八年级数学平方差公式教案人教版
人教版数学八年级上册14.2.1《平方差公式》教学设计

人教版数学八年级上册14.2.1《平方差公式》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级上册14.2.1《平方差公式》是初中数学中的重要内容,它为学生提供了简化代数表达式和解决实际问题的一种方法。
本节课通过平方差公式的学习,使学生能够理解和掌握两个数的平方差可以表示为它们的和与差的乘积,即(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b))。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了有理数的乘方、完全平方公式等基础知识,具备一定的观察、分析、归纳能力。
但平方差公式与完全平方公式在形式上相似,易于混淆,因此需要通过实例分析、自主探究等方式,帮助学生加深对平方差公式的理解。
三. 教学目标1.知识与技能:使学生理解和掌握平方差公式的推导过程及应用。
2.过程与方法:培养学生观察、分析、归纳的能力,提高自主探究和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观:激发学生学习数学的兴趣,培养学生的合作意识。
四. 教学重难点1.重点:平方差公式的推导和应用。
2.难点:对平方差公式与完全平方公式的区分和灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法:通过生活实例引入平方差公式,激发学生的学习兴趣。
2.自主探究法:引导学生分组讨论,发现平方差公式的规律。
3.讲解法:对平方差公式的推导和应用进行详细讲解,引导学生理解。
4.练习法:设计不同难度的练习题,巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学课件:制作包含动画、图片、例题的教学课件。
2.练习题:准备不同难度的练习题,用于课堂练习和课后作业。
3.教学工具:黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程导入(5分钟)通过一个实际问题引入:某商店举行打折活动,一件商品原价为 (200) 元,打八折后的价格为 (160) 元,请问这件商品打了几折?呈现(10分钟)引导学生思考:如何用数学公式表示这个问题?(200) 元和 (160) 元之间的差值可以表示为 (200 - 160 = 40) 元,而这个差值实际上是原价和打折后的价格的平方差。
14.2.1平方差公式 教案 人教版八年级数学上册

代数方面:运用多项式与多项式乘法法则进行验证
几何方面:观察图形变化,运用等面积法进行验证。
运用公式特点进行计算,熟悉公式,并进行公式变通,顺序不同时的技巧变化
填表格,分清相同相反项,熟练运用公式。
总结本节内容
配套练习
一、选择题
三、合作交流:
1、猜想:两数和与这两数差的乘积等于这两数的平方差。
2、得出: 。
2、验证:从代数角度和几何角度出发,进行公式的验证。
四、公式运用
例题:运用平方差公式进行计算 :
(1)
强调公式的特点,使学生将Biblioteka 法牢记于心(2)(3)
学以致用
采用填表格的形式,再一次熟悉公式,进行计算
五、小结:
(1)平方差公式:
1、下列各式中可以运用平方差公式进行计算的是()
2、已知 ( )
A.4 B.-4 C.8 D.-8
二、计算
1、
2、
3、
三、思维拓展
14.2.1平方差公式 教案 人教版八年级数学上册
教学课题
平方差公式
教学目标
1
理解平方差公式的特点,记住平方差公式,并能运用公式进行简单的运算。
2
经历探索平方差公式的过程,让学生经历“提出问题—研究问题—解决问题”的过程,进一步培养学生分析、归纳和探索能力。
3
培养学生数形结合的思想;激发学生探索规律的兴趣。
①算式中每个因式都有2项。
②算式都是两个数的和与这两数差 的积。
即两个因式中,有一项相同,另一项相反。
计算结果后,你又发现了什么规律?
计算结果都是前项的平方减去后项的平方。
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思第14章14.2.1 平方差公式

第十四章整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式一、教学目标【知识与技能】会推导平方差公式,并且懂得运用平方差公式进行简单计算.【过程与方法】经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,发展学生的符号感和推理能力,使学生逐渐掌握平方差公式.【情感、态度与价值观】通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性,体验数学活动充满着探索性和创造性.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】(1)体会公式的发现和推导过程,理解公式的本质,并会运用公式进行简单的计算.(2)平方差公式的几何意义.【教学难点】从广泛意义上理解公式中的字母含义,具体问题要具体分析,会运用公式进行计算.五、课前准备教师:课件、直尺、平方差公式结构图等。
学生:练习本、钢笔或圆珠笔、铅笔。
六、教学过程(一)导入新课某同学在计算97×103时将其变成(100–3)(100+3)并很快得出结果,你知道他运用了什么知识吗?(出示课件2)这节课,我们就来一起探讨上述计算的规律.(二)探索新知1.创设情境,探究平方差公式教师问1:对于下面的算式,你想怎样计算呢?(1)2001 ×1999;(2)998×1002;(3)403×397.学生回答:直接计算或者利用乘法分配律进行计算.教师问2:有没有其他巧妙地方法呢?观察这三个式子有什么共同特征?学生讨论后回答:都在某个整百整千的附近.教师讲解:今天我们将进行新的学习,通过学习你将能快速地计算出结果.教师问3:哪位同学说一下前面学的多项式与多项式是如何相乘的?学生回答:多项式乘以多项式,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.(出示课件4)教师问4:二项式乘以二项式结果一定是四项吗?学生回答:结果不一定是四项.教师问5:想一想(a+b)(m+n)该怎么计算?学生回答:(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn教师问6:如何计算(x +3)( x+5)?学生回答:(x+3)( x+5)=x2+5x+3x+15=x2+8x+15.教师问7:观察图形,思考两个正方形的面积差变了吗?(出示课件5)学生讨论后回答:变化之前面积表示为:a2-52=a2-25;变化之后面积表示为(a+5)×(a-5)= a2 -5a+5a-52= a2-25.变化前后图形面积相等。
人教版八年级数学教案:14.2.2平方差公式

学生小组讨论时,我尝试作为一个引导者,提出开放性问题来启发学生思考。我发现这种方法能够激发学生的探究欲望,但同时也需要我更加细致地观察每个学生的学习状态,及时给予个别指导。
3.应用:给出几个典型例题,让学生运用平方差公式进行计算,并解释其步骤。
4.练习:布置一些练习题,让学生独立完成,巩固对平方差公式的理解和应用。
5.拓展:引导学生探索平方差公式在其他数学领域的应用,如二次方程的求解等。
6.评价:通过课堂问答、练习题批改和小组讨论等方式,评估学生对平方差公式的掌握程度。
总的来说,今天的课程让我认识到,教学不仅要注重知识的传授,还要关注学生的学习过程和方法。我需要在教学中不断调整策略,针对不同学生的学习特点,提供更加个性化的指导。同时,我也将继续探索如何更好地将数学知识与学生的实际生活相结合,提高他们的学习兴趣和实际应用能力。
-两个数的平方差是这两个数的和与差的乘积。
三、核心素养目标”作为标题标识,再开篇直接输出。
二、核心素养目标
1.让学生掌握平方差公式的推导过程和应用方法,培养他们的逻辑推理和数学抽象能力。
2.培养学生解决实际问题的能力,通过运用平方差公式简化计算过程,解决生活中的实际问题。
3.培养学生的创新思维和探究精神,鼓励他们在学习过程中提出新的问题和思考。
本节课的教学重点是平方差公式的推导和应用,教学难点是平方差公式的灵活运用。在教学中,教师应注重引导学生通过实际例题和练习,掌握平方差公式的运用技巧,并能够将其应用于解决实际问题。
《平方差公式》教案(精选15篇)

《平方差公式》教案(精选15篇)《平方差公式》教案1教学目的进一步使学生理解把握平方差公式,并通过小结使学生理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异。
教学重点和难点:公式的应用及推广。
教学过程:一、复习提问1.(1)用较简洁的代数式表示下图纸片的面积.(2)沿直线裁一刀,将不规章的右图重新拼接成一个矩形,并用代数式表示出你新拼图形的面积.讲评要点:沿HD、GD裁开均可,但肯定要让学生在裁开之前知道HD=BC=GD=FE=a-b,这样裁开后才能重新拼成一个矩形.期望推出公式:a2-b2=(a+b)(a-b)2.(1)叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式;(2)试比较公式的两种表达式在应用上的差异.说明:平方差公式的数学表达式在使用上有三个优点。
(1)公式详细,易于理解;(2)公式的特征也表现得突出,易于初学的人“套用”;(3)形式简洁。
但数学表达式中的a与b有概括性及抽象性,这样也就造成对详细问题存在一个判定a、b的问题,否则简单对公式产生各种主观上的误会。
依照公式的文字表达式可写出下面两个正确的式子:经对比,可以让人们体会到公式的文字表达式抽象、准确、概括.因而也就“欠”明确(如结果不知是谁与谁的平方差).故在使用平方差公式时,要全面理解公式的实质,敏捷运用公式的'两种表达式,比如用文字公式推断一个题目能否使用平方差公式,用数学公式确定公式中的a与b,这样才能使自己的计算即准确又敏捷.3.推断正误:(1)(4x+3b)(4x-3b)=4x2-3b2;(×)(2)(4x+3b)(4x-3b)=16x2-9;(×)(3)(4x+3b)(4x-3b)=4x2+9b2;(×)(4)(4x+3b)(4x-3b)=4x2-9b2;(×)二、新课例1运用平方差公式计算:(1)102×98;(2)(y+2)(y-2)(y2+4).解:(1)102×98(2)(y+2)(y-2)(y2+4)=(100+2)(100-2)=(y2-4)(y2+4)=1002-22=10000-4=(y2)2-42=y4-16.=9996;2.运用平方差公式计算:(1)103×97;(2)(x+3)(x-3)(x2+9);(3)59.8×60.2;(4)(x-)(x2+)(x+).3.请每位同学自编两道能运用平方差公式计算的题目.例2填空:(1)a2-4=(a+2)();(2)25-x2=(5-x)();(3)m2-n2=()();思考题:什么样的二项式才能逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积?(某两数平方差的二项式可逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积)练习填空:1.x2-25=()();2.4m2-49=(2m-7)();3.a4-m4=(a2+m2)()=(a2+m2)()();例3计算:(1)(a+b-3)(a+b+3);(2)(m2+n-7)(m2-n-7).解:(1)(a+b-3)(a+b+3)(2)(m2+n-7)(m2-n-7)=[(a+b)-3][(a+b)+3]=[(m2-7)+n][(m2-7)-n]=(a+b)2-9=a2+2ab+b2-9.=(m2-7)2-n2=m4-14m2+49-n2.三、小结1.什么是平方差公式?一般两个二项式相乘的积应是几项式?2.平方差公式中字母a、b可以是那些形式?3.怎样推断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式?四、布置作业1.运用平方差公式计算:(1)(a2+b)(a2-b);(2)(-4m2+5n)(4m2+5n);(3)(x2-y2)(x2+y2);(4)(9a2+7b2)(7b2-9a2).2.运用平方差公式计算:(1)69×71;(2)53×47;(3)503×497;(4)40×39.《平方差公式》教案2平方差公式一、学习目标:1.经历探究平方差公式的过程.2.会推导平方差公式,并能运用公式进行简洁的运算.二、重点难点重点:平方差公式的推导和应用难点:理解平方差公式的结构特征,敏捷应用平方差公式.三、合作学习你能用简便方法计算下列各题吗?12001×19992998×1002导入新课:计算下列多项式的积.1x+1x-12m+2m-232x+12x-14x+5yx-5y结论:两个数的和与这两个数的差的`积,等于这两个数的平方差.即:a+ba-b=a2-b2四、精讲精练例1:运用平方差公式计算:13x+23x-22b+2a2a-b3-x+2y-x-2y例2:计算:1102×982y+2y-2-y-1y+5随堂练习计算:1a+b-b+a2-a-ba-b33a+2b3a-2b4a5-b2a5+b25a+2b+2ca+2b-2c6a-ba+ba2+b2五、小结:a+ba-b=a2-b2《平方差公式》教案3学习目标:1、经历探究完全平方公式的过程,发展学生观察、交流、归纳、猜想、验证等能力。
人教版八年级数学上册平方差公式教案

14. 2. 1平方差公式教学目标知识与技能L熟悉平方差公式,并了解公式的意义.2.会用平方差公式简化计算解决简单的实际问题.数学思考L在探究平方差公式的过程中,体验“从特殊到一般〞的研究数学问题的方法.2.通过对平方差儿何意义的了解,体会代数与几何的内在统•问题解决让学生从具体的情境中获取信息,然后尝试主动探究总结验证公式,并通过练习归纳掌握公式应用的相关问题.情感与价值观1.向学生的拼图、解题等活动,感受探索几何图形面积对的多种拼接方法的乐趣,体验巧妙运用公式解题的价值.2.培养学生自主探究和合作交流意识和水平,体会数学的应用价值.教学难点理解公式中字母的广泛含义,并灵活运用公式,把公式中的结构特征与实际问题联系起来.教学重点理解并运用平方差公式化简计算并解决数学问题.教学过程〔师生活动〕设计理念情景引入设计游戏:利用游戏图片,引导学生完成图片背后题目情景创设,引发学生的学习兴趣,同好的生激发学时奇心和求知欲,顺利引入新课.、几何验证,让3差方生学熟悉平探究新知1、计算以下各题:?????????llxx?l????????22mm?2??7?????122x?lx??3观察以上算式及其运算结果,你发现了 .什么规律?并验证你的猜测????22baa?b?a?b??、验证猜测:2 )代数验证:(l????b?b?aa????baba???b??a?bb?a?b?7??aa?ab?22ba?? 让学生动手操作通过结合图形的变换进、让学生观察等1 式的两边,寻找联系,引导学生得出公式的右半局部, 式公会让学生体好结的构特征做. 铺垫2、计算验证,通过计算, 让学生经象体具有历一抽的过程. 公式的几何意义,理的是学生更好解这一公式,同时形步熟悉数一进结合的方法.抢答环节:.判断以下式子能否用平方差公式计算生让学过通抢答〔2〃 + 加2〃"〕〔-24+“-2,-b〕〔-213-,〕一让判断学生进公方平差步掌握火眼金睛式的公式结构,同学答时通过抢让生参与到其中,调动学生的积极性.3/ 6尝试运用??????231x3x?2?7?????y?2y2?2x?x???????5??5x33-3x式公生熟悉让学结构特征,找准哪相子或者式个数当于公式中的“笫a,哪个一个数〞当相者数或式子于公式中的“第二,并运用b个数〞公式进行计算.几何验证挑战自我????198102??,2?y??y?6,2x X22?求x?y?????????? 421?xl?lx?xlx3?的在数法公式乘乘法中的应用,属的数乘积于两个简便运算问题,可方平生将学以使迁知识的差公式情题问到新的移境中,即稳固新知识,乂培养学生分的决析和解问题水平.小结通过本节课学习你有哪些内容?为使所学新知识尽快纳入已有的认知结构,形成知识网络,进一步提高学生的数学表达水平,小结采取学生自主小结与引导概括相结合. 首先,引导学生进行自我小结、反思、评价,谈出收获,提出困惑.然后,教师进行点睛式的总结.学以致用????,?2?2m?451318714?m :2??求m通过引用柯南进一步激发学生学习兴趣,完成应用题目,提升学生对灵差平方公式的活运用水平.本课作业• •必做作业9题99-100页,1一自主学习选做作业:题一页,1013 自主学习99-100完业分过层作通孩成对不同程度督的课后促学子习.本课教育评注〔课堂设计理念,实际教学效果及改良设想〕“动手实践、自主探,?数学课程标准?指出:“学生是数学学习的主人〞. 索与合作交流是学生学习数学的重要方式〞利用学生发挥主创设以学生为中心,为了表达新课程的理念,本节课1、、让学生自己去尝试发现问题,总结方法,而不是体作用的课堂教学环境.2、授课中通过一系列问题,给学.3被动的答复老师的问题、接受老师的答案生充分的时间尝试和思考,充分表达自己的想法,使学生自主学习真正成为.在此根底上解决问题并得出结论可能,。
14.2.1 平方差公式 人教版数学八年级上册教案

14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式一、教学目标1.知识与技能会推导平方差公式,并且懂得运用平方差公式进行简单计算.2.过程与方法经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,发展学生的符号感和推理能力,使学生逐渐掌握平方差公式.3.情感、态度与价值观通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性,体验数学活动充满着探索性和创造性.二、教学重难点1.重点:平方差公式的推导和运用,以及对平方差公式的几何背景的了解.2.难点:平方差公式的应用.三、教学过程(一)创设情境,故事引入【情境设置】教师请一位学生讲一讲《狗熊掰棒子》的故事【学生活动】1位学生有声有色地讲述着《狗熊掰棒子》的故事,其他学生认真听着,不时补充.【教师归纳】听了这则故事之后,同学们应该懂得这么一个道理,学习千万不能像狗熊掰棒子一样,前面学,后面忘,那么,上节课我们学习了什么呢?还记得吗?【学生回答】多项式乘以多项式.【教师激发】大家是不是已经掌握呢?还是早扔掉了呢?和小狗熊犯了同样的错误呢?下面我们就来做这几道题,看看你是否掌握了以前的知识.【问题牵引】计算:(1)(x+2)(x-2);(2)(1+3a)(1-3a);(3)(x+5y)(x-5y);(4)(y+3z)(y-3z).做完之后,观察以上算式及运算结果,你能发现什么规律?再举两个例子验证你的发现.【学生活动】分四人小组,合作学习,获得以下结果:(1)(x+2)(x-2)=x2-4;(2)(1+3a)(1-3a)=1-9a2;(3)(x+5y)(x-5y)=x2-25y2;(4)(y+3z)(y-3z)=y2-9z2.【教师活动】请一位学生上台演示,然后引导学生仔细观察以上算式及其运算结果,寻找规律.【学生活动】讨论【教师引导】刚才同学们从上述算式中找到了这一组整式乘法的结果的规律,这些是一类特殊的多项式相乘,那么如何用字母来表现刚才同学们所归纳出来的特殊多项式相乘的规律呢?【学生回答】可以用(a+b)(a-b)表示左边,那么右边就可以表示成a2-b2了,即(a+b)(a-b)=a2-b2.用语言描述就是:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.【教师活动】表扬学生的探索精神,引出课题──平方差,并说明这是一个平方差公式和公式中的字母含义.(二)范例学习,应用所学【教师讲述】平方差公式的运用,关键是正确寻找公式中的a和b,只有正确找到a和b,一切就变得容易了.现在大家来看看下面几个例子,从中得到启发.【例1】运用平方差公式计算:(1)(2x+3)(2x-3);(2)(b+3a)(3a-b);(3)(-m+n)(-m-n).填表:(a+b)(a-b)a b a2-b2结果(2x+3)(2x-3)2x(2x) 2-32(b+3a)(3a-b)(-m+n)(-m-n)【例2】计算:(1)103×97(2)(3x-y)(3y-x)-(x-y)(x+y)通过做题,应该总结出:在两个因式中,符号相同的一项作a,符号不同的一项作b.(三)随堂练习,巩固新知课本练习(四)课堂总结,发展潜能本节课的内容是两数和与这两数差的积,公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质.运用平方差公式应满足两点:一是找出公式中的第一个数a,第二个数b;二是两数和乘以这两数差,这也是判断能否运用平方差公式的方法.(五)布置作业,专题突破课本习题.四、板书设计14.2.1平方差公式1、平方差公式例:(a+b)(a-b)=a2-b2练习:五、教学反思学生通过“做一做”发现平方差公式,同时通过“试一试”用几何方法证明公式的正确性.通过这两种方式的演算,让学生理解平方差公式.本节教学内容较多,因此教材中的练习可以让学生在课后完成.。
人教版数学八年级上册《14.2.1平方差公式》教案1

人教版数学八年级上册《14.2.1平方差公式》教案1一. 教材分析《14.2.1平方差公式》是人教版数学八年级上册中的一章,主要介绍了平方差公式的概念、推导过程以及应用。
本节课的内容是学生进一步学习代数知识的基础,对于培养学生的逻辑思维能力和数学素养具有重要意义。
平方差公式的推导过程涉及到了完全平方公式,需要学生熟练掌握。
二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经掌握了有理数的乘方、完全平方公式等基础知识,具备了一定的代数运算能力。
但部分学生对于代数式的理解和运算仍存在困难,对于公式的推导过程可能感到抽象难懂。
因此,在教学过程中,需要关注学生的学习情况,针对性地进行辅导。
三. 教学目标1.让学生理解平方差公式的概念,掌握公式的推导过程。
2.培养学生运用平方差公式解决实际问题的能力。
3.提高学生的代数运算能力,培养学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.平方差公式的推导过程。
2.平方差公式的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法,引导学生思考和探索。
2.使用多媒体辅助教学,直观展示公式的推导过程。
3.运用例题讲解法,让学生在实际问题中运用公式。
4.采用小组合作学习,培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT,展示平方差公式的推导过程和应用实例。
2.准备练习题,用于巩固所学知识。
3.准备小组合作学习的任务,引导学生进行讨论和交流。
七. 教学过程1.导入(5分钟)利用多媒体展示一些生活中的平方差问题,如面积计算、距离计算等,引导学生思考和讨论。
通过这些问题,激发学生的学习兴趣,引出本节课的主题——平方差公式。
2.呈现(15分钟)教师通过PPT展示平方差公式的推导过程,引导学生理解和记忆公式。
在这个过程中,教师可以适时提出问题,引导学生思考和探索。
3.操练(15分钟)教师给出一些例题,让学生运用平方差公式进行解答。
在解答过程中,教师要注意引导学生理解和掌握公式的应用。
对于学生的解答,教师要及时给予反馈和指导。
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§15.3.1 平方差公式
教学目标
(一)教学知识点
1.经历探索平方差公式的过程.
2.会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算.
(二)能力训练要求
1.在探索平方差公式的过程中,培养符号感和推理能力.
2.培养学生观察、归纳、概括的能力.
(三)情感与价值观要求
在计算过程中发现规律,并能用符号表示,从而体会数学的简捷美.
教学重点
平方差公式的推导和应用.
教学难点
理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式.
教学方法
探究与讲练相结合.
通过计算发现规律,进一步探索公式的结构特征,在老师的讲解和学生的练习中让学生体会公式实质,学会灵活运用.
教具准备
投影片.
教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
[师]你能用简便方法计算下列各题吗?
(1)2001×1999 (2)998×1002
[生甲]直接乘比较复杂,我考虑把它化成整百,整千的运算,从而使运算简单,2001可以写成2000+1,1999可以写成2000-1,那么2001×1999可以看成是多项式的积,根据多项式乘法法则可以很快算出.
[生乙]那么998×1002=(1000-2)(1000+2)了.
[师]很好,请同学们自己动手运算一下.
[生](1)2001×1999=(2000+1)(2000-1)
=20002-1×2000+1×2000+1×(-1)
=20002-1
=4000000-1
=3999999.
(2)998×1002=(1000-2)(1000+2)
=10002+1000×2+(-2)×1000+(-2)×2
=10002-22
=1000000-4
=1999996.
[师]2001×1999=20002-12
998×1002=10002-22
它们积的结果都是两个数的平方差,那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢?我们继续进行探索.
Ⅱ.导入新课
[师]出示投影片
计算下列多项式的积.
(1)(x+1)(x-1)
(2)(m+2)(m-2)
(3)(2x+1)(2x-1)
(4)(x+5y)(x-5y)
观察上述算式,你发现什么规律?运算出结果后,你又发现什么规律?再举两例验证你的发现.
(学生讨论,教师引导)
[生甲]上面四个算式中每个因式都是两项.
[生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积.例如算式(1)是x与1这两个数的和与差的积;算式(2)是m与2这两个数的和与差的积;算式(3)是2x与1•这两个数的和与差的积;算式(4)是x与5y这两个数的和与差的积.
[师]这个发现很重要,请同学们动笔算一下,相信你还会有更大的发现. [生]解:(1)(x+1)(x-1)
=x2+x-x-1=x2-12
(2)(m+2)(m-2)
=m2+2m-2m-2×2=m2-22
(3)(2x+1)(2x-1)
=(2x)2+2x-2x-1=(2x)2-12
(4)(x+5y)(x-5y)
=x2+5y·x-x·5y-(5y)2
=x2-(5y)2
[生]从刚才的运算我发现:
也就是说,两个数的和与差的积等于这两个数的平方差,这和我们前面的简便运算得出的是同一结果.
[师]能不能再举例验证你的发现?
[生]能.例如:
51×49=(50+1)(50-1)=502+50-50-1=502-12.
即(50+1)(50-1)=502-12.
(-a+b)(-a-b)=(-a)·(-a)+(-a)·(-b)+b·(-a)+b·(-b)
=(-a)2-b2=a2-b2
这同样可以验证:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. [师]为什么会是这样的呢?
[生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后,中间两项是同类项,且系数互为相反数,所以和为零,只剩下这两个数的平方差了.
[师]很好.请用一般形式表示上述规律,并对此规律进行证明.
[生]这个规律用符号表示为:
(a+b)(a-b)=a2-b2.其中a、b表示任意数,也可以表示任意的单项式、多项式.
利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明:
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
[师]同学们真不简单.老师为你们感到骄傲.能不能给我们发现的规律(a+b)(a-b)=a2-b2起一个名字呢?
[生]最终结果是两个数的平方差,叫它“平方差公式”怎样样?
[师]有道理.这就是我们探究得到的“平方差公式”,•请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式.
(出示投影)
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
即:(a+b)(a-b)=a2-b2
平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式,用它直接运算会很简便,但必须注意符合公式的结构特征才能应用.
在应用中体会公式特征,感受平方差公式给运算带来的方便,从而灵活运用平方差公式进行计算
(出示投影片)
例1:运用平方差公式计算:
(1)(3x+2)(3x-2)
(2)(b+2a)(2a-b)
(3)(-x+2y)(-x-2y)
例2:计算:
(1)102×98
(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
[师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征,学会对号入座.在例1的(1)中可以把3x看作a,2看作b.
即:(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22
(a+b)(a-b)=a2-b2
同样的方法可以完成(2)、(3).如果形式上不符合公式特征,可以做一些简单的转化工作,使它符合平方差公式的特征.比如(2)应先作如下转化:(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b).
如果转化后还不能符合公式特征,则应考虑多项式的乘法法则.
(作如上分析后,学生可以自己完成两个例题.•也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的)
[例1]解:(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4.
(2)(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2.
(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2.
[例2]解:(1)102×98=(100+2)(100-2)
=1002-22=10000-4=9996.
(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
=y2-22-(y2+5y-y-5)
=y2-4-y2-4y+5
=-4y+1.
[师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么?
[生]我觉得应注意以下几点:
(1)公式中的字母a、b可以表示数,也可以是表示数的单项式、多项式即整式.
(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.
(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式,•但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.
[生]运算的最后结果应该是最简才行.
[师]同学们总结得很好.下面请同学们完成一组闯关练习.优胜组选派一名代表做总结发言.
Ⅲ.随堂练习
出示投影片:
计算:
(1)(a+b)(-b+a)
(2)(-a-b)(a-b)
(3)(3a+2b)(3a-2b)
(4)(a5-b2)(a5+b2)
(5)(a+2b+2c)(a+2b-2c)
(6)(a-b)(a+b)(a2+b2)
Ⅳ.课时小结
通过本节学习我们掌握了如下知识.
(1)平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.•这个公式叫做乘法的平方差公式.即(a+b)(a-b)=a2-b2.
(2)公式的结构特征
①公式的字母a、b可以表示数,也可以表示单项式、多项式;
②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式;
③有些式子表面上不能应用公式,但通过适当变形实质上能应用公
式.•如:(x+y-z)(x-y-z)=[(x-z)+y][(x-z)-y]=(x-z)2-y2.Ⅴ.课后作业
1.课本P179练习1、2.
2.课本P182~P183习题15.3─1题.
《三级训练》
板书设计。