正项级数收敛及其应用公式版
漫谈正项级数的收敛性及收敛速度
漫谈正项级数的收敛性及收敛速度++++=∑∞=n n na a a a211称为无穷级数。
当0≥n a 时，此级数称为正项级数。
记n n a a a S +++= 21， ,2,1=n ，则}{n S 为部分和数列。
级数∑∞=1n n a 的敛散性是通过数列}{n S 的敛散性来定义。
显然，级数∑∞=1n n a 时，有0lim =∞→n n a 。
因此，0lim ≠→∞n n a 时，必有级数∑∞=1n n a 发散。
但是0lim =∞→n n a 未必有∑∞=1n n a 收敛。
只有当无穷小n a 的阶高到一定的程度时，∑∞=1n n a 才收敛。
可以证明：几何级数∑∞=1n n q ，当1||<q 时收敛；当1||≥q 时发散。
p -级数∑∞=11n pn，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。
由p -级数∑∞=11n pn 的敛散性及比较判别法，可以看出，当n a 趋于0的速度快于n 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n 1时，级数∑∞=1n n a 发散。
因而，无穷小n 1是衡量级数∑∞=1n na 敛散性的一把“尺子”。
可是，这把“尺子”有点粗糙了。
事实上，尽管无穷小nn ln 1趋于0的速度远远快于n 1，但是级数∑∞=1ln 1n n n 仍然发散。
可以证明，级数∑∞=1ln 1n pnn ，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。
于是，无穷小nn ln 1是衡量级数敛散性的一把精度较高的一把新“尺子”：当n a 趋于0的速度快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 发散。
可是，马上又面临新问题：无穷小n n n ln ln ln 1趋于0的速度远远快于n n ln 1，但是∑∞=1ln ln ln 1n nn n 仍然发散级数。
于是需要更为精细的判断级数敛散的“尺子”。
二节正项级数及其审敛法、三节绝对收敛与条件收敛
un 和 v n 的一般项 u
n 1 n 1
n
和vn
均为 n 时的无穷小, 且 un ~ vn ,
则二级数有相同的敛散性.
例 3 判定下列级数的敛散性:
1 1 (1) sin ; (2) n n n 1 n 1 3 n 1 1 n 时 ,si n~ , 解 (1 ) n n 1 又 发散 , 故原级数发散.
两点注意:
1 1 . 当 时 比 值 审 敛 法 失 效 ;
1 例 级数 发散 , n 1n
n 1
( 1) 1 级数 收敛 , 2
n
2 . 条 件 是 充 分 的 , 而 非 必 要 .
2 ( 1 ) 3 例 u n n v , n n 2 2
第二节 正项级数及其审敛法
1.定义: 如果级数 u 中各项均有 u 0 ， n n 这种级数称为正项级数. 正项级数非常重要，许多级数的收敛性问题 都可归结为正项级数的收敛性问题. 显然，正项级数的部分和数列为单调增加数列 s s s 1 2 n 2.正项级数收敛的充要条件: 基本定理:
1 又 2 收敛 , n1n
故原级数收敛.
5.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
u n 1 u lim ( 数或 ) 设 是 正 项 级 数 , 如 果 n n u n 1 n
1 1 1 则 时 级 数 收 敛 ; 时 级 数 发 散 ; 时 失 效 .
1 1
n
dx 1 1 1 1 ( 1 p ) 1 p 1 x p1 p 1 n
即 sn有界 ,
数项级数2——正项级数的收敛性
数项级数2 正项级数的收敛性一、本节的例题选讲如下，后面附有详细的解答过程。
例1 讨论级数∑∞=−12141n n 的收敛性。
例2 讨论级数∑∞=−123n n n 的收敛性。
例3 讨论级数∑∞=−1253n n n n的收敛性。
例4 讨论级数∑∞=11sinn n的收敛性。
例5 讨论级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛−11cos 1n n 的收敛性。
例6 讨论级数n n n πtan 23∑∞=的收敛性。
例7 讨论级数()∑∞=++3312n n n n 的收敛性。
例8 讨论级数()∑∞=>+1011n na a 的收敛性。
例9 讨论级数∑∞=−12121n n的收敛性。
例10 讨论级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+111ln n n 的收敛性。
例11 讨论级数∑∞=12sinn nπ的收敛性。
例12 讨论级数∑∞=122sinn nn π的收敛性。
例13 讨论级数()11!2nn n ∞=+∑的收敛性。
例14 讨论级数∑∞=123n n n 的收敛性。
例15 讨论级数∑∞=1!10n nn 的收敛性。
例16 讨论级数∑∞=−1212n nn 的收敛性。
例17 讨论级数∑∞=123n n n 的收敛性。
例18 讨论级数∑∞=12tann nn π的收敛性。
例19 讨论级数()[]∑∞=+11ln 1n n n 的收敛性。
例20 讨论级数123nn n n ∞=⎛⎫⎪−⎝⎭∑的收敛性。
二、上面例题的详细解答。
情况1 利用比较讨论法及其极限形式讨论正项级数的收敛性 例1 讨论级数∑∞=−12141n n 的收敛性。
解：∑∞=−12141n n 和11n n∞=∑都是正项级数，1limlim 2n n n→+∞→+∞==，调和级数11n n∞=∑发散，∴由比较判别法可知，级数∑∞=−12141n n 发散。
例2 讨论级数∑∞=−123n n n 的收敛性。
解： ∑∞=−123n n n 和211n n ∞=∑都是正项级数，22lim lim 3n n n →+∞==， P −级数211n n∞=∑收敛，∴由比较判别法可知，级数∑∞=−123n n n 收敛。
第二节正项级数及其收敛法
定理1 (阿贝尔定理) 如果 an xn ： n0
1.在点 x x0 ( 0) 收敛, 则当 | x || x0 |时，它绝对收敛
2.在点 x x0 ( 0) 发散, 则当| x || x0 | 时，它发散.
1 4
(1)n1
1 n
则
|
rn
|
1 n 1
二、绝对收敛与条件收敛
定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
n1
定义:若 un 收敛, 则称 un 绝对收敛;
n1
n1
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 条件收敛.
n1
第二节 正项级数及其收敛法
正项级数及其收敛法
一、正项级数及其审敛法
1.定义:
若 un中各 un 0，则称此级数为正项级数. n1
2.正项级数收敛的充分必要条件:
对正项级数，有s1 s2 sn
正项级数收敛的基本定理
正项级数收敛 部分和数列有界.
注：正项级数收敛的本质 —— un 0足够快。
绝对收敛与条收收敛
一、交错级数及其审敛法
正、负项相间的级数称为交错级数.
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(ⅰ) | u n | | u n 1 | ( n 1 , 2 , 3 , ) ;
(ⅱ)
lim
n
un
0,
则级数收敛,且和的绝对值 | s || u1 | ,余项的
绝对值 rn | un1 | .
第二节正项级数及其收敛法
(2) S(x) 在(--R,R)内可导,且
S(x) ( an xn ) (an xn ) nan xn1
n0
n0
n0
即幂级数在(-R,R)内可以逐项求导,所得到的幂级数
收敛半径不变.
可推广到任意阶导数
(3) S(x)在(--R,R)内可积,且
x
S(x)dx
0
x
[
0
an xn ]dx
幂级数 各项都是幂函数的函数项级数
一般形式:
a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n (1)
特例
a0 a1x a2 x2 an xn 系数 (2)
主要讨论(2),因为(1)可以通过变量代换化成(2)
1.幂级数的收敛域
x = 0 时(2)收敛,一般的,幂级数收敛域是一区间.
收敛,x0 收敛点
发散, x0发散点
函数项级数的全体收敛点的集合称为收敛域
3.和函数： 在收敛域内，函数项级数的和依赖于点x，
因此其和是x的函数，称为和函数
S(x) un(x)
4.余项:
n1
rn (x) S(x) Sn (x)
前n项的部分和
在收敛域内才有意义,且
lim
n
rn
(
x)
0
二. 幂级数及其收敛性
注：用比值或根值审敛法判定的非绝对收敛级 数一定发散。
三、小结
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
敛 3. 按基本性质;
4. 充要条件
法 5. 比较法
6. 比值法 7. 根值法
4. 绝对收敛 5. 交错级数 (莱布尼茨定理)
正项级数收敛的充分必要条件
正项级数收敛的充分必要条件正项级数是指所有项都是非负数的级数。
在数学中，正项级数的收敛性是一个非常重要的问题，因为它不仅涉及到数学本身的基础理论，还有着极其广泛的应用。
本文将从定义出发，讨论正项级数收敛的充分必要条件。
一、正项级数的定义正项级数是指所有项都是非负数的级数，即：$$sum_{n=1}^{infty}a_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n+...$$ 其中，$a_ngeq 0$。
二、正项级数的收敛性正项级数的收敛性是指级数求和的极限是否存在，即：$$lim_{ntoinfty}sum_{i=1}^{n}a_i$$如果极限存在，则称级数收敛；否则，称级数发散。
三、正项级数的充分必要条件1. 充分条件对于正项级数$sum_{n=1}^{infty}a_n$，如果存在一个有限的数$S$，使得对于任意的正整数$n$，都有：$$sum_{i=1}^{n}a_ileq S$$则称级数$sum_{n=1}^{infty}a_n$收敛。
这个条件也可以写成：$$sum_{n=1}^{infty}a_nleq S$$其中，$S$为某个有限数。
这个条件的意义是，无论取多大的$n$，级数前$n$项之和都不会超过一个有限的数$S$。
因此，级数是有限的，即收敛的。
2. 必要条件对于正项级数$sum_{n=1}^{infty}a_n$，如果级数收敛，则必有：$$lim_{ntoinfty}a_n=0$$这个条件的意义是，级数的每一项都是正数，如果某一项$a_k$不趋近于$0$，则级数的和将趋向于无穷大，即级数发散。
因此，如果级数收敛，则必有每一项趋近于$0$。
四、实例分析1. 充分条件的实例考虑级数$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2}$，它的前$n$项和为：$$sum_{i=1}^{n}frac{1}{i^2}=1+frac{1}{4}+frac{1}{9}+...+fra c{1}{n^2}$$这个级数的和显然存在，因为对于任意正整数$n$，都有：$$sum_{i=1}^{n}frac{1}{i^2}leqsum_{i=1}^{infty}frac{1}{i^2} =frac{pi^2}{6}$$这里用到了调和级数的性质，即：$$sum_{i=1}^{n}frac{1}{i}leqln(n)+1$$因此，对于级数$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2}$，充分条件得到满足，即级数收敛。
正项级数的判敛方法
nn
n nn
∵ lim n
1 sin n
2
2 n 1 ，且 2 发散，∴原级数发散。
n1 n
n
1 n2 ln
（2）∵ lim 3 n 1 n lim
3n
ln(1 2 )
n 2，
n
1
n 3 n 1
1
而 n1
4
n3
1 收敛， 4
n3
n
∴原级数收敛。
ln n
(3) n1 n
（4） ln n 3 n n1 2
若 un与 vn 同阶，则 un 与 vn 同敛散。
n1
n1
若 un是比 vn 高阶的无穷小，则 vn 收敛 un 收敛；
n1
n1
若 un是比 vn 低阶的无穷小，则 vn 发散 un 发散。
n1
n1
定理2.3 （比值判别法 达朗贝尔判别法）
设 an
n1
为正项级数，且 an
0(
n
解（3）∵ lim un1 lim 3n 2 3 1 ，∴原级数收敛。
u n n
n 4n 1 4
（4）∵ lim n n
un
lim n
n
( an )n n1
lim
n
an n1
a，
∴当 a 1 时，级数收敛；当a 1 时，级数发散；
当 a 1时，根值判别法失效。
但∵
lim
n
un
lim( n )n n n 1
x
2x x
∴ f ( x) ln x 在 (e2 , ) 内单调减少， x
例 7 说明，虽然定理 3 对于 1 的情形，不能判定级
数的敛散性，但若能确定在 lim un1 1 的过程中， un1
数学中收敛公示
数学中收敛公示
在数学中，收敛是指序列或级数随着其项的增加而趋于一个确定的极限值。
以下是常用的收敛公式：
1. 序列的收敛：
对于一个序列 {a_n}，如果存在一个实数 a，对于任意给定的正实数ε，存在正整数 N，使得对于所有的 n>N，有 |a_n - a| < ε。
则称序列 {a_n} 收敛于 a。
2. 级数的收敛：
对于一个级数∑{a_n}，如果其部分和序列 {S_n} 收敛于一个实数 S，则称级数收敛于 S。
即lim(n→∞) S_n = S。
3. 收敛点的定义：
对于一个函数 f(x)，如果存在一个实数 a，使得当 x 无限逼近 a 时，f(x) 无限接近于一个实数 L，则称 a 为函数 f(x) 的收敛点，记作lim(x→a) f(x) = L。
4. 收敛级数的判定公式：
- 正项级数收敛定理：如果一个正项级数∑{a_n} 的部分和序列有界，则该级数收敛。
- 比较判别法：如果对于两个级数∑{a_n} 和∑{b_n}，当n>N 时，有0≤a_n ≤ b_n，而且∑{b_n} 收敛，则∑{a_n} 也收敛。
- 级数收敛的条件：必要条件是，当 n>N 时，有a_n→0，即序列 {a_n} 逼近于0。
- 积分判别法：设 f(x) 是一个严格单调递减函数，则 f(x) 在
(1,∞) 上的积分∫{1}^{∞} f(x)dx 和级数∑{(n+1)→∞} f(n) 收敛
性完全一致。
这些公式和定义是数学分析中关于收敛的重要概念和判定方法，它们在数学的不同领域和问题中都有广泛的应用。
正项级数的收敛速度
收敛速度与级数的关系
收敛速度与项数的关系
一般来说，随着项数的增加，正项级数的和会逐渐接近其极限值。收敛速度越快，意味着级数在较少 的项数时就能接近其极限值。
收敛速度与项大小的关系
在正项级数中，每一项的大小决定了级数收敛的快慢。如果每一项都较小，那么级数的收敛速度可能 会更快。
收敛速度的极限情况
收敛速度的下限
p-级数的求和公式为：$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^p} = frac{pi}{sin(pi p)}$。当$p > 1$时，该级数收敛；当$p leq 1$时，该级数发散。
调和级数
调和级数是一类正项级数，其一般项 为$1/n$的形式。调和级数是发散的 ，其收敛速度较慢。
要点二
控制系统
在控制系统的稳定性分析中，系统的极点常常用正项级数 来表示，其收敛速度决定了系统稳定性的判断精度。
05
结论
正项级数收敛速度的重要性
理论意义
正项级数的收敛速度是数学分析 中的一个重要概念，它对于级数 理论的完善和发展具有重要意义。
应用价值
在解决实际问题时，了解正项级 数的收敛速度可以帮助我们更好 地选择合适的级数近似方法，提 高近似计算的精度和可靠性。
正项级数的收敛速度
• 引言 • 正项级数的收敛性质 • 正项级数的收敛速度分析 • 正项级数的收敛速度应用 • 结论
01
引言
定义与概念
正项级数
由正项组成的级数，即每一项都是非 负的。
收敛速度
描述级数收敛的快慢程度，通常用收 敛的阶数来表示。
收敛速度的意义
理论意义
研究级数的收敛速度有助于深入理解 级数理论，完善数学分析体系。
应用价值
正项级数
第二节 正项级数
若 un 0, 则称 un 为正项级数 .
n1
定理 1. 正项级数
收敛
部分和序列
有界 .
证: “ ” 若 “”
收敛 , ∴部分和数列
故有界. 单调递增,
（2） 1 时级数发散;
（3） 1 时级数可能收敛也可能发散.
级数
1 发散,
n1 n
级数
1
n2
n1
收敛,
(
类似等比级数
1)
处理含阶乘的和含幂次的方便
比值收敛法的优点：不必找参考级数. 24
例5 判别下列级数的敛散性.
3n n3
(1)
n1
定理 则
设 un和vn均为正项级数，且un vn (n 1, 2,),
n1
n1
(1) 若大级数 vn 收敛,则小级数 un 收敛；
n1
n1
(2) 若小级数 un 发散，则大级数 vn 发散.
n1
n1
证明 (2)是(1)的等价命题.
注：定理的条件可放宽为：
n3nx来自limx
3x
lim
x
1 3x ln 3
0.
1
lim
n
3n
n
1 3n
lim
n
3n 3n
n
1
lim
n
1
n 3n
1.
22
例12 讨论
高等数学8.2正项级数收敛性
n1
解: lim un1 lim(n1)xn x
n un
n n x n1
根据定理4可知:
当 0x1时 ,级数收敛 ;
当x1时,级数发散 ;
当x1时,级数n发散.
n1
2020/4/30
1 xp
,
故
1
np
nn1n1pdx
n1 n1xp
dx
p1 1(n1 1)p1np 11
考 1 虑 强2 p 1 级 1 数 n 22 p 1 ( n1 113 )pp 1 11 n p11 n 的p 1 部 1 分 ( 和n 1 1 )p 1
n
kn1k1p1(k11)p11
n1
n1
(3) 当 l =∞ 且vn 发散时, un 也发散.
n1
n1
2020/4/30
例3. 判别级数 sin
n 1
1 n
的敛散性 .
解: lim nsin 1 lim n 1 1
sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
n1sin1n 发散.
例4.
判别级数 ln
n1
1
1 n2
的敛散性.
ln(
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n 2
n
ln
1
1 n2
limn2
n
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知 n1ln1n12 收敛.
2020/4/30
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设(1) 当un为正1项时级, 级数数, 且收敛nl im; uunn1 , 则
判断收敛发散的常用公式
判断收敛发散的常用公式一、数列的收敛性判定公式1. 极限定义法：若数列{an}的极限存在且为L，则数列收敛；若不存在极限或极限不为L，则数列发散。
2. 夹逼准则：若数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且lim(an)=lim(cn)=L，则数列{bn}的极限存在且为L。
3. 单调有界准则：若数列{an}单调递增且有上界（或单调递减且有下界），则数列收敛。
4. 零极限法则：若lim(an)=0，则数列{an}收敛。
二、级数的收敛性判定公式1. 正项级数收敛准则：若级数∑an的各项非负且单调递减，则该级数收敛当且仅当其部分和有上界。
2. 比较判别法：若级数∑an和级数∑bn满足0≤an≤bn，若级数∑bn收敛，则级数∑an也收敛；若级数∑an发散，则级数∑bn也发散。
3. 极限判别法：若lim(an/bn)=L（L为常数），且级数∑bn收敛（或发散），则级数∑an也收敛（或发散）。
4. 比值判别法：若lim|an+1/an|=L（L为常数），则当L<1时，级数∑an绝对收敛；当L>1时，级数∑an发散；当L=1时，级数∑an的收敛性不能确定。
5. 根值判别法：若lim|an|^(1/n)=L（L为常数），则当L<1时，级数∑an绝对收敛；当L>1时，级数∑an发散；当L=1时，级数∑an的收敛性不能确定。
三、函数的收敛性判定公式1. 函数极限定义：若对于任意给定的ε>0，都存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，则称函数f(x)的极限为L。
2. 函数单调有界准则：若函数f(x)在[a, +∞)上单调递增且有上界（或在[a, +∞)上单调递减且有下界），则函数f(x)在[a, +∞)上收敛。
3. 函数一致连续准则：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称函数f(x)在区间[a, b]上一致连续。
正项级数收敛乘收敛
正项级数收敛乘收敛摘要：一、正项级数收敛概念介绍二、正项级数收敛的判定条件1.单调有界2.交错级数收敛3.级数部分和收敛三、乘收敛概念介绍四、乘收敛与正项级数收敛的关系五、乘收敛的判定条件1.逐项乘积收敛2.部分乘积收敛六、实例分析七、总结与拓展正文：一、正项级数收敛概念介绍正项级数是指由正数构成的级数，其通项公式为an > 0。
正项级数的收敛性是指当项数无限增加时，级数的部分和趋于一个有限值。
换句话说，当an > 0时，若级数的部分和Sn随着n的增加趋于一个有限值，则称该级数收敛。
二、正项级数收敛的判定条件1.单调有界：若级数an > 0单调递增或递减，并且存在上界或下界，则级数收敛。
2.交错级数收敛：若级数an > 0为交错级数，即正负项交替出现，且|an+1| < |an|，则级数收敛。
3.级数部分和收敛：若级数an > 0的部分和Sn随n的增加趋于一个有限值，则级数收敛。
三、乘收敛概念介绍乘收敛又称乘积级数收敛，是指当项数无限增加时，级数中各项的乘积趋于一个有限值。
乘收敛的级数通项公式为bn = p(n)q(n)，其中p(n)和q(n)为正项级数。
四、乘收敛与正项级数收敛的关系乘收敛与正项级数收敛是相互独立的，即一个级数收敛并不意味着其乘积级数一定收敛。
但当正项级数满足一定条件时，其乘积级数会表现出乘收敛性质。
五、乘收敛的判定条件1.逐项乘积收敛：当级数bn = p(n)q(n)中，p(n)和q(n)分别为单调递增和递减的正项级数，且存在上界和下界，则级数乘积收敛。
2.部分乘积收敛：当级数bn = p(n)q(n)中，p(n)和q(n)分别为单调递增和递减的正项级数，且部分乘积序列|bn+1| < |bn|，则级数乘积收敛。
六、实例分析以交错级数为例，设级数an = (-1)^(n+1)/n，当n趋向于无穷大时，级数部分和Sn = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...交替收敛和发散。
高教社2024高等数学第五版教学课件-8.2 正项级数的收敛性
=1+
2
1
+1
→∞ 2
=
3
+
1⋅2
4
+
1⋅2⋅3
=0<1
+
⋯+
+⋯
(−1)!
收敛。
!
例8 判别级数σ∞
= 的敛散性。
解 因为 =
!
，+1
+1
→∞
=
=
(+1)!
，而
+1
(+1)!
[ +1 ⋅ ]
!
→∞
)
−1
2
1
收敛。
总之，p－级数σ∞
=1
1
1
，当
> 1时收敛，当0 < ≤ 1时发散。
例4
解
1
判别级数
3⋅6
1
+
4⋅7
1
+⋯+
(+2)(+5)
因为级数的一般项 =
1
∞
而级数σ=1 2 是p
1
3⋅6
定理2可得级数
+ ⋯的收敛性．
1
，满足0
(+2)(+5)
<
1
(+2)(+5)
!
由定理4可知级数σ∞
= 发散。
+1
→∞
=
=∞
例9
∞
判别级数σ= 的敛散性。
解 因为 =
5
，+1
高等数学-正项级数
n1 n1
(1) 若 vn 收敛,则 un 也收敛.
n1
n1
(2) 若 un 发散,则 vn 也发散.
n1
n1
比较判别法的极限形式 :
设 lim un l,则 v n
n
(1) 若 0 l , 则两个级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0 时, 若 vn 收敛,则 un 也收敛;
un 与
1
f (x)dx 有相同的敛散性.
n1
【例9-5】证明p-级数
1
np
n1
1
1 2p
1 np
当 0 p 1 时发散，当 p >1 时收敛.
【例9-6】讨论级数
n2
n
1 ln p
n
的敛散性，其中 p>0.
2. 比较判别法
设有两个正项级数 un, vn,且 un vn(n 1, 2,L ),则
n 1
n 1
若 un 发散, 则 vn 也发散.
n 1
n 1
(3)当l 时, 若 vn 发散,则 un 也发散;
n 1
n 1
若 un 收敛,则 vn 也收敛.
n 1
n 1
【例9-7】判断下列正项级数的敛散性：
(1)
2n
n1
sin
3n
;
(2)
n1
1; n(n2 1)
(3)
1
.
正项级数收敛及其应用公式版
公式为正常公式,不是图片版正项级数收敛性判别法的比较及其应用一、引言数学分析作为数学专业的重要基础课程。
级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。
而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。
正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。
二、预备知识1、正项级数收敛的充要条件部分和数列{}n S有界，即存在某正数M，对0>n∀，有n S<M。
2、几种不同的判别法2.1 比较判别法设∑∞=1nnu和∑∞=1nnv是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切n>N都有nnvu≤，那么（1）若级数∑∞=1nnv收敛，则级数∑∞=1nnu也收敛；（2）若级数∑∞=1nnu发散，则级数∑∞=1nnv也发散；即∑∞=1nnu和∑∞=1nnv同时收敛或同时发散。
比较判别法的极限形式：设∑∞=1nnu和∑∞=1nnv是两个正项级数。
若lvunnn=+∞→lim，则（1）当时，∑∞=1nnu与∑∞=1nnv同时收敛或同时发散；（2）当0=l 且级数∑∞=1n n v 收敛时，∑∞=1n n u 也收敛；（3）当∞→l 且∑∞=1n n v 发散时，∑∞=1n n u 也发散。
2.2 比值判别法设∑∞=1n n u 为正项级数，若从某一项起成立着11<q u u n n≤-，0N ∃，有 （1）若对一切0N n >，成立不等式q u u n n ≤+1，则级数∑∞=1i n u 收敛； （2）若对一切0N n >，成立不等式11≥+n n u u ，则级数∑∞=1i n u 发散。
比值判别法的极限形式： 若∑∞=1n n u 为正项级数，则（1） 当1lim<nnn v u +∞→时，级数∑∞=1i n u 收敛； （2） 当1lim≥+∞→nnn v u 时，级数∑∞=1i n u 发散。
正项级数收敛乘收敛
正项级数收敛乘收敛摘要：1.级数收敛的概念2.正项级数的收敛性3.乘收敛的定义和性质4.正项级数收敛乘收敛的证明5.应用举例正文：1.级数收敛的概念在数学中，级数是指一个无穷序列的和，可以表示为：a1 + a2 + a3 +...其中，ai 是序列的第i 项。
当这个序列的和存在时，我们称这个级数收敛。
级数收敛的定义可以用不同的方式表述，其中最常用的是“极限定义”和“柯西收敛准则”。
2.正项级数的收敛性正项级数是指各项均为非负数的级数。
如果一个正项级数满足柯西收敛准则，那么它就是收敛的。
柯西收敛准则是指：对于任意正数ε，存在正整数N，使得当n>N 时，级数的任意一项与它的和的差的绝对值小于ε。
换句话说，级数的各项可以任意排列，只要排列后的级数满足柯西收敛准则，原级数就是收敛的。
3.乘收敛的定义和性质乘收敛是指，对于一个无穷乘积：a1 * a2 * a3 *...当这个乘积存在时，我们称这个乘积收敛。
乘收敛的定义也可以用不同的方式表述，其中最常用的是“极限定义”和“乘积收敛准则”。
乘收敛的性质包括：若各项均为非负，则乘收敛当且仅当每一项都收敛；若各项可能为负，则乘收敛当且仅当至少有一项收敛。
4.正项级数收敛乘收敛的证明对于正项级数，如果每一项都收敛，那么这个级数乘以另一个正项级数也是收敛的。
这是因为，两个收敛的正项级数的乘积仍然满足柯西收敛准则。
具体证明如下：设正项级数{an}和{bn}都收敛，且它们的和分别为A 和B。
那么，级数{an * bn}的和可以表示为：S = a1*b1 + a2*b2 + a3*b3 +...我们可以将这个级数分解为：S = (a1*b1 + a2*b2 + a3*b3 +...) + (a2*b1 + a3*b2 + a4*b3 +...) +...每个括号内的和都小于等于A 和B，因为{an}和{bn}是收敛的。
因此，S 的极限存在，即级数{an * bn}是收敛的。
正项级数收敛乘收敛
正项级数收敛乘收敛摘要：一、正项级数收敛与乘积收敛的概念1.正项级数收敛2.乘积收敛二、正项级数收敛与乘积收敛的关系1.两个正项级数收敛的充分必要条件2.正项级数乘积收敛的充分必要条件三、正项级数收敛与乘积收敛的性质1.乘积收敛级数的性质2.收敛级数乘积的性质四、正项级数收敛与乘积收敛的例子与证明方法1.例子2.证明方法正文：一、正项级数收敛与乘积收敛的概念正项级数收敛，是指正项级数{a_n}的各项非负，且满足lim (n→∞) a_n = 0，即当n 趋向于无穷大时，级数{a_n}的各项逐渐减小，并最终趋于零。
而乘积收敛，是指正项级数{a_n}的各项非负，且满足lim (n→∞) a_n^2 = 0，即当n 趋向于无穷大时，级数{a_n}的各项的平方逐渐减小，并最终趋于零。
二、正项级数收敛与乘积收敛的关系1.两个正项级数收敛的充分必要条件如果两个正项级数{a_n}和{b_n}都收敛，那么它们的乘积{c_n}，即{c_n = a_n * b_n}也收敛。
而如果它们的乘积{c_n}收敛，那么这两个正项级数{a_n}和{b_n}也都收敛。
2.正项级数乘积收敛的充分必要条件如果一个正项级数的乘积收敛，那么这个正项级数本身也收敛。
而如果一个正项级数收敛，那么它的乘积也收敛。
三、正项级数收敛与乘积收敛的性质1.乘积收敛级数的性质如果一个正项级数的乘积收敛，那么这个级数中的每一项都必须是非负的。
此外，如果一个正项级数的乘积收敛，那么这个级数收敛的充要条件是它的每一项都小于等于1。
2.收敛级数乘积的性质如果一个正项级数收敛，那么它的乘积也收敛。
此外，如果两个正项级数都收敛，那么它们的乘积也收敛。
四、正项级数收敛与乘积收敛的例子与证明方法1.例子例如，级数1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...，这是一个正项级数，也是乘积收敛的。
2.证明方法对于正项级数收敛的证明，我们可以使用比较判别法、根判别法和积分判别法等。
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公式为正常公式,不是图片版正项级数收敛性判别法的比较及其应用一、引言数学分析作为数学专业的重要基础课程。
级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。
而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。
正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。
二、预备知识1、正项级数收敛的充要条件部分和数列{}n S有界，即存在某正数M，对0>n∀，有n S<M。
2、几种不同的判别法2.1 比较判别法设∑∞=1nnu和∑∞=1nnv是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切n>N都有nnvu≤，那么（1）若级数∑∞=1nnv收敛，则级数∑∞=1nnu也收敛；（2）若级数∑∞=1nnu发散，则级数∑∞=1nnv也发散；即∑∞=1nnu和∑∞=1nnv同时收敛或同时发散。
比较判别法的极限形式：设∑∞=1nnu和∑∞=1nnv是两个正项级数。
若lvunnn=+∞→lim，则（1）当时，∑∞=1nnu与∑∞=1nnv同时收敛或同时发散；（2）当0=l 且级数∑∞=1n n v 收敛时，∑∞=1n n u 也收敛；（3）当∞→l 且∑∞=1n n v 发散时，∑∞=1n n u 也发散。
2.2 比值判别法设∑∞=1n n u 为正项级数，若从某一项起成立着11<q u u n n≤-，0N ∃，有 （1）若对一切0N n >，成立不等式q u u n n ≤+1，则级数∑∞=1i n u 收敛； （2）若对一切0N n >，成立不等式11≥+n n u u ，则级数∑∞=1i n u 发散。
比值判别法的极限形式： 若∑∞=1n n u 为正项级数，则（1） 当1lim<nnn v u +∞→时，级数∑∞=1i n u 收敛； （2） 当1lim≥+∞→nnn v u 时，级数∑∞=1i n u 发散。
2.3 根式判别法 设∑∞=1n n u 是正项级数，且存在某正整数0N 及正常数M（1） 若对一切0N n >，成立不等式1<M u n n ≤，则级数∑∞=1i n u 收敛；（2） 若对一切0N n >，成立不等式1≥nn u ，则级数∑∞=1i n u 收敛根式判别法的极限形式： 设∑∞=1n n u 是正项级数，且l u nn n =+∞→lim，则（1）当1<l 时，级数∑∞=1n n u 收敛；（2）当1>l 时，级数∑∞=1n n u 发散；（3）当1=l 时，级数的敛散性进一步判断。
2.4 柯西积分判别法对于正项级数∑∞=1n n u ，设{}n u 单调减少的数列，作一个连续的单调减少的正值函数()()0>x x f ，使得当x 等于自然数n 时，其函数恰为n u 。
那么级数∑∞=1n n u 与数列{}n A ，这里()⎰∞=1x f A n ，同为收敛或同为发散。
2.5 拉贝判别法设∑∞=1n n u 是正项级数，且存在自然数0N 及常数r ，（1）若对一切0N n >，成立不等式111>r u u n n n ≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+，则级数∑∞=1i n u 收敛；（2）若对一切0N n >，成立不等式111<⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+n n u u n ，则级数∑∞=1i n u 收敛拉贝判别法的极限形式：设∑∞=1n n u 是正项级数，且极限r u u n n n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→11lim 存在，则 （1）当1<r 时，级数∑∞=1n n u 收敛；（2）当1>r 时，级数∑∞=1n n u 发散。
（3）当1≡r 时，拉贝判别法无法判断。
2.6 阿贝尔判别法 如果：()i 级数∑∞=1n n b ；()ii 级数{}n a 单调有界，()⋅⋅⋅=≤,3,2,1n Ka n，则级数∑∞=1n n n b a 收敛。
2.7 狄立克莱判别法 如果：()i 级数∑∞=1n n b 的部分和n B 有界，()⋅⋅⋅=≤,3,2,1n MB n()ii 级数{}n a 单调趋近于零，则级数∑∞=1n n n b a 收敛。
2.8 对数判别法设0>a ，0n n ≥，∑∞=1n n u 为正项级数，若（1）a n n +≥1ln 1ln，0>n ，∑∞=1n n u 收敛 （2）1ln 1ln≥n n ，a nn +≥1ln 1ln收敛2.9 等价判别法设∑∞=1n n u 为正项级数，n n a u ~，∑∞=1n n a 收敛，则∑∞=1n n u 也收敛三、 判别方法的比较1、当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比值或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件进行判断。
如：（1）、 ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n 131211取2100<<ε，n ∀，若令n p ≡0212121212111ε>>=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-+n n n n n S S n p n所以级数发散（2）、n n n ++-+222 ()()()nn n S n ++-++++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-=122...342523241223 =1221+-++-n n=12121++++-n nS=21lim -=∞→n n SP 级数只能用正项级数的充要条件进行判断最为简便。
2、当级数表达式型如nu 1，n u 为任意函数、级数一般项如含有θsin 或θcos 等 三角函数的因子可以进行适当的放缩，并与几何级数、P 级数、调和级数进行比较nn n u u 1lim ++∞→、n n n u +∞→lim 不易算出或1lim 1=++∞→n n n u u、等此类无法判断级数收敛性或进行有关级数的证明问题时，应选用比较判别法。
例：（1） ()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+11111n nna a a>级数收敛[]2 （2） ()∑∞==≤=12ln 2ln ln ln ln 111ln 1n n n n n n e e n 级数收敛 比较判别法使用的范围比较广泛，适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数。
3、当级数含有阶n 次幂，型如!a 或n a 或分子、分母含多个因子连乘除时，选 用比值判别法。
当通项含()n1-与n u 的函数可以选用比值判别法的极限形式进行判断，例：（1） ()[]∑∞=-⋅⋅⋅⋅13!1231n n n2112lim lim 1=++=∞→++∞→n n u u n nn n 级数发散 （2） ()()()∑∞=+⋅⋅⋅++12111n nn x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+∞→101211lim 1><x x x x u u n n n 所以级数收敛（3）⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+101067246724241432443lim lim 1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n 级数()()∑+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅241062431074n n 收敛4、当级数含有n 次幂，型如n a 或()nn u 或通项nn u p n ln 1=即分母含有含x ln 的函数，分子为1，或级数含有多个聚点时，可选用根式判别法。
例如：（1）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+112n nn n2112limlim =+=∞→∞→n n u n n n n 级数收敛一般来说，当选用根式判别法无法判断时，我们也可以选用比值判别法来判断，但有时候我们用根式判别法而不使用比值判别法，因为根式判别法得到的收敛条件比比值判别法更优。
例如：（2）[]41⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n n c b bc b ()c b <<0 根式判别法bc c b n n n n =---∞→1211limbc c b n n n n =∞→2limbc>1，级数发散 bc<1，级数收敛bc=1，原式⋅⋅⋅++++=b b 11 级数发散 比值判别法1lim 1____>c cu u nn n =+∞→ 级数收敛1lim1>b buu nn n =+∞→ 级数发散由例题可知，两种判别法都可以用来判断上题，但根式判别法与比值判别法相比得出的收敛范围更小，约束条件更为详细。
因此，上题选用根式判别法比比值判别法更好。
在使用判别法时，我们可以选用根式判别法找到最佳收敛条件。
同时也存在只能使用根式判别法，使用比值判别法无法判断的情况。
例如： （3）()[]∑---512n()212121limlim 1==-∞→∞→n n n n n n u 级数收敛 不可使用比值判别法()nn n n n u u 12112lim lim -+-∞→+∞→= 无法判断敛散性 因此，当我们观察级数的一般项的极限趋近于0时，我们可以选用比值判别法或根式判别法。
5、当级数表达式型如n u 1，n u 为含有n ln 的表达式或nu 1可以找到原函数，或级数nu 为[]+∞,1上非负单调递减函数，n u 含有x sin 或x cos 等三角函数的因子可以找到原函数，可以选用柯西积分判别法。
例： ∑∞=3ln ln ln 1n n n n ，其中x x x u nln ln ln 1= 因为⎰∞3dx u n 发散，所以级数发散6、当级数同时含有阶层与n 次幂，型如!a 与n a 时，或使用比值、根式判别法时极限等于1或无穷无法判断其敛散性的时候，选用拉贝判别法。
例： ∑∞=1!n n n n n e 211lim 1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞=n n n u u n 不能用比值判别法11lim -∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n n 无法判断敛散性 不能用根式判别法n n n n n neu !lim =∞= 无法判断敛散性 因此，当根式判别法与比值判别法无法判断敛散性时，我们可以选用拉贝判别法。
7、当通项是由两个部分乘积而成，其中一部分为单调递减且极限趋于0的数列，另一部分为部分和有界的数列，如含有x sin 或x cos 等三角函数()n1-等；或可化为()n1-，如：()()()nn n 1121-=--；也可以型如()∑n u sin ，n u 为任意函数，则可以选用狄立克莱判别法。
阿贝尔判别法也可以看成是狄立克莱判别法的特殊形式。
例： 设∑∞=1n n b 收敛，则级数∑∞=1n nn b ，11+∑∞=n n b n n ，nn n n b ⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=111，n n b n n 213ln 1+∑∞=等都是极限8、当通项可通过泰勒展开式等方法找到其等价式，则可以通过判断其等价式的敛散性来判断原正项级数的敛散性，这需要对泰勒展开式能够较为熟练的使用，以及对各种等价式能够熟练的运用。