线性代数上07矩阵的LU分解与分块矩阵
矩阵分解算法分类
矩阵分解算法分类矩阵分解是一种常见的线性代数算法，用于将一个矩阵分解成一些特殊形式的矩阵。
这些特殊形式的矩阵可以被用于求解各种问题，例如矩阵特征值、矩阵奇异值、矩阵逆等等。
矩阵分解算法有很多种，下面我们将对其中常见的算法进行分类和介绍。
1. LU分解LU分解是一种常见的矩阵分解算法，它将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
这种算法适用于求解线性方程组和求矩阵的行列式值等，但它的缺点是计算量较大，在矩阵规模较大时会出现瓶颈。
2. QR分解QR分解是一种将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积的算法，即A=QR。
QR分解适用于求解线性方程组、求解最小二乘问题和求解矩阵特征值等问题，在实际应用中得到了广泛的应用。
3. 特征值分解特征值分解是将一个方阵分解成特征向量和特征值的形式的算法。
该算法主要用于矩阵的特征值、特征向量的计算和谱分析问题的求解。
特征值分解的主要缺点是只适用于对称矩阵，对于非对称矩阵和病态矩阵分解效果较差。
4. 奇异值分解奇异值分解是一种将一个矩阵分解为一个正交矩阵、一个对角矩阵以及一个正交矩阵的转置的算法。
该算法主要用于矩阵的奇异值、矩阵伪逆的计算和数据压缩等问题。
奇异值分解在图像处理、语音识别等领域的应用得到了广泛的认可。
5. SVD分解SVD分解是奇异值分解的一种更加通用的形式。
它将一个矩阵分解为一个左奇异矩阵、一个对角矩阵以及一个右奇异矩阵的转置。
SVD分解在矩阵逆、矩阵近似、主成分分析等领域的应用得到了广泛的认可。
综上所述，矩阵分解算法是一种十分有用的线性代数算法，常见的算法有LU分解、QR分解、特征值分解、奇异值分解和SVD分解等。
不同的算法主要适用于不同的问题，在应用时需要根据具体情况进行选择。
线性代数中的矩阵分解方法
线性代数中的矩阵分解方法矩阵分解方法是线性代数中的关键概念之一，它通过将一个矩阵分解为多个简化的矩阵形式，从而简化计算和分析。
在本文中，我们将介绍线性代数中常见的矩阵分解方法，并讨论它们的应用和优势。
一、LU分解LU分解是将一个方阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的过程。
通过LU分解，我们可以方便地求解线性方程组，计算逆矩阵等操作。
LU分解的过程可以通过高斯消元法来实现，如下所示：[ A ] = [ L ] [ U ]其中，[ A ]是需要分解的方阵，[ L ]是下三角矩阵，[ U ]是上三角矩阵。
二、QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R 的过程。
QR分解广泛应用于最小二乘拟合、信号处理和图像处理等领域。
QR分解的过程可以通过Gram-Schmidt正交化方法来实现，如下所示：[ A ] = [ Q ] [ R ]其中，[ A ]是需要分解的矩阵，[ Q ]是正交矩阵，[ R ]是上三角矩阵。
三、奇异值分解（SVD）奇异值分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵U、一个对角矩阵Σ和一个正交矩阵V的过程。
SVD广泛应用于图像压缩、降噪和数据降维等领域。
奇异值分解的过程可以通过特征值分解和奇异值分解算法来实现，如下所示：[ A ] = [ U ] [ Σ ] [ V ]^T其中，[ A ]是需要分解的矩阵，[ U ]是正交矩阵，[ Σ ]是对角矩阵，[ V ]是正交矩阵。
四、特征值分解特征值分解是将一个方阵分解为一个特征向量矩阵P和一个特征值对角矩阵D的过程。
特征值分解广泛应用于谱分析、动力系统和量子力学等领域。
特征值分解的过程可以通过求解特征值和特征向量来实现，如下所示：[ A ] = [ P ] [ D ] [ P ]^(-1)其中，[ A ]是需要分解的方阵，[ P ]是特征向量矩阵，[ D ]是特征值对角矩阵。
五、Cholesky分解Cholesky分解是将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵L和其转置矩阵的乘积的过程。
第五章 矩阵分解
, yn 即可（其实 y r 1 , 可以是任意数， 它们是自由变量）。那么
c1 / 1 c2 / 2 H V x cr / r 0 0 c1 / 1 c2 / 2 x V c r / r 0 0
设A是 m 矩阵， b是n维列向量，考虑如 n 下线性方程组
Ax b
在很多情形下，上述方程组没有解，
因此，我们计算其最小二乘解，即求x使 得 Ax 最小。 b2
设 A的奇异值分解为
0 r Vn A U ， 0 0
其中U,V是酉矩阵。可以证明2-范数具
有酉不变性，因此
A , Q R
则称此分解为A的QR分解(或酉三角分解)。
n n 当A R 时称为 A的正交三角分解。
例 5.2.3
m n 定理5.2.3 设 A C ，则存在酉矩阵
m m 使得 QC
，其中 A QR
是 R C m n
阶梯型矩阵。
例 5.2.4
5.2.3 QR分解的应用
的解，通常只需迭代几步就可以得到很精确 Ax b
的解。
5.2 QR分解
QR分解在解决最小二乘问题，特征值的 计算等方面有十分重要的应用。
5.2.1 Householder变换 在平面解析几何中，将向量 x 映射为关
于 x 轴对称的向量 y 的变换称为关于 x 轴的
x (x1 , x 2，则 )T 镜像变换（见图5.2.1）。设
D diag(1 ,, n ), i 0(i 1,, n)
lu分解算法
lu分解算法
LU分解算法是一种将一个非奇异矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的方法，它可以用于解线性方程组以及求矩阵的逆等计算中。
具体的LU分解算法如下：
输入：一个n×n的非奇异矩阵A
输出：下三角矩阵L和上三角矩阵U
1. 初始化一个n×n的下三角矩阵L和一个n×n的上三角矩阵U，使它们的所有对角元素为1。
2. 对于矩阵A的第一行，将其作为矩阵U的第一行。
3. 对于矩阵A的第一列，将其除以矩阵U的第一个元素得到矩阵L的第一列。
4. 对于矩阵A的剩余行，以及对应的列，进行如下操作：
- 计算当前元素的值，即A(i, j)减去矩阵L的第i行与矩阵U的第j列的内积。
- 如果i小于等于j，将计算得到的值赋给矩阵U的第i行第j列元素。
- 如果i大于j，将计算得到的值除以矩阵U的第j列第j个元素，然后赋给矩阵L的第i行第j列元素。
5. 返回矩阵L和矩阵U作为结果。
通过LU分解算法，可以将解线性方程组的计算转化为简单的矩阵乘法和求解步骤。
此外，通过求解LU分解后的矩阵，还可以求矩阵的逆和行列式等相关计算。
矩阵论矩阵的分解
对称和反对矩称矩阵阵：A，T=A，则AT=A–A。可以分解为下列半正定矩阵的和。
A=v1v1H+v2v2H+…vkvkH
§3.2 Schur 分解和正规矩阵
已知：欧氏空间中的对称矩阵A可以正交
相似于对角形。
讨论：一般方阵A ，在什么条件下可以
酉相似于对角矩阵？
在内积空间中讨论问题，涉及：
空间 Cn、 Cnn， 酉矩阵U，UHU=I， U – 1=UH 酉相似： UHAU=J U–1 AU=J 相似关系
在内积空间中讨论问题，涉及：
Hermite 矩阵的谱分解 矩阵A可以相似对角化当且仅当矩阵A有谱分解
相似于对角形。
例题3 设A Rn n，AT=–A，证明
定理3 .6（P.73）设A是秩为k的半正定的Hermite 则A的谱={ 1， 2， ， s}。
74 ）对矩阵A Cn n，存在酉矩阵U和上三角矩阵T，使得
nn LU分解：A Fn n， 有下三角形矩阵L ，上三角形矩阵U ，使得A=LU。
2 Schur 分解和正规矩阵
推论：正规AC A有个标准正交的特征向 1 常见的矩阵标准形与分解
证明：源于Schmidt正交化方法（P.
nn
量构成空间C 的标准正交基。 UHAU=T=
n
矩阵化简的方法与矩阵技术
定理3.11（P.80 ）（正规矩阵的谱分解） 1 常见的矩阵标准形与分解
方阵的LU和LDV分解（P.61）
LU分解：AFnn， 有下三角形矩阵L ，上 三角形矩阵U ，使得A=LU。
LDV分解：AFnn， L、V分别是主对角线 元素为1的下三角形和上三角形矩阵，D为 对角矩阵，使得A=LDV。
已知的方法：Gauss-消元法
线性代数中的矩阵分解与应用
线性代数中的矩阵分解与应用矩阵分解是线性代数中重要的概念，它可以将一个矩阵分解成多个简单的矩阵，从而方便我们进行运算和应用。
在本文中，我们将探讨矩阵分解的几种常见方法以及它们在不同领域的应用。
一、LU分解LU分解是最基本的矩阵分解方法之一，它将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
具体地说，给定一个矩阵A，LU分解将A分解为A=LU的形式，其中L为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵。
LU分解在求解线性方程组、矩阵求逆以及计算行列式等方面有广泛的应用。
二、QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R 的乘积。
QR分解在很多数值计算问题中都有重要应用，比如最小二乘拟合、矩阵特征值计算以及信号处理等。
通过QR分解，我们可以将复杂的运算转化为简单的乘法和求解上三角矩阵的问题，从而提高计算效率。
三、奇异值分解（SVD）奇异值分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵U、一个对角矩阵Σ和另一个正交矩阵V的转置的乘积。
奇异值分解在数据降维、图像压缩、推荐系统等领域中被广泛应用。
通过奇异值分解，我们可以发现矩阵的特征结构，并根据特征值的大小选择保留重要信息，去除冗余信息，从而简化问题并提高计算效率。
四、特征值分解特征值分解是将一个方阵分解为一个由特征向量组成的矩阵和一个由对应特征值构成的对角矩阵的乘积。
特征值分解在矩阵的谱分析、信号处理、振动分析等领域有广泛应用。
通过特征值分解，我们可以得到矩阵的特征向量和特征值，从而研究矩阵的性质和行为。
矩阵分解在实际应用中具有重要意义。
例如，在机器学习中，矩阵分解可以应用于协同过滤算法，通过对用户与物品评分矩阵进行分解，可以发现用户和物品之间的潜在关联关系，从而实现个性化的推荐。
此外，矩阵分解还可以用于图像处理中的图像压缩和去噪，通过对图像矩阵进行分解，可以提取主要特征并减少数据量，从而节省存储空间和提高图像质量。
总结起来，线性代数中的矩阵分解是一种重要的数学工具，具有广泛的应用。
矩阵的分块和分块矩阵的定义
引言为了研究行数、列数较高的矩阵,常常对矩阵采用分块的方法.类似于集合的划分，是把矩阵完全地分成一些互不相交的子矩阵，使得原矩阵的每一个元落到一个分快的子矩阵中。
以这些子块为元素的矩阵就称为分块矩阵。
线形代数以其独特的理论体系和解题技巧而引人入胜。
在线性代数中，分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化.而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.而事实上，利用分块矩阵方法计算行列式，时常会使行列式的计算变得简单，并能收到意想不到的效果。
而且利用分快矩阵还可以求出某些矩阵的逆矩阵，证明矩阵的秩等。
第一章 矩阵的分块和分块矩阵的定义设A 是数域K 上的m n ⨯矩阵，B 是K 上n k ⨯矩阵,将A 的行分割r 段，每段分别包含12r m m m 个行，又将A 的列分割为s 段，每段包含12s n n n 个列。
A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭于是A 可用小块矩阵表示如下：，其中ij A 是i j m n ⨯矩阵.对B 做类似的分割，只是要求它的行的分割法和A 的列的分割法一样。
于是B 可以表示为B= 111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中ij B 是i j n k ⨯的矩阵。
这种分割法称为矩阵的分块。
二．分块矩阵加法和乘法运算设()ij m n A a ⨯=()ij m n B b ⨯=为同型矩阵（行和列数分别相等）。
若采用相同的分块法.A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B= 111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭则可以直接相加 乘法:设，则C 有如下分块形式：C=111212122212s s r r rs C C C C C C C C C ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭，其中ij C 是i j m k ⨯矩阵，且 1nij ij ij i C A B ==∑定义 称数域K 上的分块形式的n 阶方阵A=12S A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为准对角矩阵,其中为阶方阵（）,其余位置全是小块零矩阵。
线性代数矩阵分块法
分块矩阵的运算规则与 普通矩阵的运算规则相 类似，
分别说明如下：
（1）设矩阵 A与B的行数相同、列数相同，采用相同的分块法
有
A
A11
As1
A1r
，B
B11
Asr
Bs1
B1r
Bsr
，其中 Aij 与 Bij 行数
相同、列数相同，
那么A
B
A11
B11
A1r
B1r
As1 Bs1 Asr Bsr
练习: 设
A1 ,
A2可逆，B
0
A2
A1
，求
B1
0
答案 :
B1
0
A 1
1
A 1
2
0
此结论可以推广！
若第i 行记作
T i
(ai1，ai2，，ain )，
则矩阵 A 便记为
1T
A
T 2
T m
.
m n矩阵 A有n 列，称为矩阵 A的n个列向量，
a1 j
若第
j
列记作 a j
a2 j
，
amj
则
A (a1，a2，，an ) .
例3 设 AT A O ，证明 A O .
证 设A （ai） j mn，把 A用列向量表示为A （a1，a2，，an），
a1T
a1Ta1 a1Ta2 a1Tan
则AT
A
a2T
anT
(a1，a2，，an
)
a2T a1
anT a1
a2T a2
anT a2
a2T an
，
anTan
即 AT A 的(i, j)元为aiTa j ，因 AT A O，
矩阵的lu分解
矩阵的lu分解LU分解是一种非常重要的矩阵分解方法，它可以将一个方阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
LU分解在数值计算和线性代数中有广泛的应用，可以用于求解线性方程组、计算矩阵的行列式和逆矩阵等问题。
本文将详细介绍LU分解的定义、性质和求解方法。
1.定义和性质 LU分解的定义如下：对于一个n阶方阵A，存在一个n阶下三角矩阵L和一个n阶上三角矩阵U，使得A=LU。
下面是一些LU分解的性质：•L的主对角线元素都为1，U的主对角线元素与A的主对角线元素相同。
•L的非主对角线元素都为0，U的非主对角线元素可能为0。
•如果A的主对角线元素都不为0，则LU分解存在且唯一。
•如果A的主对角线元素都不为0，并且LU分解存在，则A的行列式等于L和U的主对角线元素的乘积。
2.LU分解的求解方法 LU分解的求解可以通过高斯消元法来实现。
下面是LU分解的具体步骤：步骤1：将方阵A的第一行除以第一个元素a11，得到U的第一行。
同时将该元素赋给L的第一个元素l11。
步骤2：将U的第一行元素乘以L的第一个元素的倒数，得到的结果分别乘以L的第一列元素，并将结果减去A的第一列元素，得到U的第二行。
同时将该结果赋给L的第二个元素l21。
步骤3：重复步骤2，直到U的第n-1行和L的第n-1个元素计算完毕。
步骤4：计算U的最后一行和L的最后一个元素。
通过上述步骤，可以得到方阵A的LU分解。
3.LU分解的应用 LU分解在数值计算和线性代数中有广泛的应用。
下面是一些重要的应用领域：•求解线性方程组：通过LU分解，可以将复杂的线性方程组转化为两个简单的三角方程组，从而更方便地求解线性方程组。
•计算矩阵的行列式：通过LU分解，可以将一个矩阵的行列式转化为L和U 的主对角线元素的乘积，从而更快速地计算矩阵的行列式。
•计算矩阵的逆矩阵：通过LU分解，可以将一个矩阵的逆矩阵的计算转化为L和U的逆矩阵的计算，从而更高效地求解矩阵的逆矩阵。
线性代数中的矩阵分解理论
线性代数中的矩阵分解理论矩阵分解是线性代数中的一个重要概念和技术，通常用于将一个矩阵拆解成简化形式。
在许多应用领域，矩阵分解都具有广泛的应用，例如信号处理、数据压缩、机器学习等。
本文将介绍线性代数中的矩阵分解理论及其应用。
一、矩阵分解的基本原理在线性代数中，矩阵分解是将一个给定的矩阵拆分为多个矩阵的乘积的过程。
常见的矩阵分解方法有LU分解、QR分解和奇异值分解等。
这些分解方法都具有不同的特点和适用范围。
1. LU分解LU分解是将一个矩阵A拆解为两个矩阵L和U的乘积。
其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。
LU分解常用于求解线性方程组，通过分解后的矩阵可以对方程组进行简化和求解。
2. QR分解QR分解是将一个矩阵A拆解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积。
QR分解常用于求解最小二乘问题和矩阵的特征值等。
3. 奇异值分解奇异值分解是将一个矩阵A拆解为一个酉矩阵U、一个对角矩阵Σ和另一个酉矩阵V的转置的乘积。
奇异值分解是矩阵分解中最广泛应用的方法之一，可以用于降维、数据压缩和图像处理等领域。
二、矩阵分解的应用领域矩阵分解在许多应用领域中都有重要的应用，下面介绍几个常见的应用领域。
1. 信号处理在信号处理中，矩阵分解常用于信号的降噪和信号的重构。
通过将观测到的信号矩阵进行分解，可以得到信号的主要成分和噪声的成分，从而实现信号的处理和分析。
2. 数据压缩矩阵分解在数据压缩领域中被广泛应用。
通过将一个高维的数据矩阵进行分解，可以提取出数据的主要成分，从而实现数据的降维和压缩。
常用的数据压缩方法之一就是基于奇异值分解的方法。
3. 机器学习在机器学习中，矩阵分解被广泛应用于推荐系统和聚类分析等任务中。
通过将用户-物品的评分矩阵进行分解，可以得到潜在的用户兴趣和物品特征，从而实现个性化推荐和相似物品的聚类分析。
三、矩阵分解的扩展除了上述介绍的常见矩阵分解方法外，还有许多其它的矩阵分解方法被提出和应用。
例如，非负矩阵分解、稀疏矩阵分解等。
矩阵的LU分解
195矩阵的LU 分解舒阿秀矩阵的分解是研究复杂矩阵性质的一种方法,是实现大规模数据分析和处理的一种有效工具，在工程计算中具有重要的实际意义. 本文主要对矩阵的LU 分解进行探讨，介绍了具体的分解定理与分解方法，并举例加以说明。
定义1 如果存在一个下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U ，使得A LU =，则称A 可以做三角分解或者LU 分解，并称A LU =为A 的三角分解或者LU 分解。
定理1 设A 为n 阶矩阵，如果A 的前1n -个顺序主子式0(1,2,,1)k D k n ≠=- ，则A 可以唯一的分解成一个单位下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U 的乘积，即A LU =。
证明 对矩阵A 利用顺序高斯消元法，我们可以把矩阵化为上三角矩阵。
记(1)(1),()i j n na A A ⨯==，因为约化主元(1)1,11()0a D =≠，作高斯消元变换，把矩阵(1)A 的第一列元素位于约化主元(1)1,1a下方的元素全变换为0，记所得矩阵为(2)A，因此我们可以得到(1)(1)(1)1,11,21,(2)(2)2,22,(2)(1)1(2)(2),2,n n n n n a a a a a AL A a a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 其中(1)(1)(1)1112,1,12,1,11,1,(0,,,)(0,,)/T T T i n n L E l e l l l a a a =-== . 重复以上步骤到第i 步，此时约化主元(),1(/)0i i i i i a D D -=≠，利用高斯消元变换将矩阵()i A 的第i 列元素位于约化主元(),i i ia 下方的元素全部变为0，记所得到的的矩阵为(1)i A +则有(1)(1)(1)(1)1,11,21,11,()()(),,1,(1)(1)(1)(1)1,11,()(),1,i n i i i i i i i i n i i i i i i i n n n n i n n a a a a a a a AL A a a a a +++++++++⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 其中11,,,(0,,0,,,)T T i i i i i n i L E l e l l l +=-==()()()1,,,(0,,0,,)/i i T i i i n i i ia a a +进行到第1n -步后可以得到上三角矩阵(1)n U A -=，即121n L L L A U -= ，1121()n L L L L --= .又因为L 为单位下三角矩阵，则分解式A LU =存在.情形1 若A 可逆，假设A 分解不唯一，即有分解式A LU LU == ，其中L 和L 是单位下三角矩阵，U 和U 是上三角矩阵，下只需证L L= ，U U = . 又因为A 可逆，所以,,,L LU U 均可逆，则有11UU L L --= 且1UU - 是上三角矩阵，1L L - 是下三角矩阵，因此有11UUL L E --== ，所以,L L U U == 即证。
矩阵的lu分解的计算步骤
矩阵的lu分解的计算步骤
矩阵的 LU 分解是指将一个矩阵 A 分解成一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U，即 A=LU，其中 L 的对角线元素为 1。
LU 分解的计算步骤如下：
Step 1: 选取主元
选取主元可以是部分选主元或者完全选主元。
部分选主元每次选取一列中绝对值最大的元素作为主元，而完全选主元则是每次在全矩阵中选取绝对值最大的元素作为主元。
选取主元的目的是为了在后面的计算过程中减少误差。
Step 2: 消元
进行初等行变换，通过加减倍数的方式将矩阵 A 化为上三角矩阵 U。
同时对于每个主元所在的列，将其下面的元素通过加减倍数的方式消为零。
消元的过程中需要记录每一步所对应的初等矩阵，利用初等矩阵可以还原出矩阵 L。
Step 3: 矩阵 L 的求解
根据步骤 2 中记录的初等矩阵，利用反向代替法求解矩阵 L。
反向代替法是指先求解 L 的下面一行，然后再带入上面一行的求解式中求解。
总结
LU 分解可以大大简化矩阵求解的过程。
在进行 LU 分解的过程中需要注意选取主元的方式，万一选取的主元不合适，就可能导致误差的累计。
因此，选取主元往往是 LU 分解最为关键的一步。
线性代数中的矩阵分解和特征值问题
线性代数中的矩阵分解和特征值问题线性代数是数学中的一个重要分支，不仅应用广泛，还在计算机科学、物理学等领域中发挥着重要的作用。
其中，矩阵分解和特征值问题是线性代数中的重要内容。
在本文中，我们将详细介绍这两个问题的理论意义和应用。
一、矩阵分解矩阵分解是将一个矩阵分解成几个简单矩阵的积的过程。
常见的矩阵分解方法有LU分解、QR分解、奇异值分解等。
1.1 LU分解LU分解是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
具体来说，设A是一个n阶方阵，其LU分解为：A=LU其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。
LU分解的应用很广泛，如在求矩阵的逆、解线性方程组等方面都有很大的用处。
1.2 QR分解QR分解是将一个矩阵分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
具体来说，设A是一个m×n矩阵（m≥n），其QR分解为：A=QR其中Q是一个正交矩阵，R是一个n阶上三角矩阵。
QR分解在矩阵的最小二乘解、特征值问题等方面具有很大的作用。
1.3 奇异值分解奇异值分解是将一个矩阵分解成一个正交矩阵、一个奇异值矩阵和一个正交矩阵转置的乘积。
具体来说，设A是一个m×n矩阵，其奇异值分解为：A=UΣV^T其中U和V都是正交矩阵，Σ是一个m×n的矩阵，其对角线上的元素称为A的奇异值。
奇异值分解在图像处理、模式识别等领域中有着广泛的应用。
二、特征值问题特征值问题是线性代数中的一个重要问题，其主要涉及到矩阵的特征向量和特征值。
设A是一个n维方阵，如果存在一个非零n维向量x和一个实数λ，使得下列等式成立：Ax=λx则称λ为矩阵A的一个特征值，x称为矩阵A对应于特征值λ的一个特征向量。
2.1 特征值分解特征值分解是将一个对称矩阵分解成一个正交矩阵和一个对角线矩阵的乘积。
具体来说，设A是一个n阶对称矩阵，其特征值分解为：A=QΛQ^T其中Q是一个正交矩阵，Λ是一个对角线矩阵，其对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
矩阵的lu分解推导
矩阵的lu分解推导
矩阵的LU分解又称矩阵的三角分解，该分解方法是基于矩阵的Gauss消去法导出的。
矩阵的LU分解得到的结果是方阵$A$被表示成一个下三角矩阵$L$和上三角矩阵$U$的乘积，也就是$A=LU$。
假设方阵$A$的顺序主子式$\Delta_k\neq0$（$k=1,2,\ldots,n-1$），矩阵$A$可以进行LU分解。
对矩阵$A$进行LU分解的关键一步就是找出一系列初等行变换矩阵，使得方阵$A(n-1)$为上三角矩阵，记为$U=A(n-1)$。
又因为可以证明此时的矩阵$L=L_1L_2\ldots L_{n-1}$是一个单位下三角矩阵，所以这样就完成了矩阵的LU分解。
当矩阵的前$n-1$个顺序主子式均非零的条件不满足的时候，需要先对$A$左乘（或右乘）置换矩阵$P$之后再进行分解，得到$PA=LDU$。
矩阵的LU分解和矩阵的LDU分解在具体操作上只有一点不同，这个不同将在后面结合具体的例子来说明。
第五节、矩阵分解之LU分解
第五节、矩阵分解之LU分解
⼀、A的LU分解：A=LU
我们之前探讨过矩阵消元，当时我们通过EA=U将A消元得到了U，这⼀节，我们从另⼀个⾓度分析A与U的关系
假设A是⾮奇异矩阵且消元过程中没有⾏交换，我们便可以将矩阵消元的EA=U形式改写成A=LU形式，其中E与L互为逆矩阵，且L是下三⾓矩阵
这么写有什么好处？
当我们使⽤EA=U时，E是由E1E2...E n相乘得到的，我们发现E的每⼀⾏中都包含有前⾯操作的副操作，举个例⼦，将2个第⼀⾏加到第⼆⾏得到新的第⼆⾏，再将2个第⼆⾏加到第三⾏得到新的第三⾏，此时第三⾏中包含有4个第⼀⾏，这种累加效应让我们⽆法直接从E中看出消元的具体过程（尽管它包含了整个消元过程）。
⽽当我们使⽤A=LU时，U是⼀个上三⾓阵，L是⼀个下三⾓阵，消元的每⼀步并不会叠加在⼀起，这使得我们可以清楚地分析消元的过程。
LU分解在本质上是⾼斯消元法的⼀种表达形式，我们只需要将消元过程中的消元乘数写在相应的位置就可以得到L，使⽤这种⽅式可以减少消元的操作步骤，且使得消元思路清晰
⼆、EA=LU
前⾯的LU分解的条件是不进⾏⾏交换，现在我们来讨论⼀下允许⾏交换的情况
好吧，我觉得看到标题⼤家应该就知道⽅法了，就是现将A进⾏⾏交换然后再LU分解（E为置换矩阵）。
矩阵的LU分解
第四章 矩阵的分解将矩阵分解为具有某种特性的因子之积，从以我们所熟悉的Gauss 消去法为依据而导出的LU 分解，到上个世纪60、70年代以Givens 和Householder 变换发展起来的QR 分解，在矩阵理论的研究与应用中都具有十分重要的意义。
这些特殊的分解式一方面反映了原矩阵的某些数值特征，另一方面，分解的方法与过程也为某些数值计算方法和理论分析提供了有效的工具。
§4.1n 阶矩阵的三角分解和LU 分解在线性代数中我们已经学过应用Gauss 消去法求解n 元线性方程组b Ax =， 其中：()nn ija A ⨯=，()Tn x x x x ,,,21 =，()Tn b b b b ,,,21 =。
Gauss 消去法的基本思路是将系数矩阵化为上三角形矩阵，或将增广矩阵化为上阶梯形矩阵，而后回代求解。
现在应用所谓选主元素法来实施Gauss 消去法的消去过程，至于回代过程我们不做讨论。
设()A A =0，记A 的k 阶顺序主子式为k ∆()n k ,,2,1 =。
如果()00111≠=∆a ，令()()011011a a c i i = ()n i ,,3,2 =，构造Frobenius 矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11121211 n n c c c L ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-111212111 n n c c c L则()()()()()()()()()1002020220101201101100A a a a a a a a AL nn n n n =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=- （4.1.1） 因此，在()0A的第一列中除主元素()011a 外，其余元素均被化为零。
式（4.1.1）即为()()110A L A =，由于倍加变换不改变矩阵行列式的值，所以由()1A 得到A 的二阶顺序主子式为()()1220112a a =∆。
如果()()01220112≠=∆a a ，则必有()0122≠a 。
第七章LU分解
ji ji
l ji ( a ji l jk uki ) / uii
k 1
在计算机程序中常常用这种方法解线性代数方程组。 它的优点是存储量很省。L和U中的三角零元素都不 必存储，就是U的对角元素也因为都是1没有必要再 记录在程序中，这样只用一个n阶方阵就可以把L和 U贮存起来。即：下三角（包括对角元）存储L各元 素 而上三角存储U的元素。 再考察公式S会发现A中任一元素aij只在计算lij（j<=i） 和uij（j>i)中用到一次以后就不再出现了，因而完全 可以利用原始数组A的单元，一个个逐次贮存L或U中 的相应元素，即：
a ij
aij lik ukj
k 1
n
maxi , j
l
k 1
ik
ukj
根据矩阵乘法及相等的定义,有 n 1 a1 j l1k ukj l1k ukj l u1 j u1 j
a11 a12 a13 … a1n a21 a22 a23 … a2n a31 a32 a33 … a3n an1 an2 an3 … ann … … u11 u12 u13 … u1n l21 u22 u23 … u2n l31 l32 u33 … u3n … … … ln1 ln2 ln3 … unn
定理 如果上带宽为q，下带宽为p的n阶带状矩阵A有Doolittle
分解。A=LU，则L是下带宽为p的单位下三角矩阵，U是上带 宽为q的上三角矩阵。
阵Doolittle 分解形式 c1 b1 1 a p b2 c2 2 2 a n 1 bn 1 c n 1 an bn 由矩阵乘法及相等定义 ，有： q1 b1 p k q k 1 a k， q k p k k 1 bk， k 1 c k 1 q1 b1 p k a k q k 1 ( k 2,3, , n ) 于是得计算L的元素p i 及U的qi 和 i的计算公式，为： 1 p3 1 pn q1 1
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尤其要注意 AB = 0 时的特殊情况: AB = A( B1 , B2 ,L , Bn ) = ( AB1 , AB2 ,L , ABn ) = (0, 0,L , 0)
⇒ AB j = 0, j = 1,L , n.
说明 B 的每一列都是齐次线性方程组 AX = 0 的一个解. 类似可以考虑 A 按行分块, 而 B 作为一整块的情形.
⎡ A11 A12 L A1n ⎤ ⎡ B11 B12 L B1n ⎤ ⎢ 0 A L A ⎥ ⎢ 0 B L B2 n ⎥ 22 2n ⎥ 22 ⎥ A=⎢ ,B = ⎢ ⎢L L L L ⎥ ⎢L L L L ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 L Ann ⎦ 0 0 L Bnn ⎦ ⎣ ⎣ ⎡ A11 + B11 A12 + B12 L A1n + B1n ⎤ ⎢ ⎥ A22 + B22 L A2 n + B2 n ⎥ 0 A+ B = ⎢ , ⎢ L ⎥ L L L ⎢ ⎥ L Ann + Bnn ⎦ 0 0 ⎣ L * * ⎤ ⎡ A11 B11 ⎢ 0 A22 B22 L * ⎥ ⎥ , 证明类似Ex2.43, 44 AB = ⎢ ⎢ L L L L ⎥ ⎢ ⎥ L Ann Bnn ⎦ 0 0 ⎣
第七讲 LU分解与分块矩阵
本讲内容提要 矩阵的LU分解 分块矩阵 分块矩阵的初等变换 附: 矩阵的相抵和相抵标准形
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解方程 Ax = b Gauss消去法等价于矩阵的LU分解
⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣ a n1 a12 L a1n ⎤ ⎡ 1 a 22 L a 2 n ⎥ ⎢ l 21 ⎥=⎢ M M ⎥ ⎢M ⎥ ⎢ a n 2 L a nn ⎦ ⎣ l n1 AX = b LUX = b ⎤ ⎡ u11 ⎥⎢ ⎥⎢ O ⎥⎢ ⎥⎢ L 1⎦ ⎣ u12 L u1n ⎤ u22 L u2 n ⎥ ⎥ O M ⎥ ⎥ unn ⎦
a12 a22 a32 a12 a 22 a 32
a13 a23 a33 a13 a 23 a 33
a14 ⎤ ⎥ a24 ⎥ = (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) a34 ⎥ ⎦ a14 ⎤ ⎡ β 1 ⎤ a 24 ⎥ = ⎢ β 2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ a 34 ⎥ ⎢ β 3 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦
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4. 分块矩阵的运算 设分块矩阵 A 与 B 的行数和列数均相同, 采用同样的分 法, 即 ⎡ A11 L A1r ⎤ ⎡ B11 L B1r ⎤
A=⎢ M M ⎥, B = ⎢ M M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ As1 L A其中 Aij 与 Bij 的行数和列数均相同, 则
计算量 ：乘除≈ n3/3
加减≈ n3/3
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二、分块矩阵 1. 分块矩阵的概念 处理有结构特点的大矩阵，有时需要进行分块 分法: 将矩阵用纵线和横线分成若干小矩阵, 每个小矩 阵称为原矩阵的子块, 分为子块的矩阵叫分块矩阵. 例
⎡a ⎢0 A=⎢ ⎢1 ⎢ ⎣0 1 0 0⎤ ⎥ ⎡ B1 ⎤ a 0 0⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ B2 ⎥ , 0 b 1⎥ ⎣ ⎦ ⎥ ⎢ B3 ⎥ 1 1 b⎦
的特殊情形.
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准对角矩阵:
⎡ A11 ⎤ ⎢ ⎥ = diag ( A ,L , A ) O 11 nn ⎢ ⎥ ⎢ Ann ⎥ ⎣ ⎦
其中 A11 ,L , Ann 都是小方阵, 对角矩阵可作为准对角矩阵的 特殊情形. 如下列矩阵都是准对角矩阵：
⎡2 ⎢0 A= ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 ⎡2 ⎢1 B=⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
⎡ A11 + B11 L A1r + B1r ⎤ ⎥. A+ B = ⎢ M M ⎢ ⎥ ⎢ As1 + Bs1 L Asr + Bsr ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ A11 L A1r ⎤ ⎡ λ A11 M ⎥ , λ 是数, 则 λ A = ⎢ M 设 A=⎢ M ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ As1 L Asr ⎥ ⎢λ As1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎡1 2 3⎤ ⎡ 1 ×2 2 ×2 A = ⎢ 3 2 1 ⎥ , λ = 2, 则 2 A = ⎢ 3 ×2 2 ×2 例 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 4 5 6⎥ ⎢ 4 ×2 5 ×2 ⎣ ⎦ ⎣
1 M ln2
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解方程 Ax = b Gauss消去法等价于矩阵的LU分解
⎧ (1) + (1) + (1) + L + (1) = (1) a1n x n b1 ⎪a 11 x1 a 12 x 2 a 13 x 3 (2) (2) (2) (2) ⎪ a 22 x 2 + a 23 x 3 + L + a 2n x n = b 2 ⎪ (2) (2) (2) (2) ⎪ + a 33 x 3 + L + a 3n x n = b 3 ⎨ a 32 x 2 ⎪ LL ⎪ (2) (2) (2) (2) ⎪ a n 2 x 2 + a n3 x 3 + L + a nn x n = b n ⎪ ⎩
即
⎡a ⎢ ⎢0 A= ⎢1 ⎢ ⎣0
1 0 0⎤ ⎥ ⎡B1⎤ a 0 0⎥ ⎢ ⎥ = ⎢B2⎥ 0 b 1⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎣B3⎦ 1 1 b⎦
2. 常用分块方式 分成四块, 例如: ⎡ a11 a12 a13 a14 ⎤ ⎡ a11 A = ⎢a 21 a 22 a 23 a 24 ⎥ = ⎢a 21 ⎥ ⎢ ⎢ ⎢a 31 a 32 a 33 a 34 ⎥ ⎢a 31 ⎦ ⎣ ⎣
1 l 32 O M 1
l n 2 L l n , n −1
A( n ) = L−1 1 L−1 2 L L−1 L−1 A(1) n− n− 2 1
A = A(1) = L1 L2 L Ln −1 A( n ) = LU
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LU 分解
⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣ a n1 a12 a 22 M an 2 L a1n ⎤ ⎡ 1 ⎥ ⎢l L a 2 n ⎥ ⎢ 21 = M ⎥ ⎢M ⎥ ⎢ L a nn ⎦ ⎣ l n1 AX = b LUX = b 1 M ln2 ⎤ ⎡ u11 ⎥⎢ ⎥⎢ O ⎥⎢ ⎥⎢ L 1⎦ ⎣ u12 L u1n ⎤ ⎥ u22 L u2 n ⎥ O M ⎥ ⎥ unn ⎦
0 0 0⎤ 3 1 0 ⎥ ⎡ A11 0 ⎤ ⎥=⎢ 0 5 7 ⎥ ⎣ 0 A22 ⎥ ⎦ ⎥ 0 1 9⎦ 0 0 0⎤ 2 0 0 ⎥ ⎡ B11 0 ⎤ ⎥=⎢ 0 B22 ⎥ 0 3 0⎥ ⎣ ⎦ ⎥ 0 1 3⎦
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准三角形矩阵具有下列性质: 1) 两个具有相同分块的准上(下)三角形矩阵的和, 乘积仍 是准上(下)三角形角矩阵, 数与准上(下)三角形矩阵的乘 积以及准上(下)三角形矩阵的转置仍是准上(下)三角形矩 阵. 即对于两个有相同分块的准三角形矩阵
按行分块, 例如: ⎡ a11 a12 a13 a14 ⎤ ⎡ a11 A = ⎢a 21 a 22 a 23 a 24 ⎥ = ⎢a 21 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢a 31 a 32 a 33 a 34 ⎥ ⎢a 31 ⎣ ⎦ ⎣
3. 矩阵分块的三个原则: (1) 体现原矩阵特点, (2)根据问题需要, (3) 能够把块看作元素进行运算 例3 ⎡ 2 ⎢1 A=⎢ ⎢3 ⎢ ⎣2 0 0⎤ ⎡2 ⎡1 2 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎢1 0 0⎥ ⎢ ⎥ , B = ⎢ 2 3 1 3 1 ⎥ , AB = ⎢ ⎢5 1 0⎥ ⎢0 2 2 0 1⎥ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ 0 1⎦ ⎣2 4 0 0 0⎤ 2 0 0 0⎥ ⎥, 9 1 3 1⎥ ⎥ 6 2 0 1⎦
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5. 准三角形矩阵 准上三角矩阵:
⎡ A11 ⎢ 0 ⎢ ⎢L ⎢ ⎣ 0 A12 L A1n ⎤ A22 L A2 n ⎥ ⎥ L L L⎥ ⎥ 0 L Ann ⎦
其中 A11 ,L , Ann 都是小方阵, 上三角矩阵可作为准上三角矩阵 的特殊情形.
0 L 0 ⎤ ⎡ A11 ⎢A A22 L 0 ⎥ ⎢ 21 ⎥ 准下三角矩阵: ⎢L L L L ⎥ ⎢ ⎥ An1 An 2 L Ann ⎦ ⎣ 其中 A11 ,L , Ann 都是小方阵, 下三角矩阵可作为准下三角矩阵
(k )
[A
(k )
b1(1) ⎤ ( 2) ⎥ b2 ⎥ M ⎥ (k ) ⎥ bk ⎥ M ⎥ ⎥ (k ) bn ⎥ ⎦
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Gauss消去法的矩阵表示
⎡ 1 ⎢− l 21 L−1 = ⎢ 1 ⎢ M ⎢ ⎣ − l n1 ⎡1 ⎢ O ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 1 1 ⎥ , L , L−1 = ⎢ k − l k + 1, k O ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1⎦ M ⎢ − l nk ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥ O ⎥ ⎥ 1⎥ ⎦
A( 2 ) = L−1 A(1) , L , A( n ) = L−1 1 L−1 2 L L−1 L−1 A(1) 1 2 1 n− n−
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矩阵的 LU 分解
⎡1 ⎢ O ⎢ ⎢ 1 Lk = ⎢ l k + 1, k ⎢ ⎢ M ⎢ l nk ⎢ ⎣ ⎤ ⎡1 ⎥ ⎢l ⎥ ⎢ 21 ⎥ ⎥ , L , L1 L2 L Ln−1 = ⎢ l 31 1 ⎢ ⎥ ⎢M O ⎥ ⎢ l n1 ⎥ ⎣ 1⎥ ⎦ ⇒ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1⎥ ⎦
⎡ A1 ⎤ ⎡ A1 B ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢A ⎥ ⎢ A B⎥ ⎢0 ⎥ AB = ⎢ 2 ⎥ B = ⎢ 2 ⎥ = ⎢ ⎥ ⇒ A j B = 0, j = 1,L , m. ⎢L ⎥ ⎢ L ⎥ ⎢L⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ Am ⎦ ⎣ Am B ⎦ ⎣ 0 ⎦
说明 A 的每一行的转置都是齐次线性方程组 BTX = 0 的一个解.
L λ A1r ⎤ M ⎥. ⎥ L λ Asr ⎥ ⎦
3 ×2 ⎤ 1 ×2 ⎥ ⎥ 6 ×2 ⎥ ⎦