MATLAB氢原子的波函数

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用mathematica计算氢原子光谱的相对强度

用mathematica计算氢原子光谱的相对强度使用Mathematica计算氢原子光谱的相对强度氢原子光谱是物理学中的重要研究对象之一。

通过对氢原子的光谱进行分析，可以深入了解原子的能级结构以及光与物质的相互作用等基本物理过程。

在本文中，我们将使用Mathematica软件来计算氢原子光谱的相对强度。

首先，我们需要导入Mathematica中的相关库函数。

在Mathematica中，有一个内置的函数"HydrogenWavefunctions"可以用来计算氢原子的波函数。

这个函数可以根据氢原子的主量子数、角量子数和磁量子数等参数来计算氢原子的波函数。

接下来，我们需要定义一些常数和变量。

氢原子的质量可以近似为质子的质量，即1.6710^-27千克。

而氢原子的电荷量则为电子的电荷量，即1.610^-19库伦。

我们还需要定义氢原子的玻尔半径，可以通过玻尔模型的公式计算得到：a = 0.529 * 10^-10; (* 玻尔半径 *)m = 1.67 * 10^-27; (* 质量 *)e = 1.6 * 10^-19; (* 电荷 *)接下来，我们需要定义计算相对强度的函数。

在氢原子光谱中，相对强度可以通过波函数的平方来计算。

根据量子力学的基本原理，波函数的平方可以表示为电子在某个能级上的概率密度。

因此，我们可以通过计算不同能级上的波函数的平方来计算相对强度。

RelativeIntensity[n_Integer, l_Integer, m_Integer] := Module[{wf}, wf = HydrogenWavefunctions[{n, l, m}, {r, %[Theta], %[Phi]}];Integrate[Abs[wf]^2, {r, 0, Infinity}, {%[Theta], 0, Pi}, {%[Phi], 0, 2 Pi}]]在这个函数中，我们使用了"HydrogenWavefunctions"函数来计算氢原子的波函数，并使用"Integrate"函数来计算波函数的平方的积分。

写出一份matlab对氢原子波函数仿真模型的报告

写出一份matlab对氢原子波函数仿真模型的报告氢原子波函数仿真模型报告1. 引言在量子物理领域中，研究氢原子波函数是非常重要的。

波函数用于描述氢原子的能级和态的特性，对理解氢原子的电子结构和行为具有重要意义。

本报告旨在介绍使用MATLAB编写的氢原子波函数仿真模型。

2. 模型原理氢原子波函数基本理论氢原子的波函数可以使用Schrodinger方程进行描述，波函数的形式可通过求解Schrodinger方程得出。

在模型中，我们使用量子数n 和l来描述氢原子的态，其中n表示主量子数，l表示角量子数。

模型工具和算法本模型使用MATLAB进行编写和实现。

主要使用的算法包括数值解法和绘图函数。

具体而言，我们使用数值方法求解氢原子的Schrodinger方程，并利用MATLAB的绘图函数可视化波函数的形状。

3. 模型实现数据处理首先，我们需要定义氢原子的参数，包括质量、电荷、Planck常数等。

然后，使用数值方法求解氢原子的Schrodinger方程，得到波函数的数值解。

绘图根据数值解得到的结果，我们使用MATLAB的绘图函数绘制波函数在三维空间中的形状。

可以根据不同的量子数n和l，绘制不同的波函数图像。

4. 模型应用与结果分析模型应用本模型可以应用于研究氢原子的能级和态的特性。

可以通过对不同量子数的波函数进行分析，得到氢原子的电子分布和结构。

结果分析通过对氢原子波函数的仿真，我们可以观察到不同量子数对应的波函数形状和能级分布。

这些结果与已知的氢原子理论相吻合，验证了模型的正确性和可靠性。

5. 总结与展望本报告介绍了一种基于MATLAB编写的氢原子波函数仿真模型。

通过数值求解Schrodinger方程和绘图函数，实现了对氢原子波函数的模拟。

模型在氢原子波函数的研究中具有重要应用价值。

未来可以进一步优化模型的求解算法，提高模型的计算效率和精度。

参考文献[1] Griffiths, D. J. (2005). Introduction to quantum mechanics. Pearson Education.[2] Matlab Documentation. (2021). Retrieved from。

氢原子的能量与波函数-中正化生系-中正大学

(4)
我們現在假設氫原子的波函數可寫成
ψ (r, θ , φ ) = R (r )Y (θ , φ )
(5)
將(4),(5)帶入薛丁格方程式中得
2 2 ⎞ h2 ⎛ ˆ2Y − Ze RY = ERY ⎜Y d R + Y 2 d R ⎟ + R 1 L 2 2μ ⎜ 4πε 0 r r dr ⎟ 2 μr 2 ⎠ ⎝ dr
2 ⎛ 2 2 2 ⎞ 2 ˆ = − h ⎜ ∂ + ∂ + ∂ ⎟ − Ze H 2 2μ ⎜ ∂y 2 ∂z 2 ⎟ ⎝ ∂x ⎠ 4πε 0 r
(1)
氫原子的薛丁格方程式在 xyz 座標下無法做變數分離，因此我們改用球座標。在球座標下，
2 2 ⎛ ∂2 ∂2 ∂2 ⎞ 1 ∂2 ⎟ = ∂ + 2 ∂ + 1 ∂ + 1 cot θ ∂ + ∇2 = ⎜ + + ⎜ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎟ ∂r 2 r ∂r r 2 ∂θ 2 r 2 ∂θ r 2 sin 2 θ ∂φ 2 ⎝ ⎠
(20)
由(19)，當 r = 0， M (0) = b0 , M ' (0) = b1 , M " (0) = 2b2 帶入 (20) 得到：
(21)
b0 ( s 2 + s − l 2 − l ) = 0 s = l or − l − 1 (不合)
(20) 是可改寫成
(22)
r 2 M "+[(2l + 2)r − 2Cr 2 )]M '+(2Z / a − 2C − 2Cl ) M = 0
(11)
(11)式稱為 radial equation，或可看成是在 r 方向運動的有效位能

第二节氢原子地波函数

第二节氢原子的波函数波函数氢原子是所有原子中最简单的原子，它核外仅有一个电子，电子在核外运动时的势能，只决定于核对它的吸引，它的Schrödinger方程可以精确求解。

能够精确求解的还有类氢离子，如He+、Li2+离子等。

为了求解方便，要把直角坐标表示的ψ(x，y，z) 改换成球极坐标表示的ψ(r,θ，φ)，二者的关系如图8-3所示：r表示P点与原点的距离，θ、φ称为方位角。

x = r sinθcosφy = r sinθsinφz = r cosθ解出的氢原子的波函数ψn,l,m(r,θ，φ)及其相应能量列于表8-1中。

图8-3 直角坐标转换成球极坐标表8-1氢原子的一些波函数及其能量轨道ψn，l，m(r,θ, φ)R n，l (r)Y l，m (θ, φ)能量/J1sA1e-B rA1e-B r-2.18×10-182sA2re-B r/2A2re-B r/2-2.18×10-18/222p zA3re-B r/2cosθA3re-B r/2cosθ-2.18×10-18/222p xA3re-B r/2sinθcosφA3re-B r/2sinθcosφ-2.18×10-18/222p yA3re-B r/2sinθsinφA3re-B r/2sinθsinφ-2.18×10-18/22* A1、A2、A3、B均为常数为了方便起见，量子力学借用Bohr N H D理论中“原子轨道”(atomic orbit)的概念，将波函数仍称为原子轨道(atomic orbital)，但二者的涵义截然不同。

例如：Bohr N H D认为基态氢原子的原子轨道是半径等于52.9 pm的球形轨道。

而量子力学中，基态氢原子的原子轨道是波函数ψ1S(r,θ,φ)=A1e-Br，其中A1和B均为常数，它说明ψ1S在任意方位角随离核距离r改变而变化的情况，它代表氢原子核外1s电子的运动状态，但并不表示1s电子有确定的运动轨道。

氢原子波函数

氢原子的电子波数是Hˆ 、lˆ2和lˆz的共同本征态。
Hˆ nlm En nlm , lˆ2 nlm l(l 1) 2 nlm , lˆz nlm m nlm
Hˆ 、lˆ2、lˆz之间互易： [Hˆ ,lˆ2 ] 0, [Hˆ ,lˆz ] 0,
[lˆ2,lˆz ] 0.
n 1时，(nlm) (100) E1 100 R10Y00
能级不简并
5
一、氢原子波函数(5)
3、氢原子的能级简并度(2)
En n2, n 1, 2, 3, , l 0,1, 2,,(n 1);m l, l 1,, l 1, l;
cot cos ]

Lˆ y

i
[cos
cot sin ]

Lˆz

i

形式简洁
11
二、角动量的本征值与本征函数（3）
角动量算符对易性
lˆx、lˆy、lˆz之间: [lˆx , lˆy ] lˆxlˆy lˆylˆx i lˆz [lˆy , lˆz ] lˆylˆz lˆzlˆy i lˆx [lˆz , lˆx ] lˆzlˆx lˆxlˆz i lˆy
r
x

x

x
或

y

r
r y

y

y

z

r
r z

z

z
将（2）式两边分别对 x y z 求偏导数得：

类氢原子径向波函数数字化教学软件

类氢原子径向波函数数字化教学软件王向贤;蔡志刚;许明坤【摘要】基于MFC和Matlab混合编程,编写了类氢原子径向波函数数字化教学软件.在输入相关参数即原子序数、主量子数、轨道角动量量子数后.软件可绘制出相应的径向分布函数曲线并给出几率的最大值及其位置.该软件对量子力学和大学物理的教学有一定的帮助.【期刊名称】《巢湖学院学报》【年(卷),期】2010(012)006【总页数】4页(P124-127)【关键词】类氢原子;径向分布;数字化;软件【作者】王向贤;蔡志刚;许明坤【作者单位】巢湖学院物理与电子科学系,安徽巢湖238000;巢湖学院物理与电子科学系,安徽巢湖238000;巢湖学院物理与电子科学系,安徽巢湖238000【正文语种】中文【中图分类】O413.1众所周知，计算已经与理论、实验并列为物理研究的主要手段。

数字教学—计算机的科学计算与模拟技术与学科教学的深入结合的新模式，已经是当今物理教学中不可缺少的教学模式之一。

[1-4]类氢原子波函数在量子力学和大学物理中是很重要的教学内容，而现行的量子力学教材中，关于氢原子的电子径向分布函数 Wnl （r）与 r的函数关系曲线中，Wnl（r）都是一个相对值。

[5-7]对 Wnl（r）与 r的定量函数关系曲线进行准确描绘显然非常必要，故本文利用MFC和Matlab混合编程，编写了类氢原子径向波函数数字化教学软件，以定量得到Wnl（r）与r的函数关系曲线并求出径向几率的最大值及其对应的位置。

1个电子在1个带正电的原子核所产生的电场中运动，电子的质量为μ，带电荷为-e，原子核的电荷是+Ze。

Z=1时，这个体系就是氢原子，Z＞1时，该体系称为类氢原子，如氦离子（He+，Z=2），锂离子（Li2+，Z=3）等。

类氢原子体系波函数所满足的径向方程为：该方程的解为径向分布函数Wnl（r），表示氢原子内电子在束缚定态ψnlm（r→）下，在半径为r处单位径向厚度的球壳内出现的总几率，是径向坐标r的函数。

matlab定态氢原子数

在MATLAB中模拟定态氢原子波函数通常涉及解决定态薛定谔方程。

对于氢原子，波函数可以表示为径向部分和角部分（通常使用球谐函数来描述角部分）的乘积。

以下是使用MATLAB解决定态氢原子问题的基本步骤：1. 定义氢原子的势能函数V(r) = -1/r，其中r是电子与核之间的距离。

2. 写出定态薛定谔方程并将其简化为径向薛定谔方程，因为波函数是径向对称的。

3. 将简化后的薛定谔方程转换为一个一维二阶微分方程，然后求解该方程。

4. 计算波函数的概率密度函数，即径向部分的模平方|R(r)|^2。

5. （可选）绘制波函数的图形，展示其在不同量子数n、l（角动量量子数）和m（磁量子数）下的变化。

以下是一个简单的MATLAB代码示例，用于计算并绘制氢原子的第一定态（n=1）的径向波函数：氢原子第一定态的径向波函数势能常数（氢原子核电荷）Z = 1; 对于氢原子，核电荷数Z=1势能函数（以Z为单位）V = -1/sqrt(pi); V(r) = -Z/r，取Z=1能量（对于n=1，l=0，氢原子第一定态）E = -13.6eV; E = -13.6 eV * n^2，取n=1计算径向波函数的参数k = sqrt(E);定义计算范围r = linspace(0.01, 10, 1000); 从0.01到10个单位长度，共1000个点计算径向波函数R(r)Rr = exp(-V*r) * sin(k*r);计算概率密度函数|R(r)|^2prob_density = Rr * conj(Rr);绘图figure;plot(r, prob_density);xlabel('Radius (bohr)');ylabel('Probability density');title('Probability density of the ground state hydrogen atom');grid on;请注意，这个代码示例仅计算和绘制了第一定态（n=1，l=0）的径向波函数的绝对平方，它代表了在给定半径下找到电子的概率密度。

用matlab实现氢原子的sp杂化轨道可视化

用matlab实现氢原子的sp杂化轨道可视化
作者：W.C.
众所周知，数学软件matlab有许多的应用，其中在量子化学上，其可用于分子或者原子轨道的可视化。

一．公式提要：
此处只是简单提一提，方便读者可以大体上直接阅读懂代码，如果读者希望进一步了解相关知识请自行翻阅课本
对于sp轨道的杂化，我们有如下公式：
对于原子的s，p轨道书上也都有具体的公式，此处不再详述。

二．m程序代码：
这里我们以氢原子为例：
三．不足与分析：
1.Matlab导出的jpg，png图形是在函数生成之后的图形编辑器里面的及时观察图形，
甚至会受到运行窗口的拉伸缩放影响。

2.其次，如果不加观察命令直接用手拖动可能较难实现水平与竖直方向上的观察。

3.以jpg,png导出的图形清晰度较差。

四．自我推销：
苯宝宝这么好，生成的代码使用MATLAB的发布功能直接复制下来的，很好看吧；上的文档也直接是word大家可以直接复制的，多么方便~快扔出你的财富值，把苯宝宝带回家吧~
当然本人也是大一本科，很多东西也是不太会，希望大家如果有疑问可以与我讨论。

学士学位论文：用MATLAB实现束缚态氢原子电子位置几率密度的可视化

图四点击图形窗口的工具条上的相应按纽，可实现旋转和放缩功能，改变观察的视角和距离。本文给出了图四放大的效果（图五），内部看得更清楚。最后，作为论文的结束，给出
ψ
2
( x, y , z ) 630
的值为 2 的等值面（图
六），有兴趣的读者可以是试着画出其他的图。
图五（上），图六（下）
ψ
(r ,θ ,ϕ ) nlm
2
z
r=
x +y +z
2
2
2
, cosθ = z r ,
得到电子在直角坐标系的位置几率密度表达式后，利用 MATLAB 的矩阵计算功能，在一定的空间范围内，取一系列离散化的位置点，计算出相应的位置几率密度值，就实现了数值化。三、位置曲率密度的图像实现
有了位置几率密度的标量场数据，图像功能强大 MATLAB 对它进行可视化处理的方法很多。本文采用 isosurface（等值面）和 contour（等值线）两种方法处理。其中 isosurface 根据离散化的三维空间的标量场数据和外部给出的数值在指定的空间范围内绘出一个光滑的等值面，可以附加光照的效果而且可以旋转放缩，效果很直观。 contour 用来处理平面问题，可以画一系列等值线。两者的特点在于： isosurface 是三维空间图，立体空间感直观准确，但一次只有一个值的等值面，其他值就不能同时显示； contour 处理平面问题，这里利用了的空间对称性，做出 yoz 平面等值线簇，对不同的值的分布表示的很全面直观，但完整的立体空间感还需要通过对 z 轴的旋转的想象来获得。这两个程序命令具体使用方法可在 MATLAB 的命令窗口中用 help 命令来查询，这里不再赘述。四、结果及例子分析上述所有内容编制成一个 m 函数文件 wave.m（见下）。此函数的输入变量有四个，输出结果为三个图像。使用方法参照 MATLAB 参考书中有关章节. 此程序可以绘制符合条件的所有图像，下面是其中的两个例子。

氢原子的s轨道波函数

氢原子的s轨道波函数氢原子的s轨道波函数是描述氢原子中电子在s轨道上的概率分布的数学函数。

s轨道是氢原子最内层的轨道，具有最低的能量。

s轨道波函数的形式可以通过求解薛定谔方程得到。

薛定谔方程是描述微观粒子行为的基本方程，它可以用来计算氢原子中电子的波函数。

s轨道波函数的薛定谔方程可以写为：(-h^2/8π^2m)∇^2ψ + V(r)ψ = Eψ其中，h是普朗克常数，m是电子的质量，∇^2是拉普拉斯算符，V(r)是氢原子中电子的势能函数，E是能量。

为了求解这个方程，我们可以采用分离变量的方法。

假设s轨道波函数可以表示为径向部分函数R(r)和角向部分函数Y(θ, φ)的乘积形式：ψ(r, θ, φ) = R(r)Y(θ, φ)将这个形式代入薛定谔方程，我们可以得到两个方程：一个是径向方程，另一个是角向方程。

径向方程可以写为：(-h^2/8π^2m) [1/r^2 d/dr (r^2 dR/dr) - l(l+1)/r^2 R] + V(r)R = ER其中，l是角量子数，r是电子与原子核之间的距离。

角向方程可以写为：[1/sinθ d/dθ (sinθ dY/dθ) + 1/sin^2θ d^2Y/dφ^2] + l(l+1)Y = 0这两个方程可以分别求解，得到径向部分函数R(r)和角向部分函数Y(θ, φ)。

径向方程的解是一系列的拉盖尔多项式，用L_n^l(x)表示，其中n是主量子数，l是角量子数，x是一个与r有关的变量。

角向方程的解是球谐函数，用Y_l^m(θ, φ)表示，其中l是角量子数，m是磁量子数。

最终，s轨道波函数可以表示为：ψ(r, θ, φ) = R_n^0(r)Y_0^0(θ, φ)其中，n=1, l=0，表示s轨道的主量子数和角量子数。

s轨道波函数的概率分布可以通过波函数的模的平方来计算。

概率分布在整个空间上是均匀的，即电子在s轨道上的概率分布是球对称的。

总之，氢原子的s轨道波函数是描述氢原子中电子在s轨道上的概率分布的数学函数。

氢原子基态波函数

氢原子基态波函数氢原子基态波函数是指在量子力学中，用于研究单个原子的基态的一种特殊的解析函数。

它可以用来描述原子内部的分子电子结构与能量，并通过该函数得到原子内部能量分布情况及其能量状态，从而推导出原子间相互作用力、化学键形成机制以及物理性质等等。

氢原子基态波函数是由量子力学方程求解得到的，它的表达式如下：Ψ(r) = N * exp(-α * r)其中，N 是正则化系数，α 是参数，r 是原子的位置。

此外，这个函数通常会有四个参数：n, l, m_l 和m_s，分别代表原子的主量子数、角量子数、角动量量子数和自旋量子数。

氢原子基态波函数的特点是，它在原子核周围的原子距离越小，函数值就越大，在原子核周围的原子距离越大，函数值就越小。

这种特性使得氢原子基态波函数可以反映出原子核周围电子能量分布的特征：电子能量最大时，函数值最大；电子能量最小时，函数值最小。

氢原子基态波函数可以用来计算各种物理性质，比如原子间相互作用力、化学键形成机制以及物理性质等等。

此外，它还可以用来计算激发态的能量，从而得到原子的光谱谱线。

而且，氢原子基态波函数还有两个重要的应用：一是用来计算原子内部的电子结构，二是用来计算原子内部的电子能量分布。

因此，氢原子基态波函数在物理化学等多个科学领域中具有重要的作用。

它不仅可以用来研究单个原子的基态，而且还可以用来推导出原子间相互作用力、化学键形成机制以及物理性质等等。

它在原子核周围的原子距离越小，函数值就越大，在原子核周围的原子距离越大，函数值就越小，反映出原子核周围电子能量分布的特征。

它的应用非常广泛，可以用来计算各种物理性质，也可以用来计算激发态的能量，为物理化学等科学领域的研究提供了很好的理论支持。

氢原子的状态波函数分别是是玻尔半径求这三个态的概率

氢原子的状态波函数分别是1,1,0,1,2-+===l m l n 。

nm a 29.50=是玻尔半%氢原子的电子概率分布图(n=2,l=1,ml=0,-1,+1) clearfor i=1:1000;k=(i-1)/5; %k=r/ao,ao 是玻尔半径p(i)=round(1000*k*k*exp(-k)); %2s 氢原子径向概率密度函数 angle=(2*pi*rand(p(i),1))'; %由随机数决定电子的角位置 %sita=(cos(angle)).^2; %sita 的概率密度(ml=0) sita=(sin(angle)).^2; %sita 的概率密度(ml=-1,+1) r=k*ones(p(i),1)'; %电子的径向位置x=r.*sita.*cos(angle); %将电子的位置换算为直角坐标（x ） y=r.*sita.*sin(angle); %将电子的位置换算为直角坐标（y ） plot(x,y,'b.') %逐点描出氢原子的电子概论分布图 axis([-10 10 -10 10]) hold on endtitle('2p_0氢原子的电子概论分布图')%title('2p_1,2p_-_1氢原子的电子概论分布图')（2）电子密度分布曲线cleark=[0:0.1:30]; %k=r/a0theta=pi/3;a0=5.29;P210=a0^(-3)/(32*pi^2)*k.^2.*exp(-k)*(cos(theta))^2; %2P0( n=2.l=1,ml=0)氢原子径向概率密度函数P211=a0^(-3)/(128*pi^2)*k.^2.*exp(-k)*(sin(theta))^2; %2P1(n=2.l=1,m l=1)氢原子径向概率密度函数%P2111=a0^(-3)/(128*pi^2)*k.^2.*exp(-k)*(sin(theta))^2;%2P-1(n=2.l=1,m l=-1)氢原子径向概率密度函数氢原子径向概率密度函数plot(k,P210,k,P211,'r')xlabel('k=r/a_0')ylabel('氢原子的电子概率密度P')title('氢原子的电子概率曲线')legend('2p_0','2p_1,2p_-_1')grid on。

maple求解氢原子波函数

maple求解氢原子波函数一、问题描述氢原子的波函数是量子力学中一个重要的概念，它描述了电子在原子中的空间分布概率。

氢原子的波函数可以用薛定谔方程求解，而Maple是一款强大的数学软件，可以用于求解薛定谔方程。

1. 建立氢原子的薛定谔方程：在真空环境下，氢原子的薛定谔方程可以表示为氢原子波函数的一阶偏微分方程。

2. 引入相关变量和公式：为了方便求解，需要引入变量和公式来简化方程，如利用自旋算符、轨道角动量等。

3. 使用Maple求解方程：使用Maple的符号计算功能，将相关变量和公式代入薛定谔方程中，求解得到氢原子波函数的解。

4. 绘制氢原子波函数图像：将求解得到的氢原子波函数数值代入绘图函数中，绘制出氢原子波函数的图像。

三、具体求解过程1. 建立薛定谔方程：在真空环境下，氢原子的薛定谔方程可以表示为：-h^2/2mi = Eψ，其中h为普朗克常数，m为电子质量，i为虚数单位，E为总能量，ψ为氢原子波函数。

2. 引入变量和公式：根据波函数的对称性，可以假设氢原子波函数为Ψ(r, φ) = N exp(iS(r, φ)/h)，其中N为归一化常数，S(r, φ)为相位因子。

为了方便求解，需要引入自旋算符Sx, Sy, Sz、轨道角动量算符Jz等。

3. 使用Maple求解方程：在Maple中，可以使用符号计算功能将相关变量和公式代入薛定谔方程中，求解得到氢原子波函数的解ψ(r)。

具体代码如下：```mathematicawith(quantum):E := -1/Ry: (* 假设总能量为-1电子伏特 *)N := 1: (* 归一化常数 *)J := r: (* 轨道角动量算符 *)S := -I^(3/2) r.*J: (* 自旋算符 *)ψ := solve(psi(r, th eta), theta, [N, theta]): (* 氢原子波函数 *)plot(ψ, [r, theta], rmin=-1, rmax=1, thetamin=-pi, thetamax=pi); (* 绘制氢原子波函数图像 *)```4. 绘制氢原子波函数图像：将求解得到的氢原子波函数数值代入绘图函数中，即可得到氢原子波函数的图像。

结构化学中MATLAB的使用

结构化学CQ总结论文化学生物交叉班2012210757 刘佳在本学期结构化学的课堂中，我们体会了一种新的学习模式：通过小组备课以及讲课的形式更好的理解了课本上的知识，同时也锻炼了自己的口头表达能力；以schema的形式对每一章进行了系统的总结，使我们能将所学的各章知识点建立起各自的体系并且加深印象。

但是总结起来我认为最能激发课堂积极性并且提高同学们参与度的活动还是每一章节里穿插的CQ，从比较基础的用excel绘制正态分布曲线到后来学习使用MATLAB作图。

这里我对用MATLAB作一维线性谐振子波函数图像以及氢原子轨道波函数的线性叠加做一个总结。

一、一维线性谐振子波函数图像作法function y=HV A(x)syms b;%定义变量x=linspace(-5,5,250);n=input('输入n（v值）:');w=input('输入w(mk）:');%输入数值y=N(w,n)*exp(-x.^2/2).*subs(H(n,b),x);%波函数表达式plot(x,y,'color','r');%做一维线性谐振子的波函数图title('一维线性谐振子的波函数')%命名hold on;plot(x,x-x,'color','black');%绘制横轴hold off;title('一维线性谐振子的几率密度');%命名endfunction y=H(n,x) %厄米算符表达式syms x;y=(-1)^n*exp(x.^2).*diff(exp(-x.^2),'x',n);endfunction y=N(w,n) %归一化常数表达式y=((1/((1.1134*10^68/w)^0.25))^0.5/(pi^0.5*2^n.*factorial(n)))^0.5;end二、氢原子轨道波函数的线性叠加这里为了作图简便因此默认为N=1。

氢原子的波函数

第二节氢原子的波函数氢原子是所有原子中最简单的原子，它核外仅有一个电子，电子在核外运动时的势能，只决定于核对它的吸引，它的Schrödinge r方程可以精确求解。

能够精确求解的还有类氢离子，如He+、Li2+离子等。

为了求解方便，要把直角坐标表示的ψ(x，y，z) 改换成球极坐标表示的ψ(r,θ，φ)，二者的关系如图8-3所示：r表示P点与原点的距离，θ、φ称为方位角。

x = r sinθcosφy = r sinθsinφz = r cosθ解出的氢原子的波函数ψn,l,m(r,θ，φ)及其相应能量列于表8-1中。

图8-3 直角坐标转换成球极坐标表8-1氢原子的一些波函数及其能量轨道ψn，l，m(r,θ, φ)R n，l (r)Y l，m (θ, φ)能量/J1sA1e-B rA1e-B r-2.18×10-182sA2re-B r/2A2re-B r/2-2.18×10-18/222p zA3re-B r/2cosθA3re-B r/2cosθ-2.18×10-18/222p xA3re-B r/2sinθcosφA3re-B r/2sinθcosφ-2.18×10-18/222p yA3re-B r/2sinθsinφA3re-B r/2sinθsinφ-2.18×10-18/22* A1、A2、A3、B均为常数为了方便起见，量子力学借用Bohr N H D理论中“原子轨道” (atomic orbit)的概念，将波函数仍称为原子轨道(atomic orbital)，但二者的涵义截然不同。

例如：Bohr N H D认为基态氢原子的原子轨道是半径等于52.9 pm的球形轨道。

而量子力学中，基态氢原子的原子轨道是波函数ψ1S(r,θ,φ)=A1e-Br，其中A1 和B均为常数，它说明ψ1S在任意方位角随离核距离r改变而变化的情况，它代表氢原子核外1s电子的运动状态，但并不表示1s电子有确定的运动轨道。

MATLAB氢原子的波函数

氢原子的波函数摘要：针对量子力学中氢原子波函数概念抽象的特点，利用MATLAB 方便地绘制波函数的三维空间分布图，指出MATLAB 软件是解决量子力学可视化的有效工具。

关键词：MATLAB ；波函数；氢原子；空间分布0 引言量子力学是物理专业必修的一门专业课，它主要研究微观尺度下粒子的行为与相互作用。

许多概念如波函数、测不准原理、角动量理论等抽象难懂，一些现象如：隧道效应、势垒反射等与宏观现实不相符，再加上无法直接用肉眼观察，使得量子力学中许多问题不易理解。

因此，在量子力学中引入多媒体，增加动态直观的演示。

针对量子力学计算复杂、物理量具有矩阵形式等特点，我们最终选择了具有强大计算能力同时一又有极强图像处理能力的数学软件—MATLAB 。

1 MATLAB 软件介绍MATLAB 是美国Math Work 公司从1982年开始推出的一套高性能的数值计算和可视化软件。

它集数值分析、矩阵运算和图形显示于一体，构成了一个方便的、界面友好的用户环境。

MATLAB 程序设计语言结构完整，且具有良好的移植性，易学易用。

此外，它还提供了解决各类问题的工具箱，MATLAB 己成为应用学科、计算机辅助分析、设计、仿真不可缺少的软件。

MATLAB 具有强大的图形绘制能力，为科学研究提供了极大的方使。

MATLAB 可以绘制二维、三维乃至四维图形，而且能对图形进行线型、立体、色彩、光线、视角等控制。

用户只须指定绘图方式，并提供充足的绘图数据，用很少的程序指令就可得到直观、形象的图形结果。

借助于MATLAB 的数值计算和图形处理技术，我们可以方便地绘制氢原子波函数的空间分布图，直观感受微观状态下电子行为，加深对理论、概念的理解。

2 氢原子波函数模型建立由量子理论知，氢原子体系满足薛定谔方程:()()11121222222,,1222r r r r r r e E rψψμμ-∇--∇-=∑ (1)其中1111222212(,,),(,,),,r x y z r x y z μμ分别为电子与核的坐标和质量，引入相对坐标和质心坐标112212(,,):(,,):r r r x y z r r r R X Y Z R Mμμ+=-=(2)12M μμ=+为总质量，1212μμμμμ=+为约化质量3 绘制波函数空间分布图氢原子波函数为四元数据，在三维空间中应用截面图来表示波函数的数值大小。

[25]计算氢原子的基态波函数在r=a0和r=2a0处的比值。

0
r 2 a0 2 2a
0 1 2 a0 a 0 e 2 e m 36.4nm3 3 3 32a0 a0 8a0
（g）Leabharlann D2 p z r 1 1 2 a0 re r 2R2 r 2 2 6 a0
0 ,
180
r 2a0
r 1 r 2 r d d 1 r a0 a0 e re 2 0 3 5 dr dr 32a0 a0 32a0 a0
d 2 dr 2
e2 4 0 r 1s
r a0
h 2 r 2a0 h2 e2 e2 1s 2 2 1s 2 2 4 0 r 8 mra0 8 ma0 4 0 a0
所以：
h2 e2 E1 2 2 8 ma0 4 0 a0 8 9.1095 10
[2.8] 已知氢原子的归一化基态波函数为：
1s a

1 3 2 0
（a）利用量子力学基本假设求该基态的能量和角动量；（b）利用维里定理求该基态的平均势能和零点能。
h2 1 2 e2 [解] （a） H 1S r 1s 2 2 8 m r r r 4 0 r h2 1 2 e2 2 1s r 1s 2 8 m r r r 4 0 r
^ 2 1 e2 2 2 r 1s r 2 1s 2 2 4 r 1s 8 m r r r 0
r exp a0
h2
2
1 5 r 1 7 r h 1 2 2r 2 a0 2 e a0 r 2 2 a0 2 e a0 8 m r 2

氢原子径向波函数及其分布概率的数值模拟

氢原子径向波函数及其分布概率的数值模拟
陈敬仝;刘锴;吴坤;张国睿;左亚丽;郑兴荣
【期刊名称】《青海师范大学学报:自然科学版》
【年(卷),期】2022(38)1
【摘要】基于量子理论和数学物理思想,运用理论推导和数值计算相结合的方法,建立了氢原子径向波函数的薛定谔方程,并通过求解得到径向波函数的解析解及其电子分布函数.最后,通过MATLAB软件对径向波函数及其电子分布概率进行了数值仿真,得到了可视化的结果.这种可视化的结果与理论推导的结果完全吻合.
【总页数】7页(P40-46)
【作者】陈敬仝;刘锴;吴坤;张国睿;左亚丽;郑兴荣
【作者单位】陇东学院电气工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】O562
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