-新高二数学竞赛选拔试题

新高二数学竞赛选拔考试试题 满分100分 考试时间：90分钟

一、选择题(每小题5分，共40分)

1、当,x y 满足条件1x y +≤时,变量2+-=y x z 的取值范围是( ).

A. 22⎣⎦

B. ()1,3

C. []1,3

D.

22⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

2、体育课下课后，老师要求体育委员把5个相同的篮球、3个相同的排球、2个相同的橄榄球排成一排放好，则不同的放法有（ ）

A. 420种

B. 1260种

C. 5040种

D. 2520种

3、设()f x 是连续的偶函数,且当0x >时()f x 是严格单调函数,则满足

3

()(

)4

x f x f x +=+的所有x 之和为( ). A.3- B.-8 C. 3 D.8

4、若把函数sin y x x =-的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）.

A ．

π3 B ．2π3 C ．π6 D ．5π6

5、空间中一点P 到三条两两垂直的射线,,OA OB OC 且垂足分别为,,A B C ''',则三棱锥P A B C '''-的体积为( ).

B.

D. 6、已知直线)0(0>=-+k k y x 与圆422=+y x 交于不同的两点B A ,,O 为坐标原

≥

+，则k 的取值范围是( ). A. ),3(+∞ B. ),2[+∞ C. )22,2[ D. )22,3[ 7、设n a 为),2()3(N n n x n ∈≥+的展开式中x 的一次项系数，则

=++)333(2008

20092009

2009

3322a a a ( ). A. 18 B. 17 C. -18 D. 19 8、如图，在直角梯形ABCD 中，已知3,1,===⊥AB DC AD AD AB ，动点P 在以点C 为圆心且与直线BD 相切的圆内运动，若),(R AB AD AP ∈+=βαβα，则βα+的取值范围是（ ）

A. )34,0(

B. )35,0(

C. )34,1(

D. )3

5,1(

二、填空题(每小题5分，共20分)

9、设函数⎩⎨⎧>≤--=-7

,7

,3)3()(6x a x x a x f x ，数列{}n a 满足(),n a f n n +=∈N ，且数列{}n a 是

递增数列，则实数a 的取值范围是

10、一个球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切，若该球的体积为

3

32π

，则该三棱柱的体积是_______________________

11、已知)2,(≥∈n N n n 是常数，且n x x x ,,,21 是区间]2

,

0[π

内任意实数，则函数

1322121cos sin cos sin cos sin ),,(x x x x x x x x x f n n ++=的最大值等于

12、不等式x a x a x cos 1cos sin 22+≥++对于一切R x ∈成立，则实数a 的取值范围是

三、解答题（本大题共4个小题，共40分）

13、(本小题满分10分) 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且

1

cos 2

a C c

b +=

(1)求角A 的大小.

(2)若1a =,求ABC ∆内切圆半径R 的最大值.

14、(本小题满分10分)已知数列{}n a 的首项14a =,前项和为n s , 且

13240(*)n n s s n n N +---=∈

(1)求数列{}n a 的通项公式. (2)设函数211()n n n f x a x a x a x -=++

+,()f x '是函数()f x 的导函数,令

)1('f b n =,求数列}{n b 的通项公式

X

Y O

D B

A 15、(本小题满分10分)已知点)2,1(A 是离心率为

2

2

的椭圆C ：)0(122

22>>=+b a a

y b x 上的一点．斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）ABD ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？

16、(本小题满分10分)已知函数1ln )(-=

x

x

x f （1）试判断函数)(x f 的单调性；

（2）设0>m ，求)(x f 在]2,[m m 上的最大值； （3）试证明：对*∈∀N n ，不等式n

n

n n e +<

+1)1ln(