现代电力系统分析-往年试卷与复习资料 (6)

引入一个标量乘子 μ 以调节变量 x 的修正步长，上式可以写为：
f(x) ys y(x(0) ) J(x(0) ) ( x) y( x) 0
ys y(x(0) ) J(x(0) ) (x) 2 y(x) 0
在此 f(x) [f1(x), f2 (x),..., fn (x)]T a [a1, a2, ..., an ]T ys y(x(0) )
1
潮流方程可写成：
P' Q'


es
B G
G B

f e


sP sQ
定义：
RP

RQ


sP sQ


P' Q'

，上式可改写成

RP RQ
es
es


B

G
G f
x(
kBaidu Nhomakorabea
1)


J
x(k)
1
y
x(k)
ys
x(k1) x(k ) x(k )
2.牛顿法的雅可比矩阵变化，而保留非线性快速朝流算法的雅可比矩阵恒定，所以每次迭代所需时间大大节省；
3.Δx 含义不同，牛顿法的 Δx(k)是相对于上一次迭代所得到的迭代点 x(k)的修正量；而保留非线性快速朝流算法的 Δx(k)
4.基本潮流计算所完成的仅仅是一种计算功能，即从给定的 u 求出相应的 x；而最优潮流计算则能够根据特定目标函数 并在满足相应约束条件的情况下，自动优选控制变量，这便具有指导系统进行优化调整的决策能力。
简化梯度法：
同时计及等式和不等式约束条件的最优潮流的数学模型为： 根据拉格朗日乘子法构造出函数：
L(x,u, ) f (x,u) T g(x,u) W (x,u) 为不等式约束的惩罚函数。
i 1
i1
F(x)对
μ
求导，并令其等于零：
d() d

d d
[
n i 1
(ai
bi


ci 2 )2 ]
n
2 (ai bi ci 2 ) (bi 2 ci ) 0
i 1
上式展开可得： g0 g1 g2 2 g3 3 0
1.基本潮流计算时控制变量 u 是事先给定的，而最优潮流中的 u 则是可变而待优选的变量，为此在最优潮流模型中必然 有一个作为 u 优选准则的目标函数。 2.最优潮流计算除了满足潮流方程这一约束条件外，还必须满足与运行限制有相关的大量不等式约束条件。 3.进行基本潮流计算是求解非线性代数方程组，而最优潮流计算由于其模型从数学上讲是一个非线性规划问题，因此需 要采用最优方法来求解。
x1x
ys 在初值 x0 附近展开成没有截断误差的式子： ys y
x0

J
x

1
H
x2x

2
xn
x

其中： x x x(0) x1, x2, , xn T 为修正量向量。
对上式的第三项进行研究表明，可以写成： ys y x0 J x y x
算量。
2. 计算过程中 B 、 B 保持不变，不同于牛顿法每次迭代都要重新形成雅可比矩阵，因此显著提高了计算速度。 3.雅可比矩阵 J 不对称，而 B 、 B 都是对称的，使求逆等运算量和所需的存储容量都大为减少。
4. PQ 分解法的迭代次数要比牛顿法多，但是每次迭代所需时间比牛顿法少，所以总的计算速度仍是 PQ 分解法快。 在低压配电网中 PQ 分解法不适用。交流高压电网的输电线路的元件满足 R<<X，PQ 分解法正是基于此条件简化而来； 而低电压配电网络一般 R/X 比值很大，大 R/X 比值病态问题也正是 PQ 分解法应用中的一个最大障碍。
(1)设一个初值 x(0)
(2)置 k=0 (k 为迭代次数）
(3)从 x(k) 出发，按照能使目标函数下降的原则，确定一个搜索或寻优方向 (4)沿 x(k) 的方向确定能使目标函数下降得最多的一个点，也就是决定移动的步长，由此得到一个新的迭代点： x(k1) x(k) (k) x(k) ；其中 μ 为步长因子，可以通过对 F(x(k+1))对 μ 求极值而得；
令： b [b1, b2,...bn ]T J x c [c1, c2,..., cn ]T y(x)
于是上式写为： f(x) a b 2 c 0
n
n
所以目标函数可以写为： F(x) fi2 (x) (ai bi 2 ci )2 ()
从而得出迭代方程为：
x(k
1)

J
x(0) 1 y
x(0)
y
x(k )
ys
x(k1) x(0) x(k1)
经过迭代最终满足迭代判据要求输出结果即可。
与牛顿法比较：
1.相对于上述迭代公式，牛顿法迭代公式为：

上式中 Jc 为常数对称阵，故只需在迭代求解前进行一次三角因子分解即可。
本算法的计算速度较岩本伸一提出的保留非线性算法快近 40－50％，与 PQ 分解法相当。但在具有大 R/X 比值的系统 以及具有串联电容支路的系统中，本算法比 PQ 分解法具有更可靠的收敛性。
三、最小化潮流算法（带最优乘子的牛顿潮流算法）原理 将潮流问题转化为求使标量函数 F(x)为最小值时的 x 的值问题。根据数学规划方法可有如下：
则是相对于始终不变的初始值 x(0)的修正量；
4.保留非线性快速朝流算法达到收敛所需的迭代次数要比牛顿法多，但由于每次迭代所需计算量比牛顿法省很多，所以
总的计算速度比牛顿法可提高很多；
5.由于不具对称性的雅可比矩阵三角分解后，其上下三角元素都需要保存，而牛顿法只需要保存上三角元素，因此，此 算法的矩阵存储量要比牛顿法增加 35%—40%； 6.由于采用恒定雅克比进行迭代，因此初始值的选择对保留非线性快速潮流法的收敛性有很大影响。
过程中，每消去一个节点以后，与该节点相联的各节点的出线支路数将发生变化（增加、减少或维持不变）
因此，如果在每消去一个节点后，立即修正尚未编号的出线支路数，然后选其中出线支路数最少的节点编号，就
可以预期达到更好的效果。
所谓半动态优化法就是出线支路数的统计考虑了节点消去后的变动。
3.动态优化法：按动态增加支路数最少编号。 用以上两种方法编号，只能使消去过程中出现新支路的可能性减少，但并不一定保证在消去这些节点时出现的新
支路最少。
消去节点 k 之前， jk 个节点间原有的支路数为
则
k
消除后所增加的新支路数为（即注入元个数为 dk
） bk

1 2
jk .(
jk
1) dk
动态优化法：（1）按上式分别统计消去网络各节点时增加的出线数，选其中出 线数最少的被消节点编为 1 号节点，消
去节点 1 。
（2）修改其余节点的出线数目，然后对余下节点重复出节点 2，3，、、、，直到所有节点编完为止。
3
② 给控制变量以初值 u(0) ，令迭代计数 k 0 ；
③ 将 u(k) 代入潮流方程（即式（3）），求得状态变量 x(k) ，同时也获得雅可比矩阵 J g x
一、潮流计算方法之间的区别联系 高斯-赛德尔法：原理简单，导纳矩阵对称且高度稀疏，占用内存小。 收敛速度很慢，迭代次数随节点数直接上升，计算量急剧增加，不适用大规模系统。 牛顿-拉夫逊法：收敛速度快，迭代次数和网络规模基本无关。 相对高斯-赛德尔法，内存量和每次迭代所需时间较多，其可靠的收敛还取决于一个良好的启动初值。 PQ 分解法（快速解耦法）： PQ 分解法实际上是在极坐标形式的牛顿法的基础上，在交流高压电网中，输电线路等元件的 R<<X，即有功功率主要 取决于电压相角，而无功功率主要取决于电压幅值，根据这种特性对方程组进行简化，从而实现了有功和无功的解耦。
两大条件：(1)线路两端的相角相差不大(小于 10°～20°)，而且| Gij || Bij | ，于是可以认为：cosij 1;Gij sinij Bij ；
(2)与节点无功功率相对应的导纳 Qi / Ui2 通常远小于节点的自导纳 Bii ，也即 Qi Ui2Bii 。 1. PQ 分解法用一个 n 1阶和一个 n m 1阶的方程组代替牛顿法中 2n m 2 阶方程组，显著减少了内存需量和计
1.静态优化法：按静态节点支路数的多少编号。 统计电力网络节点的出线支路数，然后按出线支路数从少到多的顺序编号，当有 m 个节点的出线数相同时，则可按任 意次序对此 m 个节点进行编号。
其依据是：在 Y 阵中，出线数最少的节点所对应的行中非零元素也最少，因此在消去过程中产生注入元的可能性 也最小。
2.半动态优化法： 动态地按最少出线支路数编号。 静态优化法中，各节点的出线数是按原始网 络统计 出来的，在编号过程中认为固定不变。而事实上在节点消去
显然，这种方法的工作量比以上两种方法大得多。
五.最优潮流法的原理,与基本潮流法的比较,目标函数,等式,不等式约束条件,并介绍简化梯度法的原理; 最优潮流就是当系统的机构参数及负荷情况给定时，通过控制变量的优选，所能找到的能满足所有指定的约束条
件，并使系统的某一个性能或目标函数达到最优时的潮流分布。 最优潮流与基本潮流比较有以下不同：
(1)利用常规牛顿潮流算法每次迭代所求出的修正向量 x(k) (J(x(k) )1 f(x(k) ) 作为搜索方向，并称之为目标函数在
x(k)处的牛顿方向。 (2)最优步长因子的确定方法：
采用直角坐标的潮流方程的泰勒展开式可以精确的表示为 f(x) ys y(x) ys y(x(0) ) J(x(0) ) x y(x)
（5）判断 F(x(k+1)) ＜ε 是否成立。若成立，x(k+1)为所求的解。否则，令 k=k+1，转（3），重复循环计算，到满足为止。 关键的两个问题：
(1)如何确定第 k 次迭代的寻优方向 x(k) ； (2)如何确定第 k 次迭代的步长因子 (k) 。
带有最优乘子的牛顿潮流算法：即数学规划与牛顿法结合
应用经典的函数求极值的方法可得：
L x

f x


g x
T
W x
0
1
L

u

f u


g u
T
W u
0
2
L



g ( x, u)

0
3
① 输入原始数据，如各机组的耗量特性，运行限制及潮流计算等数据；
B

e

此时修正方程中的雅可比矩阵已经是由导纳阵元素组成的常数对称矩阵。
对二阶项进行处理可得
RP RQ
es es


J
d
RU 2es

Jc
f
ePQ

令上式左边为

RP' RQ'

，从而
f ePQ


J
1 c

RP' RQ'
二、保留非线性快速潮流算法原理，与牛顿法比较？ 保留非线性快速潮流算法（Iwamoto-Tamura）原理：普通牛顿法求解非线性方程时采用了逐次线性化的方法，忽略了 泰勒级数的高阶项或非线性项，而保留非线性快速朝流算法考虑了泰勒级数的二阶项，也称二阶潮流算法。
潮流方程组可写成矩阵形式： f (x) y x ys 0
Ps：直角坐标形式包括二阶项的快速潮流算法（Nagendra Rao） 首先假定系统中除一个平衡节点外，其余均为 PQ 节点。 特点：1.为了简化计算，先对导纳矩阵的对角元进行改造，即令各节点的对地并联支路作为恒定阻抗负荷处理，而不包 含在导纳矩阵之中； 2.所有节点的电压初值都取为平衡节点的电压。
2
n
n
n
n
其中: g0 (ai bi ) ; g1 (bi2 2 aici ) ; g2 3 (bi ci ) ; g3 2 ci2
i 1
i 1
i 1
i 1
再利用卡丹公式或者牛顿法就可以求得 μ。
四、电力网络节点编号优化有哪些基本方法？试说明一种方法的基本思想； 目前节点编号优化的方法很多，但大致可以分为以下三类：