立体几何中的动态问题

立体几何中的动态问题

[解题策略]

立体几何中的“动态”问题就变化起因而言大致可分为两类：一是平移；二是旋转．就所求变量而言可分为三类：一是相关线、面、体的测度；二是角度；三是距离．立体几何动态问题的解决需要较高的空间想象能力与化归处理能力，在各省市的高考选择题与填空题中也时有出现．在解“动态”立体几何题时，如果我们能努力探寻运动过程中“静”的一面，动中求静，往往能以静制动、克难致胜．

1．去掉枝蔓见本质——大道至简

在解决立体几何中的“动态”问题时，需从复杂的图形中分化出最简单的具有实质性意义的点、线、面，让几何图形的实质“形销骨立”，即从混沌中找出秩序，是解决“动态”问题的关键．

例1 如图1，直线l⊥平面α，垂足为O.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.点A 是直线l上的动点，点B1在平面α内，则点O到线段CD1中点P的距离的最大值为________．

图1

答案2＋2

解析从图形分化出4个点O，A，B1，P，其中△AOB1为直角三角形，固定AOB1，点P的轨迹是在与AB1垂直的平面上且以AB1的中点Q为圆心的圆，

从而OP≤OQ＋QP＝1

2AB

1

＋2＝2＋2，

当且仅当OQ⊥AB1，且点O，Q，P共线时取到等号，此时直线AB1与平面α成45°角．

2．极端位置巧分析——穷妙极巧

在解决立体几何中的“动态”问题时，对于移动问题，由图形变化的连续性，穷尽极端特殊之要害，往往能直取答案．

例2 在正四面体A －BCD 中，E 为棱BC 的中点，F 为直线BD 上的动点，则平面

AEF 与平面ACD 所成二面角的正弦值的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎦

⎥⎤

23，1

解析 本例可用极端位置法来加以分析．

先寻找垂直：记O 为△ACD 的中心，G 为OC 的中点，则BO ⊥面ACD ，EG ⊥面ACD .如图2，过点A ，E ，G 的平面交直线BD 于点F .此时，平面AEF 与平面ACD 所面二面角的正弦值为1.

由图形变化的连续性知，当点F 在直线BD 的无穷远处时，看成EF 和BD 平行，此时平面AEF 与平面ACD 所成二面角最小(如图3)，其正弦值为

2

3

.

图2 图3

综上可知，平面AEF 与平面ACD 所成二面角的正弦值的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤

23，1.

3．用法向量定平面——定海神针

在解决立体几何中的“动态”问题时，有关角度计算问题，用法向量定平面，可将线面角或面面角转化为线线角．

例3 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知二面角A 1－BD －A 的大小为π

6

，若空间有一条直线l 与直线CC 1所成的角为π

4

，则直线l 与平面A 1BD 所成角的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

π12，

5π12

解析 如图4，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接A 1E ，则∠A 1EA ＝

π

6

.过点A 作AH ⊥A 1E 于点H ，则AH →为平面A 1BD 的法向量，且∠A 1AH ＝π6

.因为l 与直线CC 1所成角的大小为

π4，即l 与直线AA 1所成角的大小为π

4

，那么l 与直线AH 所成角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤

π4－π6，π4＋π6.又因为l 与直线AH 所成的角和l 与平面A 1BD 所成的角

互余，所以直线l 与平面A 1BD 所成角的取值范围是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

π12，

5π12.

图4

4．锁定垂面破翻折——独挡一面

在解决立体几何中的“动态”问题时，对于翻折或投影问题，若能抓住相关线或面的垂面，化空间为平面，则容易找到问题的核心．

例4 如图5，在等腰Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，BC ＝2，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，D 为线段BM 上一个动点(异于两端点)，△ABD 沿AD 翻折至B 1D ⊥DC ，点A 在平面B 1CD 上的投影为点O ，当点D 在线段BM 上运动时，以下说法错误的是( )

图5

A ．线段NO 为定长

B ．CO ∈(1，2)

C ．∠AMO ＋∠B 1DA >180°

D ．点O 的轨迹是圆弧 答案 C

解析 如图6，记B 2为B 1在平面ADC 上的射影，由B 1D ⊥DC 可得B 2D ⊥DC .记B 2D 交AB 于点K ，则DC ⊥平面B 1B 2K .在△B 1DC 中，作EM ∥B 1D 交B 1C 于点E ，连接AE ，

则平面AEM ∥平面B 1B 2K ，平面AEM ⊥平面B 1DC ，从而点A 在平面B 1DC 上的射影O 在直线EM 上．取AM 的中点H ，则NH ＝12MC ＝12，OH ＝12AM ＝12，ON ＝2

2均为定长．易

知点O 的轨迹是以点H 为圆心、1

2为半径的圆弧，因为CO 2＝MO 2＋MC 2，且MO ∈(0,1)，

所以CO ∈(1，2)．又∠AMO ＋∠AME ＝180°，∠AME ＝∠B 1DK ，由最小角定理知∠B 1DB 2<180°－∠B 1DA ， 得∠B 1DK >∠B 1DA ，

于是∠AMO ＋∠B 1DA <180°.故选C.

图6

5．觅得定值明轨迹——动中有静

在解决立体几何中的“动态”问题时，探寻变化过程中的不变关系，是解决动态问题的常用手段．

例5 如图7，已知线段AB 垂直于定圆所在的平面，B ，C 是⊙O 上的两个点，H 是点B 在AC 上的射影，当点C 运动时，点H 运动的轨迹是( )

图7

A ．圆

B ．椭圆

C ．抛物线

D ．不是平面图形 答案 A

解析 如图8，设⊙O 的半径为r ，取BC 的中点M ，则