数值分析典型例题
数值分析经典例题
数值分析经典例题1.y' = y , x [0,1] ,y (0) =1 , h = 0.1。
1求解析解。
2 Eular法3 R-K法○1解析法在MATLAB命令窗口执行clear>> x=0:0.1:1;>> y=exp(x);>> c=[y]'c =1.0000000000000001.1051709180756481.2214027581601701.3498588075760031.4918246976412701.6487212707001281.8221188003905092.0137527074704772.2255409284924682.4596031111569502.718281828459046○2Euler法在Matlab中建立M文件如下：function [x,y]=euler1(dyfun,xspan,y0,h)x=xspan(1):h:xspan(2);y(1)=y0;for n=1:length(x)-1y(n+1)=y(n)+h*feval(dyfun,x(n),y(n));endx=x';y=y'在MATLAB命令窗口执行clear>> dyfun=inline('y+0*x');>> [x,y]=euler1(dyfun,[0,1],1,0.1);>> [x,y]得到ans =0 1.0000000000000000.100000000000000 1.1000000000000000.200000000000000 1.2100000000000000.300000000000000 1.3310000000000000.400000000000000 1.4641000000000000.500000000000000 1.6105100000000000.600000000000000 1.7715610000000000.700000000000000 1.9487171000000000.800000000000000 2.1435888100000000.900000000000000 2.3579476910000001.0000000000000002.593742460100000○3R-K法（龙格-库塔法）在本题求解中，采用经典4阶龙格-库塔法首先在Matlab的M文件窗口对4阶龙格-库塔算法进行编程：function [x,y]=RungKutta41(dyfun,x0,y0,h,N)x=zeros(1,N+1);y=zeros(1,N+1);x(1)=x0;y(1)=y0;for n=1:Nx(n+1)=x(n)+h;k1=h*feval(dyfun,x(n),y(n));k2=h*feval(dyfun,x(n)+h/2,y(n)+1/2*k1);k3=h*feval(dyfun,x(n)+h/2,y(n)+1/2*k2);k4=h*feval(dyfun,x(n+1)+h,y(n)+k3);y(n+1)=y(n)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;end在MATLAB命令窗口执行clear>> dyfun=inline('y','x','y');>> [x,y]=RungKutta41(dyfun,0,1,0.1,10);>> c=[x;y]'得到c =0 1.0000000000000000.100000000000000 1.1051708333333330.200000000000000 1.2214025708506950.300000000000000 1.3498584970625380.400000000000000 1.4918242400806860.500000000000000 1.6487206385968380.600000000000000 1.8221179620919330.700000000000000 2.0137516265967770.800000000000000 2.2255395632923150.900000000000000 2.4596014137800711.0000000000000002.718279744135166 ○4绘图'解析法','Euler法','R-K法' 绘制如下在MATLAB命令窗口执行clear>> x=0:0.1:1;>> y1=exp(x);>> dyfun=inline('y+0*x');>> [x,y2]=euler1(dyfun,[0,1],1,0.1);>> dyfun=inline('y','x','y');>> [x,y3]=RungKutta41(dyfun,0,1,0.1,10);>> plot(x,y1,'*')hold onplot(x,y2,'g','LineWidth',2)plot(x,y3,'b','LineWidth',2)legend('解析法','Euler法','R-K法')2.一个具有1400kg初始重量的小火箭，带有1040kg的燃料，点燃后垂直向上运动，火箭内的燃料以18kg/s的速率燃烧，提供31000N的推力。
数值分析典型例题
１数值分析典型例题例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。
236.478, 0.00234711,9.000024, 9.000034310⨯.解：按照定义，以上各数具有5位有效数字的近似值分别为：236.478， 0.0023471， 9.0000， 9.0000310⨯。
注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9，因为9是1位有效数字。
例2 指出下列各数具有几位有效数字。
2.0004， -0.00200， -9000， 9310⨯，2310-⨯。
解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为5， 3， 4，1，1 例3 已测得某物体行程*s 的近似值s=800m ，所需时间*s 的近似值为t=35s ，若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-，试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。
解：因为t s v /=，所以)()(1)()()(2t e tss e t t e t v s e s v v e -=∂∂+∂∂≈ 从而05.00469.0358005.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+⨯≤+≤t e t s s e t v e同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e vtt v s e v s s v r r r -=∂∂+∂∂=所以00205.03505.08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。
例4试建立积分20,,1,05=+=n dx x x I nn 的递推关系，并研究它的误差传递。
解：151--=n n I nI ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ，计算出0I 后可通过（1）依次递推计算出1I ,…,20I 。
但是计算0I 时有误差0e ，由此计算出的1I ,…,20I 也有误差，由（1）可知近似值之间的递推关系为151--=n n I nI ……………………………………………….…..(2) （1）-（2）可得01)5(5e e e n n n -=-=-，由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。
数值分析题库答案(含详细解题步骤)
第 1 页/共 22 页1. 正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才干使面积误差不超过1cm 22. 已测得某场地长l 的值为110=*l m ，宽d 的值为80=*d m ，已知 2.0≤-*l l m,1.0≤-*d d m, 试求面积ld s =的绝对误差限与相对误差限.3.为使π的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？4.设x的相对误差界为δ，求n x的相对误差界.5.设有3个近似数a=2.31，b=1.93，c=2.24，它们都有3位有效数字，试计算p=a+bc的误差界和相对误差界，并问p的计算结果能有几位有效数字？第 3 页/共 22 页6. 已知333487.034.0sin ,314567.032.0sin ==，请用线性插值计算3367.0sin 的值，并预计截断误差.7. 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36= 0.352274,用抛物插值计算sin0.3367的值, 并预计误差.8. 已知16243sin ,sin πππ===请用抛物插值求sin50的值,并预计误差9. . .6,8,7,4,1)(,5,4,3,2,1求四次牛顿插值多项式时设当==i i x f x第 5 页/共 22 页10. 已知4)2(,3)1(,0)1(=-=-=f f f ， 求函数)(x f 过这3点的2次牛顿插 值多项式.11. 设x x f =)(，并已知483240.1)2.2(,449138.1)1.2(,414214.1)0.2(===f f f ，试用二次牛顿插值多项式计算(2.15)f 的近似值，并研究其误差12. 设],[)(b a x f 在上有四阶延续导数，试求满意条件)2,1,0()()(==i x f x P i i 及)()(11x f x P '='的插值多项式及其余项表达式.13. 给定3201219(),,1,,44f x x x x x ====试求()f x 在1944⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的三次埃尔米特插值多项式()P x ,使它满意11()()(0,1,2),()(),i i P x f x i P x f x ''===并写出余项第 7 页/共 22 页表达式.14. 设],1,0[,23)(2∈++=x x x x f 试求)(x f 在]1,0[上关于,,1{,1)(x span x =Φ=ρ}2x 的最佳平方逼近多项式15.已知实验数据如下：用最小二乘法求形如y=a+bx2的拟合曲线，并计算均方误差.16.已知数据表如下第 9 页/共 22 页x i 1 2 3 4 5 y iωi4 4.56 8 8.5 2 1 3 1 1试用最小二乘法求多项式曲线与此数据组拟合17. .1)(},1{span ,1]41[)(的最佳平方逼近多项式中的关于上的在在求==Φ=x x x x f ρ18. 决定求积公式⎰++≈10110)1()(32)0()(f A x f f A dx x f 中的待定参数110,,A x A , 使其代数精度尽量高，并指出所决定的求积公式的代数精度.19. 用复化辛普森公式计算积分⎰=10dx e I x , 问区间[0,1]应分多少等分才干使截断误差不超过?10215-⨯第 11 页/共 22 页20. 利用下表中给出的数据，分离用复化梯形公式和复化辛甫生公式计算定积分dx x I ln 21⎰=的近似值（要求结果保留到小数点后六位）21. 用复化梯形公式和复化辛甫生公式计算积分⎰=6.28.1)(dx x f I ,函数)(x f 在某些节点上的值如下图：（本题共14分）22. 决定公式⎰+≈101100)()()(x f A x f A dx x f x 的系数1010,,,x x A A ,使其具有最高代数精度23. 决定求积公式⎰++≈1110)1()(32)0()(f A x f f A dx x f 中的待定参数110,,A x A ,使其代数精度尽量高，并指出所决定的求积公式的代数精度第 13 页/共 22 页24.用LU 分解法求解以下方程组 (10分)123123142521831520x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭25.用LU 分解法求解以下方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8892121514131615141321x x x26. 用LU 分解法求解以下方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛542631531321321x x x27. 设方程组b Ax =，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=220122101A ，Tb ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32,31,21, 已知它有解Tx ⎪⎭⎫⎝⎛-=0,31,21，若右端有小扰动61021-∞⨯=bδ，试预计由此引起的解的相对误差.第 15 页/共 22 页28. 设方程组b Ax =，其中212 1.0001A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，11.0001b -⎛⎫= ⎪⎝⎭,当右端向量b 有误差00.0001δ⎛⎫= ⎪⎝⎭b 时，试预计由此引起的解的相对误差(用∞范数计算)29. 给定b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111a a a a a a A 证实：(1) 当121<<-a 时，A 对称正定，从而GS 法收敛. (2) 惟独当2121<<-a 时，J 法收敛.30. 对于线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+=+1242043 16343232121x x x x x x x ，列出求解此方程组的Jacobi 迭代格式，并判断是否收敛。
典型例题与习题
a
2
b f ( x)dx (b a) f ( a b ) f () (b a)3
a
2
24
9/16
Ex2.复合左矩形求积公式旳求积误差
b a
n1
f ( x)dx h
j0
f (a
h2 jh)
2
n j1
f ( j )
设被积函数在积分区间上旳一阶导数连续,由连续函数
介值定理
1
n
n j 1
N 1
[
n0
f
(
xn
)
4
f
(
xn1/
2
)
f ( xn1 )]
其中, h = (b – a )/N, xn= a + n h ( n = 0,1,2,···, N)
13/16
Ex8.将线性常系数非齐次高阶常微分方程初值问题:
y(n) + a1 y(n-1) + a2 y(n-2) +·······+ an y = f( x, y, ····, y(n-1))
Gm
(h)
4m
Gm
1
(
h 2
)
Gm
1
(h)
4m 1
f ( x) Gm (h) O(h2(m1) )
练习：二阶中心差商旳外推公式？
6/16
常微分方程初值问题 1. Euler措施
y f ( x, y) x x0
y(
x0
)
y0
y0 yn1
y( x0 ), yn
xn1 xn h hf ( xn , yn ),(n
16/16
N 1
试证明用Euler公式计算成果为 y(b) f (tn )h
辽宁科技大学数值分析例题1-9
2010.1%-1要使的近似值的相对误差限小于，要取几例位有效数字？*111331110220 4.4,4,4,0.12510100.1%2040.1%n r r n a a n εε-+*--≤⨯===≤⨯<= 解：设取位有效数字，有定理，。
由于知故只要取就有即只要对的近似值取位有效数字，其相对误差限就小于。
220530010,-V V R I =±=±Ω若电压，电阻求电流并计算其误差限及相对例12误差限。
22200.7333() 300()()()2201030050.0411()900000.73330.0411()0.0411()6%0.7333r I A V R R V I R A I A I εεεε************==+≈⨯+⨯===±==解：（）所以=110 m -0.2 -0.1 -3l l l l m d d m s ld **≤≤=已测得某场地长的值为 ，宽d =80m,已知，。
试求面积的绝对误差限与相对例1误差限。
2()()()110(0.1)80(0.2)27()()()()270.31%8800rs l d d l m s s s sl d εεεεεε*****************≈+=⨯+⨯===≈=解：*** 0ln 1 ln -ln 1-4(-), (ln )() (ln(x ))r x x x x x x x xe x e x δδεδ***>≈≈≤≈设,的相对误差为，求的误差。
解：即有进而有例。
11111100(0,1,)(1,2,)-1n x n n x I ex e dx n I I nI n I ee dx e ----===-===-⎰⎰计算并估计误差。
解：分部积分公式例15值不稳定的。
）是数式（倍误差。
它表明计算公的就是有误差这说明）（易得满足关系算的误差计算结果表明，各步计方法一分析：）（法一：时当初值取为A n!,,!1),,2,1( ),2,1(10.6321A 0.63210n 000n11n 000E I E I E n E n nE E I I E n I n I I I I n n n n n n n -==-=-=⎩⎨⎧=-===≈-- 9991000.0684.20.0684B (9,8,)1(1)1,n!!n n n n n n n I I I n I I n E I I E E E E n ***-******≈=⎧=⎪=⎨=-⎪⎩=-=当初值取为 （计算方法见书式（3））时法二：（）方法二分析：计算结果表明，各步计算的误差满足关系易得这说明比缩小了倍。
数值分析练习题加答案(一)
数值分析期末考试一、 设80~=x ，若要确保其近似数的相对误差限为0.1%，则它的近似数x 至少取几位有效数字？（4分）解：设x 有n 位有效数字。
因为98180648=<<=，所以可得x 的第一位有效数字为8（1分） 又因为21101011000110821--⨯=<⨯⨯≤n ε，令321=⇒-=-n n ，可知x 至少具有3位有效数字（3分）。
二、求矩阵A 的条件数1)(A Cond （4分）。
其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4231A 解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-5.05.1121A （1分） 1A =7（1分） 2711=-A （1分）249)(1=A Cond （1分）三、用列主元Gauss 消元法法求解以下方程组（6分）942822032321321321=++-=++--=+-x x x x x x x x x解：→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----5.245.2405.35.230914220321821191429142821120321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---8175835005,245.24091425.33.2305.245.2409142(4分) 等价三角方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+-=++,8175835,5.245.24,942332321x x x x x x （1分）回代得1,3,5123==-=x x x （1分）四、设.0,2,3,1,103)(3210234=-===-+-=x x x x x x x x f 1）求以3210,,,x x x x 为节3次Lagrange 多项式；（6分） 2）求以3210,,,x x x x 为节3次Newton 多项式；（6分）3）给出以上插值多项式的插值余项的表达式（3分）解：由0,2,3,13210=-===x x x x 可得10)(,34)(,1)(,11)(3210-==-=-=x f x f x f x f即得： +------+------=))()(())()(()())()(())()(()()(312101320130201032103x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x L=------+------))()(())()(()())()(())()(()(23130321033212023102x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f+-+--+-⨯-+-+--+-⨯-)03)(23)(13()0)(2)(1()1()01)(21)(31()0)(2)(3(11x x x x x x326610.)20)(30)(10()2)(3)(1()10()02)(32)(12()0)(3)(1(34x x x x x x x x x -+--=+--+--⨯-+---------⨯2）计算差商表如下：i x )(i x f 一阶差商 二阶差商 三阶差商1 -11 3 -1 5 -2 34 -7 4 0-10-225-1则=+-----+-+-=)2)(3)(1()3)(1(4)1(511)(3x x x x x x x N326610x x x -+--3）)2)(3)(1())()()((!4)()(3210)4(3+--=----=x x x x x x x x x x x x f x R ξ五、给定方程组b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100131w w w w A 。
数值分析例题1-9
)
1.675 0.3271y 0.03125y 2 0.01302y3
于是有
例2-4 x0 , x1 ,
x* f 1 (0) L3 (0) 1.675
5
证明 (xi x)2 li(x) 0,其中li(x)是关于点 i0
, x5 的插值基函数。
证明
5
5
(xi x)2li(x) (xi2 2xi x x2 )li(x)
设待求插值函数为
H3 ( x) N2 ( x) k( x 0)( x 1)( x 2)
令
H
3
(1)
f (1) 3, 即 4 k 3, 求得 k 1。进而有
H3 ( x) N2 ( x) ( x 0)( x 1)( x 2)
x3 1
例如 设 f(x) 为定义在 [ 27.7，30] 上的函数，在节点 xi(i 1,2,3 ) 上的值如下
En nEn1
(n 1,2,),易得 En （1）n n!E0 ,这说明
I 0 有误差 E0 , I n 就是 E0 的 n! 倍误差。它表明计算公式（A）是数
值不稳定的。
当初值取为I9 0.0684 I 9 （计算方法见书式（3.2））时
法二： （B）
I9
0.0684
I
n1
1 n
(1
xdx 88 135
解：设s1(x) a0 a1x,，0 (x) =1,1(x) =x,故
4
(0 (x),0 (x) ) = i 8 i0
4
(0 (x),1(x) ) =(1(x),0 (x) ) = i xi =22 i0
4
(1(x),1(x) ) = i xi2 =74 i0
4
数值分析习题与答案
第一章绪论习题一1.设x>0,x的相对误差为δ,求fx=ln x的误差限;解：求lnx的误差极限就是求fx=lnx的误差限,由公式1.2.4有已知x的相对误差满足,而,故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字,并给出其误差限与相对误差限;解：直接根据定义和式1.2.21.2.3则得有5位有效数字,其误差限,相对误差限有2位有效数字,有5位有效数字,3.下列公式如何才比较准确12解：要使计算较准确,主要是避免两相近数相减,故应变换所给公式;124.近似数x=0.0310,是 3 位有数数字;5.计算取,利用：式计算误差最小;四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限.解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计5.8;线性插值时,用0.5及0.6两点,用Newton插值误差限,因,故二次插值时,用0.5,0.6,0.7三点,作二次Newton插值误差限,故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表,若用二次插值法求的近似值,要使误差不超过,函数表的步长h应取多少解：用误差估计式5.8,令因得3. 若,求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异,求的值,这里p≤n+1.解：,由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式,计算f0.23的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式5.14当n=3时得Newton均差插值多项式N3x=1.0067x+0.08367xx-0.2+0.17400xx-0.2x-0.3由此可得f0.23 N30.23=0.23203由余项表达式5.15可得由于7. 给定fx=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算,用n=4得Newton前插公式误差估计由公式5.17得其中计算时用Newton后插公式5.18误差估计由公式5.19得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式px,使它满足解：这种题目可以有很多方法去做,但应以简单为宜;此处可先造使它满足,显然,再令px=x22-x+Ax2x-12由p2=1求出A＝ ,于是9. 令称为第二类Chebyshev多项式,试求的表达式,并证明是-1,1上带权的正交多项式序列;解：因10. 用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它拟合下列数据,并计算均方误差.解：本题给出拟合曲线,即,故法方程系数法方程为解得最小二乘拟合曲线为均方程为11. 填空题1 满足条件的插值多项式px=.2 ,则f1,2,3,4=,f1,2,3,4,5=.3 设为互异节点,为对应的四次插值基函数,则＝,＝.4 设是区间0,1上权函数为ρx=x的最高项系数为1的正交多项式序列,其中,则＝,＝答：1234第4章数值积分与数值微分习题41. 分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.解本题只要根据复合梯形公式6.11及复合Simpson公式6.13直接计算即可;对,取n=8,在分点处计算fx的值构造函数表;按式6.11求出,按式 6.13求得,积分2. 用Simpson公式求积分,并估计误差解：直接用Simpson公式6.7得由6.8式估计误差,因,故3. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精确度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精确度.123解：本题直接利用求积公式精确度定义,则可突出求积公式的参数;1令代入公式两端并使其相等,得解此方程组得,于是有再令,得故求积公式具有3次代数精确度;2令代入公式两端使其相等,得解出得而对不准确成立,故求积公式具有3次代数精确度; 3令代入公式精确成立,得解得,得求积公式对故求积公式具有2次代数精确度;4. 计算积分,若用复合Simpson公式要使误差不超过,问区间要分为多少等分若改用复合梯形公式达到同样精确度,区间应分为多少等分解：由Simpson公式余项及得即,取n=6,即区间分为12等分可使误差不超过对梯形公式同样,由余项公式得即取n=255才更使复合梯形公式误差不超过5. 用Romberg求积算法求积分,取解：本题只要对积分使用Romberg算法6.20,计算到K ＝3,结果如下表所示;于是积分,积分准确值为0.7132726．用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.7．解：本题直接应用三点Gauss公式计算即可;由于区间为,所以先做变换于是本题精确值8．用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分解：本题直接用Gauss-Chebyshev求积公式计算即于是,因n=2,即为三点公式,于是,即故8. 试确定常数A,B,C,及α,使求积公式有尽可能高的代数精确度,并指出所得求积公式的代数精确度是多少.它是否为Gauss型的求积公式解：本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程,令对公式精确成立,得到由24得A=C,这两个方程不独立;故可令,得5由35解得,代入1得则有求积公式令公式精确成立,故求积公式具有5次代数精确度;三点求积公式最高代数精确度为5次,故它是Gauss型的;第五章解线性方程组的直接法习题五1. 用Gauss消去法求解下列方程组.解本题是Gauss消去法解具体方程组,只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可;故2. 用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值解：先选列主元,2行与1行交换得消元3行与2行交换消元回代得解行列式得3. 用Doolittle分解法求的解.解：由矩阵乘法得再由求得由解得4. 下述矩阵能否作Doolittle分解,若能分解,分解式是否唯一解：A中,若A能分解,一步分解后,,相互矛盾,故A不能分解,但,若A中1行与2行交换,则可分解为LU对B,显然,但它仍可分解为分解不唯一,为一任意常数,且U奇异;C可分解,且唯一;5. 用追赶法解三对角方程组Ax=b,其中解：用解对三角方程组的追赶法公式3.1.2和3.1.3计算得6. 用平方根法解方程组解：用分解直接算得由及求得7. 设,证明解：即,另一方面故9．设计算A的行范数,列范数及F-范数和2范数解：故10．设为上任一种范数,是非奇异的,定义,证明证明：根据矩阵算子定义和定义,得令,因P非奇异,故x与y为一对一,于是10. 求下面两个方程组的解,并利用矩阵的条件数估计.,即,即解：记则的解,而的解故而由3.12的误差估计得表明估计略大,是符合实际的;11.是非题若"是"在末尾填+,"不是"填-：题目中1若A对称正定,,则是上的一种向量范数2定义是一种范数矩阵3定义是一种范数矩阵4只要,则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三角阵,U为非奇上三角阵5只要,则总可用列主元消去法求得方程组的解6若A对称正定,则A可分解为,其中L为对角元素为正的下三角阵7对任何都有8若A为正交矩阵,则答案：1＋2－3＋4－5＋6＋7－8＋第六章解线性方程组的迭代法习题六1.证明对于任意的矩阵A,序列收敛于零矩阵解：由于而故2. 方程组1 考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.2 写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以计算到为止解：因为具有严格对角占优,故J法与GS法均收敛;2J法得迭代公式是取,迭代到18次有GS迭代法计算公式为取3. 设方程组证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散解：Jacobi迭代为其迭代矩阵,谱半径为,而Gauss-Seide 迭代法为其迭代矩阵,其谱半径为由于,故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散;4. 下列两个方程组Ax=b,若分别用J法及GS法求解,是否收敛解：Jacobi法的迭代矩阵是即,故,J法收敛、GS法的迭代矩阵为故,解此方程组的GS法不收敛;5. 设,detA≠0,用,b表示解方程组Ax=f 的J法及GS法收敛的充分必要条件.解J法迭代矩阵为,故J法收敛的充要条件是;GS法迭代矩阵为由得GS法收敛得充要条件是6. 用SOR方法解方程组分别取ω=1.03,ω=1,ω=1.1精确解,要求当时迭代终止,并对每一个ω值确定迭代次数解：用SOR方法解此方程组的迭代公式为取,当时,迭代5次达到要求若取,迭代6次得7. 对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度,并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次解：J法的迭代矩阵为,故,因A为对称正定三对角阵,最优松弛因子J法收敛速度由于,故若要求,于是迭代次数对于J法,取K＝15对于GS法,取K＝8对于SOR法,取K＝58. 填空题1要使应满足.2 已知方程组,则解此方程组的Jacobi迭代法是否收敛.它的渐近收敛速度RB=.3 设方程组Ax=b,其中其J法的迭代矩阵是.GS法的迭代矩阵是.4 用GS法解方程组,其中a为实数,方法收敛的充要条件是a满足.5 给定方程组,a为实数.当a满足,且0＜ω＜2时SOR迭代法收敛.答:12J法是收敛的,3J法迭代矩阵是,GS法迭代矩阵4满足5满足第七章非线性方程求根习题七1.用二分法求方程的正根,使误差小于0.05解使用二分法先要确定有根区间;本题fx=x2-x-1=0,因f1=-1,f2=1,故区间1,2为有根区间;另一根在-1,0内,故正根在1,2内;用二分法计算各次迭代值如表;其误差2. 求方程在=1.5附近的一个根,将方程改写成下列等价形式,并建立相应迭代公式.1 ,迭代公式.2 ,迭代公式.3,迭代公式.试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根解：1取区间且,在且,在中,则L<1,满足收敛定理条件,故迭代收敛;2,在中,且,在中有,故迭代收敛;3,在附近,故迭代法发散;在迭代1及2中,因为2的迭代因子L较小,故它比1收敛快;用2迭代,取,则3. 设方程的迭代法1 证明对,均有,其中为方程的根.2 取=4,求此迭代法的近似根,使误差不超过,并列出各次迭代值.3 此迭代法收敛阶是多少证明你的结论解：1迭代函数,对有,2取,则有各次迭代值取,其误差不超过3故此迭代为线性收敛4. 给定函数,设对一切x,存在,而且.证明对的任意常数,迭代法均收敛于方程的根解：由于,为单调增函数,故方程的根是唯一的假定方程有根;迭代函数,;令,则,由递推有,即5. 用Steffensen方法计算第2题中2、3的近似根,精确到解:在2中,令,,则有令,得,与第2题中2的结果一致,可取,则满足精度要求.对3有,原迭代不收敛.现令令6. 用Newton法求下列方程的根,计算准确到4位有效数字.1在=2附近的根.2在=1附近的根解：1Newton迭代法取,则,取2令,则,取7. 应用Newton法于方程,求立方根的迭代公式,并讨论其收敛性.解：方程的根为,用Newton迭代法此公式迭代函数,则,故迭代法2阶收敛;还可证明迭代法整体收敛性;设,对一般的,当时有这是因为当时成立;从而,即,表明序列单调递减;故对,迭代序列收敛于。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数值分析典型例题 Revised as of 23 November 2020第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。
ln2 第二章典型例题例1 用顺序消去法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧1-=4+2+4=+2+31-=4++2321321321x x x x x x x x x解 顺序消元⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-⋅+-⋅+-⋅+1717005.555.0014125.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r 于是有同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧5=+2+23=++1=2-2+321321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)第1次迭代,k =0X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+⨯-⨯-=-=+--==+⨯+⨯-=3532123351515232)2(3)2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T第3次迭代，k =2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-⨯-⨯-==+---==+-⨯+-⨯-=15)3(25213)3(511)3(2)3(2)2(3)3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T第4次迭代，k =3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⨯-⨯-==+--==+⨯+⨯-=1512121311111212)2(3)2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。
证明 例2中线性方程组的系数矩阵为A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-122111221 于是 D ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001 D －1＝D ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=022001000L ~ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=000100220U ~雅可比迭代矩阵为B 0＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 0))1(22[2)]1(2)2([2221102221122B I 30==+-+-+-+=++=-=-λλλλλλλλλλλλλλλ得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。
高斯－赛德尔迭代矩阵为G ＝－U ~)L~D (1-+ ＝－⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-20032022000010022012001100100010022012201100110)2(20032022I 2=-=---=-λλλλλλG解得特征根为1=0，2,3=2。
由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。
例5 填空选择题：1. 用高斯列主元消去法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧2=3--3=3+2+20=+2++21321321x x x x x x x x 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。
答案：⎩⎨⎧=+--=-5.35.125.15.03232x x x x解答 选a 21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x 1+2x 2+3x 3=3，消元得到⎩⎨⎧=+--=-5.35.125.15.03232x x x x 是应填写的内容。
3.用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧5=+2+23=++1=2-2++321321321x x x x x x x x x 的迭代格式中)1(2+k x ＝ (k =0,1,2,…)答案：)(3)1(13k k x x --+解答：高斯－赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x 2的值时应该用上x 1的新值。
第三章典型例题例1 已知函数y =f (x )的观察数据为试构造拉格朗日插值多项式P n (x )，并计算f (－1)的近似值。
[只给4对数据，求得的多项式不超过3次] 解 先构造基函数845-4--=5-2-4-2-0-2-5-4-=0))(())()(())(()(x x x x x x x l405-4-2+=5-04-02--05-4-2+=1))()(())())((())()(()(x x x x x x x l245-2+-=5-40-42+45-2+=2))(())()(()()()(x x x x x x x l35)4()2()45)(05)(25()4()2()(3-+=--+-+=x x x x x x x l所求三次多项式为P 3(x )=∑=nk k k x l y 0)(＝845-4-⨯5-))((x x x ＋405-4-2+))()((x x x －245-2+⨯3-))(()(x x x ＋354-2+)()(x x x ＝1+2155-141-42523x x xf (－1)P 3(－1)＝724=1+2155-141-425-例3 设n x x x x ,...,,,210是n +1个互异的插值节点，),...,,,)((n k x l k 210=是拉格朗日插值基函数，证明：(1) 1≡∑0=n k k x l )( (2) ),...,,,()(n m x x x l m nk m k k 210=≡∑0=证明 (1) P n (x )=y 0l 0(x )+y 1l 1(x )+…+y n l n (x )=∑=nk k k x l y 0)()()()(),()!()()()(x R x P x f x n f x R n n n n n +=∴1+=1+1+ωξ当f (x )1时，1＝)()!()()()()()(x n f x l x R x P n n kk k n n 1+1+0=1++⨯1=+∑ωξ 由于0=1+)()(x f n ，故有1≡∑0=nk k x l )((2) 对于f (x )=x m ,m =0,1,2,…,n ，对固定x m (0mn ), 作拉格朗日插值多项式，有)()!()()()()()(x n f x l x x R x P x n n nk kmk n n m1+1+0=1++=+≈∑ωξ当n >m －1时，f (n +1) (x )=0，R n (x )=0，所以 m nk k m k x x l x ≡∑0=)(注意：对于次数不超过n 的多项式011-1-++++=a x a x a x a x Q n n n n n ..)(,利用上结果，有011-1-++++=a x a x a x a x Q n n n n n ..)( =∑∑∑∑0=00=10=1-1-0=++++nk k n k k k nk n kk n nk n kk n x l a x x l a xx l a x x l a )()(...)()(=∑∑==--=++++nk k kn nk k n kn nkn k x l x Qa ax x a x a x l 00011)()(]...)[(上式∑=nk k k n x l x Q 0)()(正是Q n (x )的拉格朗日插值多项式。
可见，Q n (x )的拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n 的多项式在n +1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。
例5 已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。
解 计算列入表中。
n =5。
a 0,a 1满足的法方程组是⎩⎨⎧5105=55+1531=15+51010.a a a a解得a 0=, a 1=。
所求拟合直线方程为 y =+ 例6选择填空题1. 设y =f (x ), 只要x 0,x 1,x 2是互不相同的3个值，那么满足P (x k )=y k (k =0,1,2)的f (x )的插值多项式P (x )是 (就唯一性回答问题)答案：唯一的3. 拉格朗日插值多项式的余项是( ),牛顿插值多项式的余项是( )(A) )()!()()()()()(x n f x P x f x R n n n n 1+1+1+=-=ωξ (B) f (x ,x 0,x 1,x 2,…,x n )(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n －1)(x －x n )(C) )!()()()()()(1+=-=1+n f x P x f x R n n n ξ(D) f (x ,x 0,x 1,x 2,…,x n )(x －x 0)(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n －1)(x －x n )答案：(A)，(D)。
见教材有关公式。
第四章典型例题例1 试确定求积公式)()(d )(31+31-≈⎰11-f f x x f 的代数精度。
[依定义，对x k (k =0,1,2,3,…)，找公式精确成立的k 数值]解 当f (x )取1,x ,x 2,…时，计算求积公式何时精确成立。
(1) 取f (x )=1,有左边＝2=1=⎰⎰11-11-x x x f d d )(, 右边＝2=1+1=31+31-)()(f f(2) 取f (x )=x ,有左边＝0=0=⎰⎰11-11-x x x f d d )(, 右边＝0=31+31-=31+31-)()(f f(3) 取f (x )=x 2,有左边=32==⎰⎰11-211-x x x x f d d )(, 右边=32=31+31-=31+31-22)()()()(f f(4) 取f (x )=x 3,有左边=0==⎰⎰11-311-x x x x f d d )(, 右边=0=31+31-=31+31-33)()()()(f f(5) 取f (x )=x 4,有左边=52==⎰⎰11-411-x x x x f d d )(, 右边=92=31+31-=31+31-44)()()()(f f当k 3求积公式精确成立，而x 4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数。