三角形全等的证明课件

问：若求证∠D=∠B ，
如何证明？
∠A=∠C（已证）
AF=CE（已证）
∴△AFD≌△CEB（SAS）
动态演示
A
D
1
B
2C
练习：已知：如图4，点A、B、C、D在同一条直线 上，AC=DB，求A证E=：DF（，1E）A⊥△AEDA，B≌BC△⊥FADCC，、垂（足2）分D别F=为AAE、D
E
CD
A
B
应边的夹角（∠1，∠2）相等。
所以，应设法先证明∠1=∠2，才能使
全等条件充足。
B
2C 图2
证明：∵AD∥BC
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相
等）
AD=C在B（△已DA知C和）△BCA中
∠1=∠2（已知）
AC=CA （公共边）
∴△ADC≌△CBA（SAS）
动态演示
A
D
1
B
2C
变式训练1．已知：如图3 ，AD∥BC，AD=CB，AE=CF 求证：AFD≌△CEB
问：通过实验可以发现什么事实？
引入新课：
作图：已知：△ABC，(让同学 们自己画）再画一个三角形A/B/C/,使 B/C/=BC, ∠ B/= ∠ B, ∠ C/= ∠ C.
1、画线段A/B/=AB 2、在A/B/的同旁，分别以A/、B/为顶点画 ∠D A/B/=∠A, ∠E B/A/=∠B , A/D 、B/E交于点C/, 得△ A/B/C/
的原貌吗？
A D
C
E
B
探究1:
先任意画出一个△ABC， 再画一个△A/B/C/，使A/B/=AB，
∠A/ =∠A， ∠B/ =∠B 。把画好 的△A/B/C/剪下，放到△ABC上， 它们全等吗？
已知：任意 △ ABC，画一个△ A/B/C/，
使A/B/＝AB， ∠A/ =∠A， ∠B/ =∠B ： 画法： 1、画A/B/＝AB； 2、在 A/B/的同旁画∠DA/ B/ =∠A ， ∠EB/A/ =∠B， A/ D，B/E交于点C/。 △A/B/C/就是所要画的三角形。
（2）若△ACE绕点A逆时针旋转，使∠1=900时，直线EC，
BD的位置关系如何？给出证明。
当∠EAD 为平角时呢？
C
2
A
1
A
C
B
D
图5 E
M
FB
D
解 题 小 结： 解题思路
1、根据“边角边（SAS）”条件，可证明两个 三角形全等；
2、再由“全等”作为过渡的条件，得到对应边 等或对应角等；
3、由“边”等，再根据等式性质得到其它线段相等； 由“角”等，再证明两直线平行、两直线垂直或延 伸的外角和等变换。
讲解新课：
现在同学们把我们所画的两个三角形重合在
一起，你发现了什么？
完全重合
角边角公理：
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简 写为“ASA”)
三角形全等的判定
一、边角边 （SAS） 二、角边角 (ASA) 三、角角边 (AAS) 四、边边边 (SSS) 五、综合练习
制作人：王一豹
复习提问
1.能够重合的两个图形叫做全等形
。
互相重合的顶点叫做对应顶点 。
其中 互相重合的边叫做对应边 。
互相重合的角叫做 对应角 。
2. 能够重合的两个三角形叫做全等三角形。
总结概括，知识拓宽
1．在证明三角形全等时，要善于观察图形， 运用已学知识挖出隐含条件。 2．明确全等三角形“边角边”公理的运用方法。
全等三角形的判定（二）
ASA（角边角定理）
创设情景,实例引入
怎么办？可以
帮帮我吗？
一张教学用的三角形硬纸板不小心
被撕坏了，如图，你能制作一张与原来
同样大小的新教具？能恢复原来三角形
A
D
B
E
C
F
△ABC≌△DEF
由前边的作图比较过程，我们可以得出什么结论？
两边和它们的夹角对应相等的两个三角
形全等。简写成“边角边”或“SAS”
A
用符号语言表达为：
B
C
在△ABC与 △DEF中
AB=DE ∠A=∠D
D
AC=DF E
F
∴△ABC≌△DEF（SAS）
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ讲解
例1 已知：如图1，AC=AD，∠CAB=∠DAB
求证：△ACB≌△ADB
证明：在△ACB和△ADB中 AC=AD（已知）
∠CAB=∠DAB（已知） A AB=AB（公共边） ∴△ACB≌△ADB（SAS）
C B
图 1D
例2 已知：如图2，AD∥BC，AD=CB
求证：△ADC≌△CBA
分析：观察图形，结合已知条件，知， A 1
D
AD=CB，AC=CA，但没有给出两组对
图4
F
解 题 小 结： 解题思路
1、根据“边角边（SAS）”条件，可 证明两个三角形全等； 2、再由“全等”作为过渡的条件， 得到对应边等或对应角等；
变式训练2 已知：如图5：AB=AC，AD=AE，∠1=∠2
求证：△ABD≌△ACE
分析：两组对应夹边已知，缺少
对应夹角相等的条件。
C
由∠BAE 是两个三角形的
画法：1. 画∠MAN= 45°
2. 在射线AM上截取AB= 3cm
3. 在射线AN上截取AC=4cm 4.连接BC 则△ABC就是所求的三角形 把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行 比较，它们能互相重合吗？
再 任 意 画 一 个 △ ABC 和 △ DEF ， 使 AB=DE ,
AC=DF , ∠A=∠D , 把画好的△ABC和△DEF比较， 它们全等吗？
分析：本题已知中的前两个条件，与例
A
D
2相同，但是没有另一组夹边对应相等
E
的条件，不难发现图3是由图2平移而得。 利用AE=CF，可得：AF=CE
证明：∵AD∥BC（已知）
F
B
C
图3
∴∠A=∠C（两直线平行，内错角相
等）
又 AE=CF
∴AE+EF=CF+EF（等式性质）
即AF=CE AD=CB（在已△知AF）D 和△CEB 中
公共部分，可得：∠CAE=∠BAD。
A
21
证明：∵∠1=∠2（已知）
B
D
∴∠1+∠BAE = ∠2+∠BAE（等式性质） 即 ∠CAE= ∠BAD
图5
E
在△CAE和△BAD 中
AC=AB（已知） ∠CAE=∠BAD（已证） AE=AD ∴△ABD≌△ACE（SAS）
变式训练2：拓 展
已知：如图5：AB=AC，AD=AE，∠1=∠2 （1）求证：∠E=∠D
3.“全等”用符号≌“ ”来表示，读全作等“于
4.全等三角形的对应边 对应角和
相
5.书写全等式时要求把对应字母放在对应 的位置上
全等三角形的判定（一）
SAS（边角边定理)
画△ABC,使AB=3cm，AC=4cm。
这样画出来的三角形与同桌所画的三角形进 行比较，它们互相重合吗？
若再加一个条件，使∠A=45°，画出△ABC