数值分析大作业
数值分析大作业一

数值分析大作业一一、算法设计方案1、求λ1和λ501的值:思路:采用幂法求出按模最大特征值λmax,该值必为λ1或λ501,若λmax小于0,则λmax=λ1;否则λmax=λ501。
再经过原点平移,使用幂法迭代出矩阵A-λmax I的特征值,此时求出的按模最大特征值即为λ1和λ501的另一个值。
2、求λs的值:采用反幂法求出按模最小的特征值λmin即为λs,其中的方程组采用LU分解法进行求解。
3、求与μk最接近的特征值:对矩阵A采用带原点平移的反幂法求解最小特征值,其中平移量为:μk。
4、A的条件数cond(A)=| λmax/λmin|;5、A的行列式的值:先将A进行LU分解,再求U矩阵对角元素的乘积即为A 行列式的值。
二、源程序#include<iostream>#include<iomanip>#include<math.h>#define N 501#define E 1.0e-12 //定义精度常量#define r 2#define s 2using namespace std;double a[N];double cc[5][N];void init();double mifa();double fmifa();int max(int aa,int bb);int min(int aa,int bb);int max_3(int aa,int bb,int cc);void LU();void main(){double a1,a2,d1,d501=0,ds,det=1,miu[39],lamta,cond;int i,k;init();/*************求λ1和λ501********************/a1=mifa();if(a1<0)d1=a1; //若小于0则表示λ1的值elsed501=a1; //若大于0则表示λ501的值for(i=0;i<N;i++)a[i]=a[i]-a1;a2=mifa()+a1;if(a2<0)d1=a2; //若小于0则表示λ1的值elsed501=a2; //若大于0则表示λ501的值cout<<"λ1="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<d1<<"\t";cout<<"λ501="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<d501<<endl;/**************求λs*****************/init();ds=fmifa();cout<<"λs="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<ds<<endl;/**************求与μk最接近的特征值λik**************/cout<<"与μk最接近的特征值λik:"<<endl;for(k=0;k<39;k++){miu[k]=d1+(k+1)*(d501-d1)/40;init();for(i=0;i<N;i++)a[i]=a[i]-miu[k];lamta=fmifa()+miu[k];cout<<"λi"<<k+1<<"\t\t"<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<lamta<<en dl;}/**************求A的条件数**************/cout<<"矩阵A的条件式";cond=abs(max(abs(d1),abs(d501))/ds);cout<<"cond="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<cond<<endl;/**************求A的行列式**************/cout<<"矩阵A的行列式";init();LU();for(i=0;i<N;i++){det*=cc[2][i];}cout<<"det="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<det<<endl;system("pause");}/**************初始化函数,给a[N]赋值*************/void init(){int i;for(i=1;i<=501;i++)a[i-1]=(1.64-0.024*i)*sin((double)(0.2*i))-0.64*exp((double)(0.1/i)); }/**************幂法求最大绝对特征值**************/double mifa(){int i,k=0;double u[N],y[N]={0},b=0.16,c=-0.064,Beta_=0,error;for(i=0;i<501;i++)u[i]=1; //令u[N]=1for(k=1;k<2000;k++) //控制最大迭代次数为2000{/***求y(k-1)***/double sum_u=0,gh_sum_u;for(i=0;i<N;i++){sum_u+=u[i]*u[i]; }gh_sum_u=sqrt(sum_u);for(i=0;i<N;i++){y[i]=u[i]/gh_sum_u;}/****求新的uk****/u[0]=a[0]*y[0]+b*y[1]+c*y[2];u[1]=b*y[0]+a[1]*y[1]+b*y[2]+c*y[3]; //前两列和最后两列单独拿出来求中D间的循环求for(i=2;i<N-2;i++){u[i]=c*y[i-2]+b*y[i-1]+a[i]*y[i]+b*y[i+1]+c*y[i+2];}u[N-2]=c*y[N-4]+b*y[N-3]+a[N-2]*y[N-2]+b*y[N-1];u[N-1]=c*y[N-3]+b*y[N-2]+a[N-1]*y[N-1];/***求beta***/double Beta=0;for(i=0;i<N;i++){Beta+=y[i]*u[i];}//cout<<"Beta"<<k<<"="<<Beta<<"\t"; 输出每次迭代的beta /***求误差***/error=abs(Beta-Beta_)/abs(Beta);if(error<=E) //若迭代误差在精度水平内则可以停止迭代{return Beta;} //控制显示位数Beta_=Beta; //第个eta的值都要保存下来,为了与后个值进行误差计算 }if(k==2000){cout<<"error"<<endl;return 0;} //若在最大迭代次数范围内都不能满足精度要求说明不收敛}/**************反幂法求最小绝对特¬征值**************/double fmifa(){int i,k,t;double u[N],y[N]={0},yy[N]={0},b=0.16,c=-0.064,Beta_=0,error;for(i=0;i<501;i++)u[i]=1; //令u[N]=1for(k=1;k<2000;k++){double sum_u=0,gh_sum_u;for(i=0;i<N;i++){sum_u+=u[i]*u[i]; }gh_sum_u=sqrt(sum_u);for(i=0;i<N;i++){y[i]=u[i]/gh_sum_u;yy[i]=y[i]; //用重新赋值,避免求解方程组的时候改变y的值}/****LU分解法解方程组Au=y,求新的***/LU();for(i=2;i<=N;i++){double temp_b=0;for(t=max(1,i-r);t<=i-1;t++)temp_b+=cc[i-t+s][t-1]*yy[t-1];yy[i-1]=yy[i-1]-temp_b;}u[N-1]=yy[N-1]/cc[s][N-1];for(i=N-1;i>=1;i--){double temp_u=0;for(t=i+1;t<=min(i+s,N);t++)temp_u+=cc[i-t+s][t-1]*u[t-1];u[i-1]=(yy[i-1]-temp_u)/cc[s][i-1];}double Beta=0;for(i=0;i<N;i++){Beta+=y[i]*u[i];}error=abs(Beta-Beta_)/abs(Beta);if(error<=E){return (1/Beta);}Beta_=Beta;}if(k==2000){cout<<"error"<<endl;return 0;} }/**************求两数最大值的子程序**************/int max(int aa,int bb){return(aa>bb?aa:bb);}/**************求两数最小值的子程序**************/int min(int aa,int bb){return(aa<bb?aa:bb);}/**************求三数最大值的子程序**************/int max_3(int aa,int bb,int cc){ int tt;if(aa>bb)tt=aa;else tt=bb;if(tt<cc) tt=cc;return(tt);}/**************LU分解**************/void LU(){int i,j,k,t;double b=0.16,c=-0.064;/**赋值压缩后矩阵cc[5][501]**/for(i=2;i<N;i++)cc[0][i]=c;for(i=1;i<N;i++)cc[1][i]=b;for(i=0;i<N;i++)cc[2][i]=a[i];for(i=0;i<N-1;i++)cc[3][i]=b;for(i=0;i<N-2;i++)cc[4][i]=c;for(k=1;k<=N;k++){for(j=k;j<=min(k+s,N);j++){double temp=0;for(t=max_3(1,k-r,j-s);t<=k-1;t++)temp+=cc[k-t+s][t-1]*cc[t-j+s][j-1];cc[k-j+s][j-1]=cc[k-j+s][j-1]-temp;}//if(k<500){for(i=k+1;i<=min(k+r,N);i++){double temp2=0;for(t=max_3(1,i-r,k-s);t<=k-1;t++)temp2+=cc[i-t+s][t-1]*cc[t-k+s][k-1];cc[i-k+s][k-1]=(cc[i-k+s][k-1]-temp2)/cc[s][k-1];}}}}三、程序结果。
数值分析大作业三、四、五、六、七

大作业 三1. 给定初值0x 及容许误差,编制牛顿法解方程f (x )=0的通用程序.解:Matlab 程序如下:函数m 文件:function Fu=fu(x) Fu=x^3/3-x; end函数m 文件:function Fu=dfu(x) Fu=x^2-1; end用Newton 法求根的通用程序 clear;x0=input('请输入初值x0:'); ep=input('请输入容许误差:'); flag=1;while flag==1x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0)<ep flag=0; end x0=x1; endfprintf('方程的一个近似解为:%f\n',x0); 寻找最大δ值的程序: cleareps=input('请输入搜索精度:'); ep=input('请输入容许误差:'); flag=1; k=0; x0=0; while flag==1 sigma=k*eps; x0=sigma; k=k+1; m=0; flag1=1;while flag1==1 && m<=10^3 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0);if abs(x1-x0)<epm=m+1; x0=x1; endif flag1==1||abs(x0)>=ep flag=0; end endfprintf('最大的sigma 值为:%f\n',sigma);2.求下列方程的非零根5130.6651()ln 05130.665114000.0918x x f x x +⎛⎫=-= ⎪-⨯⎝⎭解:Matlab 程序为:(1)主程序 clear clc format long x0=765; N=100;errorlim=10^(-5); x=x0-f(x0)/subs(df(),x0); n=1; while n<Nx=x0-f(x0)/subs(df(),x0); if abs(x-x0)>errorlim n=n+1; else break ; end x0=x; enddisp(['迭代次数: n=',num2str(n)])disp(['所求非零根: 正根x1=',num2str(x),' 负根x2=',num2str(-x)]) (2)子函数 非线性函数f function y=f(x)y=log((513+*x)/*x))-x/(1400*; end(3)子函数 非线性函数的一阶导数df function y=df() syms x1y=log((513+*x1)/*x1))-x1/(1400*; y=diff(y); end运行结果如下:所求非零根: 正根x1= 负根x2=大作业 四试编写MATLAB 函数实现Newton 插值,要求能输出插值多项式. 对函数21()14f x x =+在区间[-5,5]上实现10次多项式插值.分析:(1)输出插值多项式。
北航数值分析大作业三

一、题目:关于x, y, t, u, v, w 的下列方程组0.5cos 2.670.5sin 1.070.5cos 3.740.5sin 0.79t u v w x t u v w y t u v w x t u v w y +++-=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+++-=⎩1、试用数值方法求出f(x, y)在区域 {(,)|00.8,0.5 1.5}D x y x y =≤≤≤≤上的一个近似表达式,0(,)kr s rsr s p x y cx y ==∑要求(,)p x y 一最小的k 值达到以下的精度10202700((,)(,))10i j i j i j f x y p x y σ-===-≤∑∑其中,0.08,0.50.05i j x i y j ==+。
2、计算****(,),(,)i j i j f x y p x y (i = 1, 2, …,8;j = 1, 2,…,5)的值,以观察(,)p x y 逼近(,)f x y 的效果,其中,*i x =0.1i , *j y =0.5+0.2j 。
说明:1、用迭代方法求解非线性方程组时,要求近似解向量()k x 满足()(1)()12||||/||||10k k k x x x --∞∞-≤2、作二元插值时,要使用分片二次代数插值。
3、要由程序自动确定最小的k 值。
4、打印以下内容:●算法的设计方案。
●全部源程序(要求注明主程序和每个子程序的功能)。
●数表:,,i j x y (,)i j f x y (i = 0,1,2,…,10;j = 0,1,2,…,20)。
●选择过程的,k σ值。
●达到精度要求时的,k σ值以及(,)p x y 中的系数rs c (r = 0,1,…,k;s = 0,1,…,k )。
●数表:**,,i j x y ****(,),(,)i j i j f x y p x y (i = 1, 2, ...,8;j = 1, 2, (5)。
数值分析大作业

数值分析上机作业(一)一、算法的设计方案1、幂法求解λ1、λ501幂法主要用于计算矩阵的按模最大的特征值和相应的特征向量,即对于|λ1|≥|λ2|≥.....≥|λn|可以采用幂法直接求出λ1,但在本题中λ1≤λ2≤……≤λ501,我们无法判断按模最大的特征值。
但是由矩阵A的特征值条件可知|λ1|和|λ501|之间必然有一个是最大的,通过对矩阵A使用幂法迭代一定次数后得到满足精度ε=10−12的特征值λ0,然后在对矩阵A做如下的平移:B=A-λ0I由线性代数(A-PI)x=(λ-p)x可得矩阵B的特征值为:λ1-λ0、λ2-λ0…….λ501-λ0。
对B矩阵采用幂法求出B矩阵按模最大的特征值为λ∗=λ501-λ0,所以λ501=λ∗+λ0,比较λ0与λ501的大小,若λ0>λ501则λ1=λ501,λ501=λ0;若λ0<λ501,则令t=λ501,λ1=λ0,λ501=t。
求矩阵M按模最大的特征值λ的具体算法如下:任取非零向量u0∈R nηk−1=u T(k−1)∗u k−1y k−1=u k−1ηk−1u k=Ay k−1βk=y Tk−1u k(k=1,2,3……)当|βk−βk−1||βk|≤ε=10−12时,迭终终止,并且令λ1=βk2、反幂法计算λs和λik由已知条件可知λs是矩阵A 按模最小的特征值,可以应用反幂法直接求解出λs。
使用带偏移量的反幂法求解λik,其中偏移量为μk=λ1+kλ501−λ140(k=1,2,3…39),构造矩阵C=A-μk I,矩阵C的特征值为λik−μk,对矩阵C使用反幂法求得按模最小特征值λ0,则有λik=1λ0+μk。
求解矩阵M按模最小特征值的具体算法如下:任取非零向量u 0∈R n ηk−1= u T (k−1)∗u k−1y k−1=u k−1ηk−1 Au k =y k−1βk =y T k−1u k (k=1,2,3……)在反幂法中每一次迭代都要求解线性方程组Au k =y k−1,当K 足够大时,取λn =1βk 。
数值分析作业(完整版)

的逆阵 A ,用左除命令 A \ E 检验你的结果。
clc clear close all A=[1 1 1 1 1;1 2 3 4 5;1 3 6 10 15;1 4 10 20 35;1 5 15 35 70]; fprintf('对上述矩阵进行列主元素分解:\n') for i=1:1:r-1 [mx,ro]=max(abs(A(i:r,i))); % 寻找a阵第i列的最大值 [A(i,:),A(ro+i-1,:)]=exchange(A(i,:),A(ro+i-1,:)); % 进行行与行交换 for j=i+1:1:r A(j,:)=A(j,:)-A(j,i)/A(i,i)*A(i,:); end A End %--矩阵A的逆阵 A1=inv(A) %--左除验证 E=eye(5); A2=A\E % 5x5单位阵 % A阵的逆矩阵 % 输出每次交换后的A
第一章
1、计算积分 I n
Code: clc clear close all n=9; %--梯形积分法 x=0:0.01:1; y=(x.^n).*exp(x-1); In = trapz(x,y); In2=vpa(In,6) % 6位有效数字 %--高精度积分法 F = @(x1)(x1.^n).*exp(x1-1); s = quad(F,0,1); s1=vpa(s,6)
0
0, 0, 0, 0, 0 。
T
if abs(er(:,i-1))<=e fprintf('在迭代 %d 次之后,满足精度要求,x向量的值如下:\n',i); fprintf('x1=%.5f, x2=%.5f, x3=%.5f, x4=%.5f, x5=%.5f\n',x(1,i),x(2,i),x(3,i),x(4,i),x(5,i)); break end end %--绘图 figure(1) plot(1:1:i,x(1,:),'b',1:1:i,x(2,:),'k',1:1:i,x(3,:),'g',1:1:i,x(4,:), 'r',1:1:i,x(5,:),'c') legend('x1','x2','x3','x4','x5') grid on title('Jacobi迭代法——x值随迭代次数变化曲线') figure(2) plot(1:1:i-1,er(1,:),'b',1:1:i-1,er(2,:),'k',1:1:i-1,er(3,:),'g',1:1: i-1,er(4,:),'r',1:1:i-1,er(5,:),'c') legend('△x1','△x2','△x3','△x4','△x5') grid on title('Jacobi迭代法——△x值随迭代次数变化曲线') %% fprintf('\n-------------Gauss-Seidel迭代法---------------------\n'); U=-(A1-D); L=-(A2-D); DL_1=inv(D-L); M1=DL_1*U; b2=DL_1*b; x1(:,1)=M1*x0+b2; for j=2:1:100 x1(:,j)=M1*x1(:,j-1)+b2; er1(:,j-1)=x1(:,j)-x1(:,j-1); if abs(er1(:,j-1))<=e fprintf('在迭代 %d 次之后,满足精度要求,x向量的值如下:\n',j); fprintf('x1=%.5f, x2=%.5f, x3=%.5f, x4=%.5f, x5=%.5f\n',x1(1,j),x1(2,j),x1(3,j),x1(4,j),x1(5,j)); break end end %--绘图 figure(3) plot(1:1:j,x1(1,:),'b',1:1:j,x1(2,:),'k',1:1:j,x1(3,:),'g',1:1:j,x1(4 ,:),'r',1:1:j,x1(5,:),'c') legend('x1','x2','x3','x4','x5')
数值分析大作业

第二次计算实验:SVD及其应用梁杰存2014310739航博1431.方法求矩阵A奇异值分解一个途径是求解A T A的特征值,但因为舍入误差容易丢掉小奇异值。
因此通常先将矩阵上双对角化,即构造正交阵Q和W,使得Q T AW=B(upper−bidiagnal)。
这一过程可以通过逐次Household变换或逐次Given’s变换完成,还有一种基于待定系数法思想的Lanczos算法。
由于Linpack中SVD算法需要输入上双对角矩阵,本文采用Lanczos 算法实现上双对角化。
1.1.隐式零移位QR法(implicit zero-shift QR)与传统移位QR迭代算法不同,隐式零移位QR算法不进行移位,并且第一步构造右乘Given’s变换矩阵GR(1,2)将上双对角矩阵B的(1,2)位置上的元素12b消零,而不是传统方法中引入一个非零元素21b。
但这一步可能会使原来为零的b12变为非零。
第二步左乘Given’s阵GL(1,2)使得12b为0,但可能会使为零b13变为非零。
与上述步骤类似,将b13变为0后可能会使b23非零。
如下图所示,重复上述步骤最终将恢复为上双对角矩阵,即完成一步隐式零移位QR迭代。
反复迭代,矩阵B将趋近与对角阵阵,对角元即特征值。
图1隐式QR迭代1.2.分而治之(Divide-and-conquer)分而治之算法将上双对角阵B分成有两个互相独立对角块矩阵与另一矩阵之和,即:B=B100B2+b m vvT=Q1Σ1Q1T00Q2Σ1Q2T+b m vv T =Q100Q2(Σ100Σ1+b m uuT)Q1T00Q2T所以矩阵B的特征值与矩阵D+ρu u T的特征值相同,其中D=Σ100Σ1为对角阵,又:det D+ρu u T−λI=det((D−λI)(I+ρD−λ−1u u T))由于D−λI非奇异,则det I+ρD−λ−1u u T=1+ρu T D−λ−1u=1+ρu i2d i−λ=0ni=1在每个d i与d i+1之间分布着一个特征值,可用牛顿法快速找到该特征值。
北航数值分析全部三次大作业

北航数值分析全部三次大作业第一次大作业是关于解线性方程组的数值方法。
我们被要求实现各种常用的线性方程组求解算法,例如高斯消元法、LU分解法和迭代法等。
我首先学习了这些算法的原理和实现方法,并借助Python编程语言编写了这些算法的代码。
在实验中,我们使用了不同规模和条件的线性方程组进行测试,并比较了不同算法的性能和精度。
通过这个作业,我深入了解了线性方程组求解的原理和方法,提高了我的编程和数值计算能力。
第二次大作业是关于数值积分的方法。
数值积分是数值分析中的重要内容,它可以用于计算曲线的长度、函数的面积以及求解微分方程等问题。
在这个作业中,我们需要实现不同的数值积分算法,例如矩形法、梯形法和辛普森法等。
我学习了这些算法的原理和实现方法,并使用Python编写了它们的代码。
在实验中,我们计算了不同函数的积分值,并对比了不同算法的精度和效率。
通过这个作业,我深入了解了数值积分的原理和方法,提高了我的编程和数学建模能力。
第三次大作业是关于常微分方程的数值解法。
常微分方程是数值分析中的核心内容之一,它可以用于描述众多物理、化学和生物现象。
在这个作业中,我们需要实现不同的常微分方程求解算法,例如欧拉法、龙格-库塔法和Adams法等。
我学习了这些算法的原理和实现方法,并使用Python编写了它们的代码。
在实验中,我们解决了一些具体的常微分方程问题,并比较了不同算法的精度和效率。
通过这个作业,我深入了解了常微分方程的原理和方法,提高了我的编程和问题求解能力。
总的来说,北航数值分析课程的三次大作业非常有挑战性,但也非常有意义。
通过这些作业,我在数值计算和编程方面得到了很大的提升,也更加深入地了解了数值分析的理论和方法。
虽然这些作业需要大量的时间和精力,但我相信这些努力将会对我未来的学习和工作产生积极的影响。
北航数值分析大作业一

北京航空航天大学数值分析大作业一学院名称自动化专业方向控制工程学号ZY*******学生姓名许阳教师孙玉泉日期2021 年11月26 日设有501501⨯的实对称矩阵A ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=5011A a b c b c c b c b a其中,064.0,16.0),501,,2,1(64.0)2.0sin()024.064.1(1.0-==⋅⋅⋅=--=c b i e i i a ii 。
矩阵A 的特征值为)501,,2,1(⋅⋅⋅=i i λ,并且有||min ||,501150121i i s λλλλλ≤≤=≤⋅⋅⋅≤≤1λ,501λ和s λ的值。
A 的与数4015011λλλμ-+=kk 最接近的特征值)39,,2,1(⋅⋅⋅=k k i λ。
A 的(谱范数)条件数2)A (cond 和行列式detA 。
一 方案设计1 求1λ,501λ和s λ的值。
s λ为按模最小特征值,||min ||5011i i s λλ≤≤=。
可使用反幂法求得。
1λ,501λ分别为最大特征值及最小特征值。
可使用幂法求出按模最大特征值,如结果为正,即为501λ,结果为负,那么为1λ。
使用位移的方式求得另一特征值即可。
2 求A 的与数4015011λλλμ-+=kk 最接近的特征值)39,...,2,1(=k k i λ。
题目可看成求以k μ为偏移量后,按模最小的特征值。
即以k μ为偏移量做位移,使用反幂法求出按模最小特征值后,加上k μ,即为所求。
3 求A 的(谱范数)条件数2)(A cond 和行列式detA 。
矩阵A 为非奇异对称矩阵,可知,||)(min max2λλ=A cond(1-1)其中m ax λ为按模最大特征值,min λ为按模最小特征值。
detA 可由LU 分解得到。
因LU 均为三角阵,那么其主对角线乘积即为A 的行列式。
二 算法实现1 幂法使用如下迭代格式:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅===⋅⋅⋅=------||max |)|sgn(max ||max /),,(111111)0()0(10k k k k k k k k Tn u u Ay u u u y u u u β任取非零向量 (2-1)终止迭代的控制理论使用εβββ≤--||/||1k k k , 实际使用εβββ≤--||/||||||1k k k(2-2)由于不保存A 矩阵中的零元素,只保存主对角元素a[501]及b,c 值。
数值分析练习题附答案

目录一、绪论------------------------------------------------------------------------------------- 2-2二、线性方程组直接解法列主元高斯LU LDL T GG T-------------------- 3-6二、线性方程组迭代法----------------------------------------------------------------- 7-10 三、四、非线性方程组数值解法二分法不动点迭代---------------------- 11-13五、非线性方程组数值解法牛顿迭代下山弦截法----------------- 14-15六、插值线性插值抛物线插值------------------------------------------------ 16-18七、插值Hermite插值分段线性插值-----------------------------------------19-22八、拟合------------------------------------------------------------------------------------ 23-24九、数值积分----------------------------------------------------------------------------- 25-29十、常微分方程数值解法梯形欧拉改进----------------------------------- 30-32 十一、常微分方程数值解法龙格库塔------------------------------------------ 33-35绪论1-1 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.X 1 =5.420, X 2 =0.5420, X 3 =0.00542, X 4 =6000, X 5 =0.6×105注:将近似值改写为标准形式X 1 =(5*10-1+4*10-2+2*10-3+0*10-4)*101 即n=4,m=1 绝对误差限|△X 1|=|X *1-X 1|≤ 12×10m-n =12×10-3 相对误差限|△r X 1|= |X∗1−X1||X∗1|≤|X∗1−X1||X1|= 12×10-3/5.4201-2 为了使101/2 的相对误差小于0.01%, 试问应取几位有效数字?1-3 求方程x 2 -56x+1=0的两个根, 使它们至少具有4位有效数字( √783≈27.982)注:原方程可改写为(x-28)2=783线性方程组解法(直接法)2-1用列主元Gauss消元法解方程组解:回代得解:X1=0 X2=-1 X3=12-2对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中解:(注:详细分解请看课本P25)A=(211132122)→(211(1/2)5/23/2(1/2)3/23/2)→(2111/25/23/21/2(3/5)3/5)即A=L×U=(11/211/23/51)×(2115/23/23/5)先用前代法解L y=P b 其中P为单位阵(原因是A矩阵未进行行变换)即L y=P b 等价为(11/211/23/51)(y1y2y3)=(111)(465)解得 y 1=4 y 2=4 y 3=35再用回代解Ux =y ,得到结果x即Ux =y 等价为(2115/23/23/5)(x 1x 2x 3)=(y 1y 2y 3)=(443/5) 解得 x 1=1 x 2=1 x 3=1即方程组Ax=b 的解为x =(111)2-3 对矩阵A 进行LDL T 分解和GG T 分解,求解方程组Ax=b,其中A=(164845−48−422) , b =(123)解:(注:课本 P 26 P 27 根平方法)设L=(l i j ),D=diag(d i ),对k=1,2,…,n,其中d k =a kk -∑l kj 2k−1j=1d jl ik =(a ik −∑l ij l kj k−1j=1d j )/ d k 即d 1=a 11-∑l 1j 20j=1d j =16-0=16因为 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=a 21/ d 1=416=14 所以d 2=a 22-∑l 2j 21j=1d j =5-(14)2d 1=4同理可得d 3=9 即得 D=(1649)同理l 11=(a 11−∑l ij l 1j 0j=1d j )/ d 1=1616=1=l 22=l 33 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=416=14 l 31=(a 31−∑l 3j l 1j 0j=1d j )/ d 1=816=12 l 32=(a 32−∑l 3j l 2j 1j=1d j )/ d 2=−4−12×14×164=−64=-32即L=(114112−321) L T=(114121−321) 即LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321)解解:A=(164845−48−422)→(41212−32−33)故得GG T分解:A=(4122−33)(4122−33) LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321) 由(114112−321)(y 1y 2y 3)=(123) ,得(y 1y 2y 3)=(0.250.8751.7083)再由(4122−33)(x 1x 2x 3)=(0.250.8751.7083) ,得(x 1x 2x 3)=(−0.54511.29160.5694)2-4 用追赶法求解方程组:解:(4−1−14−1−14−1−14−1−14)→(4−14−1154−415−15615−1556−120956−56209−1780209)由(4−1154−15615−120956−1780209)(y1y2y3y4y5)=(100200),得(y1y2y3y4y5)=(256.66671.785700.4784753.718)再由(1−141−4151−15561−562091)(x1x2x3x4x5)=(256.66671.785700.4784753.718),得(x1x2x3x4x5)=(27.0518.20525.769314.87253.718)线性方程组解法(迭代法)2-1 设线性方程组{4x 1−x 2+2x 3=1−x 1−5x 2+x 3=22x 1+x 2+6x 3=3(1) 写出Jacobi 法和SOR 法的迭代格式(分量形式) (2) 讨论这两种迭代法的收敛性(3) 取初值x (0)=(0,0,0)T ,若用Jacobi 迭代法计算时,预估误差 ||x*-x (10)||∞ (取三位有效数字)解:(1)Jacobi 法和SOR 法的迭代格式分别为Jacobi 法迭代格式SOR(2)因为A 是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi 法收敛,SOR 法当0<ω≤1时收敛.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=-+-=+-=+++216131525151412141)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x xx x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++-=+-+-=+-+-+=++++++)216131()525151()412141()(3)1(2)1(1)(3)1(3)(3)(2)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)(1)1(1k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x ωωω(3)由(1)可见||B ||∞=3/4,且取x (0)=(0,0,0)T ,经计算可得x (1)=(1/4,-2/5,1/2)T ,于是||x (1)-x (0)||∞=1/2,所以有2-2 设方程组为{5x 1+2x 2+x 3=−12−x 1+4x 2+2x 3=202x 1−3x 2+10x 3=3试写出其Jacobi 分量迭代格式以及相应的迭代矩阵,并求解。
数值分析作业题(1)

第一章 误差与算法1. 误差分为有__模型误差___, _观测误差___, __方法误差____, ___舍入误差____, Taylor 展开式近似表达函数产生的误差是_方法误差 .2. 插值余项是插值多项式的 方法误差。
0.2499作为1/4的近似值, 有几位有效数字?00.24990.249910,0m =⨯=即,031|0.2499|0.00010.5100.510,34m n n ---=<⨯=⨯=即22 3.1428751...,7=作为圆周率的近似值,误差和误差限分别是多少,有几位有效数字?2133.142875 3.14159260.00126450.5100.510---=<⨯=⨯有3位有效数字.* 有效数字与相对误差的关系3. 利用递推公式计算积分110,1,2,...,9n x n I x e dx n -==⎰错误!未找到引用源。
, 建立稳定的数值算法。
该算法是不稳定的。
因为:11()()...(1)!()n n n I n I n I εεε-=-==-111n n I I n n -=-, 10110I =4. 衡量算法优劣的指标有__时间复杂度,__空间复杂度_.时间复杂度是指: , 两个n 阶矩阵相乘的乘法次数是 , 则称两个n 阶矩阵相乘这一问题的时间复杂度为 .二 代数插值1.根据下表数据建立不超过二次的Lagrange 和Newton 插值多项式, 并写出误差估计式, 以及验证插值多项式的唯一性。
x 0 1 4f(x) 1 9 3Lagrange:设0120120,1,4;()1()9()3x x x f x f x f x ======则,, 对应 的标准基函数 为:1200102()()(1)(x 4)1()(1)(x 4)()()(01)(04)4x x x x x l x x x x x x ----===------ 1()...l x =2()...l x =因此, 所求插值多项式为:220()()()....i i i P x f x l x ===∑ (3)2()()(0)(1)(x 4)3!f R x x x ξ=--- Newton:构造出插商表:xi f(xi ) 一 二 三0 11 9 84 3 -2 -5/2所以, 所求插值多项式为:2001001201()()[,]()[,,]()()518(0)(0)(1)2...P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x =+-+--=+----=插值余项: 2()[0,1,4,](0)(1)(x 4)R x f x x x =---2. 已知函数f(0)=1,f(1)=3,f(2)=7,则f[0,1]=___2________, f[0,1,2]=____1______)('],[000x f x x f =3.过0,1两节点构造三次Hermite 插值多项式, 使得满足插值条件: f(0)=1. .’(0)=... f(1.=2. .’(1)=1设0101010,1,()1()2'()0,'()1x x f x f x f x f x ======则,, 写出插商表:xi f(xi) 一 二 三0 10 1 01 a 1 11 a 1 0 a-1因此, 所求插值多项式为:插值余项:222()[0,0,1,1,](1)R x f x x x =-4.求f(x)=sinx 在[a,b]区间上的分段线性插值多项式, 并写出误差估计式。
数值分析大作业

数值分析大作业数值分析大作业姓名:黄晨晨学号:S1*******学院:储运与建筑工程学院学院班级:储建研17-2实验3.1 Gauss消去法的数值稳定性实验实验目的:理解高斯消元过程中出现小主元即很小时引起方程组解数值不定性实验内容:求解方程组Ax=b,其中(1)A1=0.3×10?1559.14315.291?6.130?1211.29521211,b1=59.1746.7812;(2)A2=10?7013 2.099999999999625?15?10102,b2=85.90000000000151;实验要求:(1)计算矩阵的条件数,判断系数矩阵是良态的还是病态的(2)用Gauss列主元消去法求得L和U及解向量x1,x2∈R4(3)用不选主元的高斯消去法求得L和U及解向量x1,x2∈R4(4)观察小主元并分析对计算结果的影响(1)计算矩阵的条件数,判断系数矩阵是良态的还是病态的代码:format longeformat compactA1=[0.3*10^-15,59.14,3,1;5.291,-6.130,-1,2;11.2,9,5,2;1,2,1,1] b1=[59.17;46.78;1;2]n=4C1=cond(A1,1) %C1为A1矩阵1范数下的条件数C2=cond(A1,2) %C2为A1矩阵2范数下的条件数C3=cond(A1,inf) %C3为1矩阵谱范数下的条件数结果:C1 =1.362944708720448e+02C2 =6.842955771253409e+01C3 =8.431146*********e+01显然A1矩阵为病态矩阵将矩阵A2,b2输入上述代码中求得A2矩阵的条件数为:C1 =1.928316831682894e+01C2 =8.993938090170119e+00C3 =1.835643564356072e+01显然A2矩阵也为病态矩阵(2)用Gauss列主元消去法求得L和U及解向量x1,x2∈R4代码:for k=1:n-1a=max(abs(A1(k:n,k)))if a==0returnendfor i=k:nif abs(A1(i,k))==ay=A1(i,:)A1(i,:)=A1(k,:)A1(k,:)=yx=b1(i,:)b1(i,:)=b1(k,:)b1(k,:)=xbreakendendif A1(k,k)~=0A1(k+1:n,k)=A1(k+1:n,k)/A1(k,k)A1(k+1:n,k+1:n)=A1(k+1:n,k+1:n)-A1(k+1:n,k)*A1(k,k+1:n) elsebreakendendL=tril(A1,0);for i=1:nL(i,i)=1;endLU=triu(A1,0)y1=L\b1x1=U\y1得到如下结果:x1 =3.845714853511634e+001.609517394778522e+00-1.547605454206655e+011.041130489899787e+01将A2=[10,-7,0,1;-3,2.0999********,6,2;5,-1,5,-1;0,1,0,2]b2=[8;5.900000000001;5;1]代入上述代码求得结果如下:X2 =4.440892098500626e-16-9.999999999999993e-019.999999999999997e-011.000000000000000e+00(3)用不选主元的高斯消去法求得L和U及解向量x1,x2∈R4代码:format longeformat compactA1=[0.3*10^-15,59.14,3,1;5.291,-6.130,-1,2;11.2,9,5,2;1,2,1,1] b1=[59.17;46.78;1;2][L,U]=lu(A1)y1=L\b1x1=U\y1求得如下结果:x1=3.845714853511634e+001.609517394778522e+00-1.547605454206655e+011.041130489899787e+01将A2=[10,-7,0,1;-3,2.0999********,6,2;5,-1,5,-1;0,1,0,2] b2=[8;5.900000000001;5;1]代入上述代码,求得结果如下:x 2 =4.440892098500626e-16 -9.999999999999993e-01 9.999999999999997e-01 9.999999999999999e-01(2)(3)求得结果相同,可验证结果正确。
北航数值分析大作业第一题

1 算法方案 1.1 λ1,λ501,λs 的计算
(1) (2) (3) (4) (5) 将矩阵 A[501][501]以压缩存储后的形式 C[5][501]输入 使用一次幂法得到按模最大的特征值 矩阵向左平移 λm 距离(A-λmI) ,再使用一次幂法得到按模最大的特征值 s,则 λm1=s-λm1 比较 λm1 和 λm2 的大小与正负,得到 λ 和 λ501 对 A 使用一次反幂法得到按模最小的特征值 λs
while (e>=pow(10,-12)); return 1/be;//返回 1/be2 作为矩阵 m[5][501]的按模最小向量 } //333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 double det(double c[1+r+s][q]) { int max3(int a,int b,int c); int fmax2(int a,int b); int fmin2(int a,int b); int i,j,k,t; double sum,det=1; for(k=1;k<=q;k++) { for(j=k;j<=fmin2(k+s,q);j++)//求 ukj { sum=0; for(t=max3(1,k-r,j-s);t<=k-1;t++) { sum=sum+c[k-t+s][t-1]*c[t-j+s][j-1]; } c[k-j+s][j-1]=c[k-j+s][j-1]-sum; }
数值分析大作业(牛顿下山法,拉格朗日法,切比雪夫法)及Matlab程序

课程设计课程名称:数值分析设计题目:学号:姓名:完成时间:2014.11.18题目一: 解线性方程组的直接法 设方程组Ax b =,其中250002511125555111x x x x x x A x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 矩阵中10.1(0,1,,5)k x k k =+=,b 由相应的矩阵元素计算,使解向量(1,1,,1)T x =。
(1) A 不变,对b 的元素6b 加一个扰动410-,求解方程组;(2) b 不变,对A 的元素22a 和66a 分别加一个扰动610-,求解方程组; (3) 对上述两种扰动方程组的解做误差分析。
一.数学原理:本计算采用直接法中的列主元高斯消元法,高斯列主元消元法原理如下: 1、设有n 元线性方程组如下:1111n n nn a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1nx x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=1nb b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2、第一步:如果a11!=0, 令l i1= ai1/a11, I= 2,3,……,n用(-li1)乘第一个方程加到第i 个方程上,得同解方程组:a (1)11 a (1)12 . . . a (1)1nx 1 b (1)1 a (1)21 a (1)22 . . . a (1)2n x 2 b (1)2 . . . . . . . = . a (1)n-11 a (1)n-12 . . a (1)n-1n x n-1 b (1)n-1 a (1)n1 a (1)n2 . . . a (1)nn x n b (1)n简记为:A (2) x = b (2) 其中a (2)ij = a (1)ij – l i1 * a (1)1j , I ,j = 2,3,..,nb (2)I = b (1)I – l i1 * b (1)1 , I = 2,3,...,n 第二步:如果a (2)22 != 0,令l i2= a (2)i2/a (2)22, I= 3,……,n依据同样的原理,对矩阵进行化间(省略),依次下去,直到完成!最后,得到上三角方程组:a(1)11 a(1)12. . . a(1)1nx1b(1)10 a(1)22 . . . a(1)2nx2b(1)2. . . . . . . = .0 0 . . a(n-1)n-1n xn-1b(n-1)n-10 0 . . . a(n)nn xnb(n)n简记为:A(n) x = b(n)最后从方程组的最后一个方程进行回代求解为:Xn = b(n) / a(n)nnXi = ( b(k)k- ∑ a(k)kj x j ) / a(k)kk二.解题过程:1.由题中所给条件可求出b。
北航研究生数值分析编程大作业1

数值分析大作业一、算法设计方案1、矩阵初始化矩阵[]501501⨯=ij a A 的下半带宽r=2,上半带宽s=2,设置矩阵[][]5011++s r C ,在矩阵C 中检索矩阵A 中的带内元素ij a 的方法是:j s j i ij c a ,1++-=。
这样所需要的存储单元数大大减少,从而极大提高了运算效率。
2、利用幂法求出5011λλ,幂法迭代格式:0111111nk k k k kk T k k k u R y u u Ay y u ηηβ------⎧∈⎪⎪=⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩非零向量 当1210/-≤-k k βββ时,迭代终止。
首先对于矩阵A 利用幂法迭代求出一个λ,然后求出矩阵B ,其中I A B λ-=(I 为单位矩阵),对矩阵B 进行幂法迭代,求出λ',之后令λλλ+'='',比较的大小与λλ'',大者为501λ,小者为1λ。
3、利用反幂法求出ik s λλ,反幂法迭代格式:0111111nk k k k kk T k k k u R y u Au y y u ηηβ------⎧∈⎪⎪=⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩非零向量 当1210/-≤-k k βββ时,迭代终止,1s k λβ=。
每迭代一次都要求解一次线性方程组1-=k k y Au ,求解过程为:(1)作分解LU A =对于n k ,...,2,1=执行[][]s k n r k k k i c c c c c n s k k k j c cc c k s ks k t k s k r i t t s t i k s k i k s k i js j t k s j r k t t s t k j s j k j s j k <+++=-=++=-=+++----=++-++-++-++----=++-++-++-∑∑);,min(,...,2,1/)(:),min(,...,1,:,1,11),,1max(,1,1,1,11),,1max(,1,1,1(2)求解y Ux b Ly ==,(数组b 先是存放原方程组右端向量,后来存放中间向量y))1,...,2,1(/)(:/:),...,3,2(:,1),min(1.1.11),1max(,1--=-===-=+++-++-+--=++-∑∑n n i c x c b x c b x n i b c b b i s t n s i i t t s t i i i ns n n ti r i t t s t i i i使用反幂法,直接可以求得矩阵按模最小的特征值s λ。
北理工数值分析大作业

数值分析上机作业第 1 章1.1计算积分,n=9。
(要求计算结果具有6位有效数字)程序:n=1:19;I=zeros(1,19);I(19)=1/2*((exp(-1)/20)+(1/20));I(18)=1/2*((exp(-1)/19)+(1/19));for i=2:10I(19-i)=1/(20-i)*(1-I(20-i));endformat longdisp(I(1:19))结果截图及分析:在MATLAB中运行以上代码,得到结果如下图所示:当计算到数列的第10项时,所得的结果即为n=9时的准确积分值。
取6位有效数字可得.1.2分别将区间[-10.10]分为100,200,400等份,利用mesh或surf命令画出二元函数z=的三维图形。
程序:>> x = -10:0.1:10;y = -10:0.1:10;[X,Y] = meshgrid(x,y);Z = exp(-abs(X))+cos(X+Y)+1./(X.^2+Y.^2+1);subplot(2,2,1);mesh(X,Y,Z);title('步长0.1')>> x = -10:0.2:10;y = -10:0.2:10;[X,Y] = meshgrid(x,y);Z = exp(-abs(X))+cos(X+Y)+1./(X.^2+Y.^2+1);subplot(2,2,1);mesh(X,Y,Z);title('步长 0.2')>>x = -10:0.05:10;y = -10:0.05:10;[X,Y] = meshgrid(x,y);Z = exp(-abs(X))+cos(X+Y)+1./(X.^2+Y.^2+1);subplot(2,2,1);mesh(X,Y,Z);title('步长0.05')结果截图及分析:由图可知,步长越小时,绘得的图形越精确。
数值分析期末大作业

一、问题提出设方程f(x)=x 3-3x-1=0有三个实根 x *1=1.8793 , x *2=-0.34727 ,x *3=-1.53209现采用下面六种不同计算格式,求 f(x)=0的根 x *1 或x *2 。
1、 x = 213xx + 2、x = 313-x3、 x = 313+x4、 x = 312-x 5、 x = x13+6、 x = x - ()1133123---x x x二、目的和意义1、通过实验进一步了解方程求根的算法;2、认识选择计算格式的重要性;3、掌握迭代算法和精度控制;4、明确迭代收敛性与初值选取的关系。
三、结构程序设计本程序实在matlab 软件上进行操作的。
首先建立一个空白的M-文件。
在编辑器中输入以下内容,并保存。
function [X1,m,n,q]=shizi1(p) x=zeros(100,1); x=double(x);x(1,1)=p;i=1;deltax=100;while (i<100 & deltax > 0.000001)x(i+1,1)=(3*x(i,1)+1)/x(i,1)^2deltax=abs(x(i+1,1)-x(i,1));i=i+1;endX1=x(1,1);m=i;n=x(i,1);q=deltax;以上是运行函数,下一步在建立一个执行M-文件,输入以下内容,并保存。
其中X1为初始值,m为迭代次数,n为最后得到的值,q为|x k+1-x k|。
clear all;clc;p=1.8;[X1,m,n,q]=shizi1(p)1、对第一个迭代公式,在执行文件中输入p=1.8;[X1,m,n,q]=shizi1(p)。
得到如下结果如下:初值为1.8,迭代100次,精度为10-6。
可见该迭代公式是发散的,将初值改为-1.5,其他均条件不变。
p=-1.5;[X1,m,n,q]=shizi1(p)改变初值后可以得到一个接近真值的结果x*3的结果ans=-1.5321。
北航数值分析大作业第一题幂法与反幂法

北航数值分析大作业第一题幂法与反幂法-标准化文件发布号:(9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII《数值分析》计算实习题目第一题:1. 算法设计方案(1)1λ,501λ和s λ的值。
1)首先通过幂法求出按模最大的特征值λt1,然后根据λt1进行原点平移求出另一特征值λt2,比较两值大小,数值小的为所求最小特征值λ1,数值大的为是所求最大特征值λ501。
2)使用反幂法求λs ,其中需要解线性方程组。
因为A 为带状线性方程组,此处采用LU 分解法解带状方程组。
(2)与140k λλμλ-5011=+k 最接近的特征值λik 。
通过带有原点平移的反幂法求出与数k μ最接近的特征值 λik 。
(3)2cond(A)和det A 。
1)1=nλλ2cond(A),其中1λ和n λ分别是按模最大和最小特征值。
2)利用步骤(1)中分解矩阵A 得出的LU 矩阵,L 为单位下三角阵,U 为上三角阵,其中U 矩阵的主对角线元素之积即为det A 。
由于A 的元素零元素较多,为节省储存量,将A 的元素存为6×501的数组中,程序中采用get_an_element()函数来从小数组中取出A 中的元素。
2.全部源程序#include <stdio.h>#include <math.h>void init_a();//初始化Adouble get_an_element(int,int);//取A 中的元素函数double powermethod(double);//原点平移的幂法double inversepowermethod(double);//原点平移的反幂法int presolve(double);//三角LU分解int solve(double [],double []);//解方程组int max(int,int);int min(int,int);double (*u)[502]=new double[502][502];//上三角U数组double (*l)[502]=new double[502][502];//单位下三角L数组double a[6][502];//矩阵Aint main(){int i,k;double lambdat1,lambdat2,lambda1,lambda501,lambdas,mu[40],det;double lambda[40];init_a();//初始化Alambdat1=powermethod(0);lambdat2=powermethod(lambdat1);lambda1=lambdat1<lambdat2?lambdat1:lambdat2;lambda501=lambdat1>lambdat2?lambdat1:lambdat2;presolve(0);lambdas=inversepowermethod(0);det=1;for(i=1;i<=501;i++)det=det*u[i][i];for (k=1;k<=39;k++){mu[k]=lambda1+k*(lambda501-lambda1)/40;presolve(mu[k]);lambda[k]=inversepowermethod(mu[k]);}printf("------------所有特征值如下------------\n");printf("λ=%1.11e λ=%1.11e\n",lambda1,lambda501);printf("λs=%1.11e\n",lambdas);printf("cond(A)=%1.11e\n",fabs(lambdat1/lambdas));printf("detA=%1.11e \n",det);for (k=1;k<=39;k++){printf("λi%d=%1.11e ",k,lambda[k]);if(k % 3==0) printf("\n");}delete []u;delete []l;//释放堆内存return 0;}void init_a()//初始化A{int i;for (i=3;i<=501;i++) a[1][i]=a[5][502-i]=-0.064;for (i=2;i<=501;i++) a[2][i]=a[4][502-i]=0.16;for (i=1;i<=501;i++) a[3][i]=(1.64-0.024*i)*sin(0.2*i)-0.64*exp(0.1/i); }double get_an_element(int i,int j)//从A中节省存储量的提取元素方法{if (fabs(i-j)<=2) return a[i-j+3][j];else return 0;}double powermethod(double offset)//幂法{int i,x1;double u[502],y[502];double beta=0,prebeta=-1000,yita=0;for (i=1;i<=501;i++)u[i]=1,y[i]=0;//设置初始向量u[]for (int k=1;k<=10000;k++){yita=0;for (i=1;i<=501;i++) yita=sqrt(yita*yita+u[i]*u[i]);for (i=1;i<=501;i++) y[i]=u[i]/yita;for (x1=1;x1<=501;x1++){u[x1]=0;for (int x2=1;x2<=501;x2++)u[x1]=u[x1]+((x1==x2)(get_an_element(x1,x2)-offset):get_an_element(x1,x2))*y[x2];}prebeta=beta;beta=0;for (i=1;i<=501;i++) beta=beta+ y[i]*u[i];if (fabs((prebeta-beta)/beta)<=1e-12) {printf("offset=%f lambda=%f err=%e k=%d\n",offset,(beta+offset),fabs((prebeta-beta)/beta),k);break;};//输出中间过程,包括偏移量,误差,迭代次数}return (beta+offset);}double inversepowermethod(double offset)//反幂法{int i;double u[502],y[502];double beta=0,prebeta=0,yita=0;for (i=1;i<=501;i++)u[i]=1,y[i]=0; //设置初始向量u[]for (int k=1;k<=10000;k++){yita=0;for (i=1;i<=501;i++) yita=sqrt(yita*yita+u[i]*u[i]);for (i=1;i<=501;i++) y[i]=u[i]/yita;solve(u,y);prebeta=beta;beta=0;for (i=1;i<=501;i++) beta=beta+ y[i]*u[i];beta=1/beta;if (fabs((prebeta-beta)/beta)<=1e-12) {printf("offset=%f lambda=%f err=%e k=%d\n",offset,(beta+offset),fabs((prebeta-beta)/beta),k);break;};//输出中间过程,包括偏移量,误差,迭代次数}return (beta+offset);}int presolve(double offset)//三角LU分解{int i,k,j,t;double sum;for (k=1;k<=501;k++)for (j=1;j<=501;j++){u[k][j]=l[k][j]=0;if (k==j) l[k][j]=1;} //初始化LU矩阵for (k=1;k<=501;k++){for (j=k;j<=min(k+2,501);j++){sum=0;for (t=max(1,max(k-2,j-2)) ; t<=(k-1) ; t++)sum=sum+l[k][t]*u[t][j];u[k][j]=((k==j)(get_an_element(k,j)-offset):get_an_element(k,j))-sum;}if (k==501) continue;for (i=k+1;i<=min(k+2,501);i++){sum=0;for (t=max(1,max(i-2,k-2));t<=(k-1);t++)sum=sum+l[i][t]*u[t][k];l[i][k]=(((i==k)(get_an_element(i,k)-offset):get_an_element(i,k))-sum)/u[k][k];}}return 0;}int solve(double x[],double b[])//解方程组{int i,t;double y[502];double sum;y[1]=b[1];for (i=2;i<=501;i++){sum=0;for (t=max(1,i-2);t<=i-1;t++)sum=sum+l[i][t]*y[t];y[i]=b[i]-sum;}x[501]=y[501]/u[501][501];for (i=500;i>=1;i--){sum=0;for (t=i+1;t<=min(i+2,501);t++)sum=sum+u[i][t]*x[t];x[i]=(y[i]-sum)/u[i][i];}return 0;}int max(int x,int y){return (x>y?x:y);}int min(int x,int y){return (x<y?x:y);}3.计算结果结果如下图所示:部分中间结果:给出了偏移量(offset),误差(err),迭代次数(k)4.讨论迭代初始向量的选取对计算结果的影响,并说明原因使用u[i]=1(i=1,2,...,501)作为初始向量进行迭代,可得出以上结果。
昆明理工数值分析大作业插值法数值分析作业

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y(i)=s; end
%所得近似值给对应返回值
问题一: 求解及画图程序: xj=[0.4 0.55 0.65 0.8 0.95 1.05]; yj=[0.41075 0.57815 0.69675 0.9 1 1.25382]; xs=(0.3:0.01:1.1); y0=lagrange(xj,yj,xs); plot(xs,y0) >> hold on xs=[0.596 0.99]; y0=lagrange(xj,yj,xs) y0 = 0.6257 1.0542 求解结果; x y 问题一插值函数绘图: * 所求点 插值节点 0.596 0.6257
function y=newton(f,x0,x); m=length(x);n=length(x0); for i=1:m p=zeros(1,n-1); suma=zeros(1,n); suma(1)=f(1); sumax=0; for k=1:(n-1); p(k)=x(i)-x0(k); end for j=2:n; q=1; for s=1:(j-1); q=q*p(s); end suma(j)=f(j)*q; end for h=1:n; sumax=sumax+suma(h); end y(i)=sumax; end
������ =0 ������ =0 ������≠������
������ − ������������ ������������ − ������������
即:
������������ ������ =
������ ������ =0
������������
������ ������ +1 ������ ������−������ ������ ������ ’������ +1 ������ ������
数值分析大作业四

《数值分析》大作业四一、算法设计方案:复化梯形积分法,选取步长为1/500=0.002,迭代误差控制在E ≤1.0e-10①复化梯形积分法:11()[()()2()]2n bak hf x dx f a f b f a kh -=⎰≈+++∑,截断误差为:322()''()''(),[,]1212T b a b a R f h f a b n ηηη--=-=-∈其中。
复化Simpson 积分法,选取步长为1/50=0.02,迭代误差控制在E ≤1.0e-10②Simpson 积分法:121211()[()()4()2()]3m m bi i a i i hf x dx f a f b f x f x --==≈+++∑∑⎰, 截断误差为:4(4)(),[,]180s b a R h f a b ηη-=-∈。
③Guass积分法选用Gauss-Legendre 求积公式:111()()ni i i f x dx A f x -=≈∑⎰截断误差为:R= ()()n 2n 422n!2×(2[2!]2n 1f n n ⨯(2)η())+ η∈(1,1)。
选择9个节点:-0.9681602395,-0.8360311073,-0.6133714327,-0.3242534234,0,0.3242534234,0.6133714327,0.8360311073,0.9681602395, 对应的求积系数依次为:0.0812743884,0.1806481607,0.2606106964,0.3123470770,0.3302393550,0.3123470770,0.2606106964,0.1806481607,0.0812743884。
二、程序源代码:#include<stdio.h>#include<math.h>#include<stdlib.h>#define E 1.0e-10/****定义函数g和K*****/double g(double a){double b;b=exp(4*a)+(exp(a+4)-exp(-a-4))/(a+4);return b;}double K(double a,double b){double c;c=exp(a*b);return c;}/******复化梯形法******/void Tixing( ){double u[1001],x[1001],h,c[1001],e;int i,j,k;FILE *fp;fp=fopen("f:/result0. xls ","w");h=1.0/1500;for(i=0;i<3001;i++){x[i]=i*h-1;u[i]=g(x[i]);}for(k=0;k<100;k++){e=0;for(i=0;i<1001;i++){for(j=1,c[i]=0;j<N-1;j++)c[i]+=K(x[i],x[j])*u[j];u[i]=g(x[i])-h*c[i]-h/2*(K(x[i],x[0])*u[0]+K(x[i],x[N-1])*u[N-1]);e+=h*(exp(4*x[i])-u[i])*(exp(4*x[i])-u[i]);}if(e<=E) break;}for(i=0;i<1001;i++)fprintf(fp,"%.12lf,%.12lf\n",x[i],u[i]);fclose(fp);}/******复化Simpson法******/void simpson( ){double u[101],x[101],h,c[101],d[101],e;int i,j,k;FILE *fp;fp=fopen("f:/result1.xls","w");h=1.0/50;for(i=0;i<101;i++){x[i]=i*h-1;u[i]=g(x[i]);}for(k=0;k<50;k++){e=0;for(i=0;i<101;i++){for(j=1,c[i]=0,d[i]=0;j<51;j++){c[i]+=K(x[i],x[2*j-1])*u[2*j-1];if(j<50)d[i]+=K(x[i],x[2*j])*u[2*j];}u[i]=g(x[i])-4*h/3*c[i]-2*h/3*d[i]-h/3*(K(x[i],x[0])*u[0]+K(x[i],x[M-1])*u[M-1]);e+=h*(exp(4*x[i])-u[i])*(exp(4*x[i])-u[i]);}if(e<=E) break;}for(i=0;i<101;i++)fprintf(fp,"%.12lf,%.12lf\n",x[i],u[i]);fclose(fp);}/******Gauss积分法******/void gauss( ){double x[9]={-0.9681602395,-0.8360311073,-0.6133714327,-0.3242534234,0,\0.3242534234,0.6133714327,0.8360311073,0.9681602395},A[9]={0.0812743884,0.1806481607,0.2606106964,0.3123470770,0.3302393550,\0.3123470770,0.2606106964,0.1806481607,0.0812743884},u[9],c[9],e;int i,j,k;FILE *fp;fp=fopen("f:/result2. xls ","w");for(i=0;i<9;i++)u[i]=g(x[i]);for(k=0;k<50;k++){e=0;for(i=0;i<9;i++){for(j=0,c[i]=0;j<9;j++)c[i]+=A[j]*K(x[i],x[j])*u[j];u[i]=g(x[i])-c[i];e+=A[i]*(exp(4*x[i])-u[i])*(exp(4*x[i])-u[i]);}if(e<=E) break;}for(i=0;i<9;i++)fprintf(fp,"%.12lf,%.12lf\n",x[i],u[i]);fclose(fp);}/******主函数******/main(){Tixing ( );Simpson( );Gauss( );return 0;}三、运算结果复化梯形数据-10.018323-0.920.02523-0.9980.018471-0.9180.025433-0.9960.018619-0.9160.025637-0.9940.018768-0.9140.025843-0.9920.018919-0.9120.026051-0.990.019071-0.910.02626-0.9880.019224-0.9080.026471-0.9860.019378-0.9060.026683-0.9840.019534-0.9040.026897-0.9820.019691-0.9020.027113-0.980.019849-0.90.027331-0.9780.020008-0.8980.02755-0.9760.020169-0.8960.027772-0.9740.020331-0.8940.027995-0.9720.020494-0.8920.028219-0.970.020658-0.890.028446-0.9680.020824-0.8880.028674-0.9660.020992-0.8860.028905-0.9640.02116-0.8840.029137-0.9620.02133-0.8820.029371-0.960.021501-0.880.029607-0.9580.021674-0.8780.029844-0.9560.021848-0.8760.030084-0.9540.022023-0.8740.030326-0.9520.0222-0.8720.030569-0.950.022378-0.870.030815-0.9480.022558-0.8680.031062-0.9460.022739-0.8660.031311-0.9440.022922-0.8640.031563-0.9420.023106-0.8620.031816-0.940.023291-0.860.032072-0.9380.023478-0.8580.032329-0.9360.023667-0.8560.032589-0.9340.023857-0.8540.032851-0.9320.024048-0.8520.033114-0.930.024241-0.850.03338-0.9280.024436-0.8480.033648-0.9260.024632-0.8460.033918-0.9240.02483-0.8440.034191-0.9220.025029-0.8420.034465-0.840.034742-0.760.047841-0.8380.035021-0.7580.048225-0.8360.035302-0.7560.048613 -0.8340.035586-0.7540.049003 -0.8320.035872-0.7520.049396 -0.830.03616-0.750.049793 -0.8280.03645-0.7480.050193 -0.8260.036743-0.7460.050596 -0.8240.037038-0.7440.051002 -0.8220.037335-0.7420.051412 -0.820.037635-0.740.051825 -0.8180.037937-0.7380.052241 -0.8160.038242-0.7360.052661 -0.8140.038549-0.7340.053084 -0.8120.038858-0.7320.05351 -0.810.039171-0.730.05394 -0.8080.039485-0.7280.054373 -0.8060.039802-0.7260.054809 -0.8040.040122-0.7240.05525 -0.8020.040444-0.7220.055693 -0.80.040769-0.720.056141 -0.7980.041096-0.7180.056591 -0.7960.041426-0.7160.057046 -0.7940.041759-0.7140.057504 -0.7920.042094-0.7120.057966 -0.790.042432-0.710.058431 -0.7880.042773-0.7080.058901 -0.7860.043116-0.7060.059374 -0.7840.043463-0.7040.05985 -0.7820.043812-0.7020.060331 -0.780.044164-0.70.060816 -0.7780.044518-0.6980.061304 -0.7760.044876-0.6960.061796 -0.7740.045236-0.6940.062293 -0.7720.045599-0.6920.062793 -0.770.045966-0.690.063297 -0.7680.046335-0.6880.063805 -0.7660.046707-0.6860.064318 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0.58610.422780.66614.35352 0.58810.50650.66814.46881 0.5910.590890.6714.58502 0.59210.675960.67214.70217 0.59410.761710.67414.82026 0.59610.848150.67614.9393 0.59810.935280.67815.05929 0.611.023110.6815.18025 0.60211.111650.68215.30218 0.60411.20090.68415.42509 0.60611.290870.68615.54898 0.60811.381560.68815.67387 0.6111.472980.6915.79977 0.61211.565130.69215.92667 0.61411.658020.69416.0546 0.61611.751660.69616.18355 0.61811.846050.69816.31354 0.6211.94120.716.44457 0.62212.037110.70216.57665 0.62412.133790.70416.7098 0.62612.231250.70616.84401 0.62812.32950.70816.97931 0.6312.428530.7117.11569 0.63212.528360.71217.25316 0.63412.628990.71417.39174 0.63612.730420.71617.53143 0.63812.832680.71817.67225 0.6412.935750.7217.81419 0.64213.039650.72217.95728 0.64413.144390.72418.10151 0.64613.249960.72618.24691 0.64813.356390.72818.393470.7318.541210.8125.53363 0.73218.690130.81225.738720.73418.840250.81425.94545 0.73618.991580.81626.15385 0.73819.144120.81826.36392 0.7419.297890.8226.57568 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0.89235.445520.94844.344880.89435.730220.9544.701070.89636.017210.95245.060110.89836.306510.95445.422040.936.598120.95645.786870.90236.892080.95846.154630.90437.188410.9646.525350.90637.487110.96246.899050.90837.788210.96447.275750.9138.091730.96647.655470.91238.397680.96848.038240.91438.70610.9748.424090.91639.016990.97248.813040.91839.330380.97449.205110.9239.646280.97649.600330.92239.964720.97849.998720.92440.285720.9850.400320.92640.60930.98250.805140.92840.935480.98451.213210.9341.264280.98651.624560.93241.595720.98852.039210.93441.929820.9952.45720.93642.26660.99252.878540.93842.606090.99453.303270.9442.948310.99653.73140.94243.293270.99854.162980.94443.64101154.59802复化Simpson数据:-1 0.018319929 -0.34 0.256658088 0.32 3.596641805 -0.98 0.0198445 -0.32 0.278035042 0.34 3.896195298-0.96 0.021494322 -0.3 0.301192133 0.36 4.220697765-0.94 0.023283225 -0.28 0.326278124 0.38 4.572227037-0.92 0.025220379 -0.26 0.353453177 0.4 4.95303418-0.9 0.027320224 -0.24 0.382891765 0.42 5.365557596-0.88 0.029594431 -0.22 0.41478194 0.44 5.812438891-0.86 0.032059069 -0.16 0.527292277 0.54 8.671138204-0.84 0.034728638 -0.14 0.571209036 0.56 9.39333156-0.82 0.037621263 -0.12 0.61878367 0.58 10.17567433-0.8 0.040754615 -0.1 0.670320427 0.6 11.02317608-0.78 0.044149394 -0.08 0.726149698 0.62 11.94126383-0.76 0.047826844 -0.06 0.78662861 0.64 12.93581634-0.74 0.051810827 -0.04 0.85214479 0.66 14.01320231-0.72 0.056126648 -0.02 0.92311742 0.68 15.1803205-0.7 0.060802006 0 1.0000013 0.7 16.44464467 -0.68 0.065866854 0.02 1.083288424 0.72 17.81427057 -0.66 0.071353499 0.04 1.173512427 0.74 19.29796874 -0.64 0.077297255 0.06 1.271250748 0.76 20.90523965 -0.62 0.083735917 0.08 1.377129533 0.78 22.64637562 -0.6 0.090711017 0.1 1.491826493 0.8 24.53252554 -0.58 0.098266855 0.12 1.616076341 0.82 26.57576756 -0.56 0.106452202 0.14 1.750674449 0.84 28.78918506 -0.54 0.11531904 0.16 1.896482943 0.86 31.18695183 -0.52 0.12492459 0.18 2.054435268 0.88 33.78442141 -0.5 0.135329888 0.2 2.225543071 0.9 36.59822683 -0.48 0.14660204 0.22 2.410901825 0.92 39.64638571 -0.46 0.158812728 0.24 2.611698647 0.94 42.94841704 -0.44 0.17204064 0.26 2.829219145 0.96 46.52546475 -0.42 0.18636997 0.28 3.064856356 0.98 50.40043451 -0.4 0.201892977 0.3 3.320119013 1 54.59813904 -0.38 0.218708553 0.46 6.296539601-0.36 0.236924875 0.48 6.820959636-0.2 0.449328351 0.5 7.389057081-0.18 0.486751777 0.52 8.0044696750102030405060四、讨论①在满足相同精度要求的情况下复化梯形积分法比复化Simpson 积分法计算所需节点数多,计算量大。
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数值分析报大作业
班级:铁道2班
专业:道路与铁道工程
姓名:蔡敦锦
学号:13011260
一、序言
该数值分析大作业是通过C语言程序编程在Microsoft Visual C++ 6.0编程软件上运行实现的。
本来是打算用Matlab软间来计算非线性方程的根的。
学习Matlab也差不多有一个多月了,感觉自己编程做题应该没什么问题了;但是当自己真心的去编程、运行时才发现有很多错误,花了一天时间修改、调试程序都没能得到自己满意的结果。
所以,我选择了自己比较熟悉的C程序语言来编程解决非线性的求值问题,由于本作业是为了比较几种方法求值问题的收敛速度和精度的差异,选择了一个相对常见的非线性函数来反映其差异,程序运行所得结果我个人比较满意。
编写C语言,感觉比较上手,程序出现问题也能比较熟练的解决。
最终就决定上交一份C程序语言编程的求值程序了!
二、选题
本作业的目的是为了加深对非线性方程求根方法的二分法、简单迭代法、、牛顿迭代法弦截法等的构造过程的理解;能将各种方法的算法描述正确并且能够改编为程序并在计算机上实现程序的正确合理的运行,能得到自己满意的结果,并且能调试修改程序中可能出现的问题和程序功能的增减修改。
本次程序是为了比较各种方法在求解同一非线性方程根时,在收敛情况上的差异。
为了达到上面的条件我选择自己比较熟悉的语言—C语言来编程,所选题目为计算方程f(x)=x3-2x-5=0在区间[2,3]内其最后两近似值的差的绝对值小于等于5
⨯的根的几种方法的比较。
110-
本文将二分法、牛顿法、简单迭代法、弦截法及加速收敛法这五种方法在同一个程序中以函数调用的方式来实现,比较简洁明了,所得结果能很好的比较,便于分析;发现问题和得出结论。
三、程序运行结果
四、分析及结论
由以上程序得出的结果可以看出此程序中加速收敛的收敛速度最快其次是弦截法接下来是牛顿法、简单迭代法、二分法。
下面来分析出现这种结果的理论基础。
由数值分析知识可知,加速收敛法的收敛速度、弦截法和牛顿法都是二次收敛,但是其收敛的迭代公式收敛的速度是有区别的,加速收敛的迭代公式比弦截法和牛顿法收敛的速度要快。
这也就解释了上述程序运行后在相同的初始值时加速收敛法比牛顿法快了一倍的原因。
(加速收敛只需3次迭代就得到满足精度的值,而牛顿迭代需要6次迭代)。
弦截法的收敛速度从其收敛公式上来看是没有牛顿法的收敛速度快的,但是其迭代的次数还和其选取的初始值有关,弦截法需要两个初始值,这就必然使得其迭代的次数受到这两个初始值的影响,初始值选取的大小及合理与否直接影响其迭代的次数。
由程序运行的结果可以看出,虽然弦截法收敛速度比牛顿法慢,但是由于初始值的影响其迭代次数明显比牛顿法的次数少。
简单迭代的收敛速度和其迭代方程息息相关,一般来说简单迭代的收敛速度是低于加速法、牛顿法和弦截法的。
从程序运行结果中也可以得出这个结论。
所以在进行简单迭代计算时,其迭代的函数要合理选取。
二分法是一个收敛速度比较慢的非线性函数求根法,并且其只能求得一个根,当函数有两个解时,二分法将失去其效用。
综上所述,当对计算速度有较高要求时尽量采用加速收敛法,一般建议采用牛顿法,当对计算速度无要求且只有单根时,采用二分法所得结果比较精确,其他情况视个人喜好及方便选择。
五、C程序
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define f(x) (pow(x,3)-2*x-5)
#define g(x) (3*x*x-2)
#define m 2.0
#define n 3.0
float dffqsg(float a,float b);//对分法求方程的根,a,b为区间,返回值为方程的根float ndddfqsg(float a);//牛顿迭代法求方程的根,a为初值,返回值为方程的根float jdddf(float a);//简单迭代法求在a附近的根
float Aitken(float a);//加速收敛法
float xianjie(float a,float b);//弦截法求根
main()
{
float x;
x=dffqsg(m,n);//调用二分法求根
printf("二分法求出的方程根是%f\n",x);
x=ndddfqsg(4.0);
printf("牛顿迭代法求出的方程根是%f\n",x);
x= jdddf(2.0) ;
printf("简单迭代法求出的方程根是%f\n",x);
x=Aitken(2.0);
printf("加速收敛法求出的方程根是%f\n",x);
x=xianjie(2.1,2.0);
printf("弦截法求出的方程根是%f\n",x);
}
float dffqsg(float a,float b)
{
float c;
do
{
c=(a+b)*0.5;
printf("%f\t%f\n",c,f(c));
if(f(c)<0)
{a=c;}
else{b=c;}
}while(fabs(f(c))>0.00001);
return c;
float ndddfqsg(float a)
{
float c,d;
c=a;
do{
d=c;
c=c-f(c)*pow(g(c),-1);
printf("%f\t%f\n",m,c);
}while(fabs(c-d)>0.00001);
return c;
}
float jdddf(float a)
{ float x,d;
x=a;
do{
d=x;
x=pow(2*x+5,1.0/3.0);
printf("%f\t%f\n",d,x);
}while(fabs(d-x)>0.00001);
return x;
}
float Aitken(float a)
{
float x1,x2,x,d;
x=a;
do
{
d=x;
x1=pow(2*x+5,1.0/3.0);
x2=pow(2*x1+5,1.0/3.0);
x=(x*x2-x1*x1)/(x-2*x1+x2);
printf("%f\t%f\n",d,x);
}while(fabs(d-x)>0.00001);
return x;
}
float xianjie(float a,float b)
float x0,x1,d,x;
x0=a;
x1=b;
do
{
d=x1-x0;
x=x1-f(x1)/(f(x1)-f(x0))*(x1-x0);
x0=x1;
x1=x;
printf("%f\t%f\n",x,d);
}while(fabs(d)>0.00001);
return x;
}。