实数计算的常见类型及方法

实数计算的常见类型及方法

【精练】计算

3-2÷3+（-）0-3-1+（-3）2-32

解：原式=3-+1-+9-9=3

在算3-2÷3时易算成1÷3=，另外（-3）2与-32是有区别的．

【知识规律串讲】

一、实数的运算

(1)加法

同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；

异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

任何数与零相加等于原数。

(2)减法a-b=a+(-b)

(3)乘法

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．即

(4)除法

(5)乘方

(6)开方如果x2＝a且x≥0，那么＝x；如果x3=a，那么

在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面．3．实数的运算律

(1)加法交换律a+b＝b+a

(2)加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)

(3)乘法交换律ab＝ba．

(4)乘法结合律(ab)c=a(bc)

(5)分配律a(b+c)=ab+ac

其中a、b、c表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便．

一、加法运算中的方法与技巧

例1 计算：

（1）5－［２＋（－４.８）－（－４）］

（２）｜（－）－（－）＋（－）｜

分析：（１）题的关键是确定运算顺序，有括号的还应先计算括号的；

（2）题的关键是求出绝对值符号中式子的值，进而求出整个式子的值．进行有理数的混合计算时,小学学过的确定运算顺序的方法仍然适用

解（1）5－［２＋（－４.８）－（－４）］

=5－［２－４.８+４］

=5－［7－4.8］

=5－2.2=3

(2) ｜（－）－（－）＋（－）｜

=｜－+－｜

=｜－－+｜

=|－|=

【小结】巧用加法的交换律与结合律，以达到简化的目的，同时注意交换加数位置时，一定要连同前面的符号一起移动.

实数加法运算常有以下规律：互为相反数的两个数先相加—“相反数结合法”；符号相同的数先相加—“同号结合法”；分母相同的数先相加—“同分母结合法”；几个数相加得到整数先相加—“凑整法”；整数与整数，小数与小数相加—“同形结合法”.

二、乘、除运算中的方法与技巧

例2：计算：

（1）4－－÷；（２）－－３××（－１）÷（－１）．

分析：（１）这里没有用括号规定运算顺序，所以我们应先算乘方，再算除法，最后算除法．（2）用括号规定运算顺序，所以应先算括号的，再按顺序进行．另外也可以利用乘法对加法的分配律去掉括号，然后再按顺序进行．

解（1）4－－÷

＝4－（－8）－÷

＝4－（－8）－27÷

＝12＋27

＝29

（2）解法一：－－３××（－１）÷（－１）

=－16－12×（）÷（－）

=－16＋８×(－)

＝－１６－６＝－２２

解法二：－－３××（－１）÷（－１）

＝－１６－１２×（－１）×(－)

＝－１６－（４－１２）×(－)

＝－１６＋（３－９）＝－２２

点评：在进行有理数的混合运算时，一要注意运算顺序的正确；二要注意符号的变化；三要注意在运算性质时不要出现错误．

三、幂的运算

【例3】计算：

【小结】表示4个-2相乘，负数的偶次方是正数，而的相反数，结果为负数，两者意义不同，注意区别.同理，表示3个-2相乘，表示的相反

数，表示3个相乘，除以5的商的相反数，两者意义不同，注意观察，当底数是分数时，底数要加括号.

四、在混合运算中灵活运用运算律

【小结】此题利用分配律计算非常简便，但同时是同学们在计算时容易出错的地方.第一种方法是把括号中的式子看作和的形式，分别相乘，再相加.第二种方法是先定符号，后面注意整体思想.第三种方法，第一部分相乘时先定符号，后定值.

【小结】善于观察，寻求解决问题的策略，是至关重要的.灵活使用交换律和分配律，使解决本题的步骤变得简捷明快.

【小结】有理数的加减乘除混合运算中，如果有括号通常先算括号里面的，如果无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行.此题，在将混合运算中的除法转化为乘法后，运用乘法运算律简化计算.同时注意多项式除以单项式可用分配律.单项式除以多项式不可用分配律，必须把除数作为一个整体来进行计算.

五、二次根式的运算

例8：小东在学习了后, 认为也成立, 因此他认为一个化简过程:

=是正确的. 你认为他的化简对吗? 说说你的理由。

分析：二次根式的化简要根据其基本性质进行，对于性质：，是有条件的即：，，做题时应注意这一点。

解答：他的化简过程是错误的，这是因为：根据性质：，应有条件，，

而该同学在的化简过程中，显然出现了违背条件的情况，与是

没有意义的，因此他的化简过程是错误的。正确的应是：

点评：运算性质是运算的基础，要准确全面的把握运算性质，不能断章取义，在复习是要注这一点，对某一知识的掌握要全面、深刻而不能仅仅局限于了解、知道或模棱两可，这是总复习中的大忌。

拓广：

对于题目“化简并求值：，其中”,甲、乙人的解答不同．甲的解答是：;

乙的解答是：．

谁的解答是错误的？为什么？

解：乙的解答是错误的，因为：，则，故有：

六、开放性问题

【例9】现有四个有理数3，4，-6，10运用有理数的四则混合运算写出三种不同方法的运算式，使其结果等于24，运算如下：

( 1）________________________

（2）________________________

（3）________________________

解：（1）10-［（-6）×3＋4］

（2）（10＋4－6）×3

（3）4－［10×（-6）］÷3

【小结】此题具有开放性、探究性，要发散思维，结合有理数的混合运算性质，多角度寻求解题途径