-新高二数学竞赛选拔试题
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新高二数学竞赛选拔考试试题 满分100分 考试时间:90分钟
一、选择题(每小题5分,共40分)
1、当,x y 满足条件1x y +≤时,变量2+-=y x z 的取值范围是( ).
A. 22⎣⎦
B. ()1,3
C. []1,3
D.
22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
2、体育课下课后,老师要求体育委员把5个相同的篮球、3个相同的排球、2个相同的橄榄球排成一排放好,则不同的放法有( )
A. 420种
B. 1260种
C. 5040种
D. 2520种
3、设()f x 是连续的偶函数,且当0x >时()f x 是严格单调函数,则满足
3
()(
)4
x f x f x +=+的所有x 之和为( ). A.3- B.-8 C. 3 D.8
4、若把函数sin y x x =-的图象向右平移m (m >0)个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( ).
A .
π3 B .2π3 C .π6 D .5π6
5、空间中一点P 到三条两两垂直的射线,,OA OB OC 且垂足分别为,,A B C ''',则三棱锥P A B C '''-的体积为( ).
B.
D. 6、已知直线)0(0>=-+k k y x 与圆422=+y x 交于不同的两点B A ,,O 为坐标原
≥
+,则k 的取值范围是( ). A. ),3(+∞ B. ),2[+∞ C. )22,2[ D. )22,3[ 7、设n a 为),2()3(N n n x n ∈≥+的展开式中x 的一次项系数,则
=++)333(2008
20092009
2009
3322a a a ( ). A. 18 B. 17 C. -18 D. 19 8、如图,在直角梯形ABCD 中,已知3,1,===⊥AB DC AD AD AB ,动点P 在以点C 为圆心且与直线BD 相切的圆内运动,若),(R AB AD AP ∈+=βαβα,则βα+的取值范围是( )
A. )34,0(
B. )35,0(
C. )34,1(
D. )3
5,1(
二、填空题(每小题5分,共20分)
9、设函数⎩⎨⎧>≤--=-7
,7
,3)3()(6x a x x a x f x ,数列{}n a 满足(),n a f n n +=∈N ,且数列{}n a 是
递增数列,则实数a 的取值范围是
10、一个球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切,若该球的体积为
3
32π
,则该三棱柱的体积是_______________________
11、已知)2,(≥∈n N n n 是常数,且n x x x ,,,21 是区间]2
,
0[π
内任意实数,则函数
1322121cos sin cos sin cos sin ),,(x x x x x x x x x f n n ++=的最大值等于
12、不等式x a x a x cos 1cos sin 22+≥++对于一切R x ∈成立,则实数a 的取值范围是
三、解答题(本大题共4个小题,共40分)
13、(本小题满分10分) 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且
1
cos 2
a C c
b +=
(1)求角A 的大小.
(2)若1a =,求ABC ∆内切圆半径R 的最大值.
14、(本小题满分10分)已知数列{}n a 的首项14a =,前项和为n s , 且
13240(*)n n s s n n N +---=∈
(1)求数列{}n a 的通项公式. (2)设函数211()n n n f x a x a x a x -=++
+,()f x '是函数()f x 的导函数,令
)1('f b n =,求数列}{n b 的通项公式
X
Y O
D B
A 15、(本小题满分10分)已知点)2,1(A 是离心率为
2
2
的椭圆C :)0(122
22>>=+b a a
y b x 上的一点.斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点,且A 、B 、D 三点不重合.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)ABD ∆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由?
16、(本小题满分10分)已知函数1ln )(-=
x
x
x f (1)试判断函数)(x f 的单调性;
(2)设0>m ,求)(x f 在]2,[m m 上的最大值; (3)试证明:对*∈∀N n ,不等式n
n
n n e +<
+1)1ln(