线性有限元法的稳定性和误差分析【文献综述】
有限元方法的结构设计与可靠性分析
有限元方法的结构设计与可靠性分析发表时间：2018-03-23T16:04:04.460Z 来源：《防护工程》2017年第32期作者：苏建峰王广利[导读] 随着有限元理论研究的逐步深入和计算机技术的飞速发展，有限元法得到了广泛的工程应用。
山东经典建设工程有限公司山东济宁 272100摘要：有限元法自1943年首次提出以来，有限元理论及其应用得到了迅速发展。
发展至今，已由二维问题扩展到三维问题、板壳问题，由静力学问题扩展到动力学问题、稳定性问题，由线性问题扩展到非线性问题它将待求解问题看成是由许多小的互连子问题组成(小的互连子问题就是我们所说的有限元)，对每一单元求得近似解，然后推导求解出总的待解问题的解。
本文就有限元方法在结构设计中的应用进行具体分析。
关键词：结构设计；有限元分析；优化有限元分析软件ANSYS是一个广泛应用于众多领域的大型有限元分析软件，具有强大的分析功能，利用其参数化设计语言APDL，尽量采用其数学公式编程的能力进行结构设计的初步探索，有限元法的基本思想是先将研究对象的连续求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。
由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模拟成不同几何形状的求解小区域。
1 有限元法概述1.1 发展历史1960年克拉夫(clough)首次在论文中提出“有限元法”。
1970年，随着计算机的发展，有限元方法得到了很大发展。
自从提出有限元概念以来，有限元理论及其应用得到了迅速发展。
过去不能解决或能解决但求解精度不高的问题，都得到了新的解决方案。
近四十多年来，伴随着电子计算机科学和技术的快速发展，有限元法作为工程分析的有效方法，在理论、方法的研究、计算机程序的开发以及应用领域的开拓诸方面均取得了根本性的发展。
经过半个多世纪的发展，FEM已从弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题；从静力问题扩展到动力问题、稳定问题和波动问题；从线性问题扩展到非线性问题；从固体力学领域扩展到流体力学、传热学、电磁学等其他连续介质领域；从单一物理场计算扩展到多物理场的耦合计算。
线性和非线性有限元
目
CONTENCT
录
• 线性有限元方法 • 非线性有限元方法 • 线性与非线性有限元的比较 • 线性与非线性有限元的实例分析 • 未来研究方向与展望
01
线性有限元方法
定义与原理
定义
线性有限元方法是一种数值分析方法，用于求解偏微分方程的近 似解。它将复杂的求解区域离散化为有限个小的、简单的子区域 ，即有限元，然后对每个有限元进行求解，最终得到原偏微分方 程的近似解。
THANK YOU
感谢聆听
在实际应用中，应根据问题的特性和需求选择合适 的有限元方法。对于复杂的问题，可能需要结合多 种有限元方法进行求解。
05
未来研究方向与展望
线性有限元方法的改进与优化
80%
高效求解算法
研究更快速、稳定的线性有限元 求解算法，提高计算效率。
100%
自适应网格生成
发展更智能、自动的网格生成技 术，以适应复杂几何形状和边界 条件。
线性有限元
由于线性有限元基于线性方程组进行求解，因此计算复杂度 相对较低，适用于求解一些较简单的问题，如弹性力学问题 。
非线性有限元
非线性有限元需要求解非线性方程组，计算复杂度较高，但 能够处理更复杂的问题，如塑性力学、流体力学等领域的问 题。
精度比较
线性有限元
对于一些简单的问题，线性有限元可以给出较为精确的结果。然而，对于一些 复杂的问题，线性有限元可能无法准确描述非线性行为。
80%
多物理场耦合
研究线性有限元在多物理场耦合 问题中的应用，如流体-结构、电 磁-热等。
非线性有限元方法的改进与优化
高阶非线性有限元
发展高阶非线性有限元方法， 以更精确地描述复杂非线性行 为。
试验和有限元的误差
试验和有限元的误差全文共四篇示例，供您参考第一篇示例：试验和有限元分析是工程领域常用的两种方法，它们常常用于预测和分析结构在不同载荷条件下的响应。
无论是试验还是有限元分析，都存在着误差，因此了解和评估这些误差是非常重要的。
本文将探讨试验和有限元分析中的误差，以及如何有效地管理和减小这些误差。
让我们来看看试验中存在的误差。
试验通常涉及到测量物理量，如应力、应变、位移等。
由于测量设备的精度、环境条件、人为操作等因素，测量结果往往会存在一定的误差。
测量设备的刻度可能不够精确，环境温度和湿度可能会影响到测量结果的准确性，操作人员的技术水平也会对测量结果产生影响。
试验中还可能会出现一些偶然误差，如设备故障、实验样品的缺陷等。
这些偶然误差在一定程度上会影响试验结果的准确性。
对于试验中可能存在的误差，我们需要采取相应的措施来减小这些误差的影响。
比如说，可以通过校准测量设备、控制实验环境、提高操作技术来减小误差，并且在试验结果分析时考虑到可能的误差范围，以便更准确地评估结构的响应。
与试验不同，有限元分析是一种数值计算方法，它通过将结构分割成有限个小单元，利用数学方程对这些小单元进行求解，从而得到结构的响应。
有限元分析中也存在着误差。
有限元分析中的误差可以来自模型的简化。
由于实际结构往往非常复杂，我们在进行有限元建模时往往需要对结构进行简化，例如忽略一些小的细节，这样会导致模型与实际结构存在一定的差异，从而引入误差。
有限元分析中的误差还可能来自数值计算的方法和参数选择。
数值计算方法的选取、边界条件的处理、网格划分的精度等因素都会对有限元分析结果的精度产生影响。
在进行有限元分析时，需要认真选择合适的数值计算方法，合理处理边界条件，以及进行网格收敛性分析，以减小这些误差的影响。
有限元分析中还可能存在由于数值计算误差引起的问题。
使用有限元方法进行求解时，使用的数值积分、迭代收敛条件等都可能会引入数值计算误差，从而影响到结果的准确性。
有限元分析中单元性质特征与误差处理
有限元分析中单元性质特征与误差处理
6.5位移函数构造与收敛性要求
单元中的位移模式一般采用设有待定系数的有限多项式作为近似 函数，优先多项式的选取原则应该考虑以下几个方面： 1、待定系数是由节点位移条件确定的，因此它的个数应该与节点 位移DOF个数相等。 2、在选取多项式时，必须选择常数项和完备的一次项。单元位移 模式中的常数项和一次项可以反映单元的刚体位移合唱应变的特 性。这是因为当划分的单元数趋于无穷时，即单元缩小趋于一点， 此时单元应变趋于常数。 3、选择多项式应该由低到高，尽量选取完全多项式以提高单元的 精度。
有限元分析中单元性质特征与误差处理
以一维三节点杆单元为例
u (x ) N 1 u 1 N 2 u 2 N 3 u 3
k11 k21 k31
k12 k22 k32
k13 k23 k33
uu12 u3
pp12 p3
有限元分析中单元性质特征与误差处理
以一维三节点杆单元为例
k11 k21
有限元分析中单元性质特征与误差处理
6.3边界条件的处理与支反力的计算
位移边界条件在大多数情况下有两种类型。 1、零位移边界条件 2、给定具体数值的位移边界条件 根据上述两类边界条件，刚度方程的求解有以下几种方法： 1、直接法 2、置“1”法 3、乘大数法 4、罚函数法
有限元分析中单元性质特征与误差处理
有限元分析中单元性质特征与误差处理
因此，在构造一个单元的位移函数时，应该参考由多项式函数构 成的Pascal三角形和上述原则进行函数项次的选取与构造。
有限元分析中单元性质特征与误差处理
收敛性问题 在有限元分析中，当节点数目或单元插值函数的项数趋于无穷大时， 即单元尺寸趋于零时，最后的解答如果能够无线的逼近准确解， 那么这样的位移函数或形函数是逼近于真实的，这就称为收敛。 为使有限元分析的解答收敛，位移函数必须满足一些收敛准则，这 些准则都经过过严密的理论验证。主要包括以下三个方面。
(2021年整理)有限元综述
有限元综述(推荐完整)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（有限元综述(推荐完整)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为有限元综述(推荐完整)的全部内容。
有限元综述(推荐完整)编辑整理:张嬗雒老师尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布到文库，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是我们任然希望有限元综述（推荐完整) 这篇文档能够给您的工作和学习带来便利。
同时我们也真诚的希望收到您的建议和反馈到下面的留言区,这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请下载收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步,以下为〈有限元综述（推荐完整）〉这篇文档的全部内容.有限元综述蔡璟、吕丹丹、李川摘要：有限元法（Finite Element Method）是一种高效能、常用的数值计算方法.1965年“有限元"这个名词第一次出现，经历了三十多年的发展历史，理论和算法都已经日趋完善。
如今，有限元在工程上得到广泛应用。
本文首先介绍了有限元的研究背景和意义，其次从它的诞生、主要特点以及解题步骤三方面阐述相关概念，再讨论传统有限元算法及优化算法、有限元与其他算法结合得到的混合算法两个方面来分类阐述各自的研究现状与特点，最后总结有限元算法的应用以及发展趋势。
关键词：有限元法，FEM，经典算法，优化算法，网格优化，Herrmann算法，时域有限元，混合算法，矩量法，时域有限差分，应用研究,边界元法，光滑粒子法，发展趋势前言有限元法(Finite Element Method）是一种高效能、常用的数值计算方法，其基本思想是由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。
有限元综述
有限元综述论文材料科学与工程学院 0905010525侯帅有限元综述有限元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。
它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。
有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
有限元方法是解决工程和数学物理问题的数值方法，也称为有限单元法，是矩阵方法在结构力学和弹性力学等领域中的应用和发展。
由于它的通用性和有效性, 有限元方法在工程分析中得到了广泛的应用，已成为计算机辅助设计和计算机辅助制造的重要组成部分。
20 世纪60年代末, 有限元方法出现后, 由于当时理论尚处于初级阶段, 而且计算机的硬件及软件也无法满足需求，因此无法在工程中得到普遍的应用。
从20 世纪70 年代初开始, 一些公司开发出了通用的有限元应用程序, 它们以其强大的功能、简便的操作方法、可靠的计算结果和较高的效率而逐渐成为结构工程中强有力的分析工具。
1.有限元方法的基本思想有限元方法的基本思想是将求解区域离散为一组有限个、且按一定方式相互联接在一起的单元组合体。
由于各单元能按不同的联接方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模拟几何形状复杂的求解域。
有限元方法作为数值分析方法的一个重要特点是利用在每一个单元内假设近似函数来分片地表达求解域上的未知场函数。
单元内的近似函数通常由未知场函数或导数在单元的各个节点的数值和其差值来表示。
有限元法分析结果的误差影响
一、引言有限元法分析起源于50年代初杆系结构矩阵的分析。
随后，Clough于I960 年第一次提出了“有限元法”的概念。
其基本思想是利用结构离散化的概念，将连续介质体或复杂结构体划分成许多有限大小的子区域的集合体，每一个子区域称为单元（或元素），单元的集合称为网格，实际的连续介质体（或结构体）可以看成是这些单元在它们的节点上相互连接而组成的等效集合体；通过对每个单元力学特性的分析，再将各个单元的特性矩阵组集成可以建立整体结构的力学方程式，即力学计算模型；按照所选用计算程序的要求，输入所需的数据和信息，运用计算机进行求解。
当前，有限元方法/理论已经发展的相当成熟和完善，而计算机技术的不断革新，又在很大程度上推进了有限元法分析在工程技术领域的应用。
然而，如此快速地推广和应用使得人们很容易忽视一个前提，即有限元分析软件提供的计算结果是否可靠、满足使用精度的前提，是合理地使用软件和专业的工程分析。
只有这两者很好地结合，我们才能得到工程上切实可信的计算结果，否则只会在工程上造成极大的浪费，甚至带来严重的工程事故。
二、误差分析有限元法分析一般包括四个步骤：物理模型的简化、数学模型的程序化、计算-------- 精选文档-----------------模型的数值化和计算结果的分析。
每一个步骤在操作过程中都或多或少地引入了误差，这些误差的累积最终可能会对计算结果造成灾难性的影响，进而蒙蔽我们的认识和判断。
第一步，物理模型的简化，主要有几何实体、连接/装配关系、环境边界条件和材料特性的简化，进而构建数学模型。
这些简化或者说假设，是必要的，也是必须的，但是也由此在模型中引入了理想化误差（idealization error）。
有些理想化误差是非良性奇异的，比如几何实体简化时细节部位上忽略小的圆/倒角，连接/装配关系简化时忽略焊缝和螺栓连接等，往往导致模型发生结构方面（诸如L形截面的角点）的奇异，即结构奇异（奇异的数学定义是在某一点处导数无穷）；有些理想化误差是良性奇异的，比如边界条件简化时添加集中载荷和孤立点约束，导致模型发生边界条件的奇异，即边界奇异；其它理想化误差，比如几何实体简化时三维壳/面体简化为二维壳/面、三维梁简化为一维梁，边界条件简化时非均匀温度场和压力场简化为均匀温度场和压力场等，只会影响计算结果的准确度，不会引发计算结果方面的数值奇异，即应力奇异和位移奇异等。
含软弱夹层岩质边坡稳定性分析研究
2、含软弱夹层岩质边坡的稳定性研究
含软弱夹层岩质边坡的稳定性受到多种因素的影响，如软弱夹层的厚度、力 学性质、产状，以及边坡的几何形态、应力条件等。研究者们通过实验和理论分 析，不断探索这些因素对边坡稳定性的影响。
2、含软弱夹层岩质边坡的稳定性研究
在实验方面，通过现场调研、模型试验、数值模拟等方法，研究者们对含软 弱夹层岩质边坡的变形机制、破坏模式、影响因素等进行了深入研究。在理论分 析方面，基于极限平衡理论、损伤力学、断裂力学等理论，研究者们提出了多种 计算模型和方法，用于评估含软弱夹层岩质边坡的稳定性。
1、软弱夹层岩质边坡的地质条件对其稳定性具有显著影响。夹层的厚度、岩 石类型、风化程度等因素均与边坡的稳定性密切相关。
3、加固设计方案往往局限于特定的工程实践
2、实验研究表明，软弱夹层岩质边坡在受到外界载荷作用时，其变形和破坏 模式具有明显的非线性特征。
3、加固设计方案往往局限于特定的工程实践
3、数值模拟方法可以较为精确地预测边坡的变形和破坏模式，但对于某些复 杂的地质条件，其模型的准确性和适用性仍需进一步探讨。
谢谢观看
针对含软弱夹层岩质边坡的稳定性问题，未来的研究方向将更多地综合防治 技术的研究。包括工程设计、施工中的加固措施，以及运营过程中的监测和维护 等。通过综合防治技术的研究和应用，能够更好地保障含软弱夹层岩质边坡的稳 定性，减少地质灾害的发生。
4、综合防治技术的研究
总结：含软弱夹层岩质边坡稳定性研究是一个涉及多学科交叉的复杂问题。 随着科学技术的发展，研究者们将不断深入这一领域的研究，提出更为精确、高 效的计算模型和方法。未来，含软弱夹层岩质边坡稳定性研究的发展将更加注重 多尺度分析、时间效应的考虑、地球物理探测和机器学习技术的应用，以及综合 防治技术的研究和应用。这将有助于更好地解决实际工程中的边坡稳定性问题， 保障人类工程活动的安全。
有限元分析文献综述
文献综述摘要介绍了有限元分析软件ANSYS和CFD模块进行有限元分析的工作流程，应用仿真分析的钢包，堰坝、导流隔墙、过滤器和湍流控制器以及它们的组合是现代中间包常用的控流装置，且不同的控流装置对中间包内钢液流动形态的影响各不相同。
S. C. Koria等人［16］研究结果表明，中间包内设有控流装置时，最短停留时间增加、活塞流区体积增大、能有效地消除钢液表明的湍流和扰动现象、促进夹杂物的上浮和去除。
因此国内外各个钢厂基本上都采用在中间包内设置控流装置的措施来强化和扩大中间包的冶金功能，进一步净化钢液。
关键词 ANSYS优化有限元分析随着计算机技术的发展和仿真技术、有限元分析技术的提高，各种计算机辅助设计分析软件为汽车设计提供了一个工具平台同时计•算机辅助设计•越来越广泛地应用于产品设计，任何产品的设计都是一个渐进的过程,产品的设汁过程一般先经过功能需求分析，然后根据需求分析结果提出概念模型，这样的概念模型往往有儿种，即多种设计方案.接下来对存在的设计方案进行综合评估，选择最优的设讣方案有限元分析是机械设计工程师不可缺的重要工具，广泛应用于机械产品的设计开发oANSYS就是一种即好用乂有效的有限元分析软件。
合理的应用能给我们的产品设计起到很好效果。
1 ANSYS简介ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。
山世界上最大的有限元分析软件公司之一的美国ANSYS开发，它能与多数CAD软件接口，实现数据的共孕和交换，如Pro/Engineer, NASTRAN, Alogor, I-DEAS,AutoCAD等，是现代产品设计中的高级CAE工具之一。
2 ANSYS模块简介与其他专业的有限元分析软件一样，AXSYS模块可以完成有限元分析和模型的优化设计，它的设计研究种类主要有三种：标准分析(Standard)、灵敏度分析(Sensitivity)和优化设计分析(Optimization)'3^概括的说,ANSYS Structure 模块的分析任务为两类，笫一类为设讣验证或设计校核，例如进行设计模型的应力应变检验，和其他有限元分析软件一样，须通过创建儿何模型、简化模型、设定单位和材料属性、定义约束、定义载荷、定义分析任务、运行分析、显示评价计算结果这样的工作流程；第二类为模型的设讣优化，这是ANSYS区别其他有限2. 1标准分析最基本，最简单的设计研究类型，至少包含一个分析任务。
有限元边坡设计稳定性分析
有限元法在边坡稳定性分析中的应用摘要：本文系统地介绍了边坡稳定性分析有限元法的基本原理和计算模型，然后应用有限元法对某滑坡实例进行稳定性分析，再用极限平衡法对其计算结果进行验证，证明了利用有限元法进行边坡稳定性分析结果的可靠性，并充分体现了利用有限元法进行边坡稳定性分析的优越性。
关键词：边坡稳定；Mohr-Coulomb准则；有限元法；极限平衡法边坡稳定性分析是岩土工程中一项十分重要的工作，也是经典土力学最早试图解决而至今仍未圆满解决的课题[1]。
常用的边坡稳定性分析方法有各种极限平衡条分法、有限元法等[2]。
极限平衡条分法把土体作为刚体来处理，能给出土坡稳定性安全系数及其相应的滑动面，但是它仅从静力平衡角度出发，没有考虑边坡土体异于弹性体材料的特点，如土体材料的非线性本构关系等，因此，不管做何种巧妙的假定，都不可能对计算结果有很大的改进，也很难肯定其结果的正确程度如何[3]；随着计算机技术的不断提高，边坡稳定性分析中越来越多地使用有限元法。
有限元法是将连续介质离散为一组通过节点传递相互作用的单元集合，由于单元能够以不同的方式进行组合，且单元本身可以有不同的形状，用来模拟对象形状的复杂性，因而有限元法是边坡稳定性分析中一种较为理想的方法。
笔者先用有限元法对一实际工程进行边坡稳定性分析，再用极限平衡法对其进行验证，并通过比较，展示出利用有限元法进行边坡稳定性分析的优越性。
1 边坡稳定性分析的有限元计算模型1.1 有限元法基本原理本文主要针对二维平面问题进行研究，以节点位移为基本未知量。
若边坡结构离散后总结点数为n，则整个结构的节点位移向量为，单元节点位移向量为。
根据所选单元类型，确定单元位移模式，将外荷载转化为等效节点荷载列阵，导出单元的应变、应力矩阵及刚度矩阵[4]，通过推导可以得出单元节点力与节点位移和单元刚度矩阵之间的关系[5]（1）式中：，，，，将任意节点i的平衡方程改为节点位移（2）式中：为单元刚度矩阵的元素，是该单元上在n节点发生单位位移时所对应的i节点产生的节点力；为i节点的等效荷载。
有限元动力学问题有限单元法
动力学问题在物理领域中也有着广泛的应用，如力学、电磁学、光学等。例如，力学中的弹性力学问题、电磁学中的 电磁场问题、光学中的光束传播问题等。
其他领域
动力学问题在其他领域中也有着广泛的应用，如生物学、化学、地球科学等。例如，生物学中的生物力 学问题、化学中的化学反应动力学问题、地球科学中的地震动力学问题等。
03
有限元方法在多个领域都有广泛的应用，如机械、建筑、 航空航天、电子等。通过对不同领域动力学问题的有限元 分析，可以为相关领域的研究和应用提供重要的参考和指 导。
研究限制与不足
有限元方法虽然具有广泛的应用前景，但仍存在一些 限制和不足之处。例如，对于一些复杂结构和多尺度 问题，有限元方法的计算量和计算成本可能会较高， 需要进一步优化算法和计算流程。
有限元方法是一种有效的数值计算方法，可以精确地解决 结构动力学问题。通过对结构进行离散化，将连续的物理 问题转化为离散的数学问题，可以更方便地进行数值计算 和模拟。
02
有限元方法具有广泛的适用性，可以应用于各种材料和结 构的动力学问题。通过对不同材料和结构的有限元分析， 可以得到其动力学特性和响应规律，为工程设计和优化提 供依据。
02
有限元法基础
有限元法概述
有限元法是一种数值分析方法，用于 求解各种物理问题，如结构力学、流 体动力学、热传导等。它通过将连续 的求解域离散化为由有限个简单单元 组成的集合，从而将连续的偏微分方 程转化为离散的线性方程组，降低了 问题的复杂性和难度。
VS
有限元法在工程领域应用广泛，可以 用于分析复杂结构、设备和系统的动 力学行为，进行结构优化和设计等。
04
有限元法在动力学问 题中的应用
动力学问题的有限元法求解步骤
有限线性元分析
有限线性元分析有限元法，也称有限单元法或有限元素法，其基本思想是将求解区域离散为一组有限个、且按一定方式相互连接在一起的单元的组合体，它是随着电子计算机的发展而需素发展起来的一种现代计算方法。
有限元分析较简单的问题代替复杂问题后再求解的一种概念。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。
有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形逼近圆来求得圆的周长。
有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。
经过数十年的努力，伴随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。
有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。
2首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫教授形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。
不同于求解满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。
对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和运算求解不同。
有限元求解问题的基本步骤通常为：第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。
某储气罐筒体的稳定性有限元分析
14某储气罐筒体的稳定性有限元分析周晓来（西南石油大学研究生部，四川 成都 610500）摘 要：依据压力容器受外压失稳破坏特征，本文采用对外压容器临界压力P cr 的有限元分析方法与力学模型方法的进行对比。
当圆柱形容器受外压失稳时，横截面为波形，长圆筒失稳波数为2，短圆筒则为大于2的某一波形。
研究压力容器稳定性目的在于确定压力容器的临界载荷及其相应的失稳模态，以改进加强措施，提高结构的安全性和抗失稳能力。
关键词：外压容器；失稳；屈曲分析；非线性分析；有限元分析引言钢制压力容器是一种在油气、化工等行业中储存液、气类介质的重要压力容器，而对于外压容器来说，保证壳体的稳定性是其能够正常操作的必要条件。
压力容器失稳是指当容器所承受的载荷超过某一临界值时突然失去原有几何形状的现象。
当圆柱形容器受外压失稳时，横截面为波形，长圆筒失稳波数为2，短圆筒则为大于2的某一波形。
研究压力容器稳定性目的在于确定压力容器的临界载荷及其相应的失稳模态，以改进加强措施，提高结构的安全性和抗失稳能力。
故临界压力P cr 是判断外压容器失效的主要依据。
本文采用对外压容器临界压力P cr 的有限元分析方法与力学模型方法的进行对比。
采用有限元分析软件可以有效解决试验中存在的问题，大大缩减研制经费和时间，具有重要的现实及工程意义，提高分析结果的可靠性，因此采取屈曲分析和非线性分析，经有限元计算后，对外压容器临界压力P cr 分析比较，以取得工程中可以接受的结果，此类工程钢制压力容器分析设计提供参考。
此对比方法在国内外都比较成熟，在工程中应用广泛。
1 问题描述储气罐（如图1）的几何参数如表1，本次只对储气罐的筒体受外压时进行失稳分析。
2 力学建模厚壁筒受内压的弹塑性解图1所示的筒体受内压P 的作用。
当内压P 逐渐增加时，筒内压力也随着改变，由弹性状态逐渐过渡到弹塑性状态，直到理性极限状态。
2.1弹性阶段表1 储气罐参数储气罐代号公称容积m 3中径mm壁厚mm弹性模量MPa泊松比计算长度mm C-10 10 1000 10 2.0×105 0.35000图1 储气罐图 图2 筒体受内压图 图3 筒体塑性阶段受力图2010年第1期2010年1月化学工程与装备Chemical Engineering & Equipment15周晓来：某储气罐筒体的稳定性有限元分析 在弹性状态下，本构关系满足式：)213(1)213(1m m r r EE εμμεμσεμμεμσθθ−++=−++=， （1） 几何方程满足式rudr du r r r ==θεε， （2） 代入式(1)，得)](21[1)](21[1r u drdu r u E r u dr du dr du E r r rr r r r r ++++=++++=μμμσμμμσ， （3）将（3）式4)代入0=+−+r r r f rdr d θσσσ （4） 得2212211)21)(1(1)21)(1(r c E c E r c E c E r μμμσμμμσθ++−+=+−−+=， （5） 此厚壁筒首先从内侧开始屈服。
有限元法分析桥梁稳定性
有限元法分析桥梁稳定性摘要：随着现代化城市建设的发展，兼具功能性及美观性一体的桥梁越来越多的出现在城区及风景区，这也标志着施工技术和艺术的完美结合。
在针对一些造型优美的桥梁进行内力分析时，这种结构形式和支撑条件复杂的桥梁（比如预应力钢筋混凝土连续异形斜拉桥），传统的数学和力学求解方法受诸多前提条件的限制，适用面窄，计算过程繁琐，结果较为粗糙，这种方法已经逐渐被与计算机结合的有限元法所取代。
结合工程，浅析有限元法在桥梁稳定性分析中的应用。
关键词：连续梁异形斜拉桥有限元法；稳定性分析1.工程概况某桥梁位于该区一个总长2公里多曲线桥的尾部。
整个大桥位于湖东岸，车行桥梁全长2400m，人行桥全长1310m，呈南北走向，北连游览区，南接规划的观光养殖区，中间跨越河口。
车行桥全长2.1km，桥宽24m、26m和29.5m，总共20联，该桥位于第二联，是一座（30+40+40+30）m的预应力钢筋混凝土连续梁异形斜拉桥，桥宽26m。
主梁单箱6室预应力混凝土连续梁，桥梁的上部雕塑采用钢结构，中间骨架与箱梁固结在一起，两边骨架与斜腿固结在一起。
与下部承台及主梁固结后，极大增强了造型的抗震及抗风性能。
见图1-1。
图1-1桥结构形式2.有限元模拟方法和模型2.1主梁有限元模拟对该桥建立全桥空间有限元模型，梁体采用梁格法，上部结构采用空间单元和桁架单元建立有限元模型。
在梁格分析法中，纵梁的划分是关键。
对于T型梁桥，其梁格模型中纵向主梁的个数，应当是腹板的个数；对于实心板梁，纵向主梁的个数可按计算者意愿决定；对于箱型梁桥，鉴于箱梁桥上部结构的形状和支座布置的多样性，对纵向网格的划分很难提出一个通用的法则。
一般来说，用梁格法模拟箱梁结构时，假定梁格网格在上部结构弯曲的主轴平面内，纵向构件的位置均与纵向腹板相重合，这种布置可使腹板剪力直接由横截面上同一点的梁格剪力来表示。
箱梁从什么地方划开，使其成为若干个纵向主梁，应当使划分以后的各工型的形心大致在同一高度上，也就是要满足：梁格的纵向构件应与原结构梁肋（或腹板）的中心线相重合，通常沿弧向和径向设置；纵向和横向构件的间距必须相近，使荷载的静力分布较为灵敏。
有限元综述
有限元综述近年来随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高，有限元分析在工程设计和分析中得到了越来越广泛的重视，已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途径。
1965年“有限元”这个名词第一次出现，到今天有限元在工程上得到广泛应用，经历了三十多年的发展历史，理论和算法都已经日趋完善。
有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。
1960年，克拉夫（Clough）教授在他的一篇论文”平面分析的有限元法”中首次引入了有限元这一术语。
这一方法是结构分析专家把杆件结构力学中的位移法推广到求解连续体介质力学问题而提出来的.这一方法的提出,引起了广泛的关注,吸引了众多力学,数学方面的专家和学者的研究.有限元可应用于求解偏微分方程,可用于具有变分泛函的任何数学问题.有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，因此有限元法优于其他近似方法。
有限元分析概念是把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件。
有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。
由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。
并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
有限元方法的基础是变分原理和加权余量法,其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
[有限元,铆钉,误差]浅析有限元法模拟铆钉在结构疲劳评定中的误差
![[有限元,铆钉,误差]浅析有限元法模拟铆钉在结构疲劳评定中的误差](https://img.taocdn.com/s3/m/bbd982992e3f5727a4e962c1.png)
浅析有限元法模拟铆钉在结构疲劳评定中的误差1 引言在飞机机构中，连接是重要的设计形式，这些结构的破坏往往会引起灾难性的后果。
对那些可能引起灾难性破坏的每一结构部分诸如机翼、尾翼、操纵面及其系统，机身、发动机架、起落架、以及上述各部分有关的主要连接进行疲劳评定，这关系到飞机的安全使用。
进行疲劳评定的方法有应力严重系数法、细节疲劳特征值法(DFR 法)等，疲劳分析时都用到结构的传载特性用于辨识方法中的特征参数。
利用DFR 法计算有传载紧固件结构细节的许用值时，需要计算紧固件的钉传载荷或载荷传递系数。
就结构中紧固件载荷传递系数的定义和计算，文献中给出了相应的计算方法和图表。
当对较复杂结构进行疲劳分析时，结构除了包含连接细节外还囊括其它结构细节，使用工程方法直接分析连接的相关参数存在较大的难度。
这时就需要进行有限元建模辅助分析结构的应力分布和传载特性。
这里使用MSC 有限元分析软件进行分析。
结构中主要涉及板和紧固件。
通常连接结构中紧固件可以用梁单元、多点约束等来模拟，因每种单元的固有属性不同，建模后，传载特征计算结果与实际工程存在差别，这在静力分析时就局部应力分布上的差异是显而易见的。
表现在静力特性上的差异，是否会影响到在结构疲劳评定中的使用是本文关心的问题。
本文选取单搭接结构为研究对象，探讨了钉传载荷的工程计算方法和有限元法的原理，通过使用不同的建模方法，并考虑了铆钉/连接板刚度比的变化因素，进行了有限元法和工程方在结构疲劳寿评定命中的误差分析，结果表明有限元计算结果可以满足结构疲劳评定的工程应用。
2 钉传载荷的工程计算方法对于结构型式比较复杂的含多个紧固件的连接件，细节应力分析时既要确定板件的旁路载荷又要确定选取单搭接结构作为分析对象进行分析。
每个钉的传递载荷。
当连接件是紧固件数目较少的简单连接件时，一般可用解析法求解其内力或应力分布。
工程法基本假设：结构均处在弹性范围以内；忽略摩擦力和装配间隙的影响；应力沿板横截面均匀分布。
线性有限元法的稳定性和误差分析【文献综述】
文献综述信息与计算科学线性有限元法的稳定性和误差分析有限元方法的基本思想是用较简单的问题代替复杂问题后再求解.它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成, 对每一单元假定一个合适的、较简单的近似解, 然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件）, 从而得到问题的解.这个解不是准确解, 而是近似解, 因为实际问题被较简单的问题所代替.由于大多数实际问题难以得到准确解, 而有限元不仅计算精度高, 而且能适应各种复杂形状, 因而成为行之有效的工程分析手段.和每一项新技术的推出的背景一样, 有限元方法的产生也是由于时代的迫切需要, 而新技术的出现后也需要经历历史的重重考验.在上个世纪40年代, 由于航空事业的快速发展, 对飞机内部结构设计提出了越来越高的要求, 即重量轻、强度高、刚度好, 人们不得不进行精确的设计和计算.正是在这一背景下,有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域, 成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法[1,2].关于有限元方法早期的一些成功的实验求解方法与专题论文, 完全或部分的内容对有限元技术的产生做出的贡献, 首先在应用数学界第一篇有限元论文是1943年Courant R发表的, 文中描述了他使用三角形区域的多项式函数来求解扭转问题的近似解, 由于当时计算机尚未出现, 这篇论文并没有引起应有的注意. 1956年, M.J.Turner (波音公司工程师),R.Clough, H.C.Martin以及L.J.Topp 等四位共同在航空科技期刊上发表一篇采用有限元技术计算飞机机翼的强度的论文, 文中把这种解法称为刚性法(Stiffness), 一般认为这是工程学界上有限元法的开端. 1960年, RayClough教授在美国土木工程学会(ASCE)会议上, 发表一篇名为《The Finite Element in Plane Stress Analysis》的论文, 将应用范围扩展到飞机以外之土木工程上, 同时有限元法(Finite Element Method)的名称也第一次被正式提出.由此之后, 有限元法的理论迅速地发展起来, 并广泛地应用于各种力学问题和非线性问题, 成为分析大型、复杂工程结构的强有力手段.并且随着计算机的迅速发展, 有限元法中人工是难以完成的大量计算工作能够由计算机来实现并快速地完成.因此, 可以说计算机的发展很大程度上促进了有限元法的建立和发展.有限元方法在国内的产生和发展情况大致如下, 我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献, 其中比较著名的有: 陈伯屏（结构矩阵方法）, 钱令希（余能原理）, 钱伟长（广义变分原理）, 胡海昌（广义变分原理）, 冯康（有限单元法理论）[3]. 遗憾的是由于当时环境所致, 我国有限元方法的研究工作受到阻碍, 有限元理论的发展也逐渐与国外拉开了距离. 20世纪60年代初期, 我国的老一辈计算科学家较早地将计算机应用于土木、建筑和机械工程领域.当时黄玉珊教授就提出了“小展弦比机翼薄壁结构的直接设计法”和“力法－应力设计法”; 而在70年代初期, 钱令希教授提出了“结构力学中的最优化设计理论与方法的近代发展”. 这些理论和方法都为国内的有限元技术指明了方向. 1964年初崔俊芝院士研制出国内第一个平面问题通用有限元程序, 解决了刘家峡大坝的复杂应力分析问题. 20世纪60年代到70年代, 国内的有限元方法及有限元软件诞生之后, 曾计算过数十个大型工程, 应用于水利、电力、机械、航空、建筑等多个领域[4,5,6].关于有限元法的一些基本知识, 文献[2,7,8,9]对本文的研究起到至关重要的作用,本文首先引入两点边值问题[2]d d ()(),,d d ()0,()0,u Lu p qu f x a x b x x u a u b ⎧=-+=<<⎪⎨⎪'==⎩ 其中1min 0()(),(),()0,(),()0.f x C I p C I p x p q C I q x ∈⎧⎪∈≥>⎨⎪∈≥⎩使用有限元方法求解的稳定性. 这一部分, 可以参考文献[3], 将上述问题变成等价的变分问题相应的矩阵表达形式b AU =, 我们可以讨论对有限元方程b AU =的系数矩阵、右端向量发生扰动对解向量的影响, 特别地, 当A 对称时, 取min max )(λλ=A cond , 我们有结论[7]:存在正常数C , 使得2min )(-=Ch A cond , h 为剖分单元的步长.我们还可以对上述两点边值问题, 讨论其有限元解法的收敛性, 参考文献[7], 可得该问题的变分形式即为求线性有限元解)()(1I H V x u E h E h ⊆∈,使h E h h h h V v v f v u a ∈∀=),,(),(,其中d d (,)()d ,d d (,)d ,b h h h h h h a b h h a u v a u v p qu v x x x f v f v x ⎧=⋅+⎪⎨⎪=⋅⎩⎰⎰ 我们可以得到正交投影性质h E h h h V v v u u a ∈∀=-,0),(,以及最佳逼近性质h h V v h hv u u u 0inf 1∈∀-≤-β, 其中∑=-=-n k e h h k x u x u x u x u 12,121)()()()(, 2221,()()[(()())(()())]d k kh h h e e u x u x u x u x u x u x x ''-=-+-⎰, 特别地, 参考文献[10], 我们还可以得到11I h u u C u u -≤-,h E I V x u ∈)(, 为)(x u 的分段线性插值多项式, 即满足插值条件n k x u x u k k I )1(0),()(==,于是, 我们可以得到线性有限元解函数)(x u h 与真解函数)(x u 之间的误差在空间1H 的范数意义下有如下误差估计式011u Ch u u C u u I h ''≤-≤-, 其中220(())d ba u u x x ''''=⎰, 利用Nitsche 技巧, 可得误差估计式 020u Ch u u h ''≤-.参考文献[1]R. A. Adams. Sobolev spaces. Academic Press, New York, 1975.[2]李荣华. 偏微分方程数值解法. 北京: 高等教育出版社.2005.[3]冯康. 基于变分原理的差分格式. 应用数学与计算数学, 1965, 2(4):237~261.[4]夏道行, 吴卓人, 严绍宗等. 实变函数论与泛函分析[M]. 北京: 高等教育出版社,1985.[5]Wu Haijun and Li Ronghua. Error estimate for finite volume element methods for generalsecond elliptic problems. NM for PDE, 2002, 693~708.[6]舒适. 偏微分方程典型离散化方法的基本理论与算法分析. 内部讲义, 2007, 5~68.[7]陈传淼, 黄云清. 有限元高精度理论. 湖南科技出版社, 1995.[8] C. Bernardi. and R. Verfurth. Adaptive finite element for elliptic equations with nonsmoothcoefficients. Numerische Mathematik, 2000.85: 579~608.[9] A. Bowyer. Computing Dirichlet Tessellations. Computer Journal, 1981, 24(2):162~166.[10]李开泰, 黄庆怀. 有限元方法及其应用. 科学出版社, 2006.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
文献综述
信息与计算科学
线性有限元法的稳定性和误差分析
有限元方法的基本思想是用较简单的问题代替复杂问题后再求解.它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成, 对每一单元假定一个合适的、较简单的近似解, 然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件）, 从而得到问题的解.这个解不是准确解, 而是近似解, 因为实际问题被较简单的问题所代替.由于大多数实际问题难以得到准确解, 而有限元不仅计算精度高, 而且能适应各种复杂形状, 因而成为行之有效的工程分析手段.和每一项新技术的推出的背景一样, 有限元方法的产生也是由于时代的迫切需要, 而新技术的出现后也需要经历历史的重重考验.在上个世纪40年代, 由于航空事业的快速发展, 对飞机内部结构设计提出了越来越高的要求, 即重量轻、强度高、刚度好, 人们不得不进行精确的设计和计算.正是在这一背景下,有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域, 成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法[1,2].
关于有限元方法早期的一些成功的实验求解方法与专题论文, 完全或部分的内容对有限元技术的产生做出的贡献, 首先在应用数学界第一篇有限元论文是1943年Courant R发表的, 文中描述了他使用三角形区域的多项式函数来求解扭转问题的近似解, 由于当时计算机尚未出现, 这篇论文并没有引起应有的注意. 1956年, M.J.Turner (波音公司工程师),
R.Clough, H.C.Martin以及L.J.Topp 等四位共同在航空科技期刊上发表一篇采用有限元技术计算飞机机翼的强度的论文, 文中把这种解法称为刚性法(Stiffness), 一般认为这是工程学界上有限元法的开端. 1960年, RayClough教授在美国土木工程学会(ASCE)会议上, 发表一篇名为《The Finite Element in Plane Stress Analysis》的论文, 将应用范围扩展到飞机以外之土木工程上, 同时有限元法(Finite Element Method)的名称也第一次被正式提出.由此之后, 有限元法的理论迅速地发展起来, 并广泛地应用于各种力学问题和非线性问题, 成为分析大型、复杂工程结构的强有力手段.并且随着计算机的迅速发展, 有限元法中人工是难以完成的大量计算工作能够由计算机来实现并快速地完成.因此, 可以说计算机的发展很大程度上促进了有限元法的建立和发展.
有限元方法在国内的产生和发展情况大致如下, 我国的力学工作者为有限元方法的初
期发展做出了许多贡献, 其中比较著名的有: 陈伯屏（结构矩阵方法）, 钱令希（余能原理）, 钱伟长（广义变分原理）, 胡海昌（广义变分原理）, 冯康（有限单元法理论）[3]. 遗憾的是由于当时环境所致, 我国有限元方法的研究工作受到阻碍, 有限元理论的发展也逐渐与国外拉开了距离. 20世纪60年代初期, 我国的老一辈计算科学家较早地将计算机应用于土木、建筑和机械工程领域.当时黄玉珊教授就提出了“小展弦比机翼薄壁结构的直接设计法”和“力法－应力设计法”; 而在70年代初期, 钱令希教授提出了“结构力学中的最优化设计理论与方法的近代发展”. 这些理论和方法都为国内的有限元技术指明了方向. 1964年初崔俊芝院士研制出国内第一个平面问题通用有限元程序, 解决了刘家峡大坝的复杂应力分析问题. 20世纪60年代到70年代, 国内的有限元方法及有限元软件诞生之后, 曾计算过数十个大型工程, 应用于水利、电力、机械、航空、建筑等多个领域[4,5,6].
关于有限元法的一些基本知识, 文献[2,7,8,9]对本文的研究起到至关重要的作用,本文首先引入两点边值问题[2]
d d ()(),,d d ()0,()0,
u Lu p qu f x a x b x x u a u b ⎧=-+=<<⎪⎨⎪'==⎩ 其中
1min 0()(),(),()0,(),()0.
f x C I p C I p x p q C I q x ∈⎧⎪∈≥>⎨⎪∈≥⎩
使用有限元方法求解的稳定性. 这一部分, 可以参考文献[3], 将上述问题变成等价的变分问题相应的矩阵表达形式b AU =, 我们可以讨论对有限元方程b AU =的系数矩阵、右端向量发生扰动对解向量的影响, 特别地, 当A 对称时, 取min max )(λλ=
A cond , 我们有结论[7]:存在正常数C , 使得2min )(-=Ch A cond , h 为剖分单元的步长.
我们还可以对上述两点边值问题, 讨论其有限元解法的收敛性, 参考文献[7], 可得该问
题的变分形式即为求线性有限元解)()(1I H V x u E h E h ⊆∈,使
h E h h h h V v v f v u a ∈∀=),,(),(,
其中
d d (,)()d ,d d (,)d ,b h h h h h h a b h h a u v a u v p qu v x x x f v f v x ⎧=⋅+⎪⎨⎪=⋅⎩
⎰⎰ 我们可以得到正交投影性质
h E h h h V v v u u a ∈∀=-,0),(,
以及最佳逼近性质
h h V v h h
v u u u 0inf 1∈∀-≤-β, 其中
∑=-=
-n k e h h k x u x u x u x u 12,121)()()()(, 2221,()()[(()())(()())]d k k
h h h e e u x u x u x u x u x u x x ''-=-+-⎰, 特别地, 参考文献[10], 我们还可以得到
11I h u u C u u -≤-,
h E I V x u ∈)(, 为)(x u 的分段线性插值多项式, 即满足插值条件
n k x u x u k k I )1(0),()(==,
于是, 我们可以得到线性有限元解函数)(x u h 与真解函数)(x u 之间的误差在空间1H 的范数意义下有如下误差估计式
011u Ch u u C u u I h ''≤-≤-, 其中2
20(())d b
a u u x x ''''=⎰, 利用Nitsche 技巧, 可得误差估计式 020u Ch u u h ''≤-.
参考文献
[1]R. A. Adams. Sobolev spaces. Academic Press, New York, 1975.
[2]李荣华. 偏微分方程数值解法. 北京: 高等教育出版社.2005.
[3]冯康. 基于变分原理的差分格式. 应用数学与计算数学, 1965, 2(4):237~261.
[4]夏道行, 吴卓人, 严绍宗等. 实变函数论与泛函分析[M]. 北京: 高等教育出版社,
1985.
[5]Wu Haijun and Li Ronghua. Error estimate for finite volume element methods for general
second elliptic problems. NM for PDE, 2002, 693~708.
[6]舒适. 偏微分方程典型离散化方法的基本理论与算法分析. 内部讲义, 2007, 5~68.
[7]陈传淼, 黄云清. 有限元高精度理论. 湖南科技出版社, 1995.
[8] C. Bernardi. and R. Verfurth. Adaptive finite element for elliptic equations with nonsmooth
coefficients. Numerische Mathematik, 2000.85: 579~608.
[9] A. Bowyer. Computing Dirichlet Tessellations. Computer Journal, 1981, 24(2):162~166.
[10]李开泰, 黄庆怀. 有限元方法及其应用. 科学出版社, 2006.。