《测试信号分析与处理》宋爱国连续信号处理PPT课件

上是正交函数集的条件是
t2 t1
g
i(t
)
g
* j
(t
)dt

t2 t1
gi*(t)g j (t)dt

0，i k，i

j j
• 例2-2 若 1 2 T 1 ，在 t1，t1 T1 内，指数函
数集 {e jn1t ，n 0， 1， 2，， } 是正交函数集。
波分量的功率分布规律。
P 1 t1T1 f 2 (t)dt T1 t1

a02

1 2
n1
(an2

bn2 )

c02

1 2
n1
cn2


Fn 2
n
第一节 周期信号分析 四、周期信号频谱的基本性质 • 线性
• 延时性
• 频移特性
第二节 非周期信号的频域分析
一、信号的卷积
• 任意一个函数都可以分解为一系列矩形窄脉冲分量
之和。
x(t) x(kΔτ)
...

x(t) x( ) (t )d
结论：信号的时域分解表示为一系列矩形窄
t2 f (t)g(t)dt 0 t1
• 例2-1 在[0 t 2 /1] 内，sin1t 与 cos1t
是正交的。
• 两个函数是否正交，必须指明在什么区间内。
第一节 周期信号分析
（二）用完备正交复变函数集来分解信号
复变函数集{ g r (t),r=1,2,...,n}在区间 t1，t2
• 一个基函数集即可构成一个信号空间，常用的则 是正交函数集 。
• 从数学上可以证明，任何一个连续函数都可以在 定义域里用某个正交函数集来表示。
• 若此函数集不仅是正交而且完备，则用他来表示 信号时将没有误差。
第一节 周期信号分析
（一）用完备正交实变函数集来分解信号
• 函数f(t)与g(t)在区间 t1，t2 上正交的条件是
均功率 P lim 1 T /2 f (t) 2 dt <∞
T T
T / 2
第一节 周期信号分析
• 周期信号f(t)的平均功率与傅 里叶系数有右示关系
• 这是周期信号的帕斯瓦尔（ Parseval）公式。它说明周期 信号的平均功率等于直流、基 波和各次谐波分量有效值的平 方和。
• 信cn2号与的n功1率的谱关,系表图示，信称号为各周次期谐
对周期信号分解，即可得到周期信号的傅里叶展开式。
进行傅立叶展开的周期函数f(t)必须满足狄里赫利
（Dirichlet）条件，即在周期 f(t)
t1，t1
T1
内，函数
1）若有间断点存在，则间断点数目必须有限；
2）极大值和极小值数目应该是有限个；
3）应是绝对可积的，即 t1T1 f (t)dt t1
幅度谱 相位谱 周期信号幅度谱和相位谱的特点
第一节 周期信号分析
例2-3 周期矩形脉冲信号，如图所示。他在区间[T1 / 2, T1 / 2]
内的数学表达式为
f
(t)


Hale Waihona Puke E,0,t /2 / 2 t T1 / 2
f (t)
Re ct(t / )
E
1
T1
/ 2 0 / 2
t1
e e dt t1T1 jn1t jn1t

1 T1
t1
t1T1 f (t)e jn1t dt
t1
第一节 周期信号分析
例2-4 周期对称方波如图所示。它在一个周期内的表
达式为
f
(t)

E,
E,
t T1 / 4 T1 / 4 t T1 / 2
f (t)
E
在工程实践中所遇到的周期信号一般都满足狄里赫利条 件。
第一节 周期信号分析
周期信号f(t)的三角级数形式的傅立叶展开式
f (t) a0 a1 cos1t a2 cos 21t b1 sin 1t b2 sin 21t

a0 (an cos n1t bn sin n1t) n1
证明：
t1T1 e jn1t (e jm1t )*dt
t1
t1T 1 t1
e
e dt jn1t jm1t

T0，1，nnmm
• 三角函数集和指数函数集是应用最广的完备正交集 。
第一节 周期信号分析
一、三角函数形式的傅里叶级数
用完备正交函数集{1，cos n1t，sin n1t，n 1,2,3,, }
• 信号分析就是要研究信号如何表示为各分量的叠 加，并从信号分量的组成情况去考察信号的特性 。
• 只要知道周期信号在一个周期内的特性，也就可 以了解到它所具有的全部特性。所以，对周期信 号的研究往往是在一个周期内进行。
第一节 周期信号分析
• 一个信号也可以对于某一基函数集找出此信号在 各基函数中的分量；
t
T1
T1 0
2
T1
2
T1
E
第一节 周期信号分析
三、 周期信号的功率谱
信号能量 E f (t) 2 dt
能量有限信号 ： f (t) 2 dt
平均功率：
P 1
T2 f (t) 2 dt
T2 T1 T1
功率有限信号：信号f(t)在时间（-∞,+∞）上的平
《测试信号分析与处理》课程
第二章 连续时间信号分析
介绍周期信号的分解和傅立叶级数，从频域来描述和分析连续时间信号。
第一节 周期信号分析 第二节 非周期信号的频域分析 第三节 周期信号的傅里叶变换 第四节 采样信号分析
第一节 周期信号分析
• 如何求解复杂信号作用于线性系统后的响应？由 此分析，要解决什么样的关键问题？--信号分解 。
t T1
t
/ 2 0 / 2
第一节 周期信号分析
二、指数函数形式的傅里叶级数
在 t1，t1 T1内可以用指数函数集来表示周期信号f(t)。

f (t) F (n1)e jn1t n
t1 t t1 T1
式中
F(n1)
t1T1 f (t)e jn1t dt
t1 t t1 T1
其中，
a0

1 T1
t1T1 f (t)dt
t1
2
an T1
t1 T1 t1
f
(t) cos n1tdt
(n 1, 2, 3,
, )
bn

2 T1
t1 T1 t1
f
(t) sin n1tdt
结论： 任何周期信号，可以分解为直流分量和无穷多个弦波分量的叠加。