数值分析大作业 三四五六七

大作业 三

1. 给定初值0x 及容许误差 ，编制牛顿法解方程f (x )=0的通用程序.

解：Matlab 程序如下：

函数m 文件：fu.m

function Fu=fu(x)

Fu=x^3/3-x;

end

函数m 文件：dfu.m

function Fu=dfu(x)

Fu=x^2-1;

end

用Newton 法求根的通用程序Newton.m

clear;

x0=input('请输入初值x0:');

ep=input('请输入容许误差:');

flag=1;

while flag==1

x1=x0-fu(x0)/dfu(x0);

if abs(x1-x0)

flag=0;

end

x0=x1;

end

fprintf('方程的一个近似解为：%f\n',x0);

寻找最大δ值的程序：Find.m

clear

eps=input('请输入搜索精度：');

ep=input('请输入容许误差：');

flag=1;

k=0;

x0=0;

while flag==1

sigma=k*eps;

x0=sigma;

k=k+1;

m=0;

flag1=1;

while flag1==1 && m<=10^3

x1=x0-fu(x0)/dfu(x0);

if abs(x1-x0)

flag1=0;

end

m=m+1;

x0=x1;

end

if flag1==1||abs(x0)>=ep

flag=0;

end

end

fprintf('最大的sigma 值为：%f\n',sigma);

2．求下列方程的非零根

5130.6651()ln 05130.665114000.0918

x x f x x +⎛⎫=-= ⎪-⨯⎝⎭解：Matlab 程序为：

（1）主程序

clear

clc

format long

x0=765;

N=100;

errorlim=10^(-5);

x=x0-f(x0)/subs(df(),x0);

n=1;

while n

x=x0-f(x0)/subs(df(),x0);

if abs(x-x0)>errorlim

n=n+1;

else

break ;

end

x0=x;

end

disp(['迭代次数: n=',num2str(n)])

disp(['所求非零根: 正根x1=',num2str(x),' 负根x2=',num2str(-x)])

（2）子函数 非线性函数f

function y=f(x)

y=log((513+0.6651*x)/(513-0.6651*x))-x/(1400*0.0918);

end

（3）子函数非线性函数的一阶导数df

function y=df()

syms x1

y=log((513+0.6651*x1)/(513-0.6651*x1))-x1/(1400*0.0918); y=diff(y);

end

运行结果如下：

迭代次数: n=5

所求非零根: 正根x1=767.3861 负根x2=-767.3861

大作业 四

试编写MATLAB 函数实现Newton 插值，要求能输

出插值多项式. 对函数21()14f x x

=+在区间[-5，5]上实现10次多项式插值.

分析：（1）输出插值多项式。 （2）在区间[-5,5]内均匀插入99个节点，计算这些节点上函数f （x ）的近似值，并在同一张图上画出原函数和插值多项式的图形。 （3）观察龙格现象，计算插值函数在各节点处的误差，并画出误差图。

解：Matlab 程序代码如下：

%此函数实现y=1/(1+4*x^2)的n 次Newton 插值，n 由调用函数时指定

%函数输出为插值结果的系数向量（行向量）和插值多项式

function [t y]=func5(n)

x0=linspace(-5,5,n+1)';

y0=1./(1.+4.*x0.^2);

b=zeros(1,n+1);

for i=1:n+1

s=0;

for j=1:i

t=1;

for k=1:i

if k~=j

t=(x0(j)-x0(k))*t;

end ;

end ;

s=s+y0(j)/t;

end ;

b(i)=s;

end ;

t=linspace(0,0,n+1);

for i=1:n

s=linspace(0,0,n+1);

s(n+1-i:n+1)=b(i+1).*poly(x0(1:i));

t=t+s;

end ;

t(n+1)=t(n+1)+b(1);

y=poly2sym(t);

10次插值运行结果：

[b Y]=func5(10)