高中物理万有引力与航天解题技巧及练习题(含答案)

m23
m2 2
v3T 2 G
（3）将 m1
6ms 代入
m23 m1 m2
2
v3T 2 G
得
m23
6ms m2
2
v3T 2 G
⑤
代入数据得
m23 6ms m2Leabharlann Baidu
2
3.5ms ⑥
设 m2
nms
m23
，（n＞0）将其代入⑥式得， m1 m2 2
6 n
n
2
1
ms
3.5ms ⑦
可见，
对地面上的物体由黄金代换式
G
Mm R2
mg
a
卫星
GMm R2
m
4 2 Ta2
R
解得Ta 2
R g
b
卫星
GMm (4R)2
m
4 2 Tb2
·4R
解得Tb 16
R g
（2）卫星做匀速圆周运动， F引 F向 ，
a
卫星
GMm R2
mva 2 R
解得 va
GM R
b
卫星 b
卫星 G
Mm (4R)2
m
v2 4R
(1)该行星表面处的重力加速度的大小 g 行； (2)该行星的第一宇宙速度的大小 v； (3)该行星的质量 M 的大小（保留 1 位有效数字）。 【答案】(1)4m/s2(2)4km/s(3)1×1024kg 【解析】
【详解】
(1)由平抛运动的分位移公式，有：
联立解得：
x=v0t
y= 1 g 行 t2 2
1 2
mv22
GMm Rh
(
GMm ) R
若飞船在椭圆轨道上运行，经过 P 点时速率为 v1 ，则经过 Q 点时速率为：
v2
v12
2GM Rh
2GM R
；
（3）若近地圆轨道运行时，飞船上的发射装置短暂工作，将小探测器射出，并使它能脱离
地球引力范围（即探测器离地心的距离无穷远），动能全部用来克服引力做功转化为势能
g地
3103 m
/
s2
(3)第一宇宙速度
GMm R2
m
v12 R
第二宇宙速度 v2 c 2v1
解得：
R
2GM C2
【点睛】本题考查了万有引力定律定律及圆周运动向心力公式的直接应用，要注意任何物
体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速．
9．“嫦娥四号”卫星从地球经地一月转移轨道，在月球附近制动后进入环月轨道，然后以大 小为 v 的速度绕月球表面做匀速圆周运动，测出其绕月球运动的周期为 T，已知引力常量 G，月球的半径 R 未知，求： （1）月球表面的重力加速度大小； （2）月球的平均密度。
【答案】（1） 2 R ，16 R （2）速度之比为 2 ； 8 R
g
g
7g
【解析】 【分析】根据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得 运动周期；卫星做匀速圆周运动，根据万有引力做向心力求得两颗卫星速度之比；由根据 相距最远时相差半个圆周求解；
解：（1）卫星做匀速圆周运动， F引 F向 ，
（逃逸速度为第一宇宙速度的 2 倍），这一奇怪的星体就叫作黑洞．
在下列问题中，把星体（包括黑洞）看作是一个质量分布均匀的球体．（①②的计算结果
用科学计数法表达，且保留一位有效数字；③的推导结论用字母表达）
①试估算地球的质量；
②试估算太阳表面的重力加速度；
③己知某星体演变为黑洞时的质量为 M，求该星体演变为黑洞时的临界半径 R．
【答案】(1) g 2 v T
(2)
3 GT 2
【解析】
【详解】
（1）在月球表面，万有引力等于重力，重力加速度等于向心加速度 g an
g v
2 T
以上各式联立得 g 2 v T
【答案】（1）6×1024kg（2）
3
103
m
/
s
2
（3）
2GM C2
【解析】
(1)物体绕地球表面做匀速圆周运动
GM 地m R地2
m
v2 R
解得： M R地v2 ＝6×1024kg G
(2)在地球表面
GM 地m R地2
mg地
解得：
g地
GM 地
R
2 地
同理在太阳表面
g日
GM日 R日2
g日
M日R地2 M 地 R日2
m23 6ms m2
2 的值随 n 的增大而增大，令 n=2 时得
6 n
n
2
1
ms
0.125ms
3.5ms
⑧
要使⑦式成立，则 n 必须大于 2，即暗星 B 的质量 m2 必须大于 2m1 ，由此得出结论，暗
星 B 有可能是黑洞． 考点：考查了万有引力定律的应用
【名师点睛】本题计算量较大，关键抓住双子星所受的万有引力相等，转动的角速度相
（2）求暗星 B 的质量 m2 与可见星 A 的速率 v、运行周期 T 和质量 m1 之间的关系式； （3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量 ms 的 2 倍，它将有可能成为黑洞．若可 见星 A 的速率 v＝2.7×105 m/s，运行周期 T＝4.7π×104s，质量 m1＝6ms，试通过估算来 判断暗星 B 有可能是黑洞吗？（G＝6.67×10﹣11N•m2/kg2，ms＝2.0×103 kg）
t=1s g 行=4m/s2； (2)第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，在星球表面重力与万有引力相等，据万有引力提 供向心力有：
可得第一宇宙速度为：
G
mM R2
＝mg行＝m
v2 R
(3)据 可得：
v＝ g行R 4 4000103m/s 4.0km/s
G
mM R2
＝mg行
M
g行 R2 G
4 (4000 103 )2 6.67 1011
即： G
Mm R
1 2
mv32
则探测器离开飞船时的速度（相对于地心）至少是： v3
2GM ． R
【点睛】
本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力，同时注意应用能量守恒定律
进行求解．
3．一艘宇宙飞船绕着某行星作匀速圆周运动，已知运动的轨道半径为 r，周期为 T，引力 常量为 G，行星半径为 求： (1)行星的质量 M； (2)行星表面的重力加速度 g； (3)行星的第一宇宙速度 v．
v3 （相对于地心）至少是多少？（探测器离开地球的过程中只有引力做功，动能转化为引
力势能）
【答案】（1） GMm （2） 2R
v12
2GM Rh
2GM R
（3）
2GM R
【解析】
【分析】
（1）万有引力提供向心力，求出速度，然后根据动能公式进行求解；
（2）根据能量守恒进行求解即可；
（3）将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围，动能全部用来克服引力做功转化为势
(1)根据竖直上抛运动的特点可知：
v0
1 2
gt
0
所以：g= 2v0 t
设月球的半径为
R,月球的质量为
M,则：
GMm R2
mg
体积与质量的关系： M V 4 R3· 3
联立得： 3v0 2 RGt
（2）由万有引力提供向心力得
GMm R2
m
v2 R
解得; v 2v0R t
综上所述本题答案是：（1） 3v0 （2） v 2 RGt
【答案】（1） 【解析】 【详解】
（2）
（3）
(1)设宇宙飞船的质量为 m，根据万有引力定律
求出行星质量
(2)在行星表面
求出:
(3)在行星表面
求出: 【点睛】 本题关键抓住星球表面重力等于万有引力，人造卫星的万有引力等于向心力．
4．宇航员在某星球表面以初速度 2.0m/s 水平抛出一小球，通过传感器得到如图所示的运 动轨迹，图中 O 为抛出点。若该星球半径为 4000km，引力常量 G=6.67×10﹣11N•m2•kg﹣ 2．试求：
等，根据万有引力定律和牛顿第二定律综合求解，在万有引力这一块，设计的公式和物理
量非常多，在做题的时候，首先明确过程中的向心力，然后弄清楚各个物理量表示的含
义，最后选择合适的公式分析解题，另外这一块的计算量一是非常大的，所以需要细心计
算
7．宇航员来到某星球表面做了如下实验：将一小钢球以 v0 的初速度竖直向上抛出，测得 小钢球上升离抛出点的最大高度为 h（h 远小于星球半径），该星球为密度均匀的球体，引 力常量为 G，求： （1）求该星球表面的重力加速度； （2）若该星球的半径 R，忽略星球的自转，求该星球的密度．
kg
11024 kg
5．在月球表面上沿竖直方向以初速度 v0 抛出一个小球，测得小球经时间 t 落回抛出点， 已知该月球半径为 R，万有引力常量为 G，月球质量分布均匀。求： (1)月球的密度； (2)月球的第一宇宙速度。
【答案】（1） 3v0 （2） v 2 RGt
【解析】 【详解】
2v0 R t
【点睛】
2v0 R t
会利用万有引力定律提供向心力求中心天体的密度，并知道第一宇宙速度等于 v gR 。
6．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系 统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了 LMCX﹣3 双星系统，它由可 见星 A 和不可见的暗星 B 构成．将两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B 围绕两者 连线上的 O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，（如图）所示．引力常量为 G，由观测能够得到可见星 A 的速率 v 和运行周期 T． （1）可见星 A 所受暗星 B 的引力 FA 可等效为位于 O 点处质量为 m′的星体（视为质点） 对它的引力，设 A 和 B 的质量分别为 m1、m2，试求 m′（用 m1、m2 表示）；
【答案】（1）
m
'
m1
m23 m2
2
m23
m1 m2 2
v3T 2 G
(3)有可能是黑洞
【解析】
试题分析：（1）设 A、B 圆轨道的半径分别为 r1、r2 ，由题意知，A、B 的角速度相等，为
0 ，
有： FA m102r1 ， FB m202r2 ，又 FA FB
设 A、B 之间的距离为 r，又 r r1 r2
能；
【详解】
（1）在近地轨道（离地高度忽略不计）Ⅰ上运行时，在万有引力作用下做匀速圆周运动
即：
G
mM R2
m v2 R
则飞船的动能为 Ek
1 mv2 2
GMm ； 2R
（2）飞船在转移轨道上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化．由能量守
恒可知动能的减少量等于势能的増加量：
1 2
mv12
【答案】（1） 【解析】
（2）
（1）根据速度-位移公式得：
，
得
（2）在星球表面附近的重力等于万有引力，有
及
联立解得星球密度
8．阅读如下资料，并根据资料中有关信息回答问题 (1)以下是地球和太阳的有关数据
(2)己知物体绕地球表面做匀速圆周运动的速度为 v＝7.9km/s，万有引力常量 G＝6.67×l0－ 11m3kg－1s－2，光速 C＝3×108ms－1； (3)大约 200 年前法国数学家兼天文学家拉普拉斯曾预言一个密度如地球，直径为太阳 250 倍的发光星体由于其引力作用将不允许任何光线离开它，其逃逸速度大于真空中的光速
解得 vb
GM 4R
所以 Va 2 Vb
2 （3）最远的条件 Ta
2 Tb
解得 t 8 R 7g
2．如图轨道Ⅲ为地球同步卫星轨道，发射同步卫星的过程可以筒化为以下模型：先让卫星
进入一个近地圆轨道Ⅰ（离地高度可忽略不计），经过轨道上 P 点时点火加速，进入椭圆
形转移轨道Ⅱ．该椭圆轨道Ⅱ的近地点为圆轨道Ⅰ上的 P 点，远地点为同步圆轨道Ⅲ上的
高中物理万有引力与航天解题技巧及练习题(含答案)
一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天
1．a、b 两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a 为近地卫星，b 卫星离地面高 度为 3R，己知地球半径为 R，表面的重力加速度为 g，试求： （1）a、b 两颗卫星周期分别是多少？ （2） a、b 两颗卫星速度之比是多少？ （3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同--点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距 最远？
Q 点．到达远地点 Q 时再次点火加速，进入同步轨道Ⅲ．已知引力常量为 G ，地球质量为
M ，地球半径为 R ，飞船质量为 m ，同步轨道距地面高度为 h ．当卫星距离地心的距离
为
r
时，地球与卫星组成的系统的引力势能为
Ep
GMm r
（取无穷远处的引力势能为
零），忽略地球自转和喷气后飞船质量的変化，问：
（1）在近地轨道Ⅰ上运行时，飞船的动能是多少？ （2）若飞船在转移轨道Ⅱ上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化．已知
飞船在椭圆轨道Ⅱ上运行中，经过 P 点时的速率为 v1 ，则经过 Q 点时的速率 v2 多大？
（3）若在近地圆轨道Ⅰ上运行时，飞船上的发射装置短暂工作，将小探测器射出，并使它 能脱离地球引力范围（即探测器可以到达离地心无穷远处），则探测器离开飞船时的速度
由以上各式得， r
m1 m2 m2
r1 ①
由万有引力定律得
FA
G
m1m2 r2
将①代入得 FA G
m1m23 m1 m2
r12
令
FA
G
m1m r12
'
，比较可得
m'
m23 m1 m2
2
②
（2）由牛顿第二定律有： G
m1m ' r12
m1
v2 r1
③
又可见星的轨道半径 r1
vT 2
④
由②③④得 m1