圆柱圆锥圆台体积和表面积
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第一章 空间几何体
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
基础练习 1．正方体的全面积为 a2，则它的体积为 .
[解析] 设棱长为 x，则 6x2＝a2， ∴x＝ 66a，V＝x3＝366a3.
2．长方体的长、宽分别为 4、3，体积为 24，则它的最 小的一个面的面积为 6 .
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
∴V锥＝13·AB·πr2 ＝13×5×π×1522 ＝458π.
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
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[例 4] (2011·天津高考)一个几何体的三视图如下图(单 位：m)，则该几何体的体积为________m3.
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第一章 空间几何体
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3．锥体的体积 (1)棱锥(圆锥)的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与 垂足 (垂线与底面的交点)之间的距离．
1 (2)锥体的底面积为 S，高为 h，其体积 V＝ 3Sh .特别地， 圆锥的底面半径为 r，高为 h，其体积 V＝ 13πr2h .
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
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[解析]
因为圆锥形铅锤的体积为
1 3
×π×(
6 2
)2×20＝
60π(cm3)，设水面下降 高度为xcm，则下降的小圆柱的体积为
π2202x＝100πx. 所以有60π＝100πx，解此方程得x＝0.6.
故杯里的水下降了0.6cm.
________．
[答案]
16 3π
[解析] V＝13πr2h＝13π×22×4＝136π.
第一章 1.来自百度文库 1.3.1 第2课时
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5、棱台的上、下底面面积分别是 2,4，高为 3，则棱台的
体积是( )
A．18＋6 2 C．24
B．6＋2 2 D．18
[答案] B
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3．已知有一个圆柱形水缸，其中底面半径为 0.5m，里面水高
度为 0.8m，现在有一个不规则几何体放进水缸，水面上升到 1.2m，
则此不规则几何体体积约为(精确到 0.1，π 取 3.14)( )
A．0.4m3
B．0.2m3
C．0.3m3
D．0.8m3
[答案] C
命题方向 多面体的体积
[例 2] 长方体相邻三个面的面积分别为 2、3、6 求它的
体积．
[解析] 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c则有
aabc＝＝36 bc＝2
，∴a2b2c2＝36
∴abc＝6
又V＝abc＝6 ∴体积为6.
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第一章 空间几何体
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4．台体的体积 (1)圆台(棱台)的高是指 两个底面 之间的距离． (2)台体的上、下底面面积分别为 S′，S，高为 h，其体积 V＝ 13(S＋ SS′＋S′)h.特别地，圆台的上、下底面半径分别 为 r，r′，高为 h，其体积 V＝ 13π(r2＋rr′＋r′2)h .
柱体、锥体、台体的表面积与体积求解
A
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课前自主预习
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2．柱体的体积 (1)棱柱(圆柱)的高是指 两底面 之间的距离，即从一底面上任 意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间 的距离． (2)柱体的底面积为 S，高为 h，其体积 V＝Sh .特别地，圆柱的 底面半径为 r，高为 h，其体积 V＝ πr2h .
有：3ah＝54
①，
3 4
a2h＝45
3
②.由①②组成的方程组得
a＝10，h＝95，所以棱柱的高为95cm，底面边长为10cm.
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命题方向 旋转体的体积 [例 3] 如图是一个底面直径为 20cm 的装有一部分水的 圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为 6cm，高为 20cm 的圆锥形铅锤(水面高过铅锤)，当铅锤从水中取出后，杯里 的水将下降多少？
一个三棱柱上下底面都是正三角形且侧棱与底面垂直， 已知它的侧面积为54cm2，体积为45 3cm3，求棱柱的高及底 面边长．
[分析]用棱柱的高与底面边长表示出侧面积与体积，解 方程组即可．
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[解析] 设正三棱柱的底面边长为a，高为h，如下图，则
[解析] 体积 V＝13(2＋ 2×4＋4)×3＝6＋2 2.
6、圆台 OO′的上、下底面半径分别为 1 和 2，高为 6，
则其体积等于________．
[答案] 14π
[解析] V＝13π×(12＋1×2＋22)×6＝14π.
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例题解析
命题方向 多面体与旋转体的面积
【例1】圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧 面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台的表面积是多少?
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[解析] V＝π×0.52×(1.2－0.8)＝0.3(m3)
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4、十棱柱的底面积为 3，高为 2 3，则其体积等于 ________． [答案] 6
[解析] V＝Sh＝ 3×2 3＝6.
5、已知圆锥 SO 的底面半径 r＝2，高为 4，则其体积等于
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已知三角形ABC的边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5， 以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得几何体的 体积．
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[解析] ∵△ABC为直角三角形，且AB为斜边，∴绕AB 边旋转一周，所得几何体为两个同底的圆锥，且圆锥的底面 半径r＝152.
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基础练习 1．正方体的全面积为 a2，则它的体积为 .
[解析] 设棱长为 x，则 6x2＝a2， ∴x＝ 66a，V＝x3＝366a3.
2．长方体的长、宽分别为 4、3，体积为 24，则它的最 小的一个面的面积为 6 .
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∴V锥＝13·AB·πr2 ＝13×5×π×1522 ＝458π.
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[例 4] (2011·天津高考)一个几何体的三视图如下图(单 位：m)，则该几何体的体积为________m3.
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3．锥体的体积 (1)棱锥(圆锥)的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与 垂足 (垂线与底面的交点)之间的距离．
1 (2)锥体的底面积为 S，高为 h，其体积 V＝ 3Sh .特别地， 圆锥的底面半径为 r，高为 h，其体积 V＝ 13πr2h .
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[解析]
因为圆锥形铅锤的体积为
1 3
×π×(
6 2
)2×20＝
60π(cm3)，设水面下降 高度为xcm，则下降的小圆柱的体积为
π2202x＝100πx. 所以有60π＝100πx，解此方程得x＝0.6.
故杯里的水下降了0.6cm.
________．
[答案]
16 3π
[解析] V＝13πr2h＝13π×22×4＝136π.
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5、棱台的上、下底面面积分别是 2,4，高为 3，则棱台的
体积是( )
A．18＋6 2 C．24
B．6＋2 2 D．18
[答案] B
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3．已知有一个圆柱形水缸，其中底面半径为 0.5m，里面水高
度为 0.8m，现在有一个不规则几何体放进水缸，水面上升到 1.2m，
则此不规则几何体体积约为(精确到 0.1，π 取 3.14)( )
A．0.4m3
B．0.2m3
C．0.3m3
D．0.8m3
[答案] C
命题方向 多面体的体积
[例 2] 长方体相邻三个面的面积分别为 2、3、6 求它的
体积．
[解析] 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c则有
aabc＝＝36 bc＝2
，∴a2b2c2＝36
∴abc＝6
又V＝abc＝6 ∴体积为6.
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4．台体的体积 (1)圆台(棱台)的高是指 两个底面 之间的距离． (2)台体的上、下底面面积分别为 S′，S，高为 h，其体积 V＝ 13(S＋ SS′＋S′)h.特别地，圆台的上、下底面半径分别 为 r，r′，高为 h，其体积 V＝ 13π(r2＋rr′＋r′2)h .
柱体、锥体、台体的表面积与体积求解
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有：3ah＝54
①，
3 4
a2h＝45
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②.由①②组成的方程组得
a＝10，h＝95，所以棱柱的高为95cm，底面边长为10cm.
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命题方向 旋转体的体积 [例 3] 如图是一个底面直径为 20cm 的装有一部分水的 圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为 6cm，高为 20cm 的圆锥形铅锤(水面高过铅锤)，当铅锤从水中取出后，杯里 的水将下降多少？
一个三棱柱上下底面都是正三角形且侧棱与底面垂直， 已知它的侧面积为54cm2，体积为45 3cm3，求棱柱的高及底 面边长．
[分析]用棱柱的高与底面边长表示出侧面积与体积，解 方程组即可．
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[解析] 设正三棱柱的底面边长为a，高为h，如下图，则
[解析] 体积 V＝13(2＋ 2×4＋4)×3＝6＋2 2.
6、圆台 OO′的上、下底面半径分别为 1 和 2，高为 6，
则其体积等于________．
[答案] 14π
[解析] V＝13π×(12＋1×2＋22)×6＝14π.
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命题方向 多面体与旋转体的面积
【例1】圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧 面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台的表面积是多少?
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[解析] V＝π×0.52×(1.2－0.8)＝0.3(m3)
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4、十棱柱的底面积为 3，高为 2 3，则其体积等于 ________． [答案] 6
[解析] V＝Sh＝ 3×2 3＝6.
5、已知圆锥 SO 的底面半径 r＝2，高为 4，则其体积等于
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已知三角形ABC的边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5， 以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得几何体的 体积．
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[解析] ∵△ABC为直角三角形，且AB为斜边，∴绕AB 边旋转一周，所得几何体为两个同底的圆锥，且圆锥的底面 半径r＝152.