2017年上海市高考数学试卷

2017上海市高考数学试卷

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）

1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A ∩B= ． 2．（4分）若排列数P 6m =6×5×4，则m= ．

3．（4分）不等式x−1x

＞1的解集为 ．

4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 ．

5．（4分）已知复数z 满足z +3z

=0，则|z |= ．

6．（4分）设双曲线x 29﹣y 2

b

2=1（b ＞0）的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，

若|PF 1|=5，则|PF 2|= ．

7．（5分）如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→

的坐标为（4，3，2），则AC 1→

的坐标是 ．

8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），若g （x ）={3x −1，x ≤0f(x)，x ＞0

为奇函数，则f ﹣1（x ）=2的解为 ． 9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣

1x

，③y=x 3，④y=x

1

2，从中任选

2

个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 ． 10．（5分）已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2，n ∈N *，{b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ∈N *，{b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则

lg(b 1b 4b 9b 16)

lg(b 1b 2b 3b 4)

= ．

11．（5分）设a 1、a 2∈R ，且12+sina 1

+

12+sin(2a 2)

=2，则|10π﹣a 1﹣a 2|的

最小值等于 ．

12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1，P 2，P 3，P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1（l P ）=D 2（l P ），则Ω中所有这样的P 为 ．

二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13．（5分）关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式D 为（ ）

A ．|0543|

B ．|1024|

C ．|1523

| D ．|6054|

14．（5分）在数列{a n }中，a n =（﹣12

）n

，n ∈N *，则lim n→∞a n （ ）

A ．等于−1

2 B ．等于0 C ．等于12

D ．不存在

15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A ．a ≥0

B ．b ≤0

C ．c=0

D ．a ﹣2b +c=0

16．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 2

9

=1．P

为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是OP →⋅OQ →

的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且OP →

⋅OQ →

=w }，则Ω中元素个数为（ ） A ．2个 B ．4个 C ．8个 D ．无穷个

三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．

（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；

（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．

18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+1

2

，x∈（0，π）．

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=√19，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．

19．（14分）根据预测，某地第n （n ∈N *）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n （单位：辆），其中a n ={5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4，b n =n +5，第n 个月底

的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差． （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；

（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =﹣4（n ﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？

20．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 2

4

+y 2=1，A 为Γ的上顶

点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．

（1）若P 在第一象限，且|OP |=√2，求P 的坐标；

（2）设P （85，3

5

），若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横

坐标；

（3）若|MA |=|MP |，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且AQ →

=2AC →

，PQ →

=4PM →

，求直线AQ 的方程．