线性有限元法的稳定性和误差分析【文献综述】

文献综述
信息与计算科学
线性有限元法的稳定性和误差分析
有限元方法的基本思想是用较简单的问题代替复杂问题后再求解.它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成, 对每一单元假定一个合适的、较简单的近似解, 然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件）, 从而得到问题的解.这个解不是准确解, 而是近似解, 因为实际问题被较简单的问题所代替.由于大多数实际问题难以得到准确解, 而有限元不仅计算精度高, 而且能适应各种复杂形状, 因而成为行之有效的工程分析手段.和每一项新技术的推出的背景一样, 有限元方法的产生也是由于时代的迫切需要, 而新技术的出现后也需要经历历史的重重考验.在上个世纪40年代, 由于航空事业的快速发展, 对飞机内部结构设计提出了越来越高的要求, 即重量轻、强度高、刚度好, 人们不得不进行精确的设计和计算.正是在这一背景下,有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域, 成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法[1,2].
关于有限元方法早期的一些成功的实验求解方法与专题论文, 完全或部分的内容对有限元技术的产生做出的贡献, 首先在应用数学界第一篇有限元论文是1943年Courant R发表的, 文中描述了他使用三角形区域的多项式函数来求解扭转问题的近似解, 由于当时计算机尚未出现, 这篇论文并没有引起应有的注意. 1956年, M.J.Turner (波音公司工程师),
R.Clough, H.C.Martin以及L.J.Topp 等四位共同在航空科技期刊上发表一篇采用有限元技术计算飞机机翼的强度的论文, 文中把这种解法称为刚性法(Stiffness), 一般认为这是工程学界上有限元法的开端. 1960年, RayClough教授在美国土木工程学会(ASCE)会议上, 发表一篇名为《The Finite Element in Plane Stress Analysis》的论文, 将应用范围扩展到飞机以外之土木工程上, 同时有限元法(Finite Element Method)的名称也第一次被正式提出.由此之后, 有限元法的理论迅速地发展起来, 并广泛地应用于各种力学问题和非线性问题, 成为分析大型、复杂工程结构的强有力手段.并且随着计算机的迅速发展, 有限元法中人工是难以完成的大量计算工作能够由计算机来实现并快速地完成.因此, 可以说计算机的发展很大程度上促进了有限元法的建立和发展.
有限元方法在国内的产生和发展情况大致如下, 我国的力学工作者为有限元方法的初
期发展做出了许多贡献, 其中比较著名的有: 陈伯屏（结构矩阵方法）, 钱令希（余能原理）, 钱伟长（广义变分原理）, 胡海昌（广义变分原理）, 冯康（有限单元法理论）[3]. 遗憾的是由于当时环境所致, 我国有限元方法的研究工作受到阻碍, 有限元理论的发展也逐渐与国外拉开了距离. 20世纪60年代初期, 我国的老一辈计算科学家较早地将计算机应用于土木、建筑和机械工程领域.当时黄玉珊教授就提出了“小展弦比机翼薄壁结构的直接设计法”和“力法－应力设计法”; 而在70年代初期, 钱令希教授提出了“结构力学中的最优化设计理论与方法的近代发展”. 这些理论和方法都为国内的有限元技术指明了方向. 1964年初崔俊芝院士研制出国内第一个平面问题通用有限元程序, 解决了刘家峡大坝的复杂应力分析问题. 20世纪60年代到70年代, 国内的有限元方法及有限元软件诞生之后, 曾计算过数十个大型工程, 应用于水利、电力、机械、航空、建筑等多个领域[4,5,6].
关于有限元法的一些基本知识, 文献[2,7,8,9]对本文的研究起到至关重要的作用,本文首先引入两点边值问题[2]
d d ()(),,d d ()0,()0,
u Lu p qu f x a x b x x u a u b ⎧=-+=<<⎪⎨⎪'==⎩ 其中
1min 0()(),(),()0,(),()0.
f x C I p C I p x p q C I q x ∈⎧⎪∈≥>⎨⎪∈≥⎩
使用有限元方法求解的稳定性. 这一部分, 可以参考文献[3], 将上述问题变成等价的变分问题相应的矩阵表达形式b AU =, 我们可以讨论对有限元方程b AU =的系数矩阵、右端向量发生扰动对解向量的影响, 特别地, 当A 对称时, 取min max )(λλ=
A cond , 我们有结论[7]:存在正常数C , 使得2min )(-=Ch A cond , h 为剖分单元的步长.
我们还可以对上述两点边值问题, 讨论其有限元解法的收敛性, 参考文献[7], 可得该问
题的变分形式即为求线性有限元解)()(1I H V x u E h E h ⊆∈,使
h E h h h h V v v f v u a ∈∀=),,(),(,
其中
d d (,)()d ,d d (,)d ,b h h h h h h a b h h a u v a u v p qu v x x x f v f v x ⎧=⋅+⎪⎨⎪=⋅⎩
⎰⎰ 我们可以得到正交投影性质
h E h h h V v v u u a ∈∀=-,0),(,
以及最佳逼近性质
h h V v h h
v u u u 0inf 1∈∀-≤-β, 其中
∑=-=
-n k e h h k x u x u x u x u 12,121)()()()(, 2221,()()[(()())(()())]d k k
h h h e e u x u x u x u x u x u x x ''-=-+-⎰, 特别地, 参考文献[10], 我们还可以得到
11I h u u C u u -≤-,
h E I V x u ∈)(, 为)(x u 的分段线性插值多项式, 即满足插值条件
n k x u x u k k I )1(0),()(==,
于是, 我们可以得到线性有限元解函数)(x u h 与真解函数)(x u 之间的误差在空间1H 的范数意义下有如下误差估计式
011u Ch u u C u u I h ''≤-≤-, 其中2
20(())d b
a u u x x ''''=⎰, 利用Nitsche 技巧, 可得误差估计式 020u Ch u u h ''≤-.
参考文献
[1]R. A. Adams. Sobolev spaces. Academic Press, New York, 1975.
[2]李荣华. 偏微分方程数值解法. 北京: 高等教育出版社.2005.
[3]冯康. 基于变分原理的差分格式. 应用数学与计算数学, 1965, 2(4):237~261.
[4]夏道行, 吴卓人, 严绍宗等. 实变函数论与泛函分析[M]. 北京: 高等教育出版社,
1985.
[5]Wu Haijun and Li Ronghua. Error estimate for finite volume element methods for general
second elliptic problems. NM for PDE, 2002, 693~708.
[6]舒适. 偏微分方程典型离散化方法的基本理论与算法分析. 内部讲义, 2007, 5~68.
[7]陈传淼, 黄云清. 有限元高精度理论. 湖南科技出版社, 1995.
[8] C. Bernardi. and R. Verfurth. Adaptive finite element for elliptic equations with nonsmooth
coefficients. Numerische Mathematik, 2000.85: 579~608.
[9] A. Bowyer. Computing Dirichlet Tessellations. Computer Journal, 1981, 24(2):162~166.
[10]李开泰, 黄庆怀. 有限元方法及其应用. 科学出版社, 2006.。