第一章算法的基本概念
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第一章算法的基本概念
1.1 引言
算法设计与分析在计算机科学与技术中的地位
算法（Algorithm）一词的由来。
1.1.1 算法的定义和特征
欧几里德算法：
算法1.1欧几里德算法
输入：正整数m,n
输出：m,n的最大公因子
1. int euclid(int m,int n)
2. {
3. int r;
4. do {
5. r = m % n;
6. m = n;
7. n = r;
8. } while(r)
9. return m;
10. }
一、算法的定义：
定义1.1算法是解某一特定问题的一组有穷规则的集合。
二、算法的特征：
1．有限性。算法在执行有限步之后必须终止。
2．确定性。算法的每一个步骤，都有精确的定义。要执行的每一个动作都是清晰的、无歧义的。
3．输入。一个算法有0个或多个输入，它是由外部提供的，作为算法开始执行前的初始值，或初始状态。算法的输入是从特定的对象集合中抽取的。
4．输出。一个算法有一个或多个输出，这些输出，和输入有特定的关系，实际上是输入的某种函数。不同取值的输入，产生不同结果的输出。
1
5．能行性。算法的能行性指的是算法中有待实现的运算，都是基本的运算。原则上可以由人们用纸和笔，在有限的时间里精确地完成。
1.1.2 算法设计的例子，穷举法
一、穷举法，是从有限集合中，逐一列举集合的所有元素，对每一个元素逐一判断和处理，从而找出问题的解。
二、例
例1.1百鸡问题。
“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”
a：公鸡只数，b：母鸡只数，c：小鸡只数。约束方程：
b
+c
a（1.1.1）
+
100
=
b
a（1.1.2）
+
+c
5=
100
3/
3
c（1.1.3）
%=
3
1。第一种解法：
a、b、c的可能取值范围：0 ~ 100，对在此范围内的，a、b、c的所有组合进行测试，凡是满足上述三个约束方程的组合，都是问题的解。
把问题转化为用n元钱买n只鸡，n为任意正整数，则方程（1.1.1）、（1.1.2）变成：+（1.1.4）
n
a=
+
c
b
3
+3/
5（1.1.5）
+
c
n
b
a=
算法1.2百鸡问题
输入：所购买的三种鸡的总数目n
输出：满足问题的解的数目k,公鸡,母鸡,小鸡的只数g[],m[],s[]
1. void chicken_question(int n,int &k,int g[],int m[],int s[])
2. {
3. int a,b,c;
4. k = 0;
5. for (a=0;a<=n;a++)
6. for (b=0;b<=n;b++)
7. for (c=0;c<=n;c++) {
8. if ((a+b+c==n)&&(5*a+3*b+c/3==n)&&(c%3==0)) {
9. g[k] = a;
10. m[k] = b;
11. s[k] = c;
12. k++;
13. }
2
14. }
15. }
16. }
17. }
执行时间：外循环：1
n次，
+
中间循环：)1
+n
⨯
n次，
)1
(+
(
内循环：)1
⨯
+n
n次。
+
n
)1
)1
(
(
⨯
(+
当100
n时，内循环的循环体执行次数大于100万次。
=
2。第二种解法：
公鸡只数：~
05/n
母鸡只数：~
03/n
母鸡只数：b
-
=。
n
c-
a
算法1.3改进的百鸡问题
输入：所购买的三种鸡的总数目n
输出：满足问题的解的数目k,公鸡,母鸡,小鸡的只数g[],m[],s[]
1. void chicken_problem(int n,int &k,int g[],int m[],int s[])
2. {
3. int i,j,a,b,c;
4. k = 0;
5. i = n / 5;
6. j = n / 3;
7. for (a=0;a<=i;a++)
8. for (b=0;b<=j;b++) {
9. c = n – a – b;
10. if ((5*a+3*b+c/3==n)&&(c%3==0)) {
11. g[k] = a;
12. m[k] = b;
13. s[k] = c;
14. k++;
15. }
16. }
17. }
18. }
执行时间：外循环：1
n
5/+
内循环：)1
⨯
+n
n
3/
(+
(
)1
5/
3