一元二次方程的解法规律总结归纳

一元二次方程的解法规律
总结归纳
Prepared on 21 November 2021
《一元二次方程的解法》规律总结
1．一元二次方程的解法
(1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)，b )a x (2=-(b ≥0)
类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次
方程，本身不是上述两种形式，但可以化为a x 2=或b )a x (2
=-的形式，也可以用此法解．
(2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根． (3)配方法：任何一个形如bx x 2+的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配
成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解07x 6x 2=++时，
可把方程化为7x 6x 2-=+，2
2226726x 6x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++，即2)3x (2=+，从而得解． 注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1．
(2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．
(3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．在
0ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方程的一般步骤：
①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2=++(a ≠0)的形式；
②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)；
③计算0ac 4b 2
<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)；
④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根．
说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．
2．一元二次方程根的判别式
一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有
实数根．而根的情况，由ac 4b 2-的值来确定．因此ac 4b 2-=∆叫做一元二次方程0
c bx ax 2=++的根的判别式．
△>0⇔方程有两个不相等的实数根．
△＝0⇔方程有两个相等的实数根．
△<0⇔方程没有实数根．
判别式的应用
(1)不解方程判定方程根的情况；
(2)根据参数系数的性质确定根的范围；
(3)解与根有关的证明题．
3．韦达定理及其应用
定理：如果方程0c bx ax 2
=++(a ≠0)的两个根是21x x ，，那么a c x x a b x x 2121=⋅-=+，． 当a ＝1时，c x x b x x 2121=⋅-=+，．
应用：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；
(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程；
(4)已知两数和与积求两数．
4．一元二次方程的应用
(1)面积问题；
(2)数字问题；
(3)平均增长率问题．
步骤：
①分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)；
②设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；
③找出相等关系，并用它列出方程；
④解方程求出题中未知数的值；
⑤检验所求的答数是否符合题意，并做答．
这里关键性的步骤是②和③．
注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元二次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义．。