平面 ABCD ，四边形 ABCD 为矩形， EA ⊥ EB ， M , N 分别为 AE,CD 的中点.
求证：（1）直线 MN ∥平面 EBC ；（2）直线 EA ⊥平面 EBC . 答案：（1）见解析；（2）见解析 解析： （1）取 BE 中点 F，连结 CF，MF，
故选 C.
4. 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB BC 1 ， AA1 3 ，则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为（ ）.
A. 1 5
答案：C
B. 5 6
C. 5 5
D. 2 2
解 析 ： 以 D 为 坐 标 原 点 ， DA, DC, DD1 为 x, y, z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则
则 ANG 或其补角为异面直线 AN,CM 所成的角，显然 NG 1 MC 2
2, AN 2 2 ，∵ AB BD ，∴ BM AD ，
在直角 AMG 中，AG
AM 2 MG 2
3
，在
ANG
中，cos ANG
8 22
23 2
2
7 8
，即异面直线
AN , CM
所成的角的余弦值为
7 8
D0,0,0, A1,0,0, B1 1,1, 3 , D1 0,0, 3 ，所以 AD1 1,0, 3 , DB1 1,1, 3 ，
因为 cos
AD1, DB1
AD1 DB1 1 3
AD1 DB1 2 5
5 5
，所以异面直线
(完整)空间点线面之间位置关系知识点总结,推荐文档
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
①柱体的体积 V S底 h
②锥体的体积
V
1 3 S底
h
③台体的体积
V 13（S上上 S S下下 S ) h
④球体的体积V 4 R3 3
1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a
画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
β
P
α ·L
3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
共面直 平行直线：同一平面内，没有公共点；
4.斜二测法：在坐标系 x 'o ' y ' 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于 x
的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC、平面 ABCD 等。
（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.
3 三个公理：
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直 （1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
（1）若 A1B2 A2B1 0 ，两直线相交；
（2）若 A1B2 A2B1 0 ，两直线平行或重合；
（3）若 A1A2 B1B2 0 ，若两直线垂直。
10.点 (x1, y1)和(的x2中, y点2 ) 坐标是
高中数学必修二-空间点、线、面之间的位置关系
空间点、线、面之间的位置关系知识集结知识元文字语言、图形语言、符号语言的相互转化知识讲解平面的概念、表示及其基本性质1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.图①图②3．平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD 、平面AC 或平面BD.4．平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l ⊂α公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A ，B ，C 三点不共线⇒存在唯一的α使A ，B ，C ∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P ∈α，P ∈β⇒α∩β＝l ，且P ∈l例题精讲文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例1.下面说法中(其中A ，B 表示点，a 表示直线，α表示平面)：①因为A ⊂α，B ⊂α，所以AB ⊂α；②因为A∈α，B∈α，所以AB∈α；③因为A∉a，a⊂α，所以A∉α；④因为A∉α，a⊂α，所以A∉a.其中正确的说法的序号是()A．①④B．②③C．④D．③例2.用符号语言表示下列语句，正确的个数是()(1)点A在平面α内，但不在平面β内：A⊂α，A⊄β.(2)直线a经过平面α外的点A，且a不在平面α内：A∈a，A∉α，a⊄α.(3)平面α与平面β相交于直线l，且l经过点P：α∩β=l，P∈l.(4)直线l经过平面α外一点P，且与平面α相交于点M：P∈l，l∩α=M.A．1B．2C．3D．4例3.AB，AD⊂α，CB，CD⊂β，E∈AB，F∈BC，G∈CD，H∈DA，若直线EH与FG相交于点P，则点P必在直线________上.点、线共面问题知识讲解平面的概念、表示及其基本性质1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.图①图②3．平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD 、平面AC 或平面BD.4．平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l ⊂α公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A ，B ，C 三点不共线⇒存在唯一的α使A ，B ，C ∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P ∈α，P ∈β⇒α∩β＝l ，且P ∈l例题精讲点、线共面问题例1.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是__________.例2.'如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH 交于一点P，求证：点P在直线BD上.'例3.下列说法中正确的是()A．空间不同的三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内例4.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如EF与HG交于点M，那么()A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上点共线与线共点问题知识讲解平面的概念、表示及其基本性质1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.图①图②3．平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD 、平面AC 或平面BD.4．平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，么这条直线在此平面内B ∈α⇒l ⊂α公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A ，B ，C 三点不共线⇒存在唯一的α使A ，B ，C ∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P ∈α，P ∈β⇒α∩β＝l ，且P ∈l例题精讲点共线与线共点问题例1.如图，平面α∩平面β＝l ，A 、B ∈α，C ∈β，C ∉l ，直线AB ∩l ＝D ，过A 、B 、C 三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过()A ．点AB ．点BC ．点C ，但不过点D D ．点C 和点D例2.'如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：AA1，BB1，CC1交于一点.'例3.'求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．'例4.'在正方体AC1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如图. (1)求证：D、B、E、F四点共面；(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．'空间两直线位置关系的判定知识讲解空间中直线与直线之间的位置关系1．异面直线(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．(2)画法：(通常用平面衬托)2．空间两条直线的位置关系平行、相交、异面直线例题精讲空间两直线位置关系的判定例1.所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．例2.如图，E，F是AD上互异的两点，G，H是BC上互异的两点，由图可知，①AB与CD互为异面直线；②FH分别与DC，DB互为异面直线；③EG与FH互为异面直线；④EG与AB互为异面直线.其中叙述正确的是()A．①③B．②④C．①④D．①②例3.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是()A．①②③B．②④C．③④D．②③④公理4、等角定理的应用知识讲解空间中直线与直线之间的位置关系1．公理4文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．符号表述：⇒a∥c.2．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．例题精讲公理4、等角定理的应用例1.'如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.'例2.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图)，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是()A．l与AD平行B．l与AD不平行C．l与AC平行D．l与BD垂直例3.'如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC AD，BEFA，G，H分别为FA，FD的中点.(1)证明：四边形BCHG是平行四边形.(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？'求异面直线所成的角知识讲解空间中直线与直线之间的位置关系1．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.例题精讲求异面直线所成的角例1.如图，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别为AB，CD的中点，EF=，则AD与BC所成的角为()A．30°B．60°C．90°D．120°例2.在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点P在线段AD′上运动，则异面直线CP与BA′所的θ角的取值范围是()A．0<θ<B．0<θ≤C．0≤θ≤D．0<θ≤例3.'已知A是△BCD外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，(1)求证：直线EF与BD是异面直线.(2)若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角.'直线与平面的位置关系知识讲解空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示平面与平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β＝l无数个点(共线)例题精讲直线与平面的位置关系例1.下列说法中，正确的个数是()(1)平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线.(2)如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面.(3)直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线.(4)如果α∥β，a∥α，那么a∥β.A．0B．1C．2D．3例2.'如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为B′C′，A′D′的中点，求证：平面ABB′A′与平面CDFE相交.'例3.两平面α、β平行，a⊂α，下列四个命题：(1)a与β内的所有直线平行；(2)a与β内无数条直线平行；(3)直线a与β内任何一条直线都不垂直；(4)a与β无公共点．其中正确命题的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个例4.'如图所示，ABCDA1B1C1D1是正方体，在图中，E，F分别是D1C1，B1B的中点，画出图①②中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．'备选题库知识讲解本题库作为知识点“平面的基本性质和推论”的题目补充.例题精讲备选题库例1.下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．过一条直线的平面有无数多个C．两条直线确定一个平面D．两条相交平面的交线是一条线段例2.已知正四棱锥S-ABCD侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC 所成角的大小为（）A．B．C．D．例3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=1，AA1=，则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为（）A．B．-C．D．-例4.已知α，β是相异两个平面，m，n是相异两直线，则下列命题中正确的是（）A．若m∥n，m⊂α，则n∥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∩B=m，n∥m，则n∥β当堂练习单选题练习1.下列说法中错误的是（）①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，那么该直线与这个平面必相交；②如果一条直线和平面内的两条平行线垂直，那么该直线必在这个平面内；③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，那么该直线必定在这个平面内；④如果一条直线和一个平面垂直，那么该直线垂直于平面内的任何直线．A．①②B．②③④C．①②④D．①②③练习2.已知两个平行平面α，β，直线l⊂α，过l上一点P作与l所成角为40°的直线m，则直线m与β的交点M的轨迹是（）A．椭圆B．抛物线C．双曲线D．圆练习3.已知异面直线a，b所成的角为60°，过空间一点O的直线与a，b所成的角均为60°，这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条练习4.已知l、m为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若l∥m，l∥α，则m∥αB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥β，α⊥β，则l∥αD．若l⊥m，l⊥α，且m⊥β，则α⊥β练习1.在△ABC中，D为AB的中点，AC=2CD=4，△ABC的面积为6，BE⊥CD且BE交CD于点E，将△BCD沿CD翻折，翻折过程中，AC与BE所成角的余弦值取值范围是_____．练习2.如图，点M为正方形ABCD边DC上异于点C，D的动点，将△ADM沿AM翻折成△PAM，使得平面PAM⊥平面ABCM，则下列说法中正确的是________．（填序号）（1）在平面PBM内存在直线与BC平行；（2）在平面PBM内存在直线与AC垂直（3）存在点M使得直线PA⊥平面PBC（4）平面PBC内存在直线与平面PAM平行．（5）存在点M使得直线PA⊥平面PBM练习3.若平面α与平面β平行，a⊂α，b⊂β，则a与b的位置关系是_______．练习1.'长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2，AB=1，E是DD1上的一点。
高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系解析！
高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系解析！一、空间点、直线、平面之间的位置关系1、平面的基本性质的应用① 公理1：公理1② 公理2：公理2③ 公理3：2、平行公理主要用来证明空间中的线线平行 .3、公理 2 三推论：① 一条直线和直线外一点唯一确定一个平面；② 两条平行直线唯一确定一个平面；③ 两条相交直线唯一确定一个平面 .4、点共线、线共点、点线共面问题① 证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上 .② 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上 .③ 证明点线共面问题的常用方法：方法一：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；方法二：先证明有关的点、线确定平面α ，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β 重合 .【例题1】如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD = ∠FAB = 90°，BC ∥且= ½ AD，BE ∥且= ½ FA，G , H 分别为 FA , FD 的中点 .(1) 证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2) C , D , F , E 四点是否共面？请说明理由 .例题1图【解析】(1) 证明：∵ G , H 分别为 FA , FD 的中点，∴ GH 是△FAD 的中位线，∴ GH ∥且= ½ AD ，又∵ BC ∥且= ½ AD，∴ GH ∥且 = BC，∴ 四边形 BCHG 是平行四边形 .(2) 证明：方法一：证明点 D 在 EF 和 CH 确定的平面内 .∵ BE ∥且= ½ FA，点 G 为 FA 的中点，∴ BE ∥且= FG，则四边形 BEFG 为平行四边形，∴ EF∥BG .由 (1) 可知BG∥CH，∴ EF∥CH，即 EF 与 CH 共面，又∵ D∈FH，∴ C , D , F , E 四点共面 .方法二：分别延长 FE 和 DC，交 AB 于点 M 和 M''，在证点 M 和 M’重合，从而 FE 和 DC 相交 .如上图所示，分别延长 FE 和 DC，交 AB 于点 M 和 M''，∵ BE ∥且= ½ FA，∴ 点 B 为 MA 的中点，∵ BC ∥且= ½ AD，∴ 点 B 为 M''A 的中点，∴ M 与 M'' 重合，即 FE 与 DC 相交于点 M (M'') ,∴ C , D , F , E 四点共面 .二、异面直线的判定（方法）1、定义法（不易操作）；2、反证法先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交；再由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面 .假设法在异面直线的判定中会经常用到 .3、常用结论过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点(A) 的直线是异面直线 .【例题2】如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点 .(1) AM 和 CN 是否是异面直线？请说明理由；(2) D1B 和 CC1 是否是异面直线？请说明理由 .例题2图【解析】（注：先给结论，再给理由，注意答题规范！）(1) AM 和 CN 不是异面直线 .理由：如图上图所示，分别连接 MN , A1C1 和 AC，∵ 点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点，∴ MN∥A1C1 ,又∵ AA1∥且=CC1 ,∴ 四边形 AA1C1C 是平行四边形，∴ A1C1∥AC，∴ MN∥AC，∴ 点 A , M , N , C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线 .(2) D1B 和 CC1 是异面直线 .证明：∵ ABCD-A1B1C1D1 是正方体，∴ B , C , C1 , D1 四点不共面 .假设 D1B 和 CC1 不是异面直线，则存在平面α，使 D1Bㄷ平面α，CC1ㄷ平面α，∴ D1 , B , C , C1 ∈平面α，∴ 与ABCD-A1B1C1D1 是正方体矛盾，∴ 假设不成立，∴ D1B 和 CC1 是异面直线 .三、异面直线所成的角1、求异面直线所成角的方法关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与令一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交 .2、求异面直线所成角的步骤① 通过作出平行线，得到相交直线；② 证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；③ 通过解三角形求出该角的大小 .【例题3】如图所示，在空间四边形 ABCD 中，已知 AB = CD 且 AB 与 CD 所成的角为30°，点 E , F 分别是 BC 和 AD 的中点，求 EF 与 AB 所成角的大小 .例题3图【解析】要求 EF 与 AB 所成的角，可以经过某一点作两条直线的平行线，因为 E，F 都是中点，所以可以过点 E 或点 F 作 AB 的平行线找到异面直线所成的角 .取 AC 的中点，平移 AB 和 CD，使已知角和所求的角在同一个三角形中求解 .【解答过程】取 AC 的中点 G，分别连接 EG 和 FG ，则有EG∥AB，FG∥CD，∵ AB = CD ,∴ EG = FG ,∴ ∠GEF （或它的补角）为 EF 与 AB 所成的角，∠EGF （或它的补角）为 AB 与 CD 所成的角，又∵ AB 与 CD 所成的角为30°，∴ ∠EGF = 150° 或30°，由 EG = FG , 可知△GEF为等腰三角形，当∠EGF = 30° 时，∠GEF = 75°，当∠EGF = 150° 时，∠GEF = 15°，∴ EF 与 AB 所成的角为15° 或75° .。
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高中数学-点线面位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.11平面含义：平面是无限延展的 2平面的画法及表示(1) 平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45°，且横边画成邻边的2倍长(如 图)(2) 平面通常用希腊字母a 、B 、丫等表示，如平面a 、平面B 等，也可以用表示平面的平行四边形的 四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 平面ABCD 等。
3 三个公理：(1) 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A € LB € L l=> L A €a B €a -公理1作用：判断直线是否在平面内(2) 公理2 :过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线=> 有且只有一个平面a, 使 A €a 、B €a 、C €a 。
公理2作用：确定一个平面的依据。
(3) 公理3 :如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 符号表示为：P €aA3 => aA3 =L ,且P € L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 1空间的两条直线有如下三种关系：共面直线 r2公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设 a 、b 、c 是三条直线a //bc // b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4注意点：①a'与b'所成的角的大小只由 a 、b 的相互位置来确定，与 0的选择无关，为简便，点 0 —般取在两直线中的一条上；② 两条异面直线所成的角9€(0 , ;③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 a 丄b ;④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系：(1) 直线在平面内一一有无数个公共点条过该点的公共.异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
平行直线：同一平面内，没有公共点；(2) 直线与平面相交——有且只有一个公共点 (3) 直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 丿a 来表示2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：a ，- a ■■■b -1 3 - - => a〃aa //b -2.2.2平面与平面平行的判定符号表示:a ba nb = P 》 a / a b / a '3〃a2、判断两平面平行的方法有三种：(1) (2) (3) 2.2.3用定义； 判定定理； 垂直于同一条直线的两个平面平行。
—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任 简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：a //a r // ba 匸3 an3 = b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：a//3 anY = a 3门丫 = b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行// b平面与此平面的交线与该直线平行。
2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 1、定义如果直线L 与平面a 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面a 互相垂直，记作 L 丄a,直线L 叫做平面a 的垂线，平面a 叫做直线 L 的垂面。
如图，直线与平面垂直时 ,它们唯一公共点 P 叫做垂足。
2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点： a ）定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b ）定理体现了 直线与平面垂直与直线与直线垂直互相转化的数学思想。
232平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
【空间中的平行问题】（1）直线与平面平行的判定及其性质① 线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行 ，则该直线与此平面平行。
（线线平行-线面平行）② 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条 直线和交线平行。
（线面平行-线线平行）（2）平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理：① 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行T 面面平行） ② 如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
（线线平行T 面面平行）-I- B 或 a -AB-3③垂直于同一条直线的两个平面平行两个平面平行的性质定理：①如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。
（面面平行T线面平行）②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（面面平行T线线平行）【空间中的垂直问题】（1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。
③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。
（2）垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
【空间角问题】（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为0②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
③两条异面直线所成的角：过空间任意一点0,分别作与两条异面直线a, b平行的直线，a, b 两条相交直线，这两条相形成交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
（2）直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为o o②平面的垂线与平面所成的角：规定为90③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作,二证,三计算” 。
在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，解题时，注意挖掘题设中两个信息：①斜线上一点到面的垂线；②过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。
（3）二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角④求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角课堂练习: 一、选择题1已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16 ,则这个球的表面积是（）A. i6B. 20C. 24D. 322 .已知在四面体ABCD 中，E,F 分别是 AC,BD 的中点，若AB 2,CD 4, EF AB ，则EF 与CD 所成的角的度数为（)A. 90B. 45C. 60D.303 •三个平面把空间分成 7部分时，它们的交线有（）A. 1条 E. 2条 C. 3条 D. 1条或2条4 •在长方体ABCD ABC i D i ,底面是边长为2的正方形，高为4 ,则点A i 到截面AB i D i 的距离为（）5 .直三棱柱ABC A i B i C i 中，各侧棱和底面的边长均为a ，点D 是CC i 上任意一点，连接6.下列说法不正确的是（ ）A. 空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B. 同一平面的两条垂线一定共面；C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内;D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直、填空题i .正方体各面所在的平面将空间分成 _____________________ 部分。
2 .空间四边形 ABCD 中，E, F,G,H 分别是 AB,BC,CD, DA 的中点，贝U BC 与AD 的位置关系是______________ ；四边形EFGH 是 _____________ 形;当 ______________ 时，四边形EFGH 是菱形；当 ______________ 时，四边形EFGH 是矩形；当 _______________ 时，四边形EFGH 是正方形3.四棱锥V ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为'• 5的等腰三角形，则二面角 V AB C 的平面角为 _____________________ 。
B.C. D .AB, BD, AD,AD ，则三棱锥 A ABD 的体积为（A .B. ——ai2D . i 3 a i24 •三棱锥P ABC, PA PB PC J73,AB 10, BC 8,CA 6,则二面角P AC B 的大小为 _________________________5 • P为边长为a的正三角形ABC所在平面外一点且PA PB PC a，贝U P到AB的距离为_________________ 。