线性方程组与向量组
第四讲 线性方程组与向量组的线性关系
第四讲 线性方程组和线性关系部分是矩阵齐次线性方程组问题：有无非零解？解的结构问题非齐次线性方程组问题：有无解？解的个数、解的结构问题解的存在性：有解当且仅当永远有零解解的个数：有唯一解当且仅当；有无穷多解当且仅当；只有零解当且仅当；有非零解当且仅当的解与的解的关系：的解的线性组合还是它的解；的两个解的差是的解；的一个解与的解的和是的解解的结构：1）的个线性无关解称为的基础解系.（是的基础解系当且仅当都是的解，且能够线性表示的任意解）2）是的基础解系，则（为任意数）为的通解.3）是的基础解系，则（为任意数）为的通解.其中是的一个特解.一 解的结构（概念题）1.是的两个特解，是对应的齐次方程组的基础解系，为任意常数，则的通解为：；;;解：是的特解，不是的特解，所以不可能选择.又与等价，所以也是的基础解系，因此是的通解.而虽然都是的解，但是是否线性无关是不能确定，所以不能确定是的基础解系，因此选择.2. 是矩阵, ，的两个特解满足，求的通解3.求一个齐次线性方程组，使该齐次线性方程组的基础解系为解：设的基础解系为，所以也是的基础解系.所以方程组的解可以写成构造方程组即可二 求解方程组（计算题）1.是3阶方程，.1）求证：存在使得2）求齐次线性方程组的基础解系解： ，，所以或1，如果，1）的结论显然，的基础解系为如果，存在可逆矩阵使得此时齐次方程组即为，即由于，所以，由于所以不全为零，不妨设，的基础解系为2. 已知是齐次线性方程组的一个基础解系， ，问当满足什么条件时，是的基础解系.解：是的基础解系当且仅当与等价当且仅当可逆.由于所以可逆，所以时，时，是的基础解系.3.讨论取何值时下列方程组有解？并在有解时求解1）；解：时，方程无解时，方程有无穷多解，此时，，方程组的通解为为任意数）时，方程有唯一解，此时所以；2）解：时，，方程无解当时，方程组等价于，方程组有无穷多解，此时方程组的通解为（为任意数）; 当，且时，方程有唯一解3）；解：.所以时方程组有唯一解方程组有无穷多解，解为（为任意数）时方程组无解4）解：，所以时方程组有唯一解当时，方程组无解，当时有所以时无解;时，，无穷多解.解为（为任意数）4.求三个线性无关的向量，使它们都是下列线性方程组的解解：通解（为任意数）取，则都是方程组的解，且线性无关.5.（I）；（II）1）求（I）的解；2）当（II）中参数取何值时（I）与（II）同解解：（I）的解为（为任意数）（II）与（I）同解，所以是的解，将解代入方程有是的解，将解代入方程有解的理论（证明题）1.是矩阵，,，的任意个线性无关解满足：1）的任意解均可以表示为2）是的解的充分必要条件是证明：由于是的解，所以1）设是的任意解，由于是的线性无关解，所以是的线性无关解，即的基础解系.事实上，显然是的解，再设，有，由于线性无关，有，故线性无关，所以是的基础解系.所以即.2）当时，，所以是的解如果是的解，则，所以2.证明：是的非空子集，则是某个线性方程组的解集的充分必要条件是对任意的当且仅当.证明：设是线性方程组的解集，，则，所以，所以如果任意，都有取的极大无关组，做以为解的线性方程组，则的通解可表示为所以的解都在中.反之对任意的，，由于，有，所以.所以是某个线性方程组的解集.3.是中的行向量，，证明:的解都是的解的充分必要条件是可由线性表示.证明：充分性:如果可由线性表示,设,则则时,显然有必要性: 的解都是的解则,所以向量组与,秩相同,所以可由线性表示.4. 是矩阵，，有解当且仅当对使得的任意解，有证明：有解可由的行向量线性表示的解都是的解，即对使得的任意解，有5.证明：有解当且仅当无解证明：由于，无解有解.6. 是矩阵，有非零解，证明：存在，使得无解证明： 有非零解当且仅当，所以存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使得,所以等价于等价于，令，取，则无解7.的行向量组是齐次线性方程组的基础解系，证明：任意阶可逆矩阵，的行向量组也是的基础解系.证明：令所以，由可逆，知与等价，所以的行向量组也是的基础解系.8. 是矩阵，已知齐次线性方程组的基础解系为，令,求的基础解系解：由已知，所以,令,所以是的解，又由已知，所以是的个线性无关解，又，所以是的基础解系.9. 是中的一组列向量，，求线性方程组的解解： =，当时，，此时只有零解；当时，，此时任意中的列向量都是的解；当时，，此时有，所以的极大无关组是的个线性无关解向量，所以是的基础解系.10.,且存在的某个元素的代数余子式，证明：1）是的基础解系；2)证明：1）当时，有，所以的列向量都是的解， 是的第列，又，所以是的非零解.由于，的解空间是1维的，所以是的基础解系.2）由的解空间是1维的，且的列向量都是的解，知，又，所以，故. 11. 是的前行组成的矩阵，求的基础解系.解：，所以，可逆，设，，，所以又，且是的个线性无关解向量，所以是的基础解系.11.设的行向量组是线性方程组的解,令表示中划掉第列的阶行列式, 1) 证明:当且仅当的行向量组不是的基础解系.2）令，求解：，设1)证明: 如果，由已知是的行向量组，它们都是的解，假设它们是的基础解系，则它们线性无关，又，所以可由线性表示，所以是的解，显然不成立.所以不是的基础解系.反之，如果不是的基础解系.则线性相关，所以，所以，所以，即. 2），所以是的基础解系.则，即，所以.同理12.设两个多项式互素，为阶方阵，,证明：方程组的解都可以唯一表示为形式，其中分别是的解.证明：所以.设是的解，由于，令，则所以都可以表示为形式，其中分别是的解下证表示的唯一性，假设方程组的一个解可以表示为和形式，其中和满足，.所以，即，所以，即由于，所以，即.所以方程组的解都可以唯一表示为形式.（此题也可以表述为：设两个多项式互素，为阶方阵，,证明：分别是方程组，的解空间，证明：都可以唯一表示为形式，其中分别是的解.）13. 是矩阵，，设线性方程组都有解，分别是的任意一个解，则（为与解选取无关的定常数）证明：设也是的解，则，所以是一个与的解选取无关的常数，同理也是一个与的解的选取无关的常数，所以，则（为与解无关的固定常数）向量组的线性相关性1. 是线性空间中线性无关向量组，线性相关，证明：线性无关.证明：设由于线性无关，线性相关，所以可由线性表示，所以存在使得，即由于线性无关，所以代入（1）得到，又线性无关，所以所以，线性无关.2.设向量组的秩为，则中任意个向量线性无关当且仅当对任意的，若，则全为零或全不为零证明：向量组的秩为，且中任意个向量线性无关，设对任意的，若，若中存在为零的数，则不妨设，则，由中任意个向量线性无关有.所以全为零或全不为零.反之，向量组的秩为，且中任意的个向量的线性组合为零都有系数全为零或全不为零.现任取中任意个向量，不妨就记为，设，在向量组中任意取一个异于的向量记为，则，由已知，所以线性无关.3.设向量组线性无关，且可由线性表示，则可以适当调整的顺序使得与等价.（替换定理）证明：当时，由可由线性表示，所以存在，使得，由于线性无关，所以，故存在，适当调整的顺序可使，则，所以与等价.假设对个线性无关向量结论成立，对个线性无关向量向量，如果它们可由线性表示，归纳假设适当调整顺序可使与等价，所以可由线性表示，，如果，则，与线性无关矛盾，所以不全为0，可适当调整顺序可使得，所以所以与等价，即有与等价.4.是阶实方阵，证明：1）如果，则；2），则证明：设，任取不全为零的数，令，则，则所以，所以所以线性无关，所以2）构造矩阵则是的次多项式函数，且且（由1）），如果，则存在，由知，满足由1），矛盾，所以5. 是互不相同的个数，证明：线性无关证明：设方程两边逐步求导，有这个关于的齐次线性方程组的系数行列式为，所以，所以，所以线性无关6.证明：线性无关（三角函数正交系）证明：设利用即可证得，所以线性无关。
同济大学线性代数教案第三章向量空间与线性方程组解的结构
线性代数教学教案第三章 向量组及其线性组合授课序号01,n a 组成的有序数组称为2n a ⎪⎪⎪⎭维向量写成),,n a个分量，其中T,…来表示,n a 是复数时，维复向量，当12,,,n a a a 是实数时，本书所讨论的向量都是实向量0⎪⎪⎪⎭或()0,0,,00=.2n a ⎪⎪⎪⎭称为向量2n a ⎪⎪⎪⎭的负向量，记为α. 向量的运算：由于向量可看成行矩阵或列矩阵，因此我们可用矩阵的运算来定义向量的运算，也就是：122,n n a a b ⎛⎫⎛⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭β，k ∈，则有1122n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭β； （2）2n k ka ⎪⎪⎪⎭α；我们称这两种运算为向量的线性运算)1221122,,n n n n b ba a ab a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭；()111212212221212,,,n n n n n n n n a b a b a b a b a ba b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭. 二、向量组及其线性组合：：由若干个维数相同的向量构成的集合，称为向量组． ：给定n 维向量组,,,n ααα，对于任意一组数,,,n k k k ，表达式+n n k k α,n α和一个,n k ，使得++n n k =βα，,,n α线性表示，或者说向量β是向量组,n α的一个线性组合量组12,,,n ααα（唯一）线性表分必要条件是+n n x =α有（唯一）解.三、向量组的等价：由向量组B 线性表示：,,m αα是m ,,s β是s 维向量组成的向量组. 中每一个向量,)s β均可由向量组,m α线性表,s β可由向量组:A 12,,,m ααα线性表示.A 与向量组可以相互线性表示，则称向量组A 与向量组2,,,m αα与向量组:B 2,,,s βββ. 令矩阵),m A α，),s β，则向量组B 可由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵方程=B向量组A 与向量组等价的充分必要条件是矩阵方程=BY A四、主要例题：1211222221122n n n n m m mn n ma x a x a x a x a xb +++++=中第()121,2,,i i i mi a ai n a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭α，维列向量2m b ⎪⎪⎪⎭， n n x β+=α12122212n n m m mn a a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭，将矩阵A 与列向量组和行向量组对应2100010,,,001n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e ，将任一向量2n a ⎪⎪⎪⎭由12,,n e e e 线性表示536⎫⎪⎪⎪-⎭及向量组123101,2,11⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭βββ，试问α能否由12,ββ123-⎫⎛⎫⎛⎫授课序号02,m α，如果存在一组不全为零的数,m k ，使得m m k +α，则称向量组,m α线性相关．线性无关：若当且仅当0m k ==时，才有112m m k k k ++=0ααα,m α线性无关.m 个n 维向量构成的向量组12,,,m ααα线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组1122m m k k k +++=0ααα有非零解；线性无关的充分必要条件是上述齐次线性方程组只有零解0m k k k ===(,m m α线性相关的充分必要条件是存在某一个向量(1j ≤α2线性相关的充分必要条件是它们的分量对应成比例是向量组A 的部分组线性无关，则其部分组,m α是m 个,m α线性无关，而向量组,,m αβ线性相关，则向量,m α线性表示，且表示式是唯一的如果向量组1,,s ααα可由向量组,t β线性表示，并且s >,s α线性如果向量组12,,,s ααα可由向量组2,,t β线性表示，并且向量组,s α线性无关，则2,,s α与向量组,t β均线性无关，并且这两个向量组等价，则s t =.2322,2⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪α，存在一组不全为零的数20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e ，对任意一组数12120001001n n n n k k k k k k k ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭e ，0n k ==时，才有1122n n k k k +++=0e e e ，所以向量组1,,n e e e 线性无关证明：任一含有零向量的向量组必定线性相关.221,11⎫⎛⎫⎛⎫⎪ =⎪ ⎪ -⎭⎝α，判断向量组12,,αα授课序号03,r α满足条件：）向量组1,,r ααα线性无关；）对于A 中任意的向量β，向量组,,r αβ线性相关，则称向量组12,,r ααα为向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组向量组A 的任意一个极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩，记为等价的向量组有相同的秩二、矩阵秩的概念及求法：rB ，则RA B ,n α为列构作矩阵),,n α，对矩阵的阶梯数给出矩阵的秩，从而给出向量组1,,n ααα的秩),n β，,n α与向量组,n β有相同的线性相关性，从而可以根据向量组,n β的极大无关组给出向量组12,,,n ααα的极大无关组，并给出不属于极大无关组的向量由极大无关组线性表示的表示20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e 线性无关，所以该向量组的极大无关组就是它3145,1227⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭α，向量1α与2α的分量不对应成比例，。
线性代数 第三章 向量与线性方程组 例题
1.设α1=(1 2−1 0)，α2=(1312)，α3=(24−2)，α4=(1135)，α5=(223)，求向量组α1，α2，α3，α4，α5的一个极大（最大）无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出。
2.设A为mxn阶矩阵，B为nxp阶矩阵，C为pxs阶矩阵，R(C)=p，且ABC=0，证明B=0.3.设A为mxn阶矩阵，X与b为m维列向量，Y为n维列向量，证明AY=b有解的充要条件是满足A T X=0的所有X均满足b T=0.4. 设α1=(1003)，α2=(11−12)，α3=(12−2a )，β=(01b −1)问a,b 为何值时， （1） β不能由α1，α2，α3线性表出（2） β可以由α1，α2，α3线性表出，并且写出表达式5. 设A=(λ+312λλ−113λ+3λλ+3)，讨论AX=0的解的情况。
6. 设A=(111a b c a 2b 2c 2)，讨论AX=0的解的情况。
7. 设A=(1 10 1 1 12 20−132a −3−21a )，β=(01b −1)，讨论方程组AX=β的解的情况。
8. 设A=(λ111λ111λ)，b=(1λλ2)，讨论方程组AX=b 的解的情况。
9. 已知三阶矩阵A 的第一行为a,b,c ，且a,b,c 不全为0，矩阵B=(12324636k)(k 为常数)满足AB =0，求AX =0的通解。
10. 设4元齐次线性方程组（I ）{2x 1+3x 2−x 3=0x 1+2x 2+x 3−x 4=0，且已知另一个四元齐次线性方程组（II ）的一个基础解系为α1=(2−1a +21)，α2=(−124a +8)，(1)求（I ）的一个基础解系。
(2)a 为何值时（I ）与（II ）有非零公共解，并求所有非零公共解。
11. 在上例中将α1，α2改为α1=(a −51−1−1)，α2=(−6a +3−12)求（I ）与（II ）的所有非零公共解。
线性代数 第三章 线性方程组与向量的线性相关性
例1 判断下列线性方程组是否有解,若有解,求
出全部解.
x1 3 x 2 3 x 3 2 （） 3 x1 x 2 2 x 3 3 1 4x 2x x 2 2 3 1 x1 x 2 x 3 3 x 4 2 （ ） x1 x 2 x 3 5 x4 4 2 4 x 4 x x 1 1 2 3
（c1 、c 2 为 任 意 常 数 ）
例2 解线性方程组
解：
1 1 3 2 1 2 1 2 1 1 6 3 1 2 3 0 1 0 0 0 1 1 2 0 1 2 3 1 1 1 0 2
x1 x2 x3 1 x1 2 x2 x3 2 3 x1 x2 6 x3 3 2 x 2 x 3x 0 1 2 3
行 有解 B ( A b ) 行 阶 梯 形 矩 阵 行 最 简 形 矩 阵 行
行最简形矩阵非零行（r 行）的第一非零元取为固定未知量，剩余的未知量 取为自由未知量，令为 c1 , c 2 , c n r ，代回行最简形矩阵所表示的方程组 求出固定未知量，从而得到通解）
R ( 1 , 2 , n ) ( ) R ( 1 , 2 , n , )
例7
判 断 能 否 由 余 下 向 量 线 性 表 ？ 若 能 ， 给 出 表 示 式 出 .
T T T T
(1) (1,1,1) , 1 (0,1,1) , 2 (1,1,0) , 3 (1,0,2) ( 2) ( 2,2,0) , 1 ( 1,1,1) , 2 (1,1,2)
x1 1 1 x2 1 0 c1 c2 c11 c2 2 x 0 4 3 0 1 x 4 （c1 、c2为任意常数）
向量组、线性方程组的区别与联系
向量组、线性方程组的区别与联系
Vector group 和 linear equation group 被广泛应用于互联网行业。
它们都
是用来表达和表示特定事物的数学结构，它们之间有着差异性，但又有着一定的联系。
首先，让我们先来说说向量组。
向量组是用它们的内积和表达式来表示一组数据。
向量组在互联网行业中声明上扮演着强大的作用，它们主要用来描述实体间的关系，例如近似计算以及物种的比较。
此外，这些实体间的关系可以利用向量组来定位和处理特定的场景，例如互联网搜索引擎，这会使搜索过程更加有效率。
其次，让我们来谈谈线性方程组。
它是用方程式中的系数乘以一个量，然后再
运用算术运算符来表达结果。
在互联网领域，线性方程组具有很多应用，例如用来解决特定类型的问题，并帮助工程师和开发者进行关键决策。
用线性方程组可以准确地估计出重要的变量，例如用户的行为模式和不同信息的市场价值，从而推动整个互联网行业的发展。
从上述可以看出，向量组和线性方程组有着不同的特点，但它们之间仍存在着
一定的联系。
二者都能用来表示不同类型的数据，并可以应用在不同的场景中。
例如，线性方程组有助于描述和估计特定类型的数据，而向量组则可以用来搜索和比较相关实体。
这就是关于向量组和线性方程组的区别与联系。
我们可以清楚地看到，这两种数学结构在互联网行业中，特别是搜索和分析领域都占据了很重要的地位。
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解§3.1 线性方程组解的判定1.定理3.1:n 元线性方程组AX=b ，其中A=(a 12a 12a 1n a 21a 22a 2na m1a m2a mn),x=( x 1x 2??x n ) ,b=( b 1b 2??b m )(1)无解的充要条件是R(A)＜R(A,b)；(2)有惟一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n ，(3)有无穷多解的充要条件是R(A)=R(A,b)＜n.注：(1)R(A,b)先化为行阶梯形，判别。
有解时再化为行最简形求解。
(2)R(A)=m 时，AX=b 有解。
(3)R(A)=r 时，有n-r 个自由未知量，未必是后面n-r 个。
2.定理3.2:n 元线性方程组AX=0(1)有惟一解（只有零解）的充要条件是R(A)=n ； (2)有无穷多解(有非零解)充要条件是R(A)＜n .注：(1)m ＜n,AX=0必有非零解。
3.定理3.3:矩阵方程AX=B 有解的充要条件是R(A)=R(A,B) 求解线性方程组例1. {4x 1+2x 2?x 3=23x 1?x 2+2x 3 =1011x 1+3x 2 =8例2. {2x 1+x 2?x 3+x 4 =14x 1+2x 2?2x 3+x 4=22x 1+x 2 ?x 3?x 4 =1例3. 求解齐次线性方程组{3x 1+ 4x 2?5x 3+ 7x 4 =02x 1?3x 2+3x 3? 2x 4 =04x 1+11x 2?13x 3+16x 4=07x 1?2x 2+ x 3+ 3x 4 =0例4.写出一个以X=C 1(2?310)+C 2(?2401)为通解的齐次线性方程组。
例5（每年）.（1）λ取何值时，非齐次线性方程组{ λx 1+x 2+x 3=1x 1+λx 2+x 3=λx 1+x 2+λx 3=λ2（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并在有无穷多组解时求出通解.（2）非齐次线性方程组{x 1+x 2+2x 3=02x 1+x 2+ax 3=13x 1+2x 2+4x 3=b当a,b 取何值时，（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并求出通解.例5(12/13学年).设A=(λ110λ?1011λ), b=(a11),已知Ax=b 存在两个不同的解：(1)求λ,a;(2)求Ax=b 的通解。
向量的秩与线性方程组解的结构
所以向量组
α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4
α α
3 4
= (0,0,0,5 )
= (0,0,0,0 ) 的秩为3⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 0⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ 4⎟ β1 = ⎜ ⎟ , β 2 = ⎜ ⎟ , β 3 = ⎜ ⎟ , β 4 = ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 5⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ 7 1 而 可以验证 β 1 , β 2 , β 4 线性无关， β 3 = β 1 − β 2 + 0 β 4 2 2 所以向量组 β 1 , β 2 , β 3 , β 4 的一个极大无关组是 β 1 , β 2 , β 4
知，要求齐次线性方程组的通解，只需求出它 的基础解系.
3. 基础解系的求法
设系数矩阵 A 的秩为 r , 并不妨设 A 的前 r 个 列向量线性无关, 于是 A 的行最简形矩阵为
⎛1 ⎜ ⎜ ⎜0 B = ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎝ 0 1 b 11 br1 b 1 ,n − r ⎞ ⎟ ⎟ b r,n − r ⎟ ⎟, 0 ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
x1 ⎞ ⎛ − b 11 ⎞ ⎛ − b 12 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− b ⎟ ⎜−b xr r1 r2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x r +1 ⎟ = c1 ⎜ 1 ⎟ + c 2 ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎜ 1 xr+2 ⎟ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ xn ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0
⎛x1 ⎞ ⎛−b ⎞ ⎛−b ⎞ ⎛−b,n−r ⎞ 11 12 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟, ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ,⎜ ⎟ , ,⎜ ⎜x ⎟ ⎜−b ⎟ ⎜−b ⎟ ⎜−b ⎟ ⎝ r ⎠ ⎝ r1⎠ ⎝ r2 ⎠ ⎝ r,n−r ⎠
第三章 向量组的线性相关性与线性方程组
第三章 向量组的线性相关性与线性方程组一. 单项选择题 1.向量组n ααα,,,21 线性无关的充分必要条件为( )A. n ααα,,,21 均不为零向量;B. n ααα,,,21 中任意两个向量的分量不成比例;C.n ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余n-1个向量线性表示; D. n ααα,,,21 中有一部分向量线性无关.解: C. 2.m ααα,,,21 均为n 维向量,则下列结论正确的是( )A. 若,02211=+++m m k k k ααα 则m ααα,,,21 线性无关;B. 若对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ,都有,02211≠+++m m k k k ααα则m ααα,,,21 线性无关;C. 若m ααα,,,21 线性相关,则对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ,都有;02211=+++m m k k k αααD. 若000021=⋅++⋅+⋅m ααα ,则m ααα,,,21 线性无关. 解: B. 3.321,,ααα线性无关,则以下线性无关的是( )A. ;,,133221αααααα-++B. ;2,,3213221ααααααα++++C.;3,32,2133221αααααα+++D. ;323,232,321321321ααααααααα+-+-++解: C.对A 中向量有0)()()(133221=-++-+αααααα, 对B 中向量有0)2()()(3213221=++-+++ααααααα,对D 中向量有0)323()232()(321321321=+--+-+++ααααααααα对C 中向量有,033022101;330022101),,()3,32,2(321133221≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++ααααααααα所以选择C. 4.m m βββααα,,,,,2121 ，和是两向量组,若存在两组不全为零的实数和m λλλ,,,21 m k k k ,21 ，，使得0)()()()(111111=-++-+++++m m m m m m k k k k βλβλαλαλ ,则( )A. m m βββααα,,,,2121 ，，和都线性相关; B.m m βββααα,,,,2121 ，，和都线性无关;C.m m m m βαβαβαβα--++,,,,,1111 线性相关; D. m m m m βαβαβαβα--++,,,,,1111线性无关.解: D.将已知等式变形得0)()()()(111111=-++-+++++m m m m m m k k βαβαβαλβαλ .5.设γβα,,线性无关, δβα,,线性相关,则( )A.线性表示；，，必可由δγβαB. 线性表示；，，可由必不δγαβC. 线性表示；，，必可由γβαδD. .线性表示，，必不可由γβαδ 解: C.由已知得.线性表示，必可由βαδ从而.线性表示，，必可由γβαδ 6.设β可由向量组m αα,,1 线性表示,但不能由(Ⅰ) 11,,-m αα 线性表示,记(Ⅱ) βαα,,,11-m ,则( )A.m α不能由(Ⅰ)及(Ⅱ)线性表示; B.m α不能由(Ⅰ)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示; C.m α可由(Ⅰ)及(Ⅱ)线性表示; D.m α可由 (Ⅰ)线性表示,但不能由(Ⅱ)线性表示.解: B. 设m m m m k k k αααβ+++=--1111 (*)则必有0≠m k ,否则与β不能由11,,-m αα 线性表示矛盾.对(*)式变形即得m α可由(Ⅱ)线性表示.7.向量组321,,ααα线性无关, 133322211αλαβααβααβt -=-=-=，，也线性无关,则( )A.t =λ,B. t ≠λ,C. 1==t λ,D. t 2≠λ 解: D.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=λαααβββ1001101),,(,),,(321321t ,321,,βββ线性无关 01001101≠---λt ,故选(D)8.设B A ,均为n 阶非零矩阵,且0=AB ,则A 和B 的秩 ( )A.必有一个等于零;B. 都小于n;C.一个小于n,一个等于n;D.都等于n. 解: B.由0=AB 和0≠B 得: 方程组0=AX 有非零解,所以,;)(n A r <同理可得:;)()(n B r B r T <= 故选B.9. 设矩阵n m A ⨯的秩为m En m A r ,)(<=为m 阶单位阵,下述结论正确的是( ) A.矩阵A 的任意m 个列向量必线性无关;B.矩阵A 的任意一个m 阶子式不等于零;C.若矩阵B 满足0=BA ,则0=B ;D.矩阵A 通过初等行变换,必可化为)0(m E 的形式.解: C.若0=BA ,则,0)(==TT T B A BA 即: T B 的列向量均为方程组0=X A T的解. 而,)()(m A r A r T ==即: m n T A ⨯为列满秩矩阵, 所以, 方程组0=X A T 仅有零解.亦即: .0==TB B 10.设有向量组),10,5,1,2(),0,2,2,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα则该向量组的极大线性无关组是 ( ) A. 321,,ααα; B. 421,,ααα; C. 521,,ααα; D. .,,,5421αααα解: B.以该向量组为列构造矩阵A ,对A 施行初等行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==000000100010110203011001424527121203121301)(54321TT T T T A ααααα,初等行变换不改变列向量组间的线性关系. 所以, 421,,ααα为向量组的一个极大无关组.11.设非齐次线性方程组B AX =中,,)(r A r n m =⨯则下列结论成立的为( )A.r=m 时,方程组有解;B.r=n 时,方程组有唯一解;C.m=n 时,方程组有唯一解;D.r<n 时,方程组有无穷解. 解: A.r=m 时,系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩.12.设A 为m ×n 矩阵,B 为n 维列向量,则下列结论成立的是( )A. 若0=AX 仅有零解,则B AX =有唯一解;B. 若0=AX 有非零解,则B AX =有无穷解;C. 若B AX =有无穷解,则0=AX 仅有零解;D. 若B AX =有无穷解,则0=AX 有非零解. 解: D.若B AX =有无穷解,则n A r <)(,故0=AX 有非零解. 13.设A 为n 阶实矩阵,TA 是A 的转置矩阵,则对于线性方程组 (I): 0=AX 和(II) 0=AX A T,必有 ( ) A.(II)的解是(I)的解,(I)的解也是(II)的解; B.(II)的解是(I)的解,但(I)的解不是(II)的解; C.(I)的解不是(II)的解,(II)的解也不是(II)的解; D.(I)的解是(II)的解,但(II)的解不是(I)的解. 解: A.设 ),0(0≠=ξξA 则),0(00≠=⋅=ξξTT A A A 所以,(I)的解是(II)的解; 反之,设 ),0(0≠=ηηA A T 则),0(0)()()(≠==ηηηηηA A A A TT T η为一个列向量,所以必有: 0=ηA .亦即: (II)的解是(I)的解. 因此,选A.14.21,ββ是非齐次线性方程组B AX =的两个不同解,21,αα是对应导出组的基础解系.21,k k 为任意常数,则B AX =的通解为( )A.;2)(2121211ββααα-+++k kB. ;2)(2121211ββααα++-+k k C. ;2)(2121211ββββα-+++k k D. .2)(2121211ββββα++-+k k解: B.211,ααα-线性无关,并且是导出组的解,所以211,ααα-为导出组的一个基础解系;221ββ+为B AX =的特解,故选(B).15.设321,,ααα为四元线性方程组B AX =的三个解向量,且3)(=A r , T)4,3,2,1(1=α,T )3,2,1,0(32=+αα,c 为任意常数,则B AX =的通解为( )A.,11114321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c B. ,32104321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c C. ,54324321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c D. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛65434321c 解: C.T )4,3,2,1(1=α为B AX =的一个特解.其导出组的基础解系仅含一个向量,且)(2321ααα+-为导出组的一个非零解, 故B AX =的通解为)](2[3211αααα+-+c .16.齐次线性方程组AX =,0111113212=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x λλλλ若存在三阶非零方阵B 满足0=AB ,则( )A.λ=-2,且|B |=0;B. λ=-2,且|B |≠0;C. λ=1,且|B |=0;D. λ=1,且|B |≠0. 解: C.B 的三个列向量均为0=AX 的解向量,即方程组0=AX 有非零解,故|A |=-(2)1-λ=0,从而λ=1;当λ=1时,r(A )=1,故0=AX 基础解系包含两个向量,矩阵B 的三个列向量必线性相关, 所以|B |=0.17.若TT )1,1,0(,)2,0,1(21-==ξξ均为方程组0=AX 的解,则A 为( )A.()112-, B. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--110102, C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110201 , D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110224解: A.解一:TT)1,1,0(,)2,0,1(21-==ξξ线性无关,故基础解系的秩≥2, 从而r(A )=1,答案为(A);解二:令),(21ξξ=X ,一一验证可得(A)中矩阵满足0=AX ,故选(A).18.已知,96342321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t Q P 为三阶非零阵,且,0=PQ 则( ) A.P t ,6=的秩必为1; B. P t ,6=的秩必为2;C. P t ,6≠的秩必为1;D. P t ,6≠的秩必为2. 解: C.若0=PQ ,则必有)(Q r 小于或等于方程组0=PX 的基础解系所包含向量个数. 从而 .3)()(≤+Q r P r 又因为P 为三阶非零阵, 所以.0)(≠P r 若,6≠t 则,2)(=Q r 此时必有,113)(0=-≤<P r 即必有.1)(=P r若,6=t 则,1)(=Q r 此时必有,213)(0=-≤<P r 即必有1)(=P r 或.2)(=P r 所以应选C.19.设.),,(,),,(,),,(321332123211TT T c c c b b b a a a ===ααα 则三直线0=++i i i c y b x a 其中)3,2,1(022=≠+i b a i i 交于一点的充分必要条件为( )A.321,,ααα线性相关; B. 321,,ααα线性无关;C.);,(),,(21321αααααr r = D. 321,,ααα线性相关; 21,αα线性无关.解: D.解一:三直线有一交点,说明21,αα线性无关, 3α可由21,αα线性表示.故选(D);解二:方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332211c c c y x b a b a b a 存在唯一解的充要条件为系数矩阵与增广矩阵的秩相等,等于2,故选(D); 解三:设交点为),(00y x ,则,20103αααy x --=即3α可由21,αα唯一线性表示.故选(D).20.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333222111c b a c b a c b a 是满秩的,则( )直线321321321213213213c c c z b b b y a a a x c c c z b b b y a a a x --=--=----=--=--与 A.交于一点; B.重合; C.平行不重合; D.异面解: A.解一:矩阵A 分块为,321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααA 321,,ααα为A 的行向量, 321,,ααα线性无关.而又3221αααα--与线性无关,二直线不平行.又由，）（）（）（0133221=-+-+-αααααα这说明三个向量133221αααααα---，，共面.所以二直线相交.解二:记133322211ααβααβααβ-=-=-=，，,则21213βββββ，，--=线性无关.因此二直线共面又不平行.故选(A).解三:引入参数方程,令,213213213t c c c z b b b y a a a x =--=--=--令一个参数为τ,则得方程组如下⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+-=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(0)()()(133221133221133221c c c c t c c b b b b t b b a a a a t a a τττ方程组有唯一解的充要条件为2321αααα--与线性无关,因此二向量与13αα-线性无关,故二直线交于一点.解四:用纯粹空间几何方法:将321,,ααα视为向径,即),,(i i i c b a 为三个点,有r(A )=3知此三点不共线.因此决定一平面π.而二直线一是过),,(1111c b a =α与32αα-平行;一是过),,(3333c b a =α与12αα-平行,此二直线均在π上且不平行,故相交.解五:取特殊情况⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001A ,代入可得二直线相交.二.填空题1.若线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+414343232121a x x a x x a x x a x x 有解,则常数4321,,,a a a a 应满足关系式为 .解: 4231aa a a +=+ 线性方程组有解 系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等, 对增广矩阵施行初等行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=14321432110101100011000111001110001100011a a a a a a a a a A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→3214321214321000110001100111100110001100011a a a a a a a a a a a a a所以应有 4231a a a a +=+.2.设t ηη,,1 及t t k k ηη++ 11均为非齐次线性方程组B AX =的解向量,则=++t k k 1解: 11=++t k k将t t k k ηη++ 11代入方程组B AX =得,)(11B k k A t t =++ηη 即 ,11B A k A k t t =++ηη 从而,)(1B B k k t =++ 即11=++t k k .3.若向量组321,,ααα线性无关,(1) 321332123211222αααβαααβαααβ-+=+-=++-=，，线性 ； (２) 3213321232113432232αααηαααηαααη++=++=++=，，线性 ． 解: (1) 相关;(2)无关对(1)中向量有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=211121112),,(,),,(321321αααβββ, 321,,βββ线性无关 0211121112≠---,故(1)相关;类似可得(2)无关. 4.向量组)2,5,4,0(),0,,0,2(),1,1,2,1(321--==-=αααt 的秩为2,则t =解: t =3.解一:用行列式为0.0321=ααα 得t =3 解二:用矩阵的初等变换得 t =3.5.n 阶矩阵A 各行元素和为0,且r(A )=n-1,则方程组0=AX 的通解为 解: k(1,1,…,1),k 为任意常数.(1,1,…,1)满足方程,方程基础解系仅含一个向量, 故通解为k(1,1,…,1),k 为任意常数. 6.设);,,2,1,(,j i n j i a a j i ≠=≠ ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----11312112232221321 (1111)n n n n n n n a a a a a a a a a a a a A ,,111,21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= B x x x X n 则方程组B X A T=的解为 .解: (1,0,0,…,0)T.|A |为范得蒙行列式,故|TA |≠0,方程组有唯一解.矩阵方程对应的线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---1 (11)132211232222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x由观察可知 (1,0,0,…,0)T为方程组的解.7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11334221t A ,B 为三阶非零矩阵,且0=AB ,则=t . 解: 3-=t若0=AB ,则B 的列向量为齐次线性方程组0=AX 的解. B 为三阶非零矩阵,所以齐次线性方程组0=AX 有非零解. 从而有,0||=A 解得3-=t .三.计算题 1.设向量组)2(,,,21≥n n ααα 线性无关,,,,,,111322211ααβααβααβααβ+=+=+=+=--s s s s s讨论s βββ,,,21 的线性关系. 解:设02211=+++s s k k k βββ ,整理得:0)()()(122111=++++++-s s s s k k k k k k ααα , 由)2(,,,21≥n n ααα 线性无关得 01211=+==+=+-s s s k k k k k k ,线性方程组对应的系数行列式为1)1(111... (00)11001110001--+==s D所以,(1)当s 为奇数时,D=2≠0,方程组仅有零解, s βββ,,,21 线性无关;(2) 当s 为偶数时,D=0,方程组有非零解, s βββ,,,21 线性相关.2.设A 为n m ⨯矩阵,B 为m n ⨯矩阵,E 为n 阶单位阵()n m >.已知E BA =,试判断A 的列向量组是否线性相关?为什么? 解: 因为 ,)()()(n E r AB r A r ==≥ 另一方面, n A r ≤)(显然成立, 所以必有 .)(n A r = 从而A 的列向量组线性无关. 3. 设向量组321,,ααα线性相关,向量组432,,ααα线性无关,问:(1)1α能否用32,αα线性表示?(2) 4α能否用321,,ααα线性表示?解: (1) 由向量组432,,ααα线性无关可知32,αα线性无关,而321,,ααα线性相关,故必有1α可用32,αα线性表示. (2) 若4α能由321,,ααα线性表示,由(1)结果知4α应能由32,αα线性表示,这与432,,ααα线性无关矛盾.所以4α不能由321,,ααα线性表示.4.设);,,2,1(),,,(21n r r i a a a Tin i i i <== α是n 维实向量,且r ααα,,,21 线性无关. 已知T n b b b ),,,(21 =β是线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0 (00)221122221211212111n rn r r n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a的非零解向量,试判断向量组βααα,,,,21r 的线性关系.解: 设有一组数k k k k r ,,,,21 使得 02211=++++βαααk k k k r r 成立.因为T n b b b ),,,(21 =β是线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0.............................00221122221211212111n rn r r n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的解,且0≠β,所以有: ),,,2,1(0r i Ti==βα即: ),,,2,1(0r i i T ==αβ因此,在02211=++++βαααk k k k r r 两侧同乘Tβ得 02211=++++ββαβαβαβT r T r T T k k k k ,即:0=ββTk .但0≠ββT ,故必有0=k .从而由02211=++++βαααk k k k r r 得 02211=+++r r k k k ααα . r ααα,,,21 线性无关,所以有: 021====r k k k .因此, 向量组βααα,,,,21r 的线性无关. 5.设有向量组T T T T p p ),10,6,2(,)2,1,2,3(,)1,5,3,1(,)3,1,1,1(4321--=+-=--==αααα,(1) p 为何值时,向量组线性无关,并将T)10,6,1,4(=α用该向量组线性表示; (2) p 为何值时,向量组线性相关,求向量组的秩和一个极大无关组.解(1)用矩阵的初等行变换.将ααααα,,,,4321按列构造矩阵如下⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----p p p p p p 12000101003412042311267402124603412042311102136101511623142311故p ≠2时,,4),,,(4321=ααααr 向量组4321,,,αααα线性无关.若设44332211αααααx x x x +++=, 对以上阶梯形矩阵对应线性方程组求解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--==--==23124324321p p x x p p x x(2) p =2时,,3),,,(4321=ααααr 向量组4321,,,αααα线性相关.因为,3),,(321=αααr 即321,,ααα线性无关,所以321,,ααα为一极大无关组.6.设),5,3,1,1(),9,4,2,1(),1,2,1,1(),5,3,1,1(),3,2,0,1(4321+=+=+-===b a a βαααα(1) b a ,为何值时,β不能由4321,,,αααα线性表示;(2) b a ,为何值时,β能由4321,,,αααα唯一线性表示,写出线性表示式.解:对矩阵)(4321βαααα施行初等变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-010000100121101111158153342321211011111a b a a b a(1) a =-1,b ≠0时,r(A )=2≠r(B A |)=3, β不能由4321,,,αααα线性表示;(2) a ≠-1时, r(A )=r(B A |)=4, β能由4321,,,αααα唯一线性表示,进一步计算得线性表示式为32111112αααβ+++++++-=a ba b a a b 7.设向量),,,,1(,)4,1,1(,),3,1,2(,)10,2,(321c b a TT T =-=-==βααα 试问c b a ,,满足什么条件时, (1)β可由321,,ααα线性表示,且表示唯一?(2) β不能由321,,ααα线性表示?(3) β可由321,,ααα线性表示,但表示不唯一?并求出一般表示式.解: 设有一组数321,,k k k ,使得βααα=++332211k k k ,其对应的线性方程组为 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=--ck k k b k k k k k ak 3213213214310212该方程组的系数行列式为 4451011212--=--=a a A(1)当4-≠a 时,,0||≠A 方程组有唯一解, β可由321,,ααα线性表示,且表示唯一.(2)当4-=a 时,对增广矩阵进行初等变换:.1301210101245101121124⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=c b b b c b A若,13≠-c b 则),()(A r A r ≠方程组无解, β不能由321,,ααα线性表示.(3)当4-=a 且13=-c b 时, ,32)()(<==A r A r 方程组有无穷多解.β可由321,,ααα线性表示,但表示不唯一.进一步求解得:t b k b t k t k (12,12,321+=---==为任意常数).所以,有 .)12()12(321αααβ++++-=b b t t从而133221,,αααααα+++也是该方程组的一个基础解系.8.对于线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ讨论λ取何值时,方程组无解,有唯一解和有无穷多解.在方程组有无穷多解时,试用其导出组的基础解系表示全部解.解: 对方程组的增广矩阵施行初等行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+----→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=)1(3)1)(2(010110211)1(311101102112112113112λλλλλλλλλλλλλλλλA所以:(1) 当12≠-≠λλ且时, ,3)()(==A r A r 方程组有唯一解; (2) 当2-=λ时,,3)(2)(=<=A r A r 方程组无解; (3) 当1=λ时, ,31)()(<==A r A r 方程组有无穷解;这时,增广矩阵化为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00000002111A ,对应的线性方程组为:3212x x x ---=,令032==x x 得方程组的一个特解为:.)0,0,2(0T-=η导出组对应的线性方程组为:321x x x --=,分别令⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==10,013232x x x x 得导出组的一个基础解系为:.)1,0,1(,)0,1,1(21TT -=-=ξξ 所以,方程组的全部解为:2122110,(k k k k ξξηη++=为任意常数).9.已知线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=+++-=+-+=+-+tx x x x x px x x x x x x x x x x 4321432143214321617231462032,讨论t p ,取何值时,方程组有解,无解;有解时,试用其导出组的基础解系表示通解.解: 对方程组的增广矩阵施行初等行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=20000008001221011401161117231461203211t p t p A所以,(1) 当2-≠t 时,)()(A r A r ≠,方程组无解; (2) 当2-=t 时,)()(A r A r =,方程组有解; 若8,2-=-=p t 得方程组的通解为2121,(,)1,0,2,1()0,1,2,4()0,0,1,1(k k k k T T T --+-+-=η为任意常数).若8,2-≠-=p t 得方程组的通解为k k T T (,)0,1,2,1()0,0,1,1(--+-=η为任意常数).10.设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000322212321321x c x b x a cx bx ax x x x (1) c b a ,,满足何关系时,方程组仅有零解;(2) c b a ,,满足何关系时,方程组有无穷解,并用基础解系表示全部解.解:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛))((000111111222a c b c a c a b c b a c b a (1) c b a ,,互不相等时,r(A )=n=3,方程组有唯一零解;(2) b c a ≠=时,通解为 k(1,0,-1); c b a ≠=时,通解为 k(1,-1,0); a c b ≠=时,通解为 k(0,1,-1).11.设B 为三阶非零矩阵,其行向量满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x x x x x x x λ,(1) 求λ;(2)证明|B |=0.解:由题意得方程组有非零解,故系数行列式为零,即,011312221=---λ解得 1=λ.另一方面,当1=λ时,r(A )=2,线性方程组基础解系包含一个向量, 所以,r(B )=1,从而|B |=0.12.设有方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++34324241333232313232222131321211a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x(1) 若)4,3,2,1(=i a i 两两不等,则方程组无解;(2) 若)1,1,1(),1,1,1(),0(,214231-=-=≠-====ββk k a a k a a 为方程组的解,求其通解.解(1)增广矩阵行列式为范得蒙行列式,故,0)(41≠-=∏≤<≤j i j ia aD增广矩阵的秩为4,而系数矩阵的秩≤3,所以,方程组无解.(2)若),0(,4231≠-====k k a a k a a 原方程等价于方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++3322133221k x k kx x k x k kx x系数矩阵的秩为2,故导出组基础解系仅含一个向量为,21ββ-取方程组的特解为,1β 方程组的通解为: k k k )(2,0,2()1,1,1()(211-+-=-+βββ为任意常数).13.设有两方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=---=--+⎪⎩⎪⎨⎧=---=----=-+111253314624343143213214321421t x x x x nx x x m x x x x x x x x x x x x (II)(I)(1) 求方程(I)的通解;(2) t n m ,,为何值时,(II)与(I)同解.解: (1)对(I)的增广矩阵初等行变换:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→521041010210011A得通解为 .)1,2,1,1()0,5,4,2(TTk X +---=(2)将(I)的通解Tk k k k X ),25,4,2(+-+-+-=代入(II)中各方程: 代入第一个方程得: 0)4)(2(=+--k m ,k 为任意实数,故m =2.类似可得: n =4,t =6.将m =2, n =4, t =6代入方程(II),得方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=--=---=--+5112452434314321x x x x x x x x x对增广矩阵初等行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→5210041010210012A与(I)的增广矩阵变化结果一样,所以,(I)与(II)同解.14.设有四元线性方程组(I)⎩⎨⎧=-=+004221x x x x ,另有方程组(II)的通解为 )1,2,2,1()0,1,1,0(21-+k k ,(1) 求(I)的基础解系;(2) 判断(I)和(II)有无公共非零解,若有,求其公共非零解. 解:(1) 方程组(I)的系数的秩为2,自由未知量有两个为43,x x ,令⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==01,104343x x x x 代入方程得基础解系为: (-1,1,0,1)和(0,0,1,0).(2)将两方程组基础解系以列排成矩阵,进行初等行变换:()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10101001110000001010210121101010,,,4321αααα,从而,3214αααα++=.即: 4321αααα+-=+,其中21αα+为(I)的解,43αα+-为(II)的解,所以,两方程组有公共非零解,全部公共解为k(43αα+-)=k(-1,1,1,1).(k 为任意常数).15.设线性方程组(I)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0.........................02211221111n n n n n n x a x a x a x a 的一个基础解系为),,1(),,,(21n j b b n j j =,写出(II)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0.........................02211221111n n n n n n y b y b y b y b 的通解.解: ),,1(),,,(21n j b b n j j =为方程(I)的一个基础解系,故满足方程组,代入(I)得:⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0.........................2211221111n j n n j n n j n j b a b a b a b a ),,1(n j =, 这表明),,1(),,,(21n i a a n i i =为方程组(II)的解.方程(I)的一个基础解系包含n 个向量,所以(I)的系数矩阵的秩为n,从而),,1(),,,(21n i a a n i i =线性无关. 另一方面, 方程(II)的的系数矩阵B 的秩为n, 故(II)的基础解系应包含n 个向量,所以 ),,1(),,,(21n i a a n i i =为(II)的一个基础解系.方程组(II)的通解为∑=ni n i i ika ak 121),,,( 为任意常数. 四.证明题1. 设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,其中m n <,若E AB =,证明B 的列向量组线性无关. 证明: ,)()()(n E r AB r B r ==≥另一方面, B 是n m ⨯矩阵,所以,),min()(n n m B r ≤≤ 综合即有 ,)(n B r =因此B 的n 个列向量线性无关,亦即B 的列向量组线性无关.2. 设ξξξ,TE A -=是n 维向量,证明: (1);12=⇔=ξξTA A(2)当1=ξξT时,A 不可逆.证明: (1) TT T T T T T E E E E A ξξξξξξξξξξξξξξ)2()(2))((2--=+-=--=由A A =2得 T T E ξξξξ)2(--=T E ξξ-所以必有 ,12=-ξξT 即 .1=ξξT(2) 由(1)得当1=ξξT 时, A A =2. 若A 可逆,则,02=-A A 即0)(=-E A A 从而必有 ,0=-E A 亦即.E A =又因为T E A ξξ-=,所以必有0=ξξT,与1=ξξT 矛盾.因此应有A 不可逆. 3. 证明n 维列向量组n ααα,,,21 线性无关的充要条件为:.. (2)12221212111≠=nT n T n T n n T T T n T T T D αααααααααααααααααα证明: 设),(21n A ααα =则n ααα,,,21 线性无关的充要条件为.0||≠A另一方面,A A D T =, 从而2||||||A A A D T ==,0||≠D 的充要条件为.0||≠A所以应有 n ααα,,,21 线性无关的充要条件为0||≠D .4. 设有向量组(I)321,,ααα,(II) ,,,,4321αααα(III) ,,,,5321αααα且r(I)=r(II)=3,r(III)=4,证明: 45321,,,ααααα-线性无关.证明: 设,0)(454332211=-+++αααααk k k k由r(I)=r(II)=3得4α可由321,,ααα唯一线性表示,设为 3322114ααααl l l ++=,代入得,0)()()(54343324221411=+-+-+-ααααk k l k k l k k l k 因为,,,,5321αααα线性无关,所以,04433422411==-=-=-k k l k k l k k l k 从而04321====k k k k ,得证. 5.对n 阶方阵A ,若存在正整数k 使得0=αk A ,且01≠-αk A .证明向量组ααα1,,,-k A A 线性无关.证明: 设01110=+++--αααk k A t A t t 上式两侧同乘以1-k A:0)(11101=+++---αααk k k A t A t t A即0)1(21110=+++---αααk k k k A t A t A t 由0=αk A 得 0)1(21====-+αααk k k AA A 所以应有 01=-αk A t 而01≠-αk A ,从而必有00=t . 因此有 0111=++--ααk k A t A t 同理上式两侧同乘以2-k A 得 01=t .类似可得012===-k t t所以向量组ααα1,,,-k A A 线性无关性得证. 6.设321,,ααα为齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系. 证明: 133221,,αααααα+++也是该方程组的一个基础解系.证明: 因为)3,2,1(0==i A i α,所以, 0)(2121=+=+ααααA A A .即: 21αα+为方程组0=AX 的一个解.同理可得: 1332,αααα++也是方程组0=AX 的解. 以下只需证明133221,,αααααα+++的线性无关性.设0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ,整理得:0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关,所以必有0322131=+=+=+k k k k k k 解得: 0321===k k k即: 321,,ααα线性无关.7.设t ααα,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系,0≠βA . 证明t αβαβαββ+++,,,,21 线性无关.证明: 设0)()()(22110=+++++++t t k k k k αβαβαββ其中t j k j ,2,1(=)为任意实数.则)(22110=++++∑=t t tj j k k k k αααβ (*)上式两侧同乘以A 得 0)(22110=++++∑=t t tj j A k A k A k A k αααβ因为t ααα,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系,所以应有021====t A A A ααα .从而)(0=∑=tj j A k β而0≠βA ,所以必有 0=∑=tj jk代入(*)得02211=+++t t k k k ααα由t ααα,,,21 线性无关得 021====t k k k 又由0=∑=tj jk得00=k所以必有t αβαβαββ+++,,,,21 线性无关.。
线性代数-向量与线性方程组
(1)、 ( 2)用矩阵分别表示： Ax b
Ax 0
b1 x1 x b b x n n 解向量
0 0 0
2
x1 2 x 2 x 3 2 3 x1 x 2 2 x 3 1 x x x 0 1 2 3
R( A) n Ax 0有非零解 又 R( A) min( m, n) 若m n, 则R( A) n Ax 0有非零解
9
B (A 0 )
R( B)＝R( A)
求解线性方程组的步骤： 写出增广矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵 用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵 根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系判断是否有解 如果有解，进一步化为行最简形矩阵 行最简形矩阵首非零元素1对应的未知量为非自由未知量， 其余未知量为自由未知量 令自由未知量为c,从而得到方程组的通解（一般解）
(1)
线性方程组的解有下列三种情况： ( n为未知量的个数 ) 无解 有惟一解 有无穷解
r ( B) r ( A)
r ( B)＝r ( A)＝n r ( B)＝r ( A) n
4
定理： 若线性方程组 Ax
b 增广矩阵为（A b）记为B
Ax b无解
A ( A b)
则有下列结论： R( B ) R( A)
r ( B ) ＝r ( B1 )
d1 d2 dr
r ( A) ＝r ( A1 ) ＝r
c1n c 21 cr n 0 0 0
其中：ci i 0 d r 1 0 0
( i 1,2,, r )
5
c11 0 r R( B1 ) r 1 0 不妨设 B1 0 其中：ci i 0 ( i 1,2,, r ) 0 0
线性代数第3章 n维向量与线性方程组
29
例3.3.3判定向量组α1=（1，0，3，2），α2=（0， 1，4，3）的线性相关性. 定理3.3.6 如果向量组α1，α2，…，αs线性无 关，而β，α1，α2，…，αs线性相关，则β可 由α1，α2，…，αs线性表示，且表示式是惟一 的.
30
31
32
3.4 在实际问题中，一个向量组有时含有很多个 向量.对于一个线性相关的向量组，只要所含的向 量不全是零向量，就一定存在一部分向量，它们 是线性无关的.本节主要介绍向量组的最大线性无 关组和向量组的秩.
2
由n维向量加法与数乘运算的定义，不难证明， n维向量的线性运算满足下列运算规律：
3
例3.1.1 设
解
4
例3.1.2 将线性方程组
写成向量方程的形式.
5
解
令
6
即
7
3.2 3.2.1 向量的线性组合 定义3.2.1 例3.2.1 设有向量0=（0，0，0），α1=（1，-1， 2），α2=（3，5，6），α3=（-2，4，3），问： 向量0能否表为向量α1，α2，α3的线性组合？
8
例3.2.2 求证：任何一个n维向量 α=（a1,a2,…,an）都可由向量组
线性表示.
9
证明 因为
10
例3.2.3设β=（1，1，1），α1=（0，1，-1），α2= （1，1，0），α3=（1，0，2），问β能否由α1， α2，α3线性表示？若能，写出线性表示式. 解 设
11
12
3.2.2 向量组的线性相关性 定义3.2.2 例3.2.4 已知α1=（1，1，1），α2=（0，2，5）， α3=（2，4，7），试判定向量组α1，α2，α3的 线性相关性.
33
向量组和线性方程组的区别和联系
向量组和线性方程组的区别和联系向量组与线性方程组的关系是密切的，它们之间有着密不可分的关系，同时也有一定的区别。
首先，我们从定义上来看向量组与线性方程组都是数学中一类结构化的数据，通常用来描述一系列问题。
向量组是一组由二维或多维向量所组成的集合，它表示两个或多个变量之间的依赖关系，并通过给定向量与向量之间的线性组合来描述。
线性方程组是一组线性方程所组成的集合，每个方程都是由一系列的未知量和一个常数组成的。
通常情况下，这些未知量是一组相互独立的变量，而常数只是一个数字，其值是固定不变的。
看起来，向量组和线性方程组之间没有太大的区别，但实际上，它们是有区别的。
首先，向量组是一组由二维或多维向量构成的集合，而线性方程组是一组线性方程的集合。
其次，向量组可以用来描述两个或多个变量之间的依赖关系，而线性方程组则是通过给定的未知量和常数来解决特定问题。
两者之间的最大的联系在于，向量组可以解决线性方程组。
简而言之，向量组是一种更为简单的数学工具，用于求解应用到线性方程组中的线性系统方程问题。
通常，向量组只适用于二维和三维向量。
为了解决更高维度的线性方程组，则需要使用线性代数工具。
此外，向量组在解决线性方程组中也用于确定某类问题的解决方案。
它可以用来解决许多直线上或面上的问题，比如求解优化问题的最优解，解决图形的几何变换问题，及最小二乘法的最优解等。
总之，向量组与线性方程组有着密不可分的关系，它们之间是紧密联系的，而且也有一定的差异性。
向量组更多的是表示变量之间的依赖关系，而线性方程组则是用来解决特定问题的数学结构；但是无论何种情况，向量组都可以被用于线性方程组，这种关系是不可分割的。
向量——线性代数
向量的线性相关性 线性方程组的解的结构 线性方程组的求解
向量的基本知识
n维（实）向量 维 行向量 列向量 零向量 负向量
α = ( a1 , a 2 , ⋯ , a n )
ai
α = ( a1 , a 2 , ⋯ , a n )
β ( b1 , b 2 , ⋯ , bn )
线性相关。 线性相关。
练习 判断向量组的线性相关性
α1 = ( 2,1, −1, −1) , α 2 = ( 0,3, −2, 0 ) , α 3 = ( 2, 4, −3, −1)
解 设
k1α1 + k2α 2 + k3α 3 = 0
2k1 + 2k3 = 0 k + 3k + 4k = 0 1 2 3 −k1 − 2k2 − 3k3 = 0 −k1 − k3 = 0
4. n+1个n维向量必线性相关。 维向量必线性相关。 个 维向量必线性相关
线性无关的一些命题 1. 如果方程
x1α1 + x2α 2 + ⋯ + xmα m = 0
只有零解， 只有零解，则向量组
α1 , α 2 , ⋯ , α m ,
线性无关。 线性无关。
2. 线性无关向量组的部分向量组，仍是线性无关。 线性无关向量组的部分向量组，仍是线性无关。
例1
讨论
维向量组（ 维单位坐标向量） n 维向量组（称为 n 维单位坐标向量） 的线性相关性。 的线性相关性。
e 1 = (1, 0 , 0 , ⋯ , 0 ) e 2 = ( 0 , 1, 0 , ⋯ , 0 ) ⋯ e n = ( 0 , 0 , 0 , ⋯ , 1)
第四章线性方程组与向量组的线性相关性
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 由定理2可知
➢ 定理3 设n元齐次线性方程组 Ax=0，
⑴ R(A)=n 方程组Ax=0有惟一解， 即方程组Ax=0只有零解
A为方阵时，A≠0 ⑵ R(A)<n 方程组Ax=0有无穷多组解，
即方程组Ax=0有非零解 A为方阵时，A=0 ➢ 注：定理1.3及推论1.2自行阅读。
2r2r1 5r2r3
1 0
0 1
1 1
1 0
3 1
0 5 5 0 5
0 0 0 0 0
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 原方程组可化为
x1 x3 x4 3
x2 x3
1
x3与x4可任意取值， 称为自由未知量
令x3k1,x4k2(k1,k2为任意 ),得 方常 程 组 的数 解
x1 3 k1 k2
向量组可相互线性表示，则称这两个向量组等价。
➢ 性质1若向量组1, 2,…,s可由向量组1, 2,…, t 线性表示，向量组1, 2,…,t 可由向量组1, 2, …,p线性表示，则向量组1, 2,…,s可由向量组 1, 2,…,p线性表示。（传递性）
§2 向量组的线性相关性
➢ 性质2
⑴向量组1, 2,…,s与向量组1, 2,…,s等价； ⑵若向量组1, 2,…,s与向量组1, 2,…,t 等价， 则向量组1, 2,…,t 与向量组1, 2,…,s等价； ⑶若向量组1, 2,…,s与向量组1, 2,…,t 等价， 向量组1, 2,…,t 与向量组1, 2,…,p等价， 则 向量组1, 2,…,s与向量组1, 2,…,p等价。
➢ 例1 用消元法解线性方程组
x1 2x2 3x3 x4 1 3x1 x2 4x3 3x4 8 2x1 x2 x3 2x4 7
关于方程组同解与向量组等价的探讨
关于方程组同解与向量组等价的探讨一、介绍在代数学中，方程组是一组由变量和常数构成的方程集合。
解方程组的过程是找到可以同时满足这组方程的变量和常数的值。
方程组的解有多种形式，包括无解、有唯一解或者有无穷多解。
本文将介绍方程组同解与向量组等价的概念，探讨它们之间的关系和意义。
二、方程组同解的定义与特点方程组同解是指有相同解集的两个或多个方程组。
具体来说，如果两个方程组具有完全相同的解集，那么我们称它们为同解方程组。
同解方程组有以下几个特点：1. 相同的解集：同解方程组的解集完全相同，即其中任何一个方程组的解集都包含在另一个方程组的解集中。
2. 相同的基础解系：同解方程组的基础解系相同，即它们的基础解系向量完全相同。
三、向量组的定义与特点向量组由一组向量构成，可以表示为矩阵的列向量。
在线性代数中，向量组的等价意味着它们具有相同的线性组合关系。
向量组的等价有以下几个特点：1. 相同的线性组合关系：等价的向量组可以通过相同的线性组合关系表示。
2. 相同的秩：等价的向量组具有相同的秩，即它们所张成的向量空间的维度相同。
四、方程组同解与向量组等价的关系方程组同解与向量组等价是代数学中的基本定理之一，也是线性代数理论的重要内容。
具体来说，对于一个方程组，如果可以将它的系数矩阵和增广矩阵进行等价变换，得到一个新的方程组，那么这两个方程组就是同解方程组。
而这个等价变换实际上就是线性组合的运算。
也就是说，两个具有相同线性组合关系的向量组可以构成同解方程组。
反之亦成立，如果两个方程组是同解方程组，那么它们所对应的向量组也是等价的。
这意味着，我们可以通过解方程组的方法来确定向量组的线性组合关系，进而得到向量组的等价关系。
方程组同解与向量组等价是相互关联的概念，通过它们之间的等价关系，我们可以更加灵活地使用代数学中的方法和技巧来解决问题。
五、观点与理解方程组同解与向量组等价的理论在代数学和线性代数中有着广泛的应用。
通过对方程组和向量组的等价关系的研究，我们可以更深入地理解线性代数的基本概念和原理。
向量组的应用—线性方程组解的结构
b1,nr xn 0 ， b2,nr xn 0 ，
br,nr xn 0 ，
其中，xr1 ，xr2 ， ，xn 是 n r 个自由未知数。特别取
xr1 1 0 0
xr
2
0
， 1
，
， 0
，
xn 0 0 1
（2-17）
可得齐次线性方程组的 n r 个解
x r 1 1 r 1 2 nnr
综合（1），（2）知，1 ，2 ， ，nr 是齐次线性方程的一组 基础解系，它所含线性无关的解向量的个数恰等于 n r（方程组 中未知数个数减去系数矩阵的秩）。矩阵的秩是确定的，所以通 解中所含任意常数的个数也是确定的。
例1
求齐次线性方程组
2x1x1x52
推论
设 m n 矩阵 A 的秩 R(A) r ，则 n 元齐次线性方程组 Ax 0 的 解集 S 的秩 R(S) n r 。
例2
设 n 元齐次线性方程组 Ax 0 与 Bx 0 同解，证明R(A) R(B) 。
证
由于方程组 Ax 0与 Bx 0 有相同的解集，设为 S，解集为秩 为 R(S) ，则有 R( A) n R(S) ，R(B) n R(S) ，因此R( A) R(B)。
经济数学
向量组的应用—线性方程组解的结构
齐次线性方程 组 Ax 0 解的 结构
非齐次线性方程 组 Ax b解的结 构
1.1 齐次线性方程组Ax=0 解的结构
齐次线性方程组 Ax 0 的解具有以下性质：
性质1 如果1 ，2 是齐次线性方程组的解，则 1 2 也是齐次线
性方程组的解。
证 因为A(1 2 ) A1 A2 0 0 0 ，所以 1 2是齐次线
1.2 非齐次线性方程组Ax=b 解的结 构
线性方程组与向量的线性相关性
11 1
(3)1 1 1
1 1 1
方法一：
因此
(1)当
即
且
组有唯一解.
(2) 当
时，
时，方程
18
可见
故方程组此时有无限 多个解，且通解为
1 1 2 3 0 3 3 6 0 0 0 0
x x
1 2
1 2
c, c,
x 3 c ,
19
(3) 当
时，
可见 故方程组此时无解.
其一是当A为方阵时, 先根据系数行列式 A 0, 求得使
方程组有唯一解 的值，然后讨论；
其二是对矩阵(A,b)作初等行变换.
17
系数矩阵的行列式为
2 1 1 (A,b) 1 2 1
1 1 2 3
0 0 3 3 6 0 3 3 6
3 1 1 1
1
A 1 1 1 1 2 3 1 1 1
1 2
c, c,
0 0 0 0 x 3 c ,
22
1 1 1
r
(A,b)0 3
0 0 32 322
1 1 1 0 0 0 0 3 0 0 0 3
(3) 当
可见 时无解.
时，
故方程组此
23
二、齐次线性方程组解的研究
T是h系m数3.矩2 阵nA的元秩齐X等次0于线未性知方量程的组个AX数=n0，只即有R零(A解)的=n充；要有条非件
2 1 0
1 1 1
rr12r2r3 rr21rr33
1 0
rr12 132r20
13 00 00
30 013 00
313 31133
200 1011
0 0
0 0
000 010 1 1
线性代数习题
r r r 5. 设向量组 β 可以由向量组 α 1 , α 2 , L , α r 线性表示 线性表示, r r r 证明表示法唯一的充分必要条件是α 1 , α 2 ,L , α r 线性无 关. 充分性) 证明 (充分性)书上的定理2.4. 充分性 书上的定理2.4.
r
(必要性)设 必要性) 必要性 又由已知设 两式相减得
r
r (k1 + k 2 + L + k r )α 1 + (k 2 + k 3 + L + k r )α 2 + L + k r α r = 0 r r r 线性无关， 因向量组 α 1 , α 2 , L , α r 线性无关，得 r r r
k1 + k 2 + L + k r = 0 k2 + L + kr = 0 M kr = 0
(3)行列式法（向量组能构成一个方阵A时,才能用此法） 行列式法（向量组能构成一个方阵 时 才能用此法） 行列式法 才能用此法 若 A = 0 ，则向量组线性相关 若 A ≠ 0 ，则向量组线性无关 (4)反证法 反证法
五. 求向量组的秩及极大无关组的方法 r r r （1）向量组α1 ,α 2 ,L ,α s作列向量构成矩阵 ） 作列向量构成矩阵A
r k1 (α 1 ) + k 2 (α 1 + α 2 ) + L + k r (α 1 + α 2 + L + α r ) = 0 r
设
证明
r
r k1 β 1 + k 2 β 2 + L + k r β r = 0
线性代数课件PPT 第3章.线性方程组
2) (α β) γ α ( β γ（) 加法结合律）
3) 存在任意一个向量α，有α 0n α 4）存在任意一个向量α，存在负向量-α，使α (α) 0n
5) 1α α
6) k(lα) (kl)α（数乘结合律）
7) k(α β) kα kβ（数乘分配律）
m
kiai k1α1 k2α2 L kmαm
i 1
称为向量组α1, α2,L , αm在数域F上的一个线性组合。如果记
m
β kiαi，就说β可由α1, α2,L , αm线性表示。 i 1
10
3.1 n维向量及其线性相关性
线性相关性 定义：如果对m个向量α1, α2, α3, ... , αm∈Fn，有m个不全 为0的数k1,k2,...,km∈F，使
α=(a1 a2 an) 其中ai 称为α的第i个分量。
向量写成行的形式称为行向量，向量写作列的形式称为 列向量（也可记作行向量的转置）。
a1
αT
a2
M
an
3
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的定义 数域F上全体n元向量组成的集合，记作Fn。
4
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的运算
定义：设α=(a1, a2, ... , an)，β=(b1, b2, ... , bn)∈Fn，k∈F，
定义：
1）α=β,当且仅当ai=bi (i=1,...,n)； 2）向量加法（或α与β之和）为
α β (a1 b1, a2 b2 , ... , an bn )
k1α1 k2α2 L kmαm 0n
成立，则称α1, α2, α3, ... ,αm线性相关；否则，称α1, α2, α3, ... ,αm线性无关。