TSP问题之动态规划法

无论过程的初始状态和初始决策是什么，其余的决策都必须相对于初始 决策所产生的状态构成一个最优决策序列。
原理告诉我们，一个最优问题的任何实例的最优解是由该实例的子实例 的最优解组成。
一般来说，如果所求解问题对于最优性原理成立，则说明用动态规划方 法有可能解决该问题。而解决问题的关键在于获取各阶段问题的递推关 系式。
TSP问题之动态规划法
提纲
• 什么是TSP问题 • 一般的解决办法——穷举法 • 动态的解决办法 • 什么是动态规划法 • 使用动态规划法的条件 • 动态规划法解决常见问题
TSP问题
TSP问题的描述：
旅行家要旅行n个城市，要求经历各个城市且
仅经历一次，然后回到出发城市，并要求所走的路
程最短。
3
0
3．对V[2n-1-1]中的每一个元素k，计算d[0][2n-1-1]=min(c[0][k]+d[k][2n-1-2]);
4．输出最短路径长度d[0][2n-1-1];
从伪代码中可以看出，我们应当继续解决以下问题： • 如何表示伪代码中集合Ｖ[ j ] 呢? • 如何产生这样的一个集合Ｖ[ j ] ?
d(1, {2, 3})=min{C12+d(2, {3}), d(2, {1, 3})=min{C21+d(1, {3}), d(3, {1, 2})=min{C31+d(1, {2}),
C13+ d(3, {2})} C23+ d(3, {1})} C32+ d(2, {1})}
继续写下去： d(1, {2})= C12+d(2, {}) C32+d(2, {}) d(1, {3})= C13+d(3, {}) C31+d(1, {})
求解此子问题时，只是简单地通过查表获得该子问题的解，从而避免了大量 的重复计算。 特点：最优子结构、自底向递归、子问题相互重叠。
动态规划法使用的条件：问题符合最优性原理
动态规划法（二）
最优性原理：
对于一个具有n个输入的最优化问题，其求解过程往往可以划分
为若干个阶段，每一阶段的决策仅依赖于前一阶段的状态，由决策所 采取的动作使状态发生转移，成为下一阶段决策的依据。
7 往左下或右下走。只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径 38 81
0 274
4 452
动态规划法解决的常用问题（四）
近似串匹配问题 最长公共子序列问题 ０/１背包问题
感谢下 载
5
1
7 66 6
22
2 73
3
3 5
TSP问题——穷举法解决
a
2
b
5 8
73
c
d
1
序号 １ ２ ３ ４ ５ ６
路径
a->b->c->d->a
a->b->d->c->a
a>c->b->d->a
a->c->d->b->a
a->d->b->c->a a->d->c->b->a
路径长度
18
11
23
11
23 18
d(0, {1, 2, 3})=min{
C01+ d(1, { 2, 3}),
3 6 7
C02+ d(2, {1, 3}), C03+ d(3, {1, 2})
}
C
(
cij
)
这是最后一个阶段的决策，它必须依据d(1, { 2, 3})、
5 6 3
4 7
2 5
3
2
d(2, {1, 3})和d(3, {1, 2})的计算结果，而：
动态规划法（三）
动态规划法步骤
（1）分段：将原问题分解为若干个相互重叠的子问题； （2）分析：分析问题是否满足最优性原理，找出动态规划函
数的递推式； （3）求解：利用递推式自底向上计算，实现动态规划过程。
动态规划法解决的常用问题（一）
斐波那契数
F(n) =
0 1 F(n-1) + F(n-2)
n =0 n=1 n>=2
动态规划法解决的常用问题（二）
多段图的最短路径问题
9
4 18
45
6
02
6
2
7 8
8
56
77 9
3
4
37
6
83
65
动态规划法解决的常用问题（三）
POJ 1163 数字三角形
问题描述：在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的 路径，使得路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能
集合的表示模型
数字 ０ １ ２ ４ ３ ５ ６ ７
二进制表示 ０００ ００１ ０１０ １００ ０１１ １０１ １１０ １１１
序号 ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７
集合表示
000 001 002 003 012 013 023 123
动态规划法（一）
动态规划法： 定义：将每个子问题只求解一次，并将其解保存在一个表格中，当需要再次
C21+d(1, {3}) C23+ d(3, {1})
C31+d(1, {2})
C32+ d(2, {1})
C23+d(3, {}) C32+d(2, {}) C13+d(3, {}) C31+d(1, {}) C12+d(2, {}) C21+d(1, {})
C10
C20
C30
思考：这个过程， 让人联想到什么？
可以把问题简化： 把求通过各点的一条最短的回路 求解从某个（任意）确定动态规划
从上面的公式把总回路长度分解： •Length(回路) =
Min{ Length(01) + Length(1…0)， Length(02) + Length(2…0)， Length(03) + Length(3…0) } •规范化地表达上面的公式
3
0
5
7
66 4
22
1
2 37
3 3
5
d(i，V) 表示从i点经过点集Ｖ各点一次之后回到出发点的最短距离
d(i，V‘) ＝ min {Cik+d(k,V－{k})}
d(k，{ }) ＝ Cik
(k≠i)
其中，Ｃik表示ik的距离
(k∈V')
从城市0出发，经城市1、2、3然后回到城市0的最短路径长度是：
d(2, {3})=C23+d(3, {}) d(2, {1})=C21+d(1, {})
d(3, {2})= d(3, {1})=
d(0, {1, 2, 3})
C01+ d(1, { 2, 3})
C02+ d(2, {1, 3})
C03+ d(3, {1, 2})
C12+d(2, {3}) C13+ d(3, {2})
理解原理之后，先手动地在表格中把结果写出来，结果如下：
j i
{}
{1}
{2}
{3} {1, 2} {1, 3} {2, 3}
0
1
5
8
6
7
2
6
9
5
10
3
3
12
11
14
{1, 2, 3}
10
TSP问题
1．for (i=1; i<n; i++) //初始化第0列 d[i][0]=c[i][0];
2．for (j=1; j<2n-1-1; j++) for (i=1; i<n; i++) //依次进行第i次迭代 if (子集V[j]中不包含i) 对V[j]中的每个元素k，计算d[i][j]=min(c[i][k]+d[k][j-1]);
是否最短 否 是 否 是 否 否
TSP问题——动态规划
假设找出的一条最短的回路：S0S1S2 S3S0
S0
我们可以利用结论： “S1S2 S3S0 “必然是从S1 到
S2
S0通过其它各点的一条最短路径。（如果不是，则会出现矛盾）
S1 S3
Length(总回路) = Length(S0S1) + Length(S1 S2 S3S0)