微分中值定理证明方法
微分中值定理
四 柯西(cauchy)中值定理 1 定理： 设f ( x), g ( x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且g ′( x) ≠ 0, x ∈ (a, b)
f ′(ξ ) f (b) − f (a ) 则∃ξ ∈ (a, b), 使得 = g ′(ξ ) g (b) − g (a )
b−a
② 令θ = ξ − a ,
Q ξ ∈ ( a, b)
∴θ ∈ (0,1), ξ = a + θ (b − a )
∴ f (b) − f (a ) = f ′(a + θ (b − a))(b − a), θ ∈ (0,1)
③
再令b = a + h, 则有f (a + h) − f (a ) = f ′(a + θ h)h,
则F ( x)在[a, b]上满足Rolle定理的条件,∴ ∃ξ ∈ (a, b), 使F ′(ξ ) = 0
f ′(ξ ) f (b) − f (a ) f (b) − f (a ) 即f ′(ξ ) − g ′(ξ ), g ′(ξ ) ≠ 0, ∴ = g (b) − g (a ) g ′(ξ ) g (b) − g (a )
∴依x1 , x2的任意性知, f ( x)在[a, b]上严格单增
类似地有
若f ′( x) < 0, 则f ( x)在[a, b]上严格递减
【4-1-16】
例6 证明不等式
x < ln(1 + x) < x, x > 0 1+ x
证明： 证明： Q f ( x) = ln(1 + x)在[0, +∞)连续可导,
第四章 §4.1
第四章微分中值定理
第四章微分中值定理4.1 微分中值定理微分中值定理在微积分理论中占有重要地位，它建立了函数与导数之间的联系，提供了导数应用的基础理论依据，本节介绍罗尔（Rolle）定理以及拉格朗日（Lagrange）中值定理。
一、罗尔定理我们已经知道，有界闭区间上的连续函数一定有最大值与最小值，但是最大值与最小值不一定是极值，例如当最大值和最小值仅在区间端点处取得时就不是极值，而如果最大值或最小值在区间内部取得时，则一定为极值，因此，如果有界闭区间上的连续函数在两个端点处的函数值相等，那么它的最大值与最小值中至少有一个在开区间内取得，从而一定是极值，如果函数可导的话，相应的极值点一定是驻点，即该点处导数为0，这样，我们自然得到下面的罗尔定理。
定理4.1（罗尔定理）设函数f（x）满足：（1）在闭区间[a、b]上连续；（2）在开区间（a、b）内可导；（3）f（a）=f（b）,则至少存在一点罗尔定理也有十分明显的几何意义，设曲线弧（如图4.1所示）的方程为y=f（x）（a≤x≤b），罗尔定理的条件在几何上表示：是一条连续的曲线弧，除了端点外处处有不垂直于x轴的切线，并且两个端点A 和B的纵坐标相同。
定理结论表述了这样的几何事实：曲线弧上至少有一点C，在这点处曲线的切线是水平的，即罗尔定理的几何意义是：当曲线弧在[a、b]上为连续弧段，在（a、b）的曲线弧上每一点均有不垂直于x轴的切线，并且曲线弧两个端点的纵坐标相同，那么曲线弧上至少有一点的切线平行于x轴（如图4.1所示）有必要指出，罗尔定理中的三个条件缺一不可，条件（1）保证了函数f（x）的最大值与最小值的存在性；条件（3）保证了最大值与最小值中至少有一个在开区间内取得，从而是极值；条件（2）保证了该极值点处函数的可导性，因此，如果缺少这三个条件中的任何一个定理都将不成立，读者不妨自己举些反例加以验证。
例1 在区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的函数是（）[答疑编号10040101：针对该题提问]解：因为在x=0处没定义，所以不连续，故在区间[-1，1]上不满足罗尔定理的条件。
第四章 微分中值定理与泰勒公式1-4
3. 拉格朗日中值定理的三个重要推论 (1)推论1 设f (x)在区间[a,b]上可导，且f (x)=0, x [a,b].则f (x)=C, x [a,b]. (C为常数)
证：x1,x2 [a,b], 不妨令x1<x2, 则f (x)在[x1, x2] 上满足拉格朗日中值定理条件，故有
(0 1)
f ( x x) f ( x) f ' ( x x)x, 0 1
或 或
y f ' ( x x)x, 0 1
y f ' ( )x, ,
在x与x x之间.
21
f (b) f (a) f ' ( )(b a)
当f ( ) m时，f ' ( 0) 0, f ' ( 0) 0, 故f ' ( ) 0.
注:(费马定理) 当最大(小)值点在(a,b)内达到时,其导数为零。
6
例1. 设f (x)=(x a)(xb)(xc)(xd) ，a<b<c<d为实 数. 证明方程 f (x)=0，有且仅有三个实根，并指
又 F(a) = F(b) = 0,
故由Rolle定理，至少存在一点(a, b)，使得 F ( )=0
16
f (b) f (a) F ( x) f ( x) f (a ) ( x a) ba f (b) f (a) F ' ( x) f ' ( x) . ba
x ( +)，
f ( x) 即要证 x 1, x ( , ), e
令
f ( x) ( x) x , x ( , ). e
而 F ' ( ) 0,
3-1 微分中值定理
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二、罗尔定理
费马(Fermat)引理 设 f(x0)为函数 f(x)在开区间(a b)内的最大(小)值, 若 f (x0)存在, 则 f (x0) 0 证明 设 f(x0)为最大值.
当x (a, b)时, f ( x) f ( x0 ) 0.
当x x0时,
当x x0时,
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罗尔(Rolle)定理 如果函数 yf(x) 满足 (1) 在闭区间[a b]上连续; (2) 在开区间(a b)内可导; (3) f(a) f(b), 那么在(a b)内至少存在一点 使得 f () 0
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例1 不求导数 判断函数 f(x)(x1)(x2)(x3)的导 数有几个实根 以及其所在范围 解 f(1)f(2)f(3)0 f(x)在[1 2] [2 3]上满足罗尔 定理的三个条件 由罗尔定理 在(1 2)内至少存在一点1 使 f (1)0 1是 f (x) 的一个实根; 在(2 3)内至少存在一点2 使f (2)0 2也是f (x) 的一个实根 f (x)是二次多项式 至多有两个实根. 所以 f (x)有两个实根, 分别在区间(1 2)及(2 3)内
思考题 设 f (x)在 [0,1] 上连续, 在 (0,1) 内可导, 且 f (1) 0.
证明: 在 (0,1) 内至少存在一点 , 使
2 f ( ) f ( ) 0.
提示: 考虑方程 2 xf ( x) x 2 f ( x) 0. 化为方程 [ x 2 f ( x)] 0.
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微分中值定理的证明以及应用
微分中值定理的证明以及应用1 微分中值定理的基本内容微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联系的三个定理 ,它们分别是罗尔(R olle )中值定理 、拉格朗日(Lagrange )中值定理和柯西(Cauchy )中值定理 .具体内容如下 :1.1 罗尔中值定理[2]如果函数f 满足:(1)在闭区间[,]a b 上连续 ; (2)在开区间(,)a b 内可导 ;(3)在区间端点的函数值相等,即()f a f b （）=,那么在区间(,)a b 内至少有一点a b ξξ（<<）,使函数()y f x =在该点的导数等于零,即'()0f ξ=. 1.2 拉格朗日中值定理[2]如果函数f 满足： (1)在闭区间[,]a b 上连续;(2)在开区间,a b （）内可导.那么,在,a b （）内至少有一点a b ξξ（<<）,使等式()()()=f a f b f b aξ-'-成立.1.3 柯西中值定理[2]如果函数f 及g 满足: (1)在闭区间[,]a b 上都连续; (2)在开区间,a b （）内可导; (3)'()f x 和'()g x 不同时为零; (4)()()g a g b ≠则存在,a b ξ∈（）,使得 ()()()()g ()()f f b f ag b g a ξξ'-='-2 三定理的证明2.1 罗尔中值定理的证明[2]根据条件在闭区间[,]a b 上连续和闭区间上连续函数的最大值和最小值定理,若函数()f x 在闭区间上连续,则函数()f x 在闭区间[,]a b 上能取到最小值m 和最大值M ,即在闭区间[,]a b 上存在两点1x 和2x ,使12(),()f x m f x M==且对任意[,x a b ∈],有()m f x M ≤≤.下面分两种情况讨论:①如果m M =,则()f x 在[,]a b 上是常数,所以对(,)x a b ∀∈,有()=0f x '.即,a b （）内任意一点都可以作为c ,使()=0f c '. ②如果m M <,由条件()=()f a f b ,()f x 在[,]a b 上两个端点a 与b 的函数值()f a 与()f b ,不可能同时一个取最大值一个取最小值,即在开区间,a b （）内必定至少存在一点c ,函数()f x 在点c 取最大值或最小值,所以()f x 在点c必取局部极值,由费尔马定理,有'()=0f c .2.2 拉格朗日中值定理的证明[2]作辅助函数()()()()f b f a F x fx a b x f a a--=-（）-（-） 显然,()()(0)F a F b ==,且F 在[,]a b 满足罗尔定理的另两个条件.故存在,a b ξ∈（）,使 ()()''()f b f a F f b aξξ--（）=-=0移项即得()()'()=f b f a f b aξ--2.3 柯西中值定理的证明[2]作辅助函数()()()g()-g()()g(f b f a F x f x f a x a g b a --（）=-()-（））易见F 在[,]a b 上满足罗尔定理条件,故存在(,)a b ξ∈,使得()()''()g'()=0()g(f b f a F f g b a ξξξ--（）=-）因为g'()0ξ≠(否则由上式'()f ξ也为零）,所以把上式改写成()'()()()g ()()f f b f ag b g a ξξ-='-证毕3 三定理的几何解释和关系3.1 几何解释[1]罗尔中值定理在曲线()y f x=上存在这样的点,过该点的切线平行于过曲线两端点的弦(或x轴).拉格朗日中值定理在曲线()y f x=上存在这样的点,过该点的切线平行于过曲线两端点的弦.柯西中值定理在曲线()()f xyxg x=⎧⎨=⎩(其中x为参数,a x b<<)存在一点,使曲线过该点的切线平行于过曲线两端点((),()),((),())A f a g aB f b g b的弦.综上所述,这三个中值定理归纳起来,用几何解释为:在区间[,]a b上连续且除端点外每一点都存在不垂直于x轴的切线的曲线,它们有个共同的特征()y f x=在曲线上至少存在一点,过该点的切线平行于曲线端点的连线.3.2 三定理之间的关系[3]从这三个定理的内容不难看出它们之间具有一定的关系.利用推广和收缩的观点来看这三个定理.在拉格朗日中值定理中,如果()()f a f b=,则变成罗尔中值定理,在柯西中值定理中,如果()F x x=,则变成拉格朗日中值定理.因此,拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.反之,拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例,罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例.总的来说,这三个定理既单独存在,相互之间又存在着联系.从上面的讨论中可以总结得到,罗尔中值定理是这一块内容的基石,而拉格朗日中值定理则是这一块内容的核心,柯西中值定理则是这一块内容的推广应用.4 三定理的深层阐述4.1 罗尔中值定理4.1.1 罗尔中值定理结论[8](1) 符合罗尔中值定理条件的函数在开区间,a b （）内必存在最大值或最小值. (2) 在开区间,a b （）内使'()=0f x 的点不一定是极值点. 例如 函数3()(53)4xf x x =-在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理的三个条件, 由25'()3()4f x x x =- ,显然0x =,有'(0)=0f 成立,但0x =不是()f x 的极值点.如果加强条件, 可得如下定理:定理 1 若函数在闭区间,a b []上满足罗尔中值定理的三个条件,且在开区间,a b （）内只有唯一的一个点,使()=0f x '成立,则点x 必是()f x 的极值点.完全按照罗尔中值定理的证法,即可证得使()'=0f x 成立的唯一点x 就是()f x 在,a b （）内的最值点,当然是极值点. 4.1.2 逆命题不成立[3]罗尔中值定理的逆命题 设函数()y=f x 在闭区间,a b []上连续,在开区间,a b （）内可导,若在点x 在,a b （）处,有()=0f x ',则存在,[,]p q a b ∈,使得()()=fp f q .例 函数3y x =,[,](0)x a a a ∈->,显然3y x =在,a a [-]上连续,在a a (-,)内可导,()=0f x ',但是不存在,[,]p q a a ∈- ,p q <,使得()()=f p f q .但如果加强条件,下述定理成立:定理2 设函数y ()f x =在闭区间,a b []上连续,在开区间,a b （）内可导,且导函数()f x '是严格单调函数,则在点(,)x a b ∈处,有()=0f x '的充分必要条件是存在,[,]p q a b ∈,p q<,使得()()=f p f q .4.2 拉格朗日中值定理4.2.1 点x 不是任意的[7]拉格朗日中值定理结论中的点x 不是任意的. 请看下例:问题 若函数()f x 在(,)a +∞(a 为任意实数)上可导,且lim ()x f x c →+∞=(c 为常数),则lim ()0x f x →+∞=这一命题正确吗?证明 设x 为任意正数,由题设知()f x 在闭区间[,2]x x 上连续,在开区间(,2)x x 内可导,由拉格朗日中值定理知,至少存在一点(,2)x x ξ∈,使得()(2)()=f x f x f xξ-',又因为li m ()x f x c →+∞=,故(2)()limx f x f x x→+∞-=.由于ξ夹在x与2x 之间,当x +→∞时,ξ也趋于+∞,于是lim '()lim '()0x x f x f ξ→+∞→+∞==.上述证明是错误的,原因在于ξ是随着x 的变化而变化,即()g x ξ=,但当+x →∞时,()g x 未必连续地趋于+∞,可能以某种跳跃方式趋于+∞,而这时就不能由()f ξ'趋于0推出lim ()0x f x →+∞=了.例如 函数()2s i n =x f x x满足l i m ()0x f x→+∞=,且2221'()2cos sin f x x xx=-在+∞（0，）内存在,但2221lim '()lim [2cos sin ]x x f x x x x→+∞→+∞=-并不存在,当然li m '()0x f x →+∞=不会成立.4.2.2 条件补充[5]定理 3 若函数()f x 在(,)a +∞(a 为任意实数)上可导,且lim '()x f x →+∞存在,若lim '()x f x c→+∞=(c 为常数),则lim '()0x f x →+∞=.4.3 柯西中值定理柯西中值定理的弱逆定理[8]设()()f x g x ，在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可微,且'()'()f g ξξ严格单调,'()0g x ≠,则对于12,a b x x ξξ∀∈∃<<（）, ,使得2121'()'()=[()()][()()]f g f x f x g x g x ξξ--成立.证明:对,a b ξ∀∈（）,作辅助函数 '()'()F x f x f g x ξξ（）=()-()g().显然,()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可微,并且由()()f x g x ，严格单调易知'()F x 也严格单调.由拉格朗日定理知,对于12,a b x x ξξ∀∈∃<<（）,,使得 2121()()'()()F x F x F x x ξ-=-成立.而'()='()('()'())'()0F f f g g ξξξξξ-=所以有21()()0F x F x -=即2211['()('()'())'()]['()('()'())'()]0f x f g g x f x f g g x ξξξξ---=整理得2121'()'()[()()][()()]f g f x f x g x g x ξξ=--证毕.5 定理的应用三个定理的应用主要有讨论方程根的存在性、求极限、证明等式不等式、求近似值等.以下主要以例题的形式分别展示三个定理的应用.5.1 罗尔中值定理的应用例1 设(1,2,3,,)i a R i n ∈= 且满足1200231n a a a a n ++++=+ ,证明：方程2012++++0n n a a x a a x x = 在（0,1）内至少有一个实根. 证明: 作辅助函数23+1120231n n a a a F x a x x x xn +++++ （）=则=0(0F （）,=(1)F 0,Fx （）在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,故满足罗尔中值定理条件,因此存在(0,1)ξ∈,使'()0F ξ=,又2012'()++++0nn F x a a x a x a x==由此即知原方程在(0,1)内有一个实根.例2 设函数()f x 在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,且()()0f a f b ==.试证: 在[,]0a b a >（）内至少存在一点ξ,使得'()f f ξξ=（）. 证明：选取辅助函数()()x F x f x e -=,则F x （）在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,(a)()0F F b ==,由R olle 定理,至少存在一点,a b ξ∈（）,使'()'()e['()()]0F f f f f ξξξξξξξξ---=-=-=（）e e因 0e ξ-> 即'()()=0f f ξξ-或'()=()f f ξξ.例 3 设函数()f x 于有穷或无穷区间,a b （）中的任意一点有有限的导函数()f x ',且0lim ()lim ()x a x b f x f x →+→-=,证明:'()0f c =,其中c 为区间,a b （）中的某点.证明: 当,a b （）为有穷区间时,设()(,)(),f x x a b F x A x a b ∈⎧=⎨=⎩，当时，当与时，其中0lim ()lim ()x a x b A f x f x →+→-==.显然()F x 在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,且有()()F a F b =,故由R o l l e 定理可知,在,a b （）内至少存在一点c ,使'()=0F c .而在,a b （）内,'()'()F x f x =,所以'()=0F c .下设,a b （）为无穷区间,若,a b =-∞=+∞,可设tan ()22x t t ππ=-<<,则对由函数()f x 与tan x t=组成的复合函数g()(tan )t f t =在有穷区间()22ππ-，内仿前讨论可知:至少存在一点0t (,)22ππ∈-,使20g '()'()sec 0t f c t =⋅=,其中t a n c t =,由于20s e c 0t ≠,故'()=0f c .若a 为有限数,b =+∞,则可取0m a x {,0}b a >,而令00()b a t x b t-=-.所以,对复合函数00()g()()b a t t f b t-=-在有穷区间0,a b （）上仿前讨论,可知存在00t ,a b ∈（）使000200()g '()'()=0)b b a t fc b t -=⋅-（,其中0000()b a t c b t -=-,显然a c <<+∞由于00200())b b a b t ->-（,故'()=0fc .对于a =-∞,b 为有限数的情形,可类似地进行讨论.5.2 拉格朗日中值定理的应用例 4 证明0x >时,ln(1)1x x x x<+<+证明： 设()ln(1)f x x =+ , 则()f x 在[0,]x 上满足Lagrange 中值定理1ln(1)ln(10)ln(1)'(),(0,)10x x f x x xξξξ+-++===∈+-又因为111x ξ<+<+所以1111+1xξ<<+所以1ln(1)11+x xx+<<即ln(1)1x x xx<+<+例 5 已知()()()11112na n n n n n n n =++++++ ,试求lim n x na →.解： 令()2f x x=,则对于函数()f x 在()(),1n n k n n k +++⎡⎤⎣⎦上满足L a g r a n g e定理可得： ()()()()21211n n k n n k n n k n n k ξ++-+=++-+ ,()()()(),1n n k n n k ξ∈+++所以()()111221n k n k nnn n k n n k +++<-<+++当0,1,,1k n =- 时,把得到的上述n 个不等式相加得：()()()()211111222121n n n n n n n n n n+++<-<+++++ ()()11221n n n n ++++-即112222n n a a n n<-<+-故11022212n a n ⎛⎫<--<- ⎪⎝⎭所以lim 222n n a →∞=-例 6 求0.97的近似值. 解： 0.97是()f x x=在0.97x =处的值, 令001,0.97x x x x ==+∆=,则0.03x ∆=-, 由Lagrange 中值定理,存在一点0.97,1ξ∈（）(1)(0.97)'()0.03f f f ξ-=可取1ξ≈近似计算,得110.971+)'(0.03)1(0.03)0.9852x x =≈⋅-=+-=（5.3 柯西中值定理的应用例 7 设0x >,对01α<<的情况,求证1xx ααα-≤-.证明：当1x =时结论显然成立,当1x≠时,取[],1x 或[]1,x ,在该区间设()f x xα=,()F x x α=由Canchy 定理得：()()()()()()11f x f f F x F F ξξ'-='- (),1x ξ∈或()1,x ξ∈ 即111x x ααααξξααα---==-当1x >时,(),1x ξ∈,11αξ->即11x x ααα->-又()10x x ααα-=-<故1x x ααα->-即11x αα-<-当1x >时,()1,x ξ∈,11αξ-<则()10x x ααα-=->故1x x ααα->-即11x αα-<-证毕例 8 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导,a b ≤≤（0）,()()f a f b ≠ ,试证 ,a b ξη∃∈，（）,使得'()'()2a b f f ξηξ+= .证明： 在等式'()'()2a b f f ξηξ+=两边同乘b a -,则等价于22'()'()()2f f b a b a ηξξ-=-（）,要证明此题, 只需要证明上式即可.在[,]a b 上,取()()F x f x =,G x x （）=,当,a b ξ∈（）时,应用Cauchy 中值定理()()'()()()'()f b f a f G b G a G ξξ-=-即()()'()1f b f a f b aξ-=-在[,]a b 上,再取()()F x f x =,2G x x （）= ,当,a b η∈（）时,应用C a u c h y 中值定理()()'()()()'()f b f a f G b G a G ηη-=-即22()()'()2f b f a f b aηη-=-即22'()'()()()2f f b a b a ηξξ-=-即'()'()2a b f f ξηξ+=例 9 设函数f 在[,]0a b a >（）上连续,在(,)a b 上可导.试证:存在(,)a b ξ∈使得()()'()lnb f b f a f aξξ-=证明： 设()ln g x x =,显然它在[,]a b 上与()f x 一起满足柯西中值定理条件,所以存在,a b ξ∈（）,使得 ()()'()1ln ln f b f a f b aξξ-=-整理后即得()()'()lnb f b f a f aξξ-=6 定理的应用总结 6.1 三定理的应用关系一般来说, 能用R o l l e 定理证得的也可用Lagrange 定理或C a u c h y 定理证得,因此,在解题的过程中根据问题本身的特点能选取合适的中值定理,以取得事半功倍的效果.如上面例9 利用R olle 中值定理.令()[()()]ln ()(ln ln )F x f b f a x f x b a =---,则()()F a F b -,所以存在,a b ξ∈（）使得'()0F x =, 即()()'()lnf b f a b f aξξ--=整理后即得所欲证明.上面的这个例子还不难看出在利用R olle 中值定理和Cauchy 中值定理证明的同一个不等式中,用R olle 中值定理时辅助函数的构造显然需要更多的观察和技术.相比之下,用Cauchy 中值定理则要简单得多.6.2 定理的应用方法技巧从定理应用的例题中不难发现,微分中值定理大多都是通过构造辅助函数来完成证明的.有的可以从函数本身出发构造辅助函数,有的需要利用指数、对数、三角函数等初等函数来构造辅助函数,还有的要根据需要证明的目标出发适当构造辅助函数.可见,在微分中值定理的应用中,广泛地使用辅助函数是做证明题的关键,在学习时应该掌握一些常用的构造辅助函数方法.在做证明题时一般先从要证的结论出发,观察目标式的特征,分析目标式可能要用的辅助函数,然后对目标式作相应的变形,这是构造辅助函数的关键.有了辅助函数就可以直接对辅助函数应用微分中值定理得到结论.7 结束语本课题的研究成果是通过大学阶段的有关数学分析知识的学习,和一些相关学科内容知识的学习,并结合一些相关的参考图书资料,以及通过网络收集期刊、报刊和杂志上的相关内容,其中还包括自己对这些内容的理解,还通过多方面的了解和研究,且在和老师及同学们的一起探讨下,了解到微分中值定理的内在联系,也对微分中值定理深层进行了探讨,还对微分中值定理的应用做了归纳总结.本课题主要是以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理三个微分中值定理,感受到了定理来解决数学问题的方便快捷,学以致用得到充分体现.微分中值定理是微分学的基本定理,而且它是微分学的理论核心,有着广泛的应用.本课题主要是对微分中值定理证明等式不等式,方程根的存在性,求极限以及求近似值等的应用.应用微分中值定理证明命题的关键是构造辅助函数,构造满足某个微分中值定理的条件而得到要证明的结论.而构造辅助函数技巧性强,构造合适的辅助函数往往是困难的.因此,在构造辅助函数上本文没有深入系统论述,有待于研究.9 参考文献[1] 党艳霞. 浅谈微分中值定理及其应用[J]. 廊坊师范学院学报(自然科学版).2010,(1): 28-31.[2] 陈传璋. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社. 2007.[3] 刘玉琏, 傅沛仁. 数学分析讲义[M]. 北京：高等教育出版社. 1982.[4] 林源渠, 方企勤等. 数学分析习题集[M]. 北京：高等教育出版社. 1986.[5] 赵香兰. 巧用微分中值定理[J]. 大同职业技术学院学报. 2004,（2）：64-66.[6] 刘章辉. 微分中值定理及其应用[J]. 山西大同大学学报（自然科学版）.2007.23(2): 12-15.[7] 何志敏. 微分中值定理的普遍推广[J]. 零陵学院学报. 1985. (1): 11-13.[8] 李阳, 郝佳. 微分中值定理的延伸及应用[J]. 辽宁师专学报. 2011.(3): 13-18.。
微分中值定理
x0为唯一的小于 1的正实根 .
题型二:求满足定理条件的 值
例7 求 f ( x ) arctan x 在 [0,1] 上满足Lagrange
中值定理的 值
题型三:用Lagrange中值定理证明不等式
x 例8 证明当x 0时, ln(1 x ) x . 1 x f (b) f (a) 证 设 f ( x) ln x, 凑成 形式 ba
如图3此时弦AB的斜率为
f ( ) dY |x g ( ) dX
f (b) f (a) g (b) g (a)
柯西(Cauchy)中值定理
如果 f(x),g(x)满足
(1) ( 2) ( 3)
在闭区间 在开区间
[a, b]上连续,
( a , b ) 内可导,
g( x) 0, x (a, b )
则 (a, b ), 使等式
f ' ( ) f (b ) f (a ) 成立. ' g ( ) g (b ) g (a )
f (b ) f (a ) g( x ) f ( x ) 证: 作辅助函数 ( x ) g(b) g(a ) 则 ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b ) g (a ) f (a ) g (b ) (a ) (b) g(b) g(a ) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 即 f (b) f (a ) f ( ) . g(b) g(a ) g( ) 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? f (b) f (a) f ( )(b a) , (a , b) 两个 不 一定相同 g(b) g(a ) g( )(b a ), (a , b)
第四章 微分中值定理
罗尔定理的几何意义，如下图
y
0
a
b
x
注意：定理中的条件是充分条件
y y
.
0
。
.
b
。 x
a
.
0 1
x
y
y
。
0
1
2
x
.
0 1
x
2.
拉格朗日定理
定理2. 拉格朗日 ( Lagrange 定理 ) 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 上可导，则在 (a, b) f (b) f (a ) 内至少存在一点 ，使得 f ( ) ba f (b) f (a ) 证明：作辅助函数 F ( x) f ( x ) x ba
n n 例15. 求 lim ( n 1) n ln n
(1 x) e 例16. 求 lim x 0 x
1 x
例17 . 求 lim ln x ln(1 x)
x 1
例18. 确定常数 k 使 1 x 1 x ,x 0 f ( x) e k, x 0 连续。
上式即为一阶泰勒公式
由拉格朗日定理知：
f ( x) f ( x0 ) f ( )(x x0 ) , 介于x、x0 之间。
f ( x0 ) 又设 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! 3 k 2 ( x x0 ) f ( ) 同理可得 : k 2 3! f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( ) 3 ( x x0 ) 3!
微分中值定理
oa
b x oa
bx
如果函数f(x)满足: (1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导
f ( )
f (b) f (a) ba
那么 (a, b) 使得 f (b) f (a) f ( )(b a)
Ø证明思路
罗尔定理
拉氏定理
几何方法: (x) f (x) L(x)
代数方法:
微分中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、中值定理的应用
四、中值定理的应用
（一）罗尔定理的应用 （二）拉格朗日定理的应用 （三）柯西定理的应用
四、中值定理的应用
（一）罗尔定理的应用 （二）拉格朗日定理的应用 （三）柯西定理的应用
u例1 f (x) (x 1)(x 2)(x 3)
a u例8 设ab>0，a≠b,f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导
证明 (a, b) 使得
1a a b f (a)
b f ( ) f ( )
f (b)
罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理
辅助函数方法
证明等式、不等式
学习愉快！
0
2
x x
1 1
1 1 x 2
2．定理的条件是充足的 例 f (x) 1 x2
y
o
x
y
o
x
微分中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、中值定理的应用
微分中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、中值定理的应用
Ø定理
yØ用于理论证明
u例3 如果f(x)满足: (1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内f '(x)=0
微分中值定理有关证明
☆例1 设)(x f 在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f .试证：必存在)3,0(∈ξ，使()0f ξ'=证：∵ )(x f 在[0，3]上连续，∴ )(x f 在[0，2]上连续，且有最大值和最小值.于是M f m ≤≤)0(；M f m ≤≤)1(；M f m ≤≤)2(，故M f f f m ≤++≤)]2()1()0([31. 由连续函数介值定理可知，至少存在一点[0,2]c ∈使得1)]2()1()0([31)(=++=f f f c f ，因此)3()(f c f =，且)(x f 在[，3]上连续，（，3）内可导，由罗尔定理得出必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ使得()0f ξ'=。
☆例2 设)(x f 在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且⎰=132)0()(3f dx x f求证：存在)1,0(∈ξ使0)('=ξf证：由积分中值定理可知，存在2[,1]3c ∈，使得⎰-=132)321)(()(c f dx x f得到 ⎰==132)0()(3)(f dx x f c f对)(x f 在[0，c]上用罗尔定理，（三个条件都满足） 故存在)1,0(),0(⊂∈c ξ，使()0f ξ'=☆例3 设)(x f 在[0,1]上连续，(0，1)内可导，对任意1>k ，有⎰-=k x dx x f xe k f 11)()1(，求证存在)1,0(∈ξ使1()(1)()f f ξξξ-'=-证：由积分中值定理可知存在1[0,]c k∈使得)01)(()(1101-=--⎰k c f ce dx x f xe ck x令)()(1x f xex F x-=，可知)1()1(f F =这样1110(1)(1)()()()x c k F f kxe f x dx ce f c F c --====⎰，对)(x F 在]1,[c 上用罗尔定理（三个条件都满足）存在)1,0()1,(⊂∈c ξ，使()0F ξ'= 而111()()()()xx x F x ef x xe f x xe f x ---''=-+∴ 11()[()(1)()]0F ef f ξξξξξξ-''=--=又01≠-ξξe，则1()(1)()f f ξξξ'=-在例3的条件和结论中可以看出不可能对)(x f 用罗尔定理，否则结论只是()0f ξ'=，而且条件也不满足。
微分中值定理的证明及其应1正文
微分燕美辰摘 要:对微分中值定理的概念和一些相关基础知识进行了归纳, 以及一些相关定理的证明,同时介绍了它们在数学领域的应用,并给出了一些典型例题．关键词:罗尔中值定理;拉格朗日中值定理;柯西中值定理;泰勒公式微分中值定理是微分学理论的重要组成部分,不仅在理论上有着重要意义,而且在应用中也起着特殊的作用,因此学习研究微分中值定理是非常重要的．1.罗尔中值定理的证明及其应用1.1罗尔中值定理的证明定理1.1.1 （罗尔中值定理） 若函数f 满足如下条件：()i f 在闭区间[],a b 上连续； ()ii f 在开区间(),a b 内可导； ()iii ()f a =()f b ,则在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()f ξ'=0.几何意义：()1在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等则至少存在一条水平切线.()2若()f a =()f b =0，可导的函数f 的任意两根之间必定会有其导函数的根.下面我们来介绍罗尔定理的证明.定理1.1.2 （费马定理）设函数f 在点0x 点某邻域内有定义,且在点0x 可导，若点0x 为f 的极值点,则必有()0f x '=0.证 因为f 在[],a b 上连续,所以有最大值和最小值,分别用M 与m 表示,现分两种情况来讨论：()1若m M =,则f 在[],a b 上必为常数,从而结果显然成立.()2若m M <,则因()()f a f b =,使得最大值M 与最小值m 至少有一个在(),a b 内某点ξ处取得,从而ξ是f 的极值点.由条件()ii ,f 在点ξ处可导，故由费马定理推知()0f ξ'=.1.2罗尔中值定理的应用微分中值定理是数学分析中最为重要的内容之一，其中罗尔定理是基础中的基础.由于罗尔定理应用比较广泛,所以它在解题中也常用到.例1 设f 为R 上的可导函数,证明：若方程()0f x '=没有实根,则方程()0f x =至多只有一个实根.证 这可反证如下：倘若()0f x =有两个实根1x 和2x （设12x x <）,则函数f 在[]12,x x 上满足罗尔定理三个条件,从而存在()12,x x ξ∈,使()0f ξ'=，这与()0f x '≠的假设相矛盾,命题得证.2 拉格朗日中值定理的证明及其应用2.1 拉格朗日中值定理的证明定理2.1.1 （拉格朗日中值定理）若函数f 满足如下条件：()i f 在闭区间[],a b 上连续; ()ii f 在开区间(),a b 内可导,则在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()()()f b f a f b aξ-'=-.几何意义：连续曲线()y f x =()a x b ≤≤,除端点之外处处有切线,则曲线上至少有一点的切线与连接两端点的弦相等.注1 拉格朗日中值定理还有其他几种表示形式()()()()f b f a f b a ξ'-=-，;a b ξ<<()()()()()()()(),01;,0 1.f b f a f a b a b a f a h f a f a h h θθθθ'-=+--<<'+-=+<<注2 下面我们来介绍拉格朗日中值的几个推论.推论 1 若函数f 在区间I 上可导,且()0,f x x I '≡∈,则f 为I 上的一个常量函数.推论 2 若函数f 和g 均在区间I 上可导,且()(),,f x g x x I ''≡∈则在区间I 上()f x 与()g x 只相差某一个常数,即()()f x g x c =+ (c 为某一个常数).推论3 （导数极限定理） 设函数f 在点0x 的某邻域()0U x 内连续,在()0U x内可导,且极限()0lim x x f x →'存在,则f 在点0x 可导,且()()00lim x x f x f x →''=.证明拉格朗日中值定理的方法多种多样,一般来说采用的是构造辅助函数法,除此之外还有利用弦倾角法，利用面积构造辅助函数法，利用区间套证明等等，在这里我们只详细介绍两种证明方法 方法一：证 设()()()()f b f a F x f x x b a-=-⋅- [],x a b ∈,由()f x 连续知()F x 在[],a b 上连续,由()f x 可导知()F x 在(),a b 内可导()()()()()()()()f b f a F a f a ab af b f a F b f b bb a-=---=--,经计算()()F a F b =,由罗尔中值定理,()(),0a b F ξξ'∃∈∍=,即()()()0f b f a f b aξ-'-=-.由此可知()()()f b f a f b aξ-'=-,结论成立.方法二：证 分别用左右等式证明等式成立.()1任取()0x U x +∈ ,()f x 在[]0,x x 上满足拉格朗日定理条件,则存在()0,x x ξ∈,使得()()()00f x f x f x x ξ-'=-.由于0x x ξ<<,因此当0x x +→时,随之有0x ξ+→,对等式两边取极限,便得()()()()00000lim lim 0x x x x f x f x f f x x x ξ++→→-''==+-.()2同理可得()()000f x f x -''=-.因为()0lim x x f x k →'=存在,所以()()0000f x f x k ''+=-=,从而()()00f x f x k +-''==,即()0f x k '=.2.2拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理在数学分析中应用非常广泛,如应用拉格朗日中值定理证明不等式,证明恒等式,利用拉格朗日中值定理求极限,描绘函数图象,解决最大小值等等,在此就不一一列举了.2.2.1应用拉格朗日中值定理证明不等式例1 ln ,b a b b ab a a --<<其中0a b <<. 证 ln ln ln b b a a =-,令()ln f x x =,则()1f x x'=,因为0a b <<,所以()f x 在[],a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,故至少存在一点(),a b ξ∈,使得()()()ln ln f b f a b af b a b aξ--'==--,而()1f ξξ'=,于是1ln ln b ab aξ-=-,由0a b ξ<<<知111b aξ<<, 因而1ln ln 1b a b b a a-<<-, 故ln b a b b ab a a--<<. 2.2.2利用拉格朗日中值定理求极限例2 计算()()0tan 2tan 44limarctan 1arctan 12x x x x x ππ→⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+--.解 由拉格朗日中值定理可知：21tan 2tan sec 344x x x ππξ⎛⎫⎛⎫+--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其中1ξ介于4x π-与24x π+之间,且当0x →时,14πξ→.()()221arctan 1arctan 1231x x x ξ+--=⋅+,其中2ξ 介于()1x +与()12x -之间且当0x →时,21ξ→,所以，原式210223sec lim 4131x x x ξξ→⋅==⋅+.2.2.3利用拉格朗日中值定理证明恒等式例3 求证()f x 在区间I 上恒等于常数的充分必要条件是()0f x '≡ x I ∈. 证 必要性 常值函数的导数恒等于零结论成立.充分性 假设()0f x '≡ ()x I ∈,在区间I 中任取两点12,x x 根据拉格朗日中值定理,在12,x x 之间存在ξ,使得()()()120f x f x f ξ'-== 这说明()f x 在区间I 上恒等于常数.3 柯西中值定理的证明及其应用3.1 柯西中值定理的证明定理3.1.1 （柯西中值定理你）设函数f 和g 满足:()i 在[],a b 上连续； ()ii 在(),a b 内可导；()iii ()f x '和()g x '不同时为零； ()iv ()()g a g b ≠,则存在(),a b ξ∈,使得()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='-.几何意义：连续曲线()y f x =()a x b ≤≤,除端点之外处处有切线,则曲线上至少有一点的切线与连接两端点的弦相等.利用罗尔定理来证明柯西中值定理的关键是构造辅助函数,下面我们就来介绍柯西中值定理的证明.证 作辅助函数()()()()()()()()()()f b f a F x f x f a g x g a g b g a -=----. 易见F 在[],a b 上满足罗尔定理条件,故存在(),a b ξ∈,使得()()()()()()()0f b f a F f g g b g a ξξξ-'''=-=-.故()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='-, 所以,结论成立.3.2拉格朗日中值定理的应用柯西中值定理之所以重要, 是因为它在数学分析解题中有着广泛的应用, 下面就着重介绍柯西中值定理的应用, 以达到对其更深刻的认识和理解.3.2.1 求极限例1)lim 1n n→∞0x >.解 由柯西中值定理得,111,01n nξξξ-=>，即111ln ,n x nξ=有)11ln nnx ξ=,故)1lim1lim ln,nn nn xξ→∞→∞=因1,n=故)lim1lnnn x→∞=.3.2.2 证明不等式例2试证若()f x,()g x都是可微函数,且当x a≥时,()()f xg x'≤,则当x a≥时,()()()()f x f ag x g a-≤-.证令()()G x g x xε=+,则()()0G x g xε''=+>,而()()()()()()f b f a fG x G a Gξξ'-='-,a xξ<<,()()()()G x g x f x f xεε''''=+≥+>,故()()()1f b f a fG x G a Gξξ'-=<'-,有()()()()()()()f x f a G x G ag x g a x aε-<-=-+-,由于ε为任意小正数,令0ε→,有()()()()f x f ag x g a-≤-.注综上我们可以看出罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理三者关系非常密,罗尔定理是拉格朗日中值定理的一种特殊形式,当罗尔定理中()()f a f b≠时即为拉格朗日中值定理，反之在拉格朗日中值定理中，当()()f a f b=时即为罗尔中值定理，在大多数学分析和数学教材中，拉格朗日中值定理一般是采用构造辅助函数使之满足罗尔定理的方法来证明，柯西中值定理与前两个中值定理有着相类似的几何意义，而柯西中值定理较前两者更具有一般性，现在只需把函数f和g写作以x为参量的参量方程，即()()()f x xg x g x=⎧⎪⎨=⎪⎩，我们便可得到拉格朗日中值定理.4 泰勒公式的证明及其应用泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂的函数近似的表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力工具,而泰勒多项式则泰勒公式的基础.下面我们来介绍泰勒多项式.对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶导数，由这些导数构成一个n 次多项式()()()()()()()()()200000001!2!!nnn f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-+⋅⋅⋅+-，称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，()n T x 的各项系数()()()01,2,3!nf x k n k =⋅⋅⋅称为泰勒系数.4.1泰勒公式的证明定理4.1.1 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()()()()0n n f x T x x x ο=+-，即()()()()()()()()()()()2000000002!!nn n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-+⋅⋅⋅+-+-注 )1上式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式.)2()()()n n R x f x T x =-称为泰勒公式余项，形如()()0nx x ο-的余项称为佩亚诺型余项.)3所以上式也称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式，记()()()()0nn f x T x x x ο=+-.定理4.1.2 泰勒公式在0x =时的特殊形式，()()()()()()()200002!!nnn f f f x f f x x x x n ο'''=+++⋅⋅⋅++.称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式.定理4.1.3 （泰勒定理）若函数f 在[],a b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(),a b 内存在()1n +阶导数，则对任意给定的x ，[]0,x a b ∈，至少存在一点(),a b ξ∈，使得()()()()()()()()()()()()()121000000002!!1!n n n n f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++'''=+-+-+⋅⋅⋅+-+-+注 )1上式同样称为泰勒公式.)2它的余项为()()()()()()()()()11000,1!,01n n n n f R x f x T x x x n x x x ξξθθ++=-=-+=+-<<称为拉格朗日型余项. )3所以原式又称为带拉格朗日型余项的泰勒公式.定理4.1.4 当00x =时，得到泰勒公式()()()()()()()()()12100002!!1!n n n n f f f x f x f f x x x x n n θ++'''=+++⋅⋅⋅+++ 01θ<<称为带拉格朗日余项的麦克劳林公式.下面我们来介绍泰勒定理的证明 证 作辅助函数()()()()()()()()()()1,!n n n f t F t f x f t f t x t x t n G t x t +⎡⎤'=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=- 所以要证明的等式即为()()()()()1001!n f F x G x n ξ+=+或()()()()()1001!n F x f G x n ξ+=+.不妨设0x x <，则()F t 与()G t 在[]0,x x 上连续，在()0,x x 内可导，且()()()()()()()1!10n nnf t F t x t n G t n x t +'=--'=-+-≠,又因()()0F x G x ==，所以由柯西中值定理证得()()()()()()()()()()()10000,1!n F x F x F x F f G x G x G x G n ξξξ+'-==='-+其中()()0,,x x a b ξ∈⊂.4.2应用泰勒公式在高中数学中是一个十分重要的内容，在许多方面有着广泛的应用.下面给出在求极限方面的应用.4.2.1利用泰勒公式求极限对于函数多项式或有理项的极限问题的计算十分简单的，因此，对于一些较复杂的函数可以根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或有理式的极限问题. 例1 求极限21lim log 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.解 由0=x 点泰勒公式得；222211111111log(1)22o o x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是，21lim log 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22111lim 22x x o x →∞⎡⎤⎛⎫=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 参考文献：[1] 华东师范大学数学系：数学分析(第三版)，高等教育出版社，2001版。
微分中值定理的证明与应用word资料8页
微分中值定理的证明与应用B09030124 孙吉斌一 中值定理及证明：1. 极值的概念和可微极值点的必要条件:定理 ( Fermat ) 设函数f 在点0x 的某邻域内有定义，且在点0x 可导，若点0x 为f 的极值点，则必有 0)(0='x f 罗尔中值定理：若函数f 满足如下条件：（i ）f 在闭区间[a ，b]上连续；（ii ）f 在开区间（a ，b ）内可导；（iii ）)()(b f a f =，则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得f '（ξ）=0。
证明：因为f 在［a,b ］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表示，现分两种情况讨论：(i)若M = m , 则 f 在［a,b ］上必为常数，从而结论显然成立。
(ii)若m ＜ M ，则因 f (a)=f (b)，使得最大值M 与最小值m 至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点，由条件(ii) f 在点ξ处可导，故由费马定理推知)(ξf '=0.注1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。
注2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立。
例如： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-<=2x 1,11x 2,01|x |,x F(x)x易见，F 在x=-1不连续，在x=±1不可导，F(-2)≠F （2）, 即罗尔定理的三个条件均不成立，但是在（-2，2）内存在点 ξ, 满足 0)(='ξF注3：罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如：⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0x 0,0x ,sin x f(x)x 142在 [-1，1] 上满足罗尔定理的条件，显然⎪⎩⎪⎨⎧=-='0x 0,cos sin 2x sin 4x (x)f x 1x 1x 1232在（-1，1）内存在无限多个 n c =)(21z n n ∈π使得)(n c f '=0。
3-1 微分中值定理
k AB
f (b) f (a ) = , kCT = f ′(ξ ), ba
kCT = k AB , f ′(ξ ) =
f (b) f (a) . ba
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一,几何背景
设 f (x) 在[a, b] 上 续 在(a, b)内 导 连 , 可 .
f (b) f (a) = f ′(ξ )(b a)
C
20
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柯西(Cauchy)中值定理 如果函数 f(x)及 F(x)满足 (1) 在闭区间[a, b]上连续; (2) 在开区间(a, b)内可导; (3) F ′(x)在(a, b)内恒不为零, 那么在(a, b)内至少有一点 ξ, 使得 f (b) f (a) f ′(ξ) 柯西中值公式 = . F(b) F(a) F′(ξ) 如果取 F(x)=x, 则柯西中值公式就变成了拉格朗日 中值公式.
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罗尔(Rolle)定理 如果函数 y=f(x) 满足 (1) 在闭区间[a, b]上连续; (2) 在开区间(a, b)内可导; (3) f(a) = f(b), 那么在(a, b)内至少存在一点 ξ, 使得 f ′(ξ) = 0 . 证明 f ( x) 在 [a, b] 连续,
f (b) f (a ) L( x) = f (a ) + ( x a ). ba 考虑函数 ( x) = f ( x) L( x).
14
y = L(x), 则
M N
x
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拉格朗日(Lagrange)中值定理 如果函数 y=f(x) 满足 (1) 在闭区间[a, b]上连续; (2) 在开区间(a, b)内可导, 那么在(a, b)内至少存在一点 ξ, 使得 拉格朗日中值公式 f(b)-f(a)= f ′(ξ) (b-a) . 则(a) =(b)=0, (x)在区间[a, b]上满足罗尔定理的条件, 于是至少存在一点 ξ∈(a, b), 使 ′(ξ)=0, 即 由此得
第四章 微积分中值定理与证明
．
若 ，我们取 或 ，结论显然成立．若 ，则
根据零点定理， 有 ，所以有 ．
（方法2：利用介值定理）由于 在 上连续，所以 在 上可以达到最
大值和最小值， 使得 ，当然 ，所以
，
故
，
从而有
，
根据介值定理， 有
，
所以有
．
例2设 在 上连续， ，证明： ，使得 ．
证明引入辅助函数 ，则
4．设 ， 在 上连续，在 可导，证明：在 内至少存在一
点 ，使得 ．
（提示：对两个函数 和 在 上应用柯西中值定理）
5．设 在 上连续，在 可导，且 ，证明：在 ，使得 ．
（提示：引入辅助函数 ，在 上满足罗尔定理条件）
6．设 在 上可导，且 ，证明：
（1） ，使得 ．
（2）在 上存在 ，使得 ．
所以
整理得到
．
例12设 在 上连续，且 ，证明：存在 满足
．
分析解方程 ，即 ，所以辅助函数为
．
例13和例14对数三考生不做要求：
例13若 在 上有三阶导数，且 ，设 ，证明：
在 内至少存在一个 使得 .
证明由于 具有三阶导数，于是
由于
，
所以 ，故
，
因为 ，所以 ，即存在一个 使得 .
例14设 在区间 上具有三阶连续导数，且 ， ，
柯西中值定理，有
， ；
， ．
将上面两式相除，整理得到
．
4.1练习
1．试证方程 ，其中 至少有一个正根并且不超过 ．
（提示：只需证明函数 在 至少有一个根）
2．试证方程 恰有两个实根．
（提示：函数 是偶函数，关于 轴对称）
3.1 微分中值定理
2 1 3 4 2 1
4 4
(2) 设 f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)(x 4), 方程 f ( x) 0.
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2) , (2 , 3) , (3 , 4) 内.
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(0 ,1) 可导，且 f (1) 0. 2 设 f ( x) 在 [0,1] 连续，
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例3.1.6
x 证明不等式 1 x ln(1 x) x ( x 0) .
证明 设 f (t ) ln(1 t ) , 则 f (t ) 在[0, x] 上满足拉格朗日 中值定理条件, 因此
f ( x) f (0) f ( )( x 0)
即 因为 故
(0 x) (0 x)
x , ln(1 x) 1 x x x 1 x 1 x ln(1 x) x 1 x
( x 0)
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内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
f (b) f (a)
得
20 2 2 (0, 2). 3x 3 1, x 3
注 (1) 若 f (a) = f (b), Lagrange定理即为 Rolle定理
y
(2) Lagrange定理的几何意义:
若连续曲线 y f ( x) 的弧 AB
O
上除端点外处处具有不垂直于 x轴的切线,
a
b x
则弧上至少 有一点C 的切线平行于弦AB.
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微分中值定理的证明与应用
微分中值定理的证明与应用B09030124 孙吉斌一 中值定理及证明：1. 极值的概念和可微极值点的必要条件:定理 ( Fermat ) 设函数f 在点0x 的某邻域内有定义，且在点0x 可导，若点0x 为f 的极值点，则必有 0)(0='x f 罗尔中值定理：若函数f 满足如下条件：（i ）f 在闭区间[a ，b]上连续；（ii ）f 在开区间（a ，b ）内可导；（iii ）)()(b f a f =，则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得f '（ξ）=0。
证明：因为f 在［a,b ］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表示，现分两种情况讨论：(i)若M = m , 则 f 在［a,b ］上必为常数，从而结论显然成立。
(ii)若m ＜ M ，则因 f (a)=f (b)，使得最大值M 与最小值m 至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点，由条件(ii) f 在点ξ处可导，故由费马定理推知)(ξf '=0.注1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。
注2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立。
例如： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-<=2x 1,11x 2,01|x |,x F(x)x易见，F 在x=-1不连续，在x=±1不可导，F(-2)≠F （2）, 即罗尔定理的三个条件均不成立，但是在（-2，2）内存在点 ξ, 满足 0)(='ξF注3：罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如：⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0x 0,0x ,sin x f(x)x 142在 [-1，1] 上满足罗尔定理的条件，显然⎪⎩⎪⎨⎧=-='0x 0,cos sin 2x sin 4x (x)f x 1x 1x 1232在（-1，1）内存在无限多个 n c =)(21z n n ∈π使得)(n c f '=0。
微积分12-微分中值定理
第五节微分中值定理一. 费马定理二. 罗尔中值定理三. 拉格朗日中值定理费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理微分中值定理我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或“小范围”性质, 推出函数本身整体的或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”.这些中值定理的创建要归功于费马、拉格朗日等数学家.首先, 从直观上来看看是怎么一回事.极值的定义若内有定义在设 , )(U )( 0x x f , )(Uˆ )()(00x x x f x f ∈≤, )( )( 0的极大值为则称x f x f , )(Uˆ )()(00x x x f x f ∈≥, )( )( 0的极小值为则称x f x f .0为函数的极大点x .0为函数的极小点xI , I )( 内某点且在内有定义在区间设x f 则必有存在若处取极大（小）值 , )( . ξξf '. 0)(='ξf 一. 费马定理可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.定理O x y )(x f y =a b ξP 费马定理的几何解释 如何证明如何证明, I )( 内有定义在区间设x f 处且在 ξ=x ),( ξf 取极大值则有)(Uˆ )()(ξξ∈≤x f x f 则存在若 , )( ξf ' , 0)()(lim )(0≤∆-∆+='+→∆+xf x f f x ξξξ , 0)()(lim )(0≥∆-∆+='-→∆-xf x f f x ξξξ于是. 0)(='ξf （极小值类似可证）证如何保证函数在区间内部取极值？O xy a b )(x f y 但是……不保证在内部！O xy)(x f y =ξPa b 0)(='ξf 水平的可保证在内部一点取到极值二. 罗尔中值定理设;]) ,([)( )1(b a C x f ∈;) ,( )( )2(内可导在b a x f ,)()( )3(b f a f =则至少存在一点.0)( , ) ,(='∈ξξf b a 使得定理O xy)(x f y =ξa b A B实际上, 切线与弦线 AB 平行. 实际上, 切线与弦线 AB 平行.]) ,([)( b a C x f ∈ 上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次.)(min , )(max ],[] ,[x f m x f M b a x b a x ∈∈==令mM = )1(若],[ )( b a x M x f m ∈∀≤≤ ],[ )( b a x m x f ∈=∴.0)( , ) ,( ='∈∀ξξf b a 均有故证)( )2(m M M m ≠<即若]) ,([)( b a C x f ∈ 上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次., )()( b f a f =又 . )( m M b x a x x f 和处分别取到和不能同时在故==使得即至少存在一点 ,) ,( b a ∈ξ.)( )(m f M f ==ξξ或由费马定理可知：.) ,( 0)(b a f ∈='ξξ, , ,,, d c b a d c b a <<<皆为实数设,))()()(()(d x c x b x a x x f ----= . , 0)( 并指出根所在区间仅有三个实根证明方程='x f , ) ] ,[], ,[], ,[()(d c c b b a C x f ∈,0)()()()( ====d f c f b f a f 又,),( , )(内可微在是四次多项式+∞-∞x f 得上运用罗尔中值定理在 , ] ,[, ] ,[, ] ,[ d c c b b a. 0)()()(321='='='ξξξf f f 例1证其中,. ) ,( , ) ,( , ) ,(321d c c b b a ∈∈∈ξξξ.0)( 至少有三个实根即='x f, )( 是四次多项式x f, )( 是三次多项式x f '∴.0)(至多有三个实根='x f 综上所述,,0)(仅有三个实根='x f .) ,( ), ,( ), ,(中分别在d c c b b a证明内可导在设 , ) ,( , ]) ,([)( b a b a C x f ∈)()())()(( 222x f a b a f b f x '-=- . ) ,( 内至少有一根在b a 例2分析1)目的：证明至少存在),(b a ∈ξ使)()())()(( 222='---ξξf a b a f b f 0)()())()(( 2)(22='---='=ξξξf a b a f b f x F x )()())()(( 2)(22x f a b a f b f x x F '---='即2）找辅助函数：得)()())()(( )(222x f a b a f b f x x F ---=由证明内可导在设 , ) ,( , ]) ,([)( b a b a C x f ∈)()())()(( 222x f a b a f b f x '-=-. ) ,( 内至少有一根在b a 例2证)()())()(()( 222x f a b a f b f x x F ---=令, )( 得的连续性和可导性则由x f , ) ,( )( , ]) ,([)(内可导在b a x F b a C x F ∈)()()()( 22a f b b f a b F a F -==又由罗尔定理, 至少存在一点使得 ) ,(b a ∈ξ0)()())()(( 2)(22='---='ξξξf a b a f b f F . ) ,( 内至少有一根方程在即b a满足其中实数 , , 1n a a 012)1(3121=--++--n a a a n n证明方程0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n , 2 ,0 内至少有一根在）（πx n n a x a x a x F n )12sin(123sin 3sin )( 21--+++= 令, )(02)0( ==πF F 则且满足罗尔定理其它条件,使故 2,0 )(πξ∈∃0)12cos(3cos cos )()(21=-+++='='=ξξξξξn a a a x F F n x 例3证. 2 ,0 内至少有一根即方程在）（π, ) ,( , ]) ,([)( )( 内可导在、设b a b a C x g x f ∈ . 0)( 0)( 的一个根的两各根之间至少有==x g x f 2))(()()()()( )()(x g x g x f x g x f x g x f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛则的两个根是如果 , 0)( , 21=x f x x 0)()()()(2211==x g x f x g x f . ) 0)( (≠x g 这时必须想想, 看能不能找到证明的方法.例4分析证明方程且 . 0)()()()( ), ,(≠'-'∈∀x g x f x g x f b a x, ) ,( , ]) ,([)( )( 内可导在、设b a b a C x g x f ∈证明方程且 . 0)()()()( ), ,(≠'-'∈∀x g x f x g x f b a x . 0)( 0)( 的一个根的两各根之间至少有==x g x f 例4证. 0)( ) ,( , 21的两个根是设=∈x f b a x x. 0)( 21及其之间没有根与在并设方程x x x g =, )()()( x g x f x F =令.21x x <不妨假设 . 0)( ）（此时≠x g ,] ,[ )(21上满足罗尔定理条件在x x x F 则由已知条件可知:使得故至少存在一点 , ) ,( 21x x ∈ξ0)()()()()()(2='-'='ξξξξξξg g f g f F . , 0)()()()( 与已知矛盾从而='-'ξξξξg f g f 该矛盾说明命题为真 .如果使用一次罗尔定理后,能否再一次使用罗尔定理?如果需要, 当然可以使用.例5证, ),( ]), ,([)(),( 内二阶可导在设b a b a C x g x f ∈ ),,( ),()( ),()( ),()( b a c b g b f c g c f a g a f ∈===且).()( ),,( :ξξξg f b a ''=''∈使得至少存在一点证明 ,)()( ),()()( 0==-=c a x g x f x ϕϕϕ则令 .0)( ),,( ,11='∈ξϕξ使得至少存在一点由罗尔中值定理c a0.)( ),,( ,22='∈ξϕξ使得至少存在一点同理b c , )( ],[ 21则再运用罗尔中值定理上对函数在x ϕξξ'),,(),( 21使得至少存在一点b a ⊂∈ξξξ,0)())((=''=''=ξϕϕξx x).()( ξξg f ''=''即例6证,0)( , )( ),( =a f I x g x f 且有上可微在区间设 0)()()( , , ,0)(='+'∈=x g x f x f I b a b f 证明方程).,( 0b a x ∈至少存在一根, ),,( 0 ,)( 令所以由于+∞-∞∈>='x e e e x x x,)()()(x f ex F x g = .0)()()())(()(0)(0)(0)(0000='+'='='=x g e x f e x f x f ex F x g x g x x x g ,0)()( , ),( ]),,([)(==∈b F a F b a b a C x F 且内可导在 :则由已知条件可知 ),( :0使得至少存在一点故由罗尔中值定理b a x ∈. ,0)()()( ,0 000)(0即得所证故有因为='+'>x g x f x f e x g例6＋设)(x f 在],[b a 上连续，),(b a 内可导，且1)()(==b f a f ，试证存在),(b a ∈ξ，使1)()(='+ξξf f 注：))()((])([x f x f e x f e x x '+='))(1)((])1)(([x f x f e x f e x x '+-='--三. 拉格朗日中值定理设;]) ,([)( )1(b a C x f ∈,) ,( )( )2(内可导在b a x f 则至少存在一点, ) ,(使得b a ∈ξab a f b f f --=')()()(ξ))(()()( a b f a f b f -'=-ξ即定理O x y)(x f y =ξa b A B切线与弦线 AB 平行 切线与弦线 AB 平行)()()()( a x a b a f b f a f y AB ---+=的方程：弦如何利用罗尔定理来证明？如何利用罗尔定理来证明？)()()()()()( a x ab a f b f a f x f x -----=ϕ令则由已知条件可得：, ]) ,([)(b a C x ∈ϕ. ) ,( )(内可导在b a x ϕ,0)()( ==b a ϕϕ且故由罗尔定理, 至少存在一点使得, ) ,(b a ∈ξ0)()()()(=---'='ab a f b f f ξξϕ))(()()( a b f a f b f -'=-ξ即证定理的证明方法很多, 例如, 可作辅助函数)()())()(()(x f a b x a f b f x F ---=定理中的公式均可写成还是不论 b a b a ><) , ( ))(()()(之间在b a a b f a f b f ξξ-'=-拉格朗日有限增量公式1)(0 )()()(<<∆∆+'=-∆+θθx x x f x f x x f )( )(之间与在x x x x f y ∆+∆'=∆ξξ式可写成拉格朗日中值定理的公), ( |||)(| |)()(|之间在b a a b f a f b f ξξ-'=-拉格朗日中值定理告诉我们, 在t=a 到t=b 的时间段内, 连续运动的物体至少会在某一时刻达到它的平均速度.？以得出其它的什么结论由拉格朗日中值定理可)( )()()(a b f a f b f -'=-ξ)( )()()(1212x x f x f x f -'=-ξ).,( 0)( )1(b a x x f ∈='.)(常数=x f .|)(| )2(M x f ≤'.|| |)()(|00x x M x f x f -≤-).0( 0)( )3(≤≥'x f )( )(↓↑x f 还有什么？, I , . I , 0)( 21有则若∈∀∈='x x x x f, 0))(()()(2121=-'=-x x f x f x f ξ推论 1.I , )( , I , 0)( ∈=∈∀='x C x f x x f 则若. )()(21x f x f =推论 2)()())()((x g x f x g x f '-'='-, I )()( ∈'='x x g x f 若 , I , 0))()(()( ∈='-='x x g x f x F 则.I )()( , I )()( ∈+=∈'='x C x g x f x x g x f 则若( C 为常数 ). I , )()()(∈=-=x C x g x f x F推论 3, ) )( ( |)(| 有界即若x f M x f '≤' . || |||)(| |)()(| a b M a b f a f b f -≤-'=-ξ则则且条件 ), ,( , |)(| ,b a x M x f ∈≤'|||)()(|a b M a f b f -≤-理上满足拉格朗日中值定在若 ] ,[ )( b a x f 用来证明一些重要的不等式用来证明一些重要的不等式推论 4. , I ,1221x x x x >∈∀不妨设 )( ))(()()(211212x x x x f x f x f <<-'=-ξξ,)()( , I 0)( 12x f x f x x f >∈>'则若,)()( , I 0)( 12x f x f x x f <∈<'则若, )0)(( 0)( , I )( ≤'≥'x f x f x f 且可导在区间若．减少上单调增加在区间则)( I )( x f 用来判断函数的单调性用来判断函数的单调性（在后面讲）该推论可以用来证明不等式., 0 时当证明：b a <<.ln a a b a b b a b -<<-)(1ln ln )(1 a b aa b a b b -<-<-即要证,]b ,[ , ln )( a x x x f ∈=令, ] ,[ )( 理条件上满足拉格朗日中值定在则b a x f 故, )(1ln ln b a a b a b <<-=-ξξ从而 .ln aa b a b b a b -<<-例8证. , 1 x e e x x>>时当证明：)1( ln 1 >>-x x x 即要证))(()()( a b f a f b f -'=-ξ比较有上运用在 , 01ln ] ,1[ =x .1ln ln 1->-x x ], ,1[ ln )( 则由拉格朗日中值定理令x t t t f ∈=).1( , 1)1(11ln ln x x x x <<-<-=-ξξ得 . , 1 ex e x x>>时故当例9证. ]1 ,1[ , 2arccos arcsin -∈≡+x x x π证明： , 0)11(11)arccos (arcsin 22=--+-='+x x x x , 1) ,1( 时当-∈x )1 ,1( arccos arcsin -∈≡+x C x x 故从而计算得取 ,2 0 π==C x . )1 ,1( 2arccos arcsin -∈≡+x x x π例10证, ) ]1 ,1[ ()arccos (arcsin 可得由-∈+C x x . ]1 ,1[ 2arccos arcsin -∈≡+x x x π延拓!内满足关系式在若证明： ) ,( )( ∞+-∞x f .)( , )()( , 1)0(xe xf x f x f f =='=则. ) ,( , 1)( ∞+-∞∈≡x e x f x 即要证), ,( ,)()( ∞+-∞∈=x ex f x x ϕ令x x x ee xf e x f x 2)()()( -'='ϕ ), ,( ,0∞+-∞∈=x 例11证). ,( ,)( ∞+-∞∈=∴x C x ϕ,1)0( =f 又 )()( C e x f x x ==ϕ1)0()0( 0==e f ϕ故 . 1=C 从而.) ,( ,)(∞+-∞∈=x e x f x] ,[ )( , 523)( 2b a x f x x x f 在求设++= . 值理的上满足拉格朗日中值定ξ ] ,[ )( 满足拉格朗日中值在易验证b a x f .定理的条件 , )2)((6)52(35)2(3 22a b a a b b -+=++-++ξ由, 6)(3 ξ=+a b 得 . 2 a b +=ξ从而所求为例12解, ) ,( , ] ,[ )( 内可导在上连续在如果b a b a x f )( , )0)(( 0)( ] ,[b a x f x f x f ↑≤'≥'则可推出且.))((] ,[b a x f ↓ )( , )0)(( 0)( x f x f x f I 则上如果在区间<'>').( 严格单调减少上严格单调增加在区间I 由推论4知：. ) ,( , 3的单调性讨论∞+-∞∈=x x y O xy 3x y =, 03)(23≥='='x x y , 0 时且仅当=x , 0='y . ) ,(3∞+-∞↑x 故, ) ,(时∞+-∞∈x 解例7. ]2 ,0[ sin 上的单调性在讨论πx x y -=,) ]2 ,0[ (sin πC x x y ∈-= , )2 ,0( , 0cos 1π∈>-='x x y .sin ]2 ,0[π↑-=∴x x y 例13解. )1ln( , 0 x x x +>>时：证明,) ,0[ , )1ln()( ∞+∈+-=x x x x f 令, ) ) ,0[ ()( ∞+∈C x f 则,0)0(=f 又 , ) 0( , 0111)(时>>+-='x xx f 故, )() ,0[∞+↑x f 从而 , )0( , 0)0()(>=>x f x f 即. )1ln( , 0x x x +>>时例14证。
微分中值定理的基本结论与证明方法
f ( 0 ) + f (1) + f ( 2 )
é ë f ( a ) ¹ f ( b ) , m ¹ f ( a ) , m ¹ f ( b )ù û 任一值，则必
$ x Î ( a, b ) Þ f (x ) = m 。
● 其推论是： 当m £ m £ M ， 则必 $ x Î [ a, b ] Þ f (x ) = m 。x Î [ a, b ] 。 注意 x Î [ a, b ] 是闭区间。 ● 介值定理的本质是：在连续函数的的值域内任意取个值，总能找到一个函数值与它相等。 ● 导数的介值定理（达布定理） ：设 f ( x ) 在 [ a, b ] 上可导（只有在闭区间的端点有单侧导数定义） ，且
g (a + d ) - g (a) < 0 Þ g (a) > g (a + d ) d 根据导数定义和极限的保号性 g ¢ ( b ) = f ¢ ( b ) - c > 0 ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ ®
g (b - d ) - g (b) > 0 Þ g (b - d ) < g (b ) -d 可见连续函数 g ( x ) 在区间 [ a, b ] 上的最大值和最小值不在端点取得， 故存在 x Î ( a, b ) ， 使得 g ( x ) $d > 0满足a < a + d < b - d < b Þ
f +¢ ( a ) ¹ f -¢ ( b ) ， 则 对 满 足 f +¢ ( a ) < c < f -¢ ( b ) 或 f +¢ ( a ) > c > f -¢ ( b ) 的 任 意 实 数 c ， 均 存 在
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２１ ０ ２年 ９月
甘 肃联 合 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｕ Ｌｉｎ ｅ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ｏ Ｇａ ｓ ａ ｈ ｉ ｅ ｓｔ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅ ） ｙ Ｓ
Ｖｏ１ ２ ． ６ ＮＯ． ５
ｆ ，
一
ａ
（ 一。 ， Ｅ ［ ，］ ） 口 ６．
由于 函数 厂 ｚ 在 闭 区间 ［ ，］ 连续 ， 开 （） ｎ６上 在
区间 （ ６ 上 可 导 ， ｎ， ） 因此 ， 数 （ 也 在 闭 区 间 函 ）
［ ，］ 连 续 ， 开 区 间 （ ， ） 可 导 ， 有 声 ｎ 口６上 在 ａ６上 并 （）
Ｓｅ ｔ ２ ２ ｐ ． Ｏ１
文章 编 号 ：１７ —９ Ｘ（０ ２０ —１００ ６ ２６ １ ２ １ ）５０ ０ —４
微 分 中值 定理 证 明 方 法
李 飞 飞 ， 临龙 赵
（ 康学 院 数学 与 应 用数 学 研 究 所 ， 西 安 康 ７ ５０ ） 安 陕 ２ ０ ０
摘 要 ： 用 Ｒ ｌ 中 值 定 理 ， 出 Ｌ ｇａ ｇ 利 ｏｌ ｅ 给 ａ ｒｎ ｅ中值 定 理 和 Ｃ ｕｈ ａ ｃｙ中值 定 理 的 作 辅 助 函 数 、 何 作 图证 明 、 角 几 三
形 面积 法 证 明方 法 ．
关键 词 ： ａｒｎ ｅ 值 定 理 ； ａｅ ｙ中值 定 理 ； ｏｌ 理 ； 明方 法 Ｌ ｇａｇ 中 Ｃ ｕｈ Ｒｌ ｅ定 证
中 图 分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ４ １ 文献标识码 ： Ａ
０ 引 言 及 预备 知 识
微 分 中值 定 理在《 数学 分析 》 中有 着重要 的地
．
Ｏ 口 ６ ｊ
（） １ 作辅 助 函数
（ ）一 ＿ ） ｆ ａ 一 ｚ 厂 （ 一 （）
图 １
（ ） 角形 面积法 ３三 如图 ２ 设 函数 声 ｚ） 示 以 曲线 上 的三 个 点 ， （ 表 （ ， （ ） ，６ － ６ ） （ － ） 为顶 点 的 三 角形 口 ＿ ｎ ） （ ， （ ） ，ｚ， （ ） 厂 厂 厂 的 面积 ， 面积表 达式 为
一
点 ∈（ ， ） 使 得 ≯ （） ｎ６ ， 一０ 即 ｆ（ ） ＿ ６ 一 ， ａ一厂 ） （
（ －ｂ ｆ （） ， 出 口 ） 一０ 推
） 一 ．
圈 ３
２ 柯 西 中值 定 理 证 明
Ｃ ｕｈ ａ ｃ ｙ中值 定理 … 设 函数 － ） ｇ ） 厂 （ 和 （ 满
， （）一 ．
１ 拉 格 朗 日中值 定 理 证 明
Ｌ ｇａ ｇ ａ ｒｎ ｅ中值 定 理 在一 点 ∈（ ，） 使得 ｎ６ ，
厂 （）一
证 明
） ， ‘
， ｆ
，
设 函数 厂（ 在 闭 区 ｚ）
间 ［ ，］ 连续 ， 口 ６上 在开 区间 （ ， ） 可导 ， 至少 存 ｎ ６上 则
连续 ， 开 区间 （ ， ） 可 导 ， ｆ（ ） 厂 ６ ， 在 口６上 且 ａ ：＿（ ） 则 至少存 在一 点 ∈（ ，） 使 得 ｆ （） ． 口６， 一０
平 移直 线 Ｚ至它 与 曲 线 ＿（ 相 切 时 ， ｘ） 对 ， 厂 ） ｆ（ 所 应 的点 ∈（ ，） 且 ｎ ６ ，口
一
（ ＝０． ６）＝ ＝
于是 由罗尔 中值 定 理 ， 至少 存 在一 点 ∈（ ， ａ
６， ） 使得 （） ． ＝０ 对 （ 求导 并 令 （） ｚ） 一０ 对 ， 其整 理后 ， 得
厂 （ ）一 ．
图 ２
（ ） 何作 图证 明 ２几
收 稿 日期 ： ０ ２０ — ３ ２ １ — ５２ ．
＋ａ ６ ｆ（ ）一 （ ， ｎ）
船＝ ＝
．
其中， ｚ∈Ｆ ，］ 显 然有 （ ） （ ）＝ ， 声 ） ａ ６． ｎ 一声 ６ ＝ ０ 且 （ ＝ 亦 是一 个在 ［ ６ 连续 ， （ ， ） 导 的 函数 ， 此 ，］ 在 “ ６可 因 （ 满足 罗尔 中值 定 理 的所 有 条 件 ， ） 即至 少存 在
（ｉ 在［ ，］ ） ｎ ６ 上都 连续 ； （Ｉ） （ ，） ｉ 在 口 ６ 内都 可导 ；
如 图 １ 由 于 （ ， （ ） ，６ ｆ ６ ） 连 线 的 方 ， ＆ ｆ ａ ） （， （） 的
程 为 Ｚ ：
：
位 与作 用 引， 成为人 们研 究 的热 点 问题 ， 专著 见
ｂ
—— ａ
（ 一 口） 厂（ ， ＋ ）
［］ ３ 和论 文 ［ —６ ． ４ ］ Ｒｌ ｏｌ ｅ定理 设 函
基金项目： 安康学院大学生科技创新项 目（０１ Ｋ Ｙ Ｘ ０）安康学院重点扶持学科建设项目（ Ｚ Ｚ１７ ２１Ａ Ｘ Ｄ Ｓ９； Ａ Ｘ ００）
作 者 简 介 ： 飞 飞 （９ ０） 男 ， 西 宝 鸡 人 ， 校 学 生 ， 要 从 事 基 础 数 学 的研 究 与 学 习． 李 １ ９一 ， 陕 在 主
足
即 Ｃ ｕｈ ａ ｃ ｙ中值 定理 也 可 以看 成 是 Ｌ ｇａ ｇ ａ ｒｎ ｅ 中值定 理 的参数 表达 形式 ． （ ） 角形 面积 法 ３三 如 图 ４ 设 函数 （ ） 示 以 曲线 上 的三个 点 ， ｚ表
（ （ ） ｆ ａ ） （ ６ ， ６ ） （ ） ｆ（ ） 顶 ｇ ｎ ， （ ） ， ｇ（ ） 厂（ ） ，ｇ（ ， ｘ） 为
第 ５期
李 飞 飞 等 ： 分 中值 定 理 证 明 方 法 微
１１ Ｏ
ｚ ｆ（ ）
（ ） 一 ａ ｆ（ ｄ）
设 一， 应 于 ｔ ∈（ ６ ， 由参 数 形 式 ７ 对 一 口，） 则 函数 的求 导 公式 ， 有
ｂ ｆ（ ） ｂ
Ｅ （ ） － ６ ］ 一 （ ６ ／ ） ｆ ａ 一 厂 ）－ （ ｔ ｎ一 ） ， （