2020-2021学年新教材高一数学寒假辅导讲义专题11 正余弦函数图像及其性质(解析版)

2020-2021学年新教材高一数学寒假辅导讲义（沪教版2020）专题11 正余弦函数图像及其性质一、正余弦函数的图像 （一）知识精讲1、正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点),(y x P ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP ry==αsin ，向线段MP 叫做角α的正弦线. 2、用单位圆中的正弦线作正弦函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图象（几何法）：3、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图象中，五个关键点是：)0,0( )1,2(π )0,(π )1,23(-π)0,2(π然后将这五点大致连线，画出正弦函数的图像。

4、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像：把x y sin =，]2,0[π∈x 的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为π2，就得到R x x y ∈=,sin 的图像，此曲线叫做正弦曲线。

5、余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像：（二）典型例题【例1】画出下列函数在[0,2]π上的图象，并且尝试说明函数的单调性、奇偶性、周期性和函数图像的对称轴等相关结论（1）1sin y x =+ （2）cos y x =- （3）1π3sin()24y x =- 【难度】★ 【答案】如图【解析】(1) 第一步——列表（见下表）第二步：描点、作图（见右上图）(2) 第一步——列表（见下表）第二步：描点、作图（见右上图）（3）令124X x π=-，则2()4x X π=+ 当X 取30,,,,222ππππ时，可相应取得x 和y 的值，得到“五点”，再描点作图.【例2】用五点作图法作函数1cos y x =-在[0,2]π上的图象 【难度】★ 【答案】如图【解析】(1) 第一步——列表（见下表） 第二步：描点、作图（见右上图）【例3】已知函数x x f πsin )(=的图像的一部分如下方左图，则下方右图的图像所对应的解析式为（ ）.A )212(-=x f y .B )12(-=x f y .C )12(-=x f y .D )212(-=x f y 【难度】★ 【答案】B【例4】正弦函数的定义域是__________,最大值是____，最小值是____，周期是____,递增区间是_____________________，递减区间是______________________． 对称轴是______________,对称中心是_____________； 【难度】★【答案】定义域是x R ∈，最大值1，最小值-1，周期2π，单调增区间2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦单调减区间32,2()22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦,对称轴方程：2x k ππ=+对称中心：(),0k π 【例5】定义函数sin , sin cos ()cos , sin cos x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩，根据函数的图像与性质填空：(1) 该函数的值域为_______________；(2) 当且仅当________________时，该函数取得最大值； (3) 该函数是以________为最小正周期的周期函数；(4) 当且仅当______________时，()0f x >. 【难度】★★【答案】(1) [1,2-;(2) 2,4x k k Z ππ=+∈; (3) 2π; (4) 22()2k x k k Z πππ<<+∈【例6】求函数y ＝－cos x 的单调区间 【难度】★★【答案】单调增区间为[]2,2()k k k Z πππ+∈ 单调减区间为[]2,2()k k k Z πππ-∈【例7】求下列函数的定义域与值域（1）x y 2sin 21=（2）x y cos 2-= 【难度】★★【答案】定义域为R ，值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121-，定义域为)(,23222z k k x k ∈+≤≤+ππππ，值域为⎡⎣. 【解析】(1)∵sin y x =的定义域为R ，值域是[1,1]-；∴1sin 22y x =的定义域应是2x R ∈，即x R ∈，值域是11[,]22-；(2)虽然cos y x =的定义域为R ，值域是[1,1]-.但本题中2cos x -作为二次根式的被开方数，所以2cos 0x -≥，即cos 0x ≤.根据余弦比的符号可求得x 求值范围，并由02cos 2x ≤-≤，可得函数值域. 【巩固训练】1、已知函数π2sin(2)3y x =+,用“五点法”作出它在一个周期内的图像; 【难度】★ 【答案】令π23X x =+，则π2sin(2)2sin 3y x X =+=。

列表并描点作图，得2、已知函数1π3sin()24y x =-,用五点法作出函数的图像; 【难度】★【答案】列表描点作图3、函数cos y x x =-⋅的部分图像是( )【难度】★ 【答案】D4、余弦函数的定义域是______,最大值是______，最小值是____，周期是____,递增区间是_____________________，递减区间是______________________． 对称轴是__________________,对称中心是____________； 【难度】★【答案】定义域是x R ∈，最大值1，最小值-1，周期2π，递增区间是单调增区间为 []2,2()k k k Z πππ-∈，递减区间是[]2,2()k k k Z πππ+∈;对称轴,x k k Z π=∈，对称中心Z k k ∈+)0,2(ππ.5、判断函数sin()2y x π=-的奇偶性和单调性，并写出的单调区间.【难度】★★【答案】sin()=cos 2y x x π=--，为偶函数，单调递增区间为[]2,2()k k k Z πππ+∈，单调递减区间为[]2,2()k k k Z πππ-∈. 6、设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则M m +等于（ ） A ．32 B ．－32C ．－34 D ．－2 【难度】★★ 【答案】D二、正余弦函数的值域与最值（一）知识精讲1、正、余弦函数定义域：x y sin = 和cos y x =的定义域都为R 。

2、正、余弦函数定义域：x y sin = 和cos y x =的值域都为[]1,1-。

对于函数x y sin =，当且仅当,22ππ+=k x y 取最大值1max =y ；当且仅当2,2x k ππ=-y 取最小值1min -=y 。

对于函数cos y x =，当且仅当,2πk x =y 取最大值1max =y ； 当且仅当,2ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。

（二）典型例题【例8】要使下列各式有意义应满足什么条件？（1） 1sin ;2m x m-=- （2） 22cos 2a b x ab +=【难度】★【答案】（1）由2213|sin |1||1(1)(2).22m x m m m m -≤⇒≤⇒-≤-⇒≤-∴当32m ≤时，式子有意义. （2）由222222|cos |1||1()(2)2a b x a b ab ab+≤⇒≤⇒+≤22222()0,a b a b ⇒-≤⇒=即.a b =±∴当a b =±时，式子有意义.【例9】求下列函数的最大值，以及取得最大值时的x 值 （1） y=sinx+cosx （2）y=asinx+b 【难度】★★【答案】（1）（分析：这个函数不是sinx 或cosx 型函数，而是asinx+bcosx 型） ∴y=sinx+cosx=2sin(4π+x )≤2，当224πππ+=+k x 时取“=”， 即当x=2kπ4π+时，y max =2 （2）显然|sinx|≤1，∴|asinx|≤|a| 即asinx≤|a| ∴asinx+b≤|a|+b；当a>0时，asinx+b≤a+b当sinx=1即x=2kπ+2π时取“=” ∴此时，当x=2kπ+2π时，y max =a+b 当a<0时，∴当x=2kπ+23π时，y max =-a+b （以上K ∈Z ） 【例10】求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么. （1） y=sin(3x+4π)-1 (2)y=sin 2x-4sinx+5 (3) y=xx cos 3cos 3+- 【难度】★★ 【答案】(1) x=1232ππ+k (k ∈Z)时y max =0 (2)当x=2k π-2πk ∈Z 时y max =10 (3) 当x=2k π+π k ∈Z 时 y max =2 【例11】求下列函数的值域（1）sin ,,62y x x x ππ⎡⎫=∈-⎪⎢⎣⎭（2）2cos sin ,,44y x x x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦（3）1cos 3cos xy x-=+【难度】★★【答案】（1）[)2,1y ∈-（2）54y ⎤∈⎥⎣⎦（3）(,3][1,)-∞-∞【解析】解：（1）sin =2sin()3y x x x π=-，由,62x ππ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，,326x πππ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭故1sin()[1,)32x π-∈-，[)2,1y ∈-。

（2）22cos sin sin sin 1y x x x x =+=-++，令sin x t =，由,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，t ⎡∈⎢⎣⎦，则22151()24y t t t =-++=--+，当12t =，即6x π=时，max 54f =. 当2t =，即4x π=-时，min f =所以54y ⎤∈⎥⎣⎦. （3） 1cos 3cos x y x -=+⇒(1)cos 13y x y +=-⇒13cos 1y x y -=+，由|cos |1x ≤得1311yy-≤+ 解得[]0,1y ∈所以函数1cos 3cos xy x-=+的值域是[]0,1【例12】已知函数()2sin cos f x x x x +⋅，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值和最小值． 【难度】★★【答案】 1π()1cos2sin 2sin(2)2232f x x x x =-+=-+（）因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,.当π2π233x -=，即π2x =时，()f x 的最大；当π3π232x -=，即11π12x =时，()f x 的最小值为12-+。

【巩固训练】7、求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么(1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ； (2)y ＝sin2x ，x ∈R 。