控制点坐标计算

3 7 11
3 7 l l l l l 2 6 2 6 10 6 A 336 A 6 A 336 A 42240 A
回旋线终点坐标计算公式：

在回旋线终点处，l = Ls，r = R，A2 = RLs
Ls 5 Ls 9 X Ls 4 8 40 A 3456 A Ls3 Ls5 Ls 3 Ls Ls 2 4 40 R 3456 R 40 R 2
3
LS LS p ( m) 3 24 R 2688 R
2
4
0 28.6479
T ( R p)tg
L ( 2 0 )
LS (度) R
q(m)

2

180
R 2 LS (m)
E ( R p) sec

2
R(m)
J 2T L(m)
二．主点里程的计算
二、圆曲线坐标计算
1、切线支距法 (1)以ZY或YZ为坐标原 点，切线为X轴，过原 点的半径为Y轴，建立 坐标系。
x
y
切线支距法圆曲线坐标计算：
xi R sin i y i R (1 cos i ) l i 180 式中 i , R 其中l i 为各点至原点的弧长里程
对dx、dy分别进行积分：
x dx cos dl l4 l8 (1 4 )dl 8 8 A 384 A l5 l5 l9 l l 4 4 8 40 A 40 A 3456 A
y dy sin dl
l2 l6 l 10 ( 2 )dl 4 10 2 A 48 A 3840 A
圆曲线
1、曲线元素的计算 （已知转角α及半径R）
切线长 T Rtg 曲线长
L R

2

180
外距 E R(sec 1)
2

切曲差 D 2T L
2、 （1）主点里程的计算 ZY里程=JD里程-T； QZ里程=YZ里程-L/2；
YZ里程=ZY里程+L JD里程=QZ里程+D/2

（二）回旋线的几何要素
1. 各要素的计算公式 2 l 2 基本公式：r· l=A ，

2 A2
2
A l 任意点P处的曲率半径： r l 2

A 2
P点的回旋线长度：
A2 l A 2 2r r

P点的半径方向与Y轴的夹角
l2 l A2 2 2 2r 2r 2A
（1）里程的计算
ZH=JD-TH；HY=ZH+ls； QZ=ZH+LH/2；HZ=ZH+LH；YH=HZ-ls
三、带有缓和曲线的圆曲线详细测设 1、切线支距法 (tangent off-set method)
要注意：点是位于缓和曲线上，还是位于圆曲线上。
位于圆曲线 位于缓和曲线
l5 x l 2 2 40 R ls （1）当点位于缓和曲线上，有： 3 7 l l y 3 3 6 Rl 336 R ls s


dx，dy的展开：
2 4 6 dx cosβ dl (1 )dl 2! 4! 6! 1 l2 2 1 l2 4 1 l2 6 [1 - ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ]dl 2 2A 24 2 A 720 2 A l4 l8 l 12 (1 4 )dl 8 12 8 A 384 A 720 64 A
（2）当点位于圆曲线上，有：
x R sin q y R (1 cos ) p
2、偏角法（整桩距、短弦偏角法）
要注意：点是位于缓和曲线，还是位于圆曲线。
位于圆曲线
位于缓和曲线
2、偏角法（整桩距、短弦偏角法）
（1）当点位于缓和曲线上，有：
ls 总偏角(常量) 0 6R
特点：
宜以QZ 为界，将曲 线分两部分进行测设。
2、偏角法
分为：长弦偏角法、短 弦偏角法

i 1
（1）长弦偏角法
1）计算曲线上各桩点至 ZY或YZ的弦线长ci及其与 切线的偏角Δi。
ZY
i
YZ
长弦偏角法单圆曲线坐标计算：
li 180 li i 2 2R 2R ci 2 R sin i
3 5 7 dy sinβ dl (β )dl 3! 5! 7! l2 1 l2 3 1 l2 5 1 l2 7 [ 2 - ( 2) ( 2) ( 2 ) ]dl 2A 6 2A 120 2 A 5040 2 A
l2 l6 l 10 l 14 ( 2 )dl 4 10 14 2 A 48 A 3840 A 5040 128 A
ZY A1
i


i 1
i
YZ
特点：
宜以QZ 为界，将曲线 分两部分进行测设。 注：课本上的坐标计算 即利用该公式推导而出。
2、回旋缓和曲线(spiral curve)基本公式
（2）缓和曲线 角公式：
l5 x l 2 2 40 R ls （3）缓和曲线的参数方程: 3 7 l l y 3 3 6 Rl 336 R ls s
3 ls x0 l s 40 R 2 （4）缓和曲线终点的坐标: 2 l s y 0 6R
具体推导过程如下： （感兴趣的同学可以看看）
回旋线微分方程为： dl = r ·d dx = dl ·cos dy = dl ·sin

由微分方程推导回旋 线的直角坐标方程： 2 以rl=A 代入得：
l2 l2 偏角 2 0 ls 6 Rls
注：课本上的缓和曲线坐标计算用该 式推导

思路：由切线横距和偏角算出弦长，再根据不 设缓和曲线的单曲线的坐标计算思路算出第一 缓和曲线的坐标。
圆曲线上坐标计算时思路同前，其角度参照下 图的示意。 β=Ls/2R


θ=l/2R
横断面图的绘制
绘图时一般先将中桩标在图中央，再分左右侧按 平距为横轴，高差为纵轴，展出各个变坡点。绘 出的横断面图。
道 路 中 心 线
设计线
设计高程50.35m 地面高程48.65m
地面线
K5+080

P点曲率圆的内移值：

p = y + rcosβ -r
圆心坐标：


xm = x – rsinβ ym = r + p P点的弦长：
p
y a sin P点弦偏角： y arctg x 3
(rad )
2、带缓和曲线的平曲线几何要素
LS LS q ( m) 2 2 240 R
Ls 3 Ls 7 Ls11 Y 2 6 10 6 A 336 A 42240 A Ls 2 Ls 4 Ls 6 Ls 2 Ls 4 3 5 6 R 336 R 42240 R 6 R 336 R3

回旋线终点的半径方向与Y轴夹角β0计算公式 ： Ls Ls 0 2 2A 2R

A dl dβ l

2
o
回旋线起点切线
或l·dl = A2·dβ
Байду номын сангаас


当l=0时，=0。 对l·dl=A2·d积分得：
l A2 2
2
l , 2 A2
2
式中：——回旋线上任一点的半径方向与 Y轴的夹 角。 对回旋线微分方程组中的 dx 、 dy 积分时，可 把 cos 、 sin 用泰勒级数展开，然后用代入 β 表 达式，再进行积分。