《数学建模方法及其应用》
数学建模—函数模型及其应用
(k为常数,k≠0);
(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);
(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);
(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
1 (),∈1 ,
了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
2020年5月1日
2020年5月15日
加油量(升)
12
48
加油时的累计里程(千米)
35 000
35 600
注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为(
A.6升 B.8升
C.10升 D.12升
)
答案 B
解析 因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,
3
log 4 8 + = 1,
+ = 1,
解析依题意得
即 2
解得 a=2,b=-2.则
log 4 64 + = 4,
3 + = 4.
y=2log4x-2,当 y=8 时,即 2log4x-2=8,解得 x=1 024.
关键能力 学案突破
考点1
利用函数图像刻画实际问题
【例1】 (2020北京东城一模,10)
故耗油量V=48升.而这段时间内行驶的里程数S=35 600-35 000=600千米.
所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为
48
×100=8升,故选B.
600
3.(2020北京平谷二模,9)溶液酸碱度是通过pH计算的,pH的计算公式为
生物学中的数学建模及其应用
生物学中的数学建模及其应用生物学是一门研究生命科学的学科，最早来自于生命科学的古代哲学，逐渐发展成为现代化的学科。
在现代科学中，生物学的研究涉及到了众多的领域，其中有一项重要的技术就是数学建模。
数学建模是指数学家运用其专业知识和技能，将现实生活中广泛存在的问题转化为数学方程，进行数学计算、分析和研究的过程。
而在生物学中，数学建模主要应用于生态、医学、环境保护等方面，为生命科学研究提供了重要的手段和途径。
一、数学建模在生态学中的应用生态学是研究生物学和环境之间相互作用的学科，它不仅仅是生物学和地理学的交叉学科，而且包含了多方面的知识，如统计学、环境科学和计算机科学等。
数学建模在生态学中的应用十分广泛，例如，研究物种丰度、种群密度的统计模型、气候与珊瑚礁生长模型、生物化学反应动力学模型等等。
例如，人类可能会对某种物种进行大量捕捞，导致其种群数量迅速减少，当捕捞量过大时，该物种可能会面临灭绝的风险。
为了预测这种情况的发生，可以利用数学建模，根据样本数据构建数学模型，用以预测未来种群数量、种群密度变化等。
二、数学建模在医学中的应用医学研究是通过许多实验和调查获得数据，这些数据的数值往往不具有直观意义，如何利用这些数据进行生物医学研究是一大难题。
数学建模可以将这些数据转化为可供计算机模拟的数学方程，对疾病、药物的治疗、诊断等进行量化分析。
举一个例子，我们常常听说医疗数据中出现了“假阳性”和“假阴性”等概念，这是医学诊断不能避免的一种误差。
但是通过建立一种统计模型，在对疾病进行诊断时，可以有效减少这种误诊率的情况，提高医疗质量、降低失败率。
三、数学建模在环境科学中的应用在环境保护领域，数学建模被广泛用于污染物传输、水域与实验环境监测、物质流动和能量转换等方面的研究。
通过建立模型，环境科学家可以有效评估环境质量和环境健康状况。
例如，我们可以通过建立水体模型，对污染物在水体中的传输与扩散进行模拟。
此外，我们还可以使用数学建模方法，建立气候变化模型，了解气候变化的原因、趋势、影响范围和持续程度，为未来应对气候变化提供科学依据。
数学建模算法与应用第3版
数学建模算法与应用第3版一、内容简介《数学建模算法与应用第3版》是一本全面介绍数学建模、算法及其应用的书籍。
本书旨在帮助读者掌握数学建模的基本概念和方法，了解各种算法的实现和应用，提高读者解决实际问题的能力。
本书涵盖了线性代数、概率统计、微分方程、最优化算法、数值计算等多个领域，内容丰富、实用性强。
二、目录第一章数学建模基础第一节数学建模概述第二节数学建模的方法和步骤第三节数学建模的应用领域第二章线性代数及其应用第一节线性代数基础知识第二节矩阵运算及其应用第三节向量空间与矩阵的特征值和特征向量第四节线性代数在计算机视觉和数据科学中的应用第三章概率统计及其应用第一节概率统计基础知识第二节概率论在数据分析和决策中的应用第三节贝叶斯统计推断与应用第四节时间序列分析与应用第四章微分方程建模与算法第一节微分方程概述第二节常微分方程的数值解法与应用第三节偏微分方程的数值解法与应用第四节微分方程在物理、化学、生物等领域的应用案例第五章最优化算法与应用第一节最优化基础知识第二节梯度下降算法与应用第三节牛顿法与应用第四节其他优化算法与应用第五节最优化在机器学习和数据挖掘中的应用第六章数值计算在数学建模中的应用第一节数值计算概述第二节插值与逼近方法在数学建模中的应用第三节数值积分在数学建模中的应用第四节常微分方程的数值解法在偏微分方程建模中的应用第五节有限元方法在结构分析中的应用第七章实际案例分析第一节案例一：物流配送路径优化问题建模与算法实现第二节案例二：投资组合优化问题的数学建模与算法应用第三节案例三：预测模型构建与应用中的数学算法应用第四节案例四：生产调度问题的数学建模与算法实现第八章附录：拓展阅读与参考资料本章节列出了本书中涉及到的相关文献和资料，供读者参考和学习。
同时，也提供了本书作者对相关数学建模和算法的见解和思考。
三、致谢（可根据实际情况省略）感谢各位读者对本书的支持和关注，希望本书能对您的学习和工作有所帮助。
数学建模的方法和应用前景
数学建模的方法和应用前景数学建模是一门将数学、计算机科学、统计学、物理和工程学等交叉学科结合起来的学科。
它的基础是数学，通过利用数学模型，对现实世界的问题进行深入研究，提出解决方案和预测结果。
数学建模在解决实际问题方面具有广泛的应用前景，已成为一个重要的学科。
本文将探讨数学建模的方法及其应用前景。
数学建模的方法数学建模的方法主要有三个方面：问题的分析、建立模型和模型的求解。
问题的分析是解决任何问题的第一步，也是数学建模的第一步。
了解问题的背景和原因，找出问题的核心，确定模型的基本架构和分析问题的重点，是问题分析的主要内容。
建立模型是数学建模的关键步骤。
通过了解问题的实际情况，寻找问题与数学知识的联系，将问题抽象成可以用数学语言描述的形式。
在这个过程中，需要选择合适的数学模型，包括方程、函数、图形等。
模型的求解是数学建模的核心部分。
通过对模型进行求解，可以得到问题的解答。
这个过程中，需要运用数学知识和技巧，包括微积分、线性代数、优化等。
同时，还需要采用计算机模拟等方法来验证结果的正确性。
数学建模的应用前景数学建模在各个领域中都有广泛的应用。
例如，物理学家利用数学模型研究天体和宇宙；生物学家利用数学模型研究生命的进化和发展；经济学家利用数学模型研究市场和交易等。
下面将具体介绍数学建模在几个领域中的应用前景。
环境保护环境保护是一个全球性的问题，涉及到空气、水、土壤等多个方面。
数学建模可以在空气和水质监测、环境预测和风险评估等方面得到广泛的应用。
例如，可以通过建立空气质量或水质量模型，预测和评估环境污染的程度和影响范围。
同时，还可以利用数学模型研究气候变化和海平面上升等重要环境问题。
医疗保健医疗保健也是一个重要的领域，其中数学建模发挥了重要作用。
例如，可以利用数学模型预测疾病的传播和爆发情况，将这些信息用于制定针对性的预防措施。
同时，还可以利用数学模型研究影响健康的因素，如食品安全、医疗资源配置、营养与疾病发生的关系等。
数学建模中的图论算法及其应用研究
数学建模中的图论算法及其应用研究引言：数学建模是指利用数学方法和技巧对实际问题进行分析、抽象、描述、求解和预测的一种研究方法。
图论作为数学建模中的重要工具之一，被广泛应用于各个领域，如网络分析、交通规划、社交网络等。
本文将介绍数学建模中常用的图论算法，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、图论基础知识1.1 图的概念图是由一些点和连接这些点的边组成的集合。
点表示图中的实体或对象，边表示实体之间的关系。
图包含了很多重要的信息，例如节点的度、连通性等。
1.2 图的表示方法图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
邻接矩阵是一个二维矩阵，其中的元素表示节点之间是否相连。
邻接表是一个由链表构成的数组，数组的每个元素表示一个节点，每个节点的链表存储了与该节点相连的节点列表。
二、图的遍历算法2.1 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于图的遍历的算法。
从一个节点出发，递归地访问它的相邻节点，直到所有可达的节点都被访问过为止。
DFS可以用于寻找连通分量、路径搜索等问题。
2.2 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索是另一种图的遍历算法。
从一个节点出发，依次访问它的相邻节点，然后再依次访问相邻节点的相邻节点。
BFS可以用于寻找最短路径、网络分析等问题。
三、最短路径算法3.1 Dijkstra算法Dijkstra算法用于寻找图中两个节点之间的最短路径。
它基于贪心策略，从起点开始逐步扩展最短路径，直到到达终点或无法扩展为止。
Dijkstra算法在交通网络规划、电力网络优化等领域有广泛应用。
3.2 Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法用于寻找图中所有节点之间的最短路径。
它通过动态规划的思想，逐步更新每对节点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法在地理信息系统、通信网络等领域有重要应用。
四、最小生成树算法4.1 Prim算法Prim算法用于寻找连通图的最小生成树。
它从一个起始节点开始，逐步选择与当前生成树距离最近的节点，并将其加入最小生成树中。
数学建模及其应用于生物医学领域
数学建模及其应用于生物医学领域数学建模是一种将实际问题抽象为数学模型的方法，对实际问题进行研究、分析和解决。
这种方法广泛应用于各个领域，包括经济、工程、物理、社会科学等。
而在生物医学领域中，数学建模的应用越来越广泛，为解决生物医学领域中的实际问题提供了有力的工具。
一、数学建模在生物医学领域中的应用1.生物医学图像处理生物医学图像处理是一种将数字图像匹配到数学模型的方法。
它应用于医学诊断和治疗、生物医学研究等方面。
比如在神经影像学中，研究者利用计算机辅助技术，将脑部图像转化为数学模型，再通过数学方法对其进行分析。
这样就能够更准确地评估脑部疾病的程度和影响，为诊断和治疗提供更多的信息。
2.药物研发药物研发是生物医学领域中的重要研究方向，通常需要进行大量的实验和数据分析。
而数学建模可以帮助科研人员预测药物的药效、剂量和毒性，加速新药的研发过程。
比如，研究者可以将药物的化学结构和药理学特性建模，并通过计算机模拟来评估其对生物学系统的影响。
3.生物信息学生物信息学是一种研究生物学和计算机科学相互作用的学科。
它将生物学问题转化为数学模型，并通过计算分析和比较基因组、蛋白质及代谢途径等方面的信息。
例如，在癌症研究中，研究者可以利用生物信息学技术来分析肿瘤细胞的遗传变异和代谢特征，从而了解癌症的发病机制和疾病预测等方面的信息。
二、数学建模在生物医学工程领域中的应用1.仿生学仿生学是一种研究通过仿生方法设计和仿制生物系列的方法。
生物仿制可以实现更高效和可靠的医疗设备和治疗方法。
例如，仿生学可以帮助研究人员模拟人体器官的功能和动力学，以便有效地设计和开发人工器官、生物传感器和药物释放系统等。
2.医疗器械和系统设计生物医学工程在医疗器械和系统设计方面的应用也越来越广泛。
例如，在心脏起搏器的设计中，需要考虑器件的安全性、有效性和生物相容性等方面。
数学建模可以帮助科学家设计和测试医疗器械和系统，以便更好地满足临床需求。
三、数学建模在生物医学领域中的挑战数学建模在生物医学领域中的应用是一个相对新的领域，需要解决一些剩余和困难的问题。
数学建模算法与应用pdf
数学建模算法与应用pdf1. 引言数学建模算法是一种数学工具和方法，它可以帮助解决各种实际问题。
随着科技的不断进步和应用领域的不断拓展，数学建模算法在各个领域中得到了越来越广泛的应用。
本文将针对数学建模算法及其应用进行详细的介绍和探讨。
2. 数学建模算法数学建模算法是一种基于数学原理和方法的模型构建和求解技术。
它可以将实际问题抽象成数学模型，通过运用数学工具和方法对模型进行求解，从而得到问题的答案或者预测结果。
常用的数学建模算法包括线性规划、非线性规划、动态规划、图论等。
3. 数学建模应用领域数学建模算法可以应用于各个领域，如经济、金融、物流、医学等。
在这些领域中，数学建模算法可以帮助企业和组织优化业务流程，提高运作效率，降低成本，提高收益，提高产品质量，推进科学研究等。
4. 数学建模实例以物流领域为例，我们来看一个数学建模算法的实例。
在物流领域中，配送路线的规划和优化是一个重要的问题。
而数学建模算法可以通过构建适当的模型和算法来解决这一问题。
下面是一个简单的配送路线规划模型：1.设配送点为a_i，配送费用为c_i。
2.设配送车辆为V_j，容量为Q_j。
3.构建如下规划模型：min ∑ c_i x_i_js.t. ∑ x_i_j ≤ Q_j for all j∑ x_i_j = 1 for all ix_i_j = 0 or 1 for all i, j其中，x_i_j为0或1变量，表示配送点i是否由车辆j来配送。
该模型可以采用分支定界算法、遗传算法等方法进行求解。
5. 小结总之，数学建模算法是一个强大的工具，可以应用于各个领域，解决实际问题。
在不断发展的世界中，数学建模算法将继续推动科技进步和社会发展。
数学建模算法与应用第三版pdf
数学建模算法与应用第三版pdf《数学建模算法与应用》是一本介绍数学建模及其在实际问题中应用的经典教材。
本书第三版在前两版的基础上进行了更新和完善，包含了更多的实例和应用算法。
以下是对《数学建模算法与应用第三版》的一篇1200字以上的综述。
《数学建模算法与应用第三版》详细介绍了数学建模的基本理论和方法，并提供了多个实例和应用算法的案例。
本书共分为十章，每一章都涵盖了不同的数学建模技术和应用场景。
第一章介绍了数学建模的基本概念和步骤，并阐述了数学建模的重要性。
本章还介绍了不同类型的模型和建模常用的方法，如线性规划、整数规划、非线性规划等。
第二章讨论了统计建模的方法和应用。
本章介绍了常见的统计模型和统计推断方法，如回归分析、方差分析、时间序列分析等。
通过实例，读者可以了解如何用统计模型解决实际问题。
第三章介绍了优化建模的方法和应用。
本章涵盖了线性规划、整数规划、非线性规划等优化算法的基本理论和应用。
通过示例，读者可以了解如何在实际问题中应用不同类型的优化算法。
第四章讨论了动态规划的方法和应用。
本章介绍了动态规划的基本概念和算法，如最优子结构、重叠子问题等。
通过实例，读者可以掌握如何使用动态规划解决实际问题。
第五章介绍了图论的基本概念和算法。
本章涵盖了图的表示方法、最短路径算法、最小生成树算法等。
通过示例，读者可以了解如何使用图论方法解决实际问题。
第六章讨论了模拟建模的方法和应用。
本章介绍了模拟建模的基本原理和常见方法，如蒙特卡洛模拟、离散事件模拟等。
通过实例，读者可以学习如何使用模拟建模解决实际问题。
第七章介绍了遗传算法和粒子群算法的基本原理和应用。
本章通过实例，让读者了解如何使用遗传算法和粒子群算法解决实际的优化问题。
第八章讨论了神经网络的基本原理和应用。
本章介绍了人工神经网络的基本结构和训练方法，并通过实例展示了神经网络在分类、回归等问题中的应用。
第九章介绍了支持向量机的基本原理和应用。
本章讨论了支持向量机的数学原理和分类问题的应用，并通过实例展示了支持向量机在实际问题中的应用。
数学建模方法及其应用
数学建模方法及其应用
数学建模方法是将现实问题抽象化为数学模型，通过符号、计算、推理和实验等手段进行研究解决问题的方法。
数学建模方法的应用十分广泛，包括经济学、工程学、物理学、计算机科学、生物学等领域。
1. 经济学领域：数学建模方法在经济学中的应用包括宏观经济模型、金融市场模型、产业研究模型等，可以帮助经济学家预测经济走势、分析市场趋势、评估政策效果等。
2. 工程学领域：数学建模方法在工程学中的应用包括流体力学模型、热传导模型、结构力学模型、控制系统模型等，可以用来优化设计、预测性能、进行稳定性分析等。
3. 物理学领域：数学建模方法在物理学中的应用包括量子力学模型、场论模型、统计物理模型等，可以帮助物理学家研究物理现象、发掘物理规律、解释实验结果等。
4. 计算机科学领域：数学建模方法在计算机科学中的应用包括图论模型、优化算法模型、人工智能模型等，可以用于解决最优化问题、分类问题、自然语言处理等任务。
5. 生物学领域：数学建模方法在生物学中的应用包括遗传学模型、成因变异模
型、癌症模型等，可以用于预测疾病风险、优化治疗方案、研究基因组学等问题。
总之，数学建模方法是一种十分有价值的计算工具，在各个领域都得到广泛的应用和推广。
数学建模参考资料
数学建模竞赛培训参考书目数学建模类1、数学模型（第二版）姜启源等高等教育出版社2、数学模型方法与算法边馥苹等高等教育出版社3、数学建模方法及其应用韩中庚高等教育出版社数值分析类1、数值分析钟尔杰高等教育出版社2、MATLAB数值分析与应用张德丰国防工业出版社3、数值分析及其MATLAB实现(MATLAB6.0X,7.X版) 任玉杰高等教育出版社4、数值方法和MATLAB实现与应用伍卫国万群张辉机械工业出版社5、数值方法（MATLAB版）周璐[同译者作品]陈渝钱方电子工业出版社6、Java 数值方法张葵葵[同译者作品]骆振熊德慧电子工业出版社最优化理论类1、最优化技术方法及Matlab的实现曹卫华等化学工业出版社2、最优化理论与方法傅英定成孝予唐应辉国防工业出版社微分方程类1、常微分方程组与稳定性理论蔡燧林高等教育出版社2、微分方程模型与混沌王树禾中国科学技术大学出版社3、常微分方程定性方法的应用丁同仁高等教育出版社4、常微分方程及其MAPLE，MATLAB求解钟益林；彭乐群；刘炳文清华大学出版社概率统计类1、统计学--从概念到数据分析吴喜之高等教育出版社2、统计学导论李勇张淑梅人民邮电出版社3、SAS数据分析系统教程陈颖复旦大学出版社4、MATLAB数理统计分析周品赵新芬国防工业出版社5、随机过程何书元北京大学出版社6、非参数统计分析王静龙梁小筠高等教育出版社7让数据告诉你陆立强复旦大学出版社计算机语言类1、Lingo和EXCEL在数学建模中的应用袁新生科学出版社2、MATLAB数学建模与仿真周品赵新芬国防工业出版社3、Java 数值方法张葵葵[同译者作品]骆振熊德慧 ?电子工业出版社数学建模论文类1、数学建模竞赛获奖论文精选与点评韩中庚科学出版社2、数学建模的实践--2006年全国大学生数学建模夏令营论文集全国大学生数学建模竞赛组委会高等教育出版社3、数学建模竞赛浙江大学学生获奖论文点评（1999-2004）杨启帆何勇谈之奕浙江大学出版社4、Word排版艺术侯捷电子工业出版社。
第14讲数学建模函数的模型及其应用2023高三数学一轮复习提高版课件共32张PPT
是均匀的，故为一次函数模型．
目标 2 已知函数模型求解实际问题
已知某物体的温度 θ(单位：℃)随时间 t(单位：min)的变化规律为 θ＝m·2t＋
21－t(t≥0，且 m>0)．
(1) 如果 m＝2，求经过多长时间，物体的温度为 5 ℃； 【解答】 若 m＝2，则 θ＝2·2t＋21－t＝22t＋21t， 当 θ＝5 时，2t＋21t＝52， 令 2t＝x≥1，则 x＋1x＝52， 即 2x2－5x＋2＝0，解得 x＝2 或 x＝12(舍去)，此时 t＝1. 所以经过 1 min，物体的温度为 5 ℃.
时，P(x)max＝P(300)＝25 000.
当 x＞400 时，函数 P(x)＝60 000－100x 是减函数，没有最大值，且 p(x)<20 000.
综上，总利润最大时，该网店经营的天数为 300.
实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系 式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．但应关注以下 两点：①分段要简洁合理，不重不漏；②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的 最大(或最小)值．
一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相
等，当砍伐到原面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要
保留原面积的14.已知到
2019
年为止，森林剩余面积为原来的
2 2.
(1) 求每年砍伐面积的百分比； 【解答】 设每年砍伐面积的百分比为 x(0＜x＜1)，则 a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝
(2) 若物体的温度总不低于 2 ℃，求 m 的取值范围．
【解答】 物体的温度总不低于 2 ℃，即 θ≥2 恒成立，
数学建模方法及其应用
数学建模方法及其应用
数学建模是一种通过建立数学模型来解决现实问题的方法。
它可以应用于各种领域，包括物理学、工程学、经济学、环境科学、生物学等。
以下是一些常用的数学建模方法及其应用：
1.微分方程模型：用于描述动态系统的变化规律，包括传热、传质、机械运动等。
应用领域包括物理学、化学工程、生态学等。
2.优化模型：用于最大化或最小化某个目标函数，如生产成本最小化、资源利用最大化等。
应用领域包括供应链管理、金融风险管理、交通规划等。
3.图论模型：用于描述图形结构和网络连接关系，包括最短路径、最小生成树、网络流等。
应用领域包括电力系统优化、社交网络分析、交通路线规划等。
4.概率统计模型：用于描述随机事件和概率分布，包括回归分析、假设检验、时间序列分析等。
应用领域包括经济预测、医学统计、风险评估等。
5.离散事件模型：用于描述离散事件的发生和演化过程，包括排队论、蒙特卡洛模拟等。
应用领域包括交通流量预测、物流调度、金融风险评估等。
这只是数学建模的一小部分方法和应用，实际上还有很多其他方法和领域。
数学建模可以帮助解决实际问题，优化决策，提高效率和效果。
随机数学建模方法及其应用
随机数学建模方法及其应用It was last revised on January 2, 2021随机数学建模方法及其应用学院：数学与计算机科学学院回归分析法概述回归分析法是通过研究两个或两个以上变量之间的相关关系，运用数理统计方法从事物的抑制状况预测未来的一种信息研究定量方法。
优点：首先它利用降维技术用少数几个综合变量来代替原始多个变量，综合变量集中了原始变量的大部分信息。
其次它通过计算综合主成分函数得分，对客观经济现象进行科学评价。
再次它在应用上侧重于信息贡献影响力综合评价。
缺点：是当主成分的因子负荷的符号有正有负时，综合评价函数意义就不明确。
命名清晰性低。
案例分析以某医院的病例调查为例，对多元线性回归的显着性判断进行说明。
某医院为了解病人对医院工作的满意程度、病人的年龄、病情的严重程度、病人的忧虑程度之间的关系随机调查该医院的10位病人，可得到如下表格。
年龄病情程度忧虑程度满意度50 51 4836 46 5740 48 6641 44 7028 43 8949 54 3642 50 4645 48 5452 62 2629 50 77步骤：1、将数据导入spss2、打开分析--回归--- 线性3、依次打开界面的每个选项进行对应选择。
可得到以下结果。
模型汇总b系数a模型 非标准化系数标准系数B标准 误差试用版tSig.1(常量) .000 年龄 .389 .024 病情程度 .799.545 忧虑程度.163a. 因变量: 满意度由上表可以得出：321645.195117.01713.15249.175x x x y ---=聚类分析法概述聚类分析法是将个体（样品）或者对象（变量）按相似程度（距离远近）划分类别，使得同一类中的元素之间的相似性比其他类的元素的相似性更强。
目的在于使类Anova b模型 平方和df均方FSig. 1回归 3 .001a残差 6总计9a. 预测变量: (常量), 忧虑程度, 年龄, 病情程度。
数学建模及其应用
数学建模及其应用在现代科学与工程领域中，数学建模是一项重要而广泛应用的技术。
它借助于数学模型，将实际问题转化为数学问题，从而更好地理解、分析和解决这些问题。
本文将从数学建模的定义、基本步骤和实际应用三个方面来探讨数学建模及其应用。
一、数学建模的定义数学建模是指将实际问题通过数学工具和方法的运用以及数学模型的建立，用数学语言、符号和公式来描述所研究的实际问题。
数学模型通常是以方程、不等式、图表等形式来表述，通过对模型的分析和求解，可以得到对实际问题的认识和解决方法。
二、数学建模的基本步骤1. 问题的分析与定义：首先需要对实际问题进行全面的分析，确定问题的具体要求和关键因素，明确建模的目标和范围。
2. 建立数学模型：根据问题的特点和要求，选择合适的数学方法和工具，建立相应的数学模型。
模型的建立需要合理假设和逼近，将实际问题转化为数学形式。
3. 求解与验证：通过数学方法对模型进行求解，并对解的合理性进行验证。
这一步需要运用数值计算、优化算法、统计方法等技术手段，得到对实际问题的解释或解决方案。
4. 结果分析与评价：对求解结果进行分析和评价，判断模型的适用性和实用性。
如有需要，可以对模型进行修改和优化，优化后的模型能更好地预测和解决实际问题。
三、数学建模的实际应用数学建模在各个领域都有广泛的应用，例如：1. 自然科学领域：在物理学、化学和生物学等领域中，数学建模被广泛应用于描述和分析天体运动、化学反应动力学和生物系统的行为等。
通过建立相应的数学模型，科学家们能够更好地理解自然界中的变化和规律。
2. 工程技术领域：在工程设计、控制系统和优化问题等方面，数学建模都起到了重要的作用。
对于制造业和交通运输领域来说，通过建立合适的数学模型，能够帮助工程师们优化设计和操作过程，提高效率和减少资源的浪费。
3. 经济管理领域：数学建模在经济学、金融学和市场营销等领域中有广泛的应用。
通过建立适当的数学模型，可以预测市场走势、评估投资风险和优化资源配置，为决策者提供决策依据。
数学建模中的主要方法和应用
数学建模中的主要方法和应用数学建模是当今现代科学技术发展中的重要组成部分，它将数学方法、计算机技术与实际问题结合，通过数学模型建立、分析和求解实际问题，为人类社会的发展提供了巨大的支持和帮助。
数学建模方法丰富多彩，如最优化方法、微分方程模型、图论模型和随机过程模型等，其中最常用的是最优化方法和微分方程模型。
下面将从理论和实践两个方面展开介绍，重点讲述数学建模中最常用的方法及其应用。
一、最优化方法最优化方法是数学建模中应用广泛的一种方法，它是求解优化问题的一类数学算法。
在数学建模中，最优化方法的应用范围非常广泛，可以用于优化问题的建模与求解，如在工业生产中，我们需要在保证质量的前提下尽量节约原材料和能源，这时就可以采用最优化方法建立优化模型。
最优化方法按不同的算法分类，可以分为线性规划、非线性规划和动态规划等，其中线性规划是最为常见和基础的一种方法。
线性规划的求解一般采用单纯形法，通过计算确定最优解。
非线性规划是线性规划的扩展，它是求解目标函数不是线性函数的规划问题。
非线性规划的求解方法有牛顿法和梯度下降法等，这些方法都需要利用微积分的基础知识。
对于一个复杂的优化问题，在建立模型的过程中，最关键的就是确定目标函数。
一个好的目标函数需要具备可行性、一致性、可表达性和可求解性等特点。
在具体求解过程中，还需要对目标函数进行求导，确定优化点，并验证该点是否为全局最优解。
二、微分方程模型微分方程模型是数学建模中常用的一种方法，它是利用微积分的基础知识建立模型，解决与时间有关的问题。
在实际生活中，许多问题都与时间有关，如人口增长、物种灭绝、气候变化等，这些问题的变化过程都可以通过微分方程模型进行描述和分析。
微分方程模型按不同级别分类，可以分为一阶微分方程、二阶微分方程和高阶微分方程等，其中最为常用的是一阶微分方程。
一阶微分方程是指微分方程中未知函数的导数最高次数为一的情况，它可以描述很多与时间相关的变化问题。
数学建模中的模型构建方法及其应用
数学建模中的模型构建方法及其应用数学建模是将现实世界中的问题用数学语言描述，建立数学模型并通过计算机仿真、数值分析等方法进行求解的过程。
在实际应用中，模型的构建方法是数学建模成功的关键因素之一。
本文将从模型定义、模型构建方法、模型应用等方面对数学建模中的模型构建方法进行探讨。
一、模型定义模型是对于某一个事物或系统的一种抽象的描述。
模型具有以下几个特征：1.抽象性：模型是对于问题实体或对象的简化和抽象，略去了问题实体或对象的一些细节和复杂性。
2.现实性：模型要反映出问题实体或对象的存在、行为和变化，与实际问题相关。
3.可计算性：模型要具有可计算性，即能用数学方法加以处理求解。
4.适用性：模型要适用于某种具体问题，并具有推广应用价值。
二、模型构建方法1.数理统计方法：利用概率论和统计学原理，对研究对象进行观测、测量，并进行数据处理和分析，建立相应的统计模型。
2.数学分析方法：利用微积分、代数、几何等数学工具，对问题进行建模和分析。
3.数值计算方法：通过数学模型的离散化，利用数值方法进行求解，如差分方法、积分方法等。
4.系统分析方法：将问题分解成不同层次的子系统，分析、设计、优化和协调子系统之间的关系，建立数学模型求解。
5.最优化方法：在模型约束条件下寻求最优解，如线性规划、整数规划等。
6.模糊数学方法：用模糊集、模糊逻辑等方法对不确定性的问题进行建模和分析，比如模糊多目标规划、模糊决策等。
三、模型应用1.教育领域：在课程设计和教学改革中，利用数学建模帮助学生更好地理解和掌握知识，培养创新精神和独立思考能力。
2.经济领域：通过建立经济模型，对宏观经济走势、市场供求关系、企业经营策略等进行预测和优化，为决策者提供科学依据。
3.环境领域：基于环境污染、生态平衡等问题建立数学模型，分析、预测、评估环境影响，为环境管理提供技术支持。
4.医学领域：利用数学模型分析和预测病原体传染病、药物代谢等问题，推进医学科学研究。
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的“量纲”，记为•。
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2020年3月7日
一、量纲分析方法
1、量纲
例如，时间的量纲为 T ，长度的量纲
为 L，速度的量纲为 [LT 1] ，质量的量
纲为M 等。
量纲分析就是基于量纲一致的原则 来分析物理量之间关系的一种方法。
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2020年3月7日
一、量纲分析方法
例如，常用的基本量纲有：
记为 q1, q2 ,, qm ，根据问题的物理意义确定基本量
纲，记为 X1, X 2 ,, X n (n m) ；
热量e
时刻t
温度u
r
15
基本量纲： 时间：T 长度：L 温度：θ 质量：M
2020年3月7日
一、量纲分析方法
４、量纲分析的一般步骤
n
(2) 写 出 q j 的 量 纲 [q j ]
urt e纲分析方法
４、量纲分析的一般步骤
m
(3)设 q1, q2,, qm 满足关系
q yj j
，其
j 1
中 yj 为待定的， 为无量纲的，因此
[
]
m
X
a j
j
1,于是
j 1
m
a j aij yi 0( j 1,2,, n) ； i 1
X
aij i
(
j
1,2, ,
m)
,
i 1
A (aij )nm ；
k: ML 1T 3 e : ML2T 2 C ： M 1T 2L1
0 1 0 2 1 1 L
A 0 0 0
1
1
1
M
0 0 1 2 2 3 T
1 0 0 0 1 1
X
aij i
(
j
1,2, ,
m)
。
i 1
矩阵 A (aij )nm 称为量纲矩阵.
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2020年3月7日
一、量纲分析方法
３、量纲分析的基本定理
若 A 的秩 r ，可设线性齐次方程组 AY 0 （ Y 是 m 维 向 量 ）， 有 m r 个 基 本 解 为
yk (yk1 , yk2 ,, ykm )T , k 1,2,, m r 。
第二章 两种初等分析方法
• 一般认为，集合与集合论的有关概念和理论 都是非常抽象的，不便于在实际中应用．
• 对于实际中的许多问题，往往是其相关因素 之间的关系比较复杂，用相对通俗、简单的语 言文字难已表达。
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2020年3月7日
二、集合分析方法
• 用集合的概念、术语和子集合之间的运算关 系来解释、描述这个实际问题可能更清晰、更 直接、更方便。
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2020年3月7日
二、集合分析方法
案例分析：合理分派与会成员问题
1. 问题的提出
公司董事长需要一份由公司董事参加的7段分 组会议的每个小组的分配名单．这份搭配名单要尽 可能多地把董事均匀搭配．
理想的搭配应是任意两位董事同时参加一个小 组讨论会的次数相同,与此同时，要使在不同时段的 小组会中同在一起开过会的董事总数达到最小．
系 数 矩 阵 A (aij )nm , RankA r ， 则 方 程 组 有
m r 个基本解，记
yk ( yk1 , yk2 ,, ykm )T , k 1,2,, m r ；
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2020年3月7日
一、量纲分析方法
y1
0
AY 0 0 1
1 2
r 2t 1ck 1 u2t 3e2ck
3
u
e c
(a
2t
)
3 2
g
r2 a2t
，其中 a2
k c
,
g
为待定的。
另一方面，该问题可用热传导方程求解： u
e c
2
1
a2t
3
r2
e 4a2t
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2020年3月7日
• 通过对数据和现象的分析对事物的内在 规律作出合理的猜想（或推理），即可 作为模型的假设。
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2020年3月7日
一、量纲分析方法
1、量纲
量纲分析是物理学中常用的一种定性 分析方法。当对一个物理概念进行定量描述 时，总离不开它的一些特性.
比如，时间、质量、密度、速度、力等等， 这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同
瞬时热源位于原点处 (r 0) ，热量通过介
质向无穷空间扩散，试研究扩散规律。
讨论： 如何来刻画热扩散规律？ 这些规律与那些因素有关？
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一、量纲分析方法
引例：空间点热源的热扩散问题
热量e
时刻t
温度u
r
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一、量纲分析方法
对现实对象的认识主要来源于两个方面：
• 与问题相关的物理、化学、经济等自然 学科方面的知识；
X
aij i
(
j
1,2,
,
m)
,
i 1
A (aij )nm ；
热量 e （焦耳，即功的单位）：
W
FS
MaS
M
L T2
L
M
L2 T2
比热容 C （单位体积提高 1 摄氏度需要的能量）：
C
e L3
M
L2 T2
1
L3
M
1
T 2L
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一、量纲分析方法
• 借助于集合论的相关理论得到具有实际意义 的结果．
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二、集合分析方法
案例分析：合理分派与会成员问题
1. 问题的提出
AnTostal公司的一次会议的参加者为29位公司董 事会成员，其中9位是在职董事(即公司的雇员)．会 议要开一天,每个小组上午开三段，下午开四段，每 段会议开45分钟，从上午9:00到下午5:00每整点开始 开会，中午12:00午餐．
当方程中的各项具有相同的量纲时，这 个方程被称为是量纲齐次的，也只有具有相 同量纲的量才能作比较或相加、减，即物理 定律必须是量纲齐次的。
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一、量纲分析方法
２、量纲齐次原则
例如：万有引力定律：
f
k
m1m2 r2
，量纲是齐次的。
动量定律： mv2 mv1 ft ，量纲也是齐次的。
案例分析：合理分派与会成员问题
• 请给出一份1～9号在职董事、10～29号董事、 1～6号公司资深高级职员的分组搭配名单．并说明 该名单在多大程度上满足了前面提出的各种要求和 规则。
• 因为有的董事可能在最后一分钟宣布不参加会 议，也可能不在名单上的董事将出席会议。因此， 一个能使秘书在会前一小时接到参会与否的通知情 况下，来调整搭配分组的算法定会得到赏识．
第二章 两种初等分析方法
量纲分析方法； 案例分析：点热源的热扩散问题； 集合分析方法； 案例分析：合理分派与会成员问题
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2020年3月7日
第二章 两种初等分析方法
用量纲分析法建立的数学模型一 般都有明确的物理意义或现实意义。
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2020年3月7日
一、量纲分析方法
引例：空间点热源的热扩散问题
问题：设初始时刻 (t 0) 有一热量为 e 的
,
y
k1
y1
k2
y2
都是方程的解
1
2
r 2t 1ck 1 u2t 3e2ck 3
，
与 f (u, r, t, e, c, k) 0 等价。
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一、量纲分析方法
４、量纲分析的一般步骤
(6)由 F (1, 2,, mr ) 0 解出物理规律。
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2020年3月7日
二、集合分析方法
案例分析：合理分派与会成员问题
1. 问题的提出
上午每段会议都有6个小组讨论会，每个小组都 由公司的一位资深高级职员来主持．这些资深高级 职员都不是董事会的成员．因此，每位资深高级职 员都要主持三个不同的小组会．这些资深高级职员 不参加下午的讨论会，而且下午的每段会议只有4个 不同的小组会．
y1 y2
(0,2,1,0,1,1)T (2,0,3,2,1,3)T
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一、量纲分析方法
４、量纲分析的一般步骤
(5)记k
m
q ykj j
，则 k
为无量纲的量 (k
1,2,,m r)
；
j1
y1 y2
(0, 2, 1, 0,1, 1)T (2, 0, 3, 2,1, 3)T
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一、量纲分析方法
[u y1 r y2 t y3 e y4 c y5 k y6 ]=1
L T y1 y2 y3 ML2T 2 y4 M 1T 2L1 y5 ML 1T 3 y6 1
y1
0
AY 0 0 1
1 0 0 0
M,L,T,1 质量：[m]=M 长度：[l]=Ｌ 时间：[t]=T 常数:[π]=[ｅ]=１
[V],[a],[F],[P][w]?
速度：[v] LT 1 加速度：[a] LT 2 力：[F] MLT 2
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2020年3月7日
一、量纲分析方法
２、量纲齐次原则