统计案例分析---大学生月平均生活费的估计和检验

统计案例分析案例2.1 大学生月平均生活费的估计和检验姓名：覃玉冰学号：班级：16应用统计一、数据为了了解大学生日常生活费支出及生活费来源状况，对中国人民大学在校本科生的月生活费支出问题进行了抽样调查。

该问卷随机抽取中国人民大学大一、大二、大三、大四在校本科生男女各30多人作为样本。

调查采取分层抽样，对在校本科生各个年级男生、女生各发放问卷30多份，共发放问卷300份，回收问卷291份，其中有效问卷共272份。

其中，男生的有效问卷为127份，女生为145份。

调查得到的部分数据见表一。

表一大学生月平均生活费支出的调查数据（仅截取部分）二、生活费支出的区间估计和假设检验（一）平均月生活费的描述统计量为了更好地研究全校本科学生平均月生活费支出，我们先来看一下样本数据中平均月生活费支出的一些描述统计量。

在spss中，点分析→描述统计→描述→变量选择“平均月生活费”，选项选择“均值、标准差、均值的标准误”，得到的样本数据中平均月生活费的描述统计量见表二。

表二平均月生活费的描述统计量从表二可以看到，样本数据中平均月生活费支出的均值为595.04，标准差为243.444，均值的标准误为14.761.（二）平均月生活费的假设检验从表二中我们已经知道了样本数据中平均月生活费支出的均值为595.04，现在我们来检验一下全校本科学生即总体的月平均生活费支出是否等于500。

1.检验统计量的确定样本数据的样本量n为272，其大于30，可以认为该数据是一个大样本。

现在我们并不知道总体的月平均生活费支出是否服从正态分布，但是在样本量大的条件下，如果总体为正态分布，样本统计量服从正态分布：如果总体为非正态分布，样本统计量也是渐进服从正态分布的。

所以在这种情况下，我们都可以把样本统计量视为正态分布，这时可以使用z 统计量（z 分布）。

即在总体标准差δ已知时，有nx /z 0δμ-=而我们这里总体标准差δ是未知的，此时可以用样本标准差s 代替，上式可以写为：ns x /z 0μ-=2. 提出假设原假设0H 为：全校本科学生月平均生活费支出u=500 备择假设1H 为：全校本科学生月平均生活费支出u=500 3. spss 操作及结果分析在spss 中点分析→比较均值→单样本T 检验→检验变量选“平均月生活费”→检验值填“500”，得到的平均月生活费的假设检验的结果见表三。

表三 平均月生活费的假设检验的结果从表三可以看到，检验的P 值接近于0，其小于0.05，根据小拒大接的原则，拒绝原假设，表面全校学生的月平均生活费支出与500元有显著差异。

（三）平均月生活费的区间估计1. 数学模型的建立样本数据的样本量n 为272，其大于30，可以认为该数据是一个大样本。

现在我们并不知道总体的月平均生活费支出是否服从正态分布，但是在样本量大的条件下，样本均值x 的抽样分布均为正态分布，其数学期望为总体均值μ，方差为n2δ。

x 经过标准化以后的随机变量服从标准正态分布，即 )1,0(~/z N nx δμ-=由上式和正态分布的性质，可以得出总体均值μ在α-1置信水平下的置信区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-n z x n z x δδαα22, 式中，nz x δα2-称为置信下限，nz x δα2+称为置信上限；α是事先所确定的一个概率值，也称为风险值，它是总体均值不包括在置信区间的概率；α-1称为置信水平；2αz 是标准正态分布右侧面积为2α时的z 值；n δ是总体均值的标准误；nz δα2是估计总体均值时的估计误差。

这里，我们并不知道全校本科学生的平均月生活费支出的方差，但是由于样本数据的样本量较大，所以上式中的总体方差2δ可以用样本方差2s 代替，这时总体均值μ在α-1置信水平下的置信区间可以写为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-n s z x n s z x 22,αα 2.模型的求解由表二可知，样本均值为595.04，样本均值的标准误ns为14.761.当风险值α取0.05时，即置信水平α-1取95%时，全校学生月平均生活费支出的95%的置信区间为[595.04-1.96*14.761，595.04+1.96*14.761]，即566.11到623元之间。

三、男女学生的平均月生活费的假设检验（一）男女学生的平均月生活费的描述统计量为了更好地研究全校本科男女学生的平均月生活费支出间是否有显著差异，我们先来看一下样本数据中男女学生的平均月生活费支出的一些描述统计量。

在spss 中点数据→拆分文件→勾选“比较组”→分组方式选“性别” 然后点分析→描述统计→描述→变量选择“平均月生活费”，选项选择“均值、标准差、均值的标准误”，得到的平均月生活费的描述统计量见表四。

表四 男女学生平均月生活费的描述统计量从表四可以看到，样本数据中男生的平均月生活费支出的均值为596.69，标准差为229.748；女生的平均月生活费支出的均值为617.24.标准差为253.543。

单从样本数据中男女学生的平均月生活费支出的均值来看，全校本科男女学生的平均月生活费支出间是有差异的，但是这只是我们主观的看法，下面我们用两个总体均值之差的假设检验来探究全校本科男女学生的平均月生活费支出间是否有显著差异。

（二）男女学生的平均月生活费间的假设检验 1. 检验统计量的确定样本数据中男学生有127人，女学生有145人，均大于30，说明两个总体的样本量均较大，此时无论两个总体的分布是不是正态分布，可以证明的是，由两个独立样本算出来的21x x -的抽样分布都是服从正态分布的，此时，作为检验统计量z 的计算公式为：2221212111)()(n n x x z δδμμ+---=式中，21μμ，分别为两个总体的均值，2221δδ，分别为两个总体的方差。

这里，我们并不知道全校本科男学生和女学生的平均月生活费支出的方差，但是由于两个总体的样本量都较大，所以可以用样本方差2221S S ，来替代总体方差2221δδ，.此时，上式可以写为：2221212111)()(n sn s x x z +---=μμ2. 提出假设原假设0H 为：全校本科男女学生月平均生活费支出之差0-21=μμ，即全校本科男女学生的平均月生活费支出之间没有显著差别。

备择假设1H 为：全校本科男女学生月平均生活费支出之差0-21≠μμ，即全校本科男女学生的平均月生活费支出之间有显著差别。

3. spss 操作及结果分析在spss中点数据→拆分文件→勾选“分析所有个案，不创建组”，然后点分析→比较均值→独立样本T检验→检验变量选“平均月生活费”→分组变量选“性别编号”，定义组选择“使用指定值1和2”，得到的男女学生的平均月生活费间的假设检验的结果见表四。

表四男女学生的平均月生活费间的假设检验的结果从表四可以看出，当原假设是男女学生的平均月生活费的方差相等时，检验所对应的P值是0.487，其大于0.05，根据小拒大接的原则，不能拒绝原假设，即没有证据表明方差是不相等的，故我们看假设方差相等时的假设检验的结果就可以了。

从假设方差相等时的假设检验的结果上来看，检验的P值为0.108，其大于0.05，根据小拒大接的原则，不能拒绝原假设，即没有证据表明男女学生的月平均生活费支出之间有显著差异。

四、估计乡镇地区学生的比例（一）对学生按性别和来源进行分类汇总为了估计乡镇地区学生的比例，我们先对学生按性别和来源进行分类汇总，在spss中点分析→描述统计→交叉表→行选择“性别”，列选择“家庭所在地区”→单元格中的百分比勾选“行”，得到如表五所示的汇总表。

表五 按性别和家庭所在地区进行的分类汇总从表五可以看到，家庭所在地区为乡镇地区的学生占所有被抽中的学生的25%。

（三）乡镇地区学生比例的区间估计1. 数学模型的建立样本数据的样本量n 为272，其大于30，可以认为该数据是一个大样本。

由样本比例p 的抽样分布可知，当样本量足够大时，比例p 的抽样分布可用正态分布近似。

p 的数学期望为π=)(p E ；p 的方差为np )1(2ππδ-=。

样本比例经标准化后的随机变量则服从标准正态分布，即)1,0(~/)1(N np z πππ--=与总体均值的区间估计类似，在样本比例p 的基础上加减估计误差p z δα2，即得总体比例π在α-1置信水平下的置信区间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--n z p n z p )1(,)1(22ππππαα用上式计算总体比例π的置信区间时，π值应该是已知的。

但实际情况不然，π值恰好是要估计的，所以，需要用样本比例p 来替代π。

这时，总体比例的置信区间可表示为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--n p p z p np p z p )1(,)1(22αα式中，np p z p )1(2--α称为置信下限，np p z p )1(2-+α称为置信上限；α是显著性水平；2αz 是标准正态分布右侧面积为2α时的z 值；np p z )1(2-α是估计总体比例时的估计误差。

2. 模型的求解从表五可以得到，家庭所在地区为乡镇地区的学生占所有被抽中的学生的25%。

所以全校本科学生中，乡镇学生比例的95%的置信区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯27225.0-125.096.125.027225.0-125.096.1-25.0）（，）（,即19.85%到30.15%之间。

五、单因素对月平均生活费支出的影响分析（一）数学模型1. 单因素方差分析单因素方差分析是指对单因素试验结果进行分析，检验因素对试验结果有无显著性影响的方法。

单因素方差分析是两个样本平均数比较的引伸，它是用来检验多个平均数之间的差异，从而确定因素对试验结果有无显著性影响的一种统计方法。

在数据中，总误差反映全部观测数据的误差；处理误差（组间误差）是由于不同处理造成的误差，它反映了处理对观测数据的影响，因此称为处理效应；随机误差(组内误差)是由于随机因素造成的误差，也简称为误差。

数据的误差用平方和表示，记为SS 。

其中总平方和记为SST ，其计算公式为：∑∑==-=li nj ij y y SST 112)(它反映全部数据总误差大小的平方和。

处理平方和记为SSA ，其计算公式为：21)(y y n SSA li i i -=∑=它反映处理误差大小的平方和，也称为组间平方和。

误差平方和记为SSE ，其计算公式为：∑∑==-=li nj i ij y y SSE 112)(它反映了随机误差大小的平方和，也称为组内平方和。

误差平方和的分解及其关系所图一所示。

图一 误差平方和的分解及其关系方差分析的基本原理就是要分析数据的总误差中有没有处理误差。

如果处理对观测数据没有显著影响，意味着没有处理误差。

这时，每种处理所对应的总体均值应该相等，如果存在处理误差，每种处理所对应的总体均值至少有一对不相等。