高考数学 不等式的证明 专题

高考数学 不等式的证明 专题
一.选择题
(1) 已知R c b a ∈,,，那么下列命题中正确的是 （ ）
A ．若b a >，则2
2
bc ac > B ．若
c
b
c a >，则b a > C ．若03
3
<>ab b a 且，则
b a 11> D ．若022>>ab b a 且，则b
a 11< (2) 设a >1，0<
b <1，则a b b a log log +的取值范围为
（ ）
A ．[)+∞,2
B ．),2(+∞
C ．)2,(--∞
D ．(]2,-∞-
(3) 设x ＞0，P ＝2x +2－
x ，Q ＝(sin x +cos x )2，则 （ ）
A ．P ≥Q
B ．P ≤Q
C ．P ＞Q
D ．P ＜Q
(4)命题p:若a 、b ∈R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件.
命题
q:函数
y=
21--x 的定义域是(-∞,-1][⋃3,+∞).则
( )
A ． “p 或q”为假
B ． “p 且q”为真
C ． p 真q 假
D ． p 假q 真
(5)如果a ，b ，c 满足c<b<a ，且ac<0，那么下列选项中不一定．．．成立的是
( )
A ． ab>ac
B ． c(b-a)>0
C ． cb 2<ab 2
D ． ac(a-c)<0
(6)若a 、b 为实数, 且a+b=2, 则3a +3b 的最小值为 ( )
A ．18
B ．6
C ．23
D ．243
(7) 设p+q=1, p>0, q>0, 则不等式1)(log <pq x 成立的一个充分条件是 ( ) A ． 0<x<41 B ．41<x<21 C ．2
1<x<1 D ． x>1
(8) 设42,=+∈+
y x R y x 且，则y x lg lg +的最大值是
（ ）
A ．2lg -
B ．2lg
C ．2lg 2
D ．2
(9) 设a ＞0, b ＞0，则以下不等式中不恒成立．．．．的是
( )
A ．)11)((b
a
b a ++≥4 B ．33b a +≥22ab
C ．22
2++b a ≥b a 22+ D ．b a -≥b a -
(10) 设0<x <1,a 、b 为正常数，则x
b x a -+12
2的最小值为
（ ）
A ．4ab
B ．)(22
2
b a +
C ．2
)(b a + D ．2
)(b a -
二.填空题
(11) 设a <0，－1<b <0，则a ,ab ,ab 2从小到大的顺序为__________
(12) 设1(,=+-∈+
）
且y x xy R y x ，则x +y 的最小值为_________ (13)若
b a 11<<0,已知下列不等式:①a+b<ab ②|a|>|b| ③a<b ④b
a
a b +>2, 其中正确的不等式的序号为 .
(14)设集合{}
φ≠<-+-m x x x 43|，则m 的取值范围是 .
三.解答题
(15) 已知01<<-a ，21a A +=，21a B -=，a
C +=11
，试比较A 、B 、C 的大小.
(16) 已知正数x 、y 满足y
x
y x 11,12+=+求的最小值.
: 210
x y x y +=>Q 解且、1111
2x y x y x y ∴+=++≥=（）（）,24)1
1(min =+∴y
x 判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法．
(17) 已知3201,log (1),log (1),,a a a a x a y a x y >≠=+=+且试比较的大小.
(18) 已知函数)(x f 在R 上是增函数，R b a ∈，.
（1）求证：如果)()()()(0b f a f b f a f b a -+-≥+≥+，那么； （2）判断（1）中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论；
解不等式)2()11(lg )2()11(lg -+-+≥++-f x
x
f f x x f .
参考答案 一选择题: 1.C
[解析]：A ．若b a >，则2
2
bc ac >（错），若c=0，则A 不成立；
B ．若c
b
c a >，则b a > （错）
， 若c<0，则B 不成立； C ．若033<>ab b a 且，则b a 11>（对），若03
3<>ab b a 且，则⎩
⎨⎧>>00b a
D ．若02
2>>ab b a 且，则b a 11<（错），若⎩⎨⎧<<0
0b a ，则D 不成立。

2.D
[解析]：∵∴a >1，0<b <1，∴.0log 1
log ,0log <=
<b
a b a b a
设t a t b b a 1log ,log ==，则21
≥-+-t
t ；
则a b b a log log +=t
t 1
+=2)1(-≤-+--t t
3.C
[解析]： 2x +2－
x 2222=⋅≥-x
x （当且仅当x =0,等号成立），而x ＞0，故P>2，
Q ＝(sin x +cos x )2=1+sin2x ，而 sin2x 1≤，故Q 2≤ 4.D
[解析]：取a=1,b=－1，可验证p 假；
由21--x 0≥，可得∈x (-∞,-1][⋃3,+∞)，故q 真 5.C
[解析]：取b=0，可验证C 不成立。

6.B
[解析]：∵a+b=2, ∴3a +3b 63232332=⨯==⋅≥+b a b a 7.D
[解析]：∵p+q=1, p>0, q>0,则由pq q p ≥+2，得4
1
≤pq 若 x>1，则0)(log <pq x ，则1)(log <pq x ，故选D 。

8.B
[解析]：设42,=+∈+
y x R y x 且，则22
22=+≤⋅y
x y x ，即2≤xy 故y x lg lg +=2lg )lg(≤xy 9.B
[解析]：∵a ＞0, b ＞0，∴ A ． )11)((b a b a ++≥ab
ab 1
2
2⋅≥4 故A 恒成立，
B ．3
3
b a +≥2
2ab ，取3
2
,21==
b a ，则B 不成立 C ．22
2++b a －（b a 22+ ）=0)1()1(22≥-+-b a 故C 恒成立
D ． 若b a < 则b a -≥b a -恒成立
若b a ≥,则--2)(b a 2
)(b a -=2ab ≥0，∴
b a -≥b a -
故D 恒成立 10.C
[解析]：设α2cos =x ，则α2
sin 1=-x
x
b x a -+122=ab b a b a 2)cot 1()tan 1(2
22222++≥+++αα 二填空题:
11. a ＜ab 2＜ab
[解析]：0)1(0)1(222
>-=->-=-b a a ab b ab ab ab
12. 222+
[解析]：∵2)2
(y x xy +≤∴
1)(4)(2
≥+-+y x y x ， x +y ≥222+ 13. ①,④ [解析]： ∵
b
a 1
1<<0 , ∴b <a <0,故②③错。

14. m >1
[解析]：∵{}
φ≠<-+-m x x x 43|，∴m x x <-+-|4||3|有解
即min |)4||3(|-+->x x m ，故m >1． 三解答题:
(15)证：不妨设2
1-=a ，则4
5=A ，4
3=B ，2=C 由此猜想C A B <<
由01<<-a 得01>+a ，02)1()1(222>=--+=-a a a B A 得B A >，
0143)21(1)1()1(1122
2>+⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡
++-=+++-=+-+=-a
a a a a a a a a A C 得A C >，即得C A B <<.
(16) 解：错误. ；
12
11xy
y x
≥+Θ等号当且仅当x =y 时成立，又； 222xy y x ≥+Θ等号当
且仅当x =2y 时成立，而①②的等号同时成立是不可能的. 正确解法：因为x >0，y >0，且x +2y =1，
223223232x 2y x 11+=⋅+≥++=+++=+∴y
x x y y x x y y y
x y x ，当且仅当
1,2y x 22=+==，又即y x y x
x y ∴这时⎪⎩
⎪
⎨⎧-=
-=2
2212y x (17解)1()1()1(223-=+-+a a a a Θ,
∴（1）当a >1时，a －1>0 ∴),0(log ,1123
+∞=+>+在因x y a a a 上递增，∴.y x > （2）当0<a <1时，a －1<0 ∴),0(log ,1123+∞=+<+在因x y a a a 上递减，∴.y x > 综上（1）（2）知：x >y.
(18) （1）证明：当，
，，且时，)()()()(0a f b f b f a f a b b a b a -≥-≥∴-≥-≥≥+ ).()()()(b f a f b f a f -+-≥+∴
（2）中命题的逆命题为：0)()()()(≥+⇒-+-≥+b a b f a f b f a f ① ①的逆否命题是：)()()()(0b f a f b f a f b a -+-<+⇒<+ ②
仿（1）的证明可证②成立，又①与②互为逆否命题，故①成立，即（1）中命题
的逆命题成立. 根据（2），所解不等式等价于101
99
10211lg ≤
<-≥++-x x x ，解得。