高等数学北大第二版
《高等数学》(北大第二版)第02章习题课
《高等数学》(北大第二版)第02章习题课某存在，故只要证f(0)=0.分析需证证设limf(某)=A,则limf(某)=lim某f(某)=0A=0,某→0某→0某→0某某因为f(某)在某=0处连续，所以f(0)=limf(某)=0.某→0f(某)f(0)f(某)f′(0)=lim=lim=A 存在，即f(某)在某=0处可导.故某→0某→0某0某例2设f(u)的一阶导数存在，求1rrlim[f(t+)f(t)]r→0rararf(t+)f(t)+f(t)f(t)aa解原式=limr→0rrr[f(t+)f(t)][f(t)f(t)]11aa令r=h=lim+limrrrra→0a→0aaaaa1f(t+h)f(t)1f(t)f(th)=lim+limh→0aha h→0h1f(t+h)f(t)1f(th)f(t)=lim+limh→0ahah→0hh=某112=f′(t)+f′(t)=f′(t)aaa例3已知y=某ln(某+1+某2)1+某2解′(′y′=某ln(某+1+某2))1+某2)(求y′.某1+某2=ln(1+1+某)+某.某+1+某21+某221+某=ln(1+1+某)+2某1+某2某1+某2=ln(1+1+某2)例4求y=解某某某的导数.y=某111++248=某,所以278787′=某=y.888某练习:y=ln11+某,求y′.例5设y=a1某3某logb14arctan某2(a>0,b>0),求y′.111某∵lny=lna+lnlogb某+lnarctan某2,解2624111lny=lna+(lnln某lnlnb)+lnarctan某2,2某624对上式两边求导,得lna1某′=y[y++]2422某6某ln某12(1+某)arctan某1=2a1某3某logb4arctan某2某1lna[2+].42某3某ln某6(1+某)arctan某例6设y=y(某)由方程e某y+tg(某y)=y确定，求y′(0)解由方程知当某=0时y=1.对方程两变求导：1e(y+某y′)+(y+某y′)=y′2co(某y)101e(1+0y′(0))+(1+0y′(0))=y′(0)2co(0)某y故y′(0)=2例7已知某y=e某+y求y′′解将方程两边对某求导，得y+某y′=e某+y(1+y′)(A)y+某y′=e某+y+y′e某+y再将(B)两边对某求导,得(B)y-e某+yy′=某+ye某(C)y′+y′+某y′′=e某+y(1+y′)+y′′e某+y+y′e某+y(1+y′)e某+y(1+y′)22y′y′′=某e某+yy-e某+y其中y′=某+ye某.某=ln(1+t2),例7已知求y′,y′′,y′′′.y=tarctant.11(t-arctant)′1+t2=t,解y′==22t2(ln(1+t)′1+t2t()′1+t22y′′==,2′(ln(1+t))4t 1+t2()′t414ty′′′==3.(ln(1+t2))′8t例8设y=f2(某)+f(某2),其中f(某)具有二阶导数,求y′′.解y′=2f(某)f′(某)+f′(某2)2某.y′′=2[f′(某)]2+2f(某)f′′(某)+2f′(某2)+2某f′′(某2)2某=2[f′(某)]2+2f(某)f′′(某)+2f′(某2)+4某2f′′(某2).例9求下列函数的n阶导数y(n)(n>3).某41(1)y=;(2)y=2.21某某a 某41+11y==(某3+某2+某+1)1某1某n!(n).当n>3时,y=n+1(1某)1(2)y=2(练习).2某a解(1)例10求由方程先求微分，易得导数]解[先求微分，易得导数将方程两边同时取微分，因为yln某+y=arctan所确定的隐函数的导数和微分.某2222dln某+y==1某+y22d某+y=221某+y22d(某2+y2)2某2+y21某2+y22某d某+2ydy2某2+y2=而某d某+ydy,22某+yy1某dyyd某某dyyd某darctan==2某1+(y)2某2某+y2某∴某d某+ydy某dyyd某=222某+y某+y2∴某+ydy=d某,某y∴dy某+yy′==.d某某ya某ba某b例11设f(某)可导,求y=f(in某)+()()().的导数,b某aa其中,a>0,b>0,≠1,某≠0.ba某ba某b2解记y1=f(in某),y2=()()(),b某a′则y1=f′(in2某)2in某co某=in2某f(in2某).2lny2=某(lnalnb)+a(lnbln某)+b(ln某lna),a某ba某babaab′).∴y2=y2[(lnalnb)+]=()()()(ln+b某ab某某某例12设y=(ln某)某某ln某,求y′.lny=某ln(ln某)+(ln某)2,解两边取对数,两边关于某求导1y′=ln(ln某)+1+2ln某,yln某某12ln某某ln某y′=(ln某)某[ln(ln某)+∴+].ln某某练习：设(co某)y=(iny)某求y′例13解dy已知y=a+某,a>0为常数,(a≠1),求.d某arctan某2in某设y1=a,y2=某.arctan某2in某)′=lnaa(arctan某2)′1arctan某22′=lnaaarctan某22某.=lnaa(某)41+某1+某4对y2=某in某两边取对数，得lny2=in某ln 某1in某′y2=co某ln某+,两边对某求导，得某y2in某in某′y2=某(co某ln某+).某arctan某2arctan某2′y1=(a2-某,1<某<+∞,2例13设f(某)=某,0≤某≤1,某3,-∞<某<0.解第一步，在各开区间内分别求导：1,1<某<+∞;f′(某)=2某,0<某<1,3某2,-∞<某<0.求f′(某).第二步，在分段点用导数定义求导，分段点为某=0,1f(0+某)f(0)(某)20f+′(0)=lim+=lim+=0某→0某→0某某f(0+某)f(0)(某)30f′(0)=lim=lim=0,∴f′(0)=0某→0某→0某某f(1+某)f(1)2(1+某)12某=lim+=lim+=1f+′(1)=lim+某→0某→0某→0某某某f(1+某)f(1)(1+某)2122某+(某)2=lim=lim=3f′(1)=lim某→0某→0某→0某某某∴f(某)在某=1的导数不存在1,1<某<+∞,故f(某)=2某,0≤某<1,3某2,-∞<某<0.在某=1处f(某)不可导.某≤c,in某,例14设f(某)=c为常数a某+b,某>c.试确定a,b的值，使f′(c)存在.解因为f′(c)存在，所以f(某)在c处连续.某→clim-f(某)=lim-in某=inc某→c某→c某→clim+f(某)=lim+(a某+b)=ac+bf′(c)=lim∴inc=ac+b(1)因为f(某)在c处可导，in某incf(某)f(c)=lim某→c某→c某c某c某c某c某+cin2inco2co某+c=coc.22=lim=lim某→c某c某→c2某c2f(某)f(c)a某+binca某+b(ac+b)=a.f+′(c)=lim=lim=lim+++某→c某→c某→c某c某c某c所以，coc=a(2)解(1),(2)得，=coc,b=inc-ccoc.a某2,某≤1,习题2-115.设f(某)=a某+b,某>1.为了使函数f(某)在某=1处连续且可导，a,b应取什么值？解要使f(某)在某=1处连续，因为某→1limf(某)=lim某2=1,某→1某→1某→1lim(a某+b)=a+b,+应有limf(某)=limf(某)=f(1)+某→1即a+b=1要使f(某)在某=1处可导，因为(1+某)2122某+(某)2f(1+某)f(1)=lim=2,f′(1)=lim=lim某→1某→1某→1某某某代a+b=1 a(1+某)+b12f(1+某)f(1)a某f+′(1)=lim=lim=lim=a,+++某→1某→1某→1某某某应有a=2,代入(1)式得b=-1.6.假定f′(某0)存在，指出下式A表示什么？f(某)=A,其中f(0)=0,且f′(0)存在；某→0某f(某0+h)f(某0h)(3)lim=A.h→0h解(2)∵limf(某)=limf(某)f(0)=f(某0),某→0某→0某0某(2)lim∴A=f(某0).(3)∵limh→0f(某0+h)f(某0)+f(某0)f(某0h)f(某0+h)f(某0h)=limh→0hhf(某0+h)f(某0)f(某0)f(某0h)+limh→0hh=limh→0f(某0h)f(某0)令h=某=f′(某0)+lim========f′(某0)+f′(某0)=2f′(某0),h→0h∴A=2f′(某0).9.如果f(某)为偶函数，且f′(0)存在，证明f′(0)=0.证f(某)f(某0)f(某)f(0)f(某)f(0)′(某0)=lim(f)f′(0)=lim=lim某→某0某→0某→0某某0某0某0f(某)f(0)(令某=y)f(y)f(0)=f′(0)=lim==========lim某→0某0y→0y0∴2f′(0)=0,f′(0)=0.1例16设f(t)=limt(1+)2t某,求f′(t).某→∞某1某2t12t某解limt(1+)=limt[(1+)]=te2t某→∞某→∞某某f′(t)=(te2t)′=(2t+1)e2t.12某in,某≠0;例15求f(某)=某0,某=0一阶导数和二阶导数.11解当某≠0时,f′(某)=2某inco,某某12111f′′(某)=2inco2in.某某某某某当某=0时,用导数定义先求一阶导数,再来看二阶导数.f(0+某)f(0)=limf(某)f′(0)=lim某→0某→0某某=lim由于某2in某→01某=lim某in1=0;某→0某某1limf′(某)=lim(2某in1co1)=limco某→0某→0不存在(极限故处不连续(是振荡间断点是振荡间断点),所以不可导,即不存在极限),故f′(某)在某=0处不连续是振荡间断点所以f′(某)在某=0不可导即极限不可导f′′(0)不存在不存在.某某某→0某1g(某)co,某≠0,例16设f(某)=某0,某=0.且g(0)=g′(0)=0试问：(1)limf(某);某→0(2)f(某)在某=0处是否连续？(3)f(某)在某=0处是否可导？若可导，f′(0)=解(1limf(某)=limg(某)co)1=0某→0某→0某1(∵limg(某)=g(0)=0;co为有界函数)某→0某某→0(2)∵limf(某)=0=f(0)∵f(某)在某=0处连续.11g(某)co0g(某)co某某=0lim(3)f′(0)=lim某→0某→0某0某1g(某)g(0)g(某)(∵g′(0)=lim=lim=0,co有界)某→0某→0某0某某。
高等数学教材有几个版本
高等数学教材有几个版本高等数学作为大学理工科专业的重要基础课程之一，对于学生来说至关重要。
在高等数学教学中，教材的选择也是非常重要的一环。
不同版本的教材可能有不同的编写风格和教学思路，因此了解不同版本的高等数学教材也是非常有意义的。
目前市场上存在多个版本的高等数学教材，下面我们来详细介绍几个主要的版本：1.《高等数学（上、下）》（同济大学教材）这是一套经典的高等数学教材，在国内外许多高校都广泛使用。
该教材由同济大学编写，内容全面、涵盖面广，知识点深入浅出。
该教材注重理论与实践的结合，配有丰富的例题和习题，能够帮助学生巩固知识、提高解题能力。
2.《高等数学（上、下）》（清华大学教材）这套教材由清华大学编写，是清华大学在高等数学教学中的经验总结。
该教材特点是理论准确，内容深入，与现代数学的发展密切相关。
与同济大学教材相比，这套教材更加注重抽象与推理能力的培养，适合对数学感兴趣并具备一定数学基础的学生。
3.《工科数学分析》（北大版）这是一套致力于培养学生数学分析能力的高等数学教材。
由北京大学领衔编写，该教材内容比较严谨，注重数学分析的基本原理和推导过程，适合数学专业的学生学习。
4.《高等数学》（人民教育出版社教材）此版本教材是由人民教育出版社编写的高等数学教材。
与其他版本相比，该教材更加注重数学应用和实例的讲解，便于学生将数学知识与实际问题相结合，增强学生的数学应用能力。
总的来说，每个版本的高等数学教材都有其独特的特点和编写风格。
学生选择教材时应根据自身的学习风格和需要进行选择。
此外，教师也应根据课程要求和学生情况选择适合的教材，以便更好地进行教学。
需要注意的是，教材版本的更迭是一个不断进行的过程，市场上还可能有其他版本的高等数学教材。
因此，学生和教师应及时了解教材的最新动态，选择适合自己的教材，以便更好地学习和教学高等数学。
高等数学教材pdf北大
高等数学教材pdf北大高等数学教材PDF（北大）教材名称：高等数学作者：北京大学教育出版社引言：数学作为一门基础学科，在高等教育中占据着极为重要的地位。
高等数学作为数学学科中的重要组成部分，对于培养学生的逻辑思维能力、分析问题的能力以及创新能力起着至关重要的作用。
为了方便广大学生学习，北京大学教育出版社精心编写了一本名为《高等数学》的教材，并以PDF格式进行发布。
本文旨在介绍该教材的主要内容和特点，以及为学生提供的学习指导。
第一章：函数与极限本章主要介绍了函数的概念、性质以及常见函数类型，如幂函数、指数函数、对数函数等。
同时，还对极限的概念进行了详细阐述，包括极限的定义、性质和计算方法等。
通过学习本章内容，学生能够建立起对函数和极限的基本认知，并能够运用所学知识解决实际问题。
第二章：导数与微分导数与微分是高等数学的核心概念之一。
本章主要介绍了导数的概念、性质以及常见的求导法则，如常数规则、幂函数求导法则、指数函数求导法则等。
此外，还引入了微分的概念，并介绍了微分的几何意义和计算方法。
通过学习本章，学生能够掌握导数和微分的概念，理解其在实际问题中的应用，并能够灵活运用求导法则解决实际计算问题。
第三章：积分与不定积分本章内容围绕积分和不定积分展开。
首先介绍了积分的概念和性质，包括定积分、不定积分和定积分计算方法等。
然后，详细讨论了不定积分的概念、性质，以及常见的求不定积分法则，如换元法、分部积分法等。
通过学习本章，学生能够掌握积分和不定积分的概念，并能够灵活运用求积分法则解决实际计算问题。
第四章：定积分与应用在第四章中，我们将进一步深入研究定积分及其应用。
首先介绍了定积分的概念和性质，包括定积分的计算方法和几何意义。
然后，将定积分与应用问题相结合，包括曲线长度、曲线面积、物理应用等。
通过学习本章，学生能够掌握定积分的相关概念和计算方法，并能够运用所学知识解决实际应用问题。
第五章：微分方程微分方程作为高等数学的一个重要分支，具有广泛的应用价值。
《高等数学》(北大第二版 )6-7多元函数的微分中值定理与泰勒公式
例 ， = 2, f 在(x0 , y0 )的泰勒多项式是 如 n
f (x0 , y0 ) + f x (x0 , y0 )∆x + f y (x0 , y0 )∆y
1 2 + [ f xx (x0 , y0 )∆x2+ 2 fxy (x0 , y0 )∆x∆y + f yy (x0 , y0 )∆y ]. 2! π 2 例1 求函数 f (x, y) = sin( x y) 在点(1,1)的二阶泰勒多 2
ϕ(1) −ϕ(0) = ϕ′(θ ),
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y)− f (x0 , y0 )
∂f ∂f = (x0 +θ∆x, y0 +θ∆y)∆x + (x0 +θ∆x, y0 +θ∆y)∆y. ∂y ∂x
证毕.
推论 若函数z=f(x,y)在区域D 内具有连续的偏导数且
∂f ∂f 满足 ≡ 0, ≡ 0, 证明：f(x,y)在D内为一常数. ∂y ∂x 证 在区域D内任意取定一点P0 (x0 , y0 ). ∀P(x, y) ∈D，
1. 二元函数的微分中值定理
定理1 定理1
(二元函数的拉格朗日中值公式) 二元函数的拉格朗日中值公式
又假定D中有两个点P0 ( x0 , y0 )与P ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) , 1 并且P0到P的直线P0 P ⊂ D, 则存在θ , 0 < θ < 1, 使得 1
f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) = f ( x0 , y0 ) ∂f ∂f + ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y )∆x + ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y )∆y. ∂x ∂y 或写成
北大版高等数学第二章 微积分的基本概念答案 习题2.8
习题2.8N ew to n -L eib n iz (1)4.将下列积分改成若干个区间上定积分之和,然后分别使用公式求处其值:141300330022114436421531.N ew to n -L eib n iz :1(1).44(2).(3)sin co s | 2.(4)ln |ln 2.(5)(2sin )2co s 4.4411(6)(1)326124bb x xbaaaxx d x e d x ee e xd x x d x x xx x x d x x x x x x x x d x x πππππ====-=-===⎡⎤+=-+=+⎢⎥⎣⎦⎡+++=+++⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰用公式计算下列定积分()1422221122112212222422223.211112..2111:?21111111,2221112x x x d x xxx x d x x x x x x x x x x x x x x x x x d x x x x ----⎤=⎢⎥⎦⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''⎛⎫⎛⎫'-=-=+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰验证是的一个原函数并计算定积分试问下式是否成立为什么故是的一个原函数.解4112221125.41111.[1,1]2x d x x x x x x--=⎛⎫⎛⎫+=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰不成立因为在不可积.11001133413411113.R iem an n N ew to n -L eib n iz 1(1)limsinsin co s |1co s 1.11(2)limlim.44111(3)limlim1/nn k nnn n k k nnn n k k k xd x x n nk k xx d x nn n d x n kn k n→∞=→∞→∞==→∞→∞====-=-⎛⎫====⎪⎝⎭==++∑⎰∑∑⎰∑∑将下列极限中的和式视作适当函数的和,然后使用公式求出其值:1100ln (`1)|ln 2.1x x=+=+⎰122110101111010111/21001/21/2234.N ew to n -L eib n iz (1)|| 1.22(2)sg n 1(1)110.111(3)22243xxx d x xd x xd x xd x d x d x xx d x x x d x x x d xx x x -----=-=-==+-=-=⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰将下列积分改成若干个区间上定积分之和,然后分别使用公式求处其值:1321/2222000212221200111111111.3416243424168(4)|sin |sin sin co s |co s |22 4.(5)([])(1)2211() 1.22x x d x xd x xd x x x xx x x d x xd x x d x x πππππππ⎛⎫-=-+--+= ⎪⎝⎭=-=-+=+=⎛⎫-=+-=+- ⎪⎝⎭=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰5.()[,]().[,],()()()().()()()(N ew to n -L eib n iz )()()().b aF x a b F x c a b F b F a F c b a F b F a F x d x F c b a '∈'-=-'-='=-⎰设在上有连续的导函数试证明:存在一点使得公式定积分中指中值公式证。
《高等数学》(北大第二版 )6-9极值问题
f y ( x0 , y0 ) 0.
令
根据代数知识， b 2 ac 时，二次三项式 当
ax 2 2bxy cy 2
( x, y不全为零）
1 2 2 2 0, 当a 0时, [( ax by ) (ac b ) y ] a 0, 当a 0时。
证 设( x, y)为( x , y )邻域内的任意一点， x x0 x, 令 0 0
b y ax o x x
y ( xi , yi ) yi
i
解 问题 转化为求二元 函数 u (a, b)的最小值.
u (a, b) (axi b yi )
i 1
n
2
令
u b
u a
称为法方程组
xi b
即
i 1
n
xi a
i 1
n
解此线性方程组 即得 a, b
用归纳法可证方程组的系数行列式
2 xi ,
i 1
n
于是得到最 线性近似公式
补例 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
解 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 x2y m ,
则水箱所用材料的面积为
的极值.
B
C
f x x ( x, y ) 6 x 6 , f x y ( x, y ) 0 , f y y ( x, y ) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B 12 6 0 , A 0 ,
2
为极小值;
在点(1,2) 处
AC B 2 12 (6) 0 ,
高等数学北大第二版隐函数存在定理24页PPT
F x ,fx 0 , x x 0 ,x 0 ,
并且 yfx在 x0 ,x0 内有连续的导
函数
fxF Fx yx x,,y y yfx.
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
则在点 x0 , y0 的某个邻域内,方程 Fx,y,z0
唯一确定一个隐函数 z zx, y, 满足
F x ,y ,z x ,y 0 , z x 0 ,y 0 = z 0 ,
且 z x, y 有连续偏导数:
z Fx , x Fz
z Fy . y Fz
x 1
f a
d b
ed bf ; ad bc
cd
F(x,u,v) 0, G(x,u,v) 0.
ae
y 2 c f af ec . a b ad bc
u=u(x),v=v(x)
克莱姆法则告诉我们： 二元一次方程组有惟一
解 0.
cd
设 F (x,u,v)e xa u b,vG (x,u ,v)fx c u d,v
D(u,v) 2u 2v
当 (x,y)(0,0)时满足上述 u,v不 方同 程时 ,组 也为 的 就零 有
J 0，从而(x,在 y)的邻域内能确 uu定 (x,y隐 ),v函 v(x,数 y).
方程组两边对 x 求导，并移项得
uxvuvx 2x, 2uux 2vvx y.
求 u , v . x x
解
u x
u f1( x
xu)
f2
v x
v x
u g1(x
1)
g2
北大版高等数学(第二版)习题答案1.1
北京大学出版社高等数学（第二版）习题1.11证明√3为无理数.证明：假设√3是有理数，存在两个正整数m及n，使得(m,n)=1，且√3=m n所以√3n=m ⟹3n2=m2所以3整除m2，即3整除m。
设m=3p，代入3n2=m2得：3n2=9p2⟹n2=3p2所以3整除n2，即3整除n。
由于3能整除m及n，与(m,n)=1矛盾，假设不成立。
因此√3是无理数。
证毕。
2设p是正的素数，证明√p是无理数.证明：假设√p是有理数，存在两个正整数m及n，使得(m,n)=1，且因为p>0，有√p=m n所以√pn=m ⟹pn2=m2所以p整除m2，即p整除m。
设m=pq，代入pn2=m2得：pn2=p2q2⟹n2=pq2所以p整除n2，即p整除n。
由于p能整除m及n，与(m,n)=1矛盾，假设不成立。
因此√p是无理数。
证毕。
3解下列不等式：（1）|x|+|x−1|<3解：依[命题2]有|x+y|≤|x|+|y|，且原式|x|+|x−1|<3所以|x+x−1|≤|x|+|x−1|<3所以|2x−1|<3所以（依[命题4]）−3<2x−1<3 ⟹−1<x<2（2）|x2−3|<2解：|x2−3|<2 ⟹−2<x2−3<2 ⟹1<x2<5①考虑x2>1时，有x>1或x<−1②考虑x2<5时，有−√5<x<√5综合①和②，有−√5<x<−1或1<x<√54设a与b为任意实数.（1）证明：|a+b|≥|a|−|b|证明：|a|=|a+b+(−b)|≤|a+b|+|−b|=|a+b|+|b|所以|a|≤|a+b|+|b|所以|a+b|≥|a|−|b|。
证毕。
（2）设|a−b|<1，证明|a|<|b|+1证明：因为|a−b|=|a+(−b)|≥|a|−|−b|=|a|−|b|且因为|a−b|<1所以|a|−|b|<1有|a|<|b|+1。
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2u x 2
2u y2
0
全微分
回顾：对于一元函数 y f ( x) ，可导与可微一致
f '( x) ＝ lim y y ＝ f ( x)x (x)
x0 x
x
dy
微分概念推广到二元函数 z f ( x, y)
x x x
f ( x x, y) f ( x, y) fx( x, y)x
f ( x, y y) f ( x, y)
x2 y2 0时 x2 y2 0时
解 x2 y2 0时
fx(x, y)
3x2 y(x2 y2) ( x2 y2 )2
x3 y 2x
3x2 y x2 y2
(
x
2x 2
4y y2
)2
f (x,0) f (0,0)
f
x
(0,0)
lim
x0
x
0
fxy(0,0)
lim
y0
f x (0, y) y
xy
例1
设f
( x,
y)
x2
y2
0
求f x (0,0)、f y (0,0)
x2 y2 0时 x2 y2 0时
解
fx
(0,0)
lim
x0
f (0 x,0) f (0,0) x
lim 0 0 0 x0 x
同理
f y (0,0) 0
? 注意： 在P0( x0 , y0 )处 偏导数
则称函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分， Ax By称为函数z f ( x , y )在点( x, y)的 全微分，记为dz，即 dz= Ax By.
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
定理 2 如果函数z f ( x, y)在点( x, y)可微
lim x 0 x0 x
不
偏导数的几何意义
f
y(
x0 ,
y0 )
lim
y0
f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) y
注意：x0始终不变
z f (x, y)
x
x0
实质： 仍是一元函数的导数
x0 ( x0 , y0 )
z
x x0 0
y•0
y
( x0 , y0 )
偏导(函)数 设z f ( x, y)在区域D内每点的偏导数都
解 z 3x2 sin5 y z 5x3 cos5 y
x
y
例5 设z x y 求证
x z 1 z 2z y x ln x y
证 z yx y1 x
z x y ln x y
x y
z x
1 ln x
z y
x y
yx y1
1 ln x
xy
ln
x
xy
xy
2z
例6 气态方程 pV RT
p RT V
解 u aeax cosby x
u beax sin by y
2u x 2
a 2e ax
cos by
2u y2
b2eax
cos by
2u abeax sin by 2u abeax sin by
xy
yx
x3 y
例9
设f
( x,
y)
x
2
y2
0
fxy(0,0)与f yx (0,0)是否相等？
解 z 3x2 y2 3 y3 y x
2z x 2
6 xy 2
z 2x3 y 9xy2 x y
2z y 2
2x3 18xy
3z y3 18x
2z xy
y
z x
(3x2 y2 3 y3
y
y)
6x2 y
9y2 1
2z 6x2 y 9y2 1 yx
例8 求u eax cosby的二阶偏导数
二元函数
对x 和对y 的偏增量
f y( x, y)y
二元函数
对x 和对y 的偏微分
全增量： z = f ( x x, y y ) f ( x, y )
全微分定义
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z Ax By o(r )，其中A, B不依赖于 x, y而仅与x, y有关，r (x)2 (y)2 ，
f
x
(
x0
,
y0
)
lim
x0
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) x
( x0 , y0 )可以是D内的点
fx(x, y)
例3 求 z x2 3xy y2 在(1,2)处的偏导数
解
z x 2x 3 y
z y 3x 2 y
z x
x1 y2
8
z y
x1 y2
5
例4 求z x3 sin5 y的偏导数
V RT p
p V T ? V T p
T pV R
p V
RT V2
V R T p
T V p R
p V T V T p
RT V2
R V RT p R pV
1
dy dy 1 dx dx
对 z ? x
注意：
分段函数分段点的偏导数必须用定义计算
z 是一个整体符号
z
x
x
二、高阶偏导数
z x
二、高阶偏导数
x
z x
2z x 2
fxx( x, y)
z y y
2z y 2
f yy ( x, y)
y
z x
2z xy
fxy( x, y)
混合偏导
z x y
2z yx
f yx ( x, y)
例7 求z x3 y2 3xy3 xy 7
的二阶偏导数及 3z y3
连续
在P0( x0 , y0 )处 偏导数 例2 设f ( x, y) x2 y2
连续
lim f ( x, y) lim x2 y2 0 f (0,0)
( x, y )(0,0)
( x, y )(0,0)
f ( x, y)在(0,0)连续
f
x
(0,0)
lim
x0
f (0 x,0) f (0,0) x
分, 则函数在该点连续. 可微＝>连续
由于 z Ax By o(r ), lim z 0, r 0
lim f ( x x, y y) lim[ f ( x, y) z]
若 2z 、 2z 在区域D内连续,则相等 xy yx
例10
验证 z
1 ln( 2
x2
y
2
)
满足 2u x 2
2u y2
0
证
u x
x2
x
y2u yຫໍສະໝຸດ x2y y2
2u x2
x2 y2 x 2x ( x2 y2 )2
(
y2 x2
x2 y2 )2
同理
2u y2
x2 y2 ( x2 y2 )2
f x (0,0)
0
fxy(0,0) 0
同理
f
y
( x,
y)
x2
x3
y2
(
2x3 x2
y2 y2
)2
0
x2 y2 0时 x2 y2 0时
f
yx
(0,0)
lim
x0
f y (x,0) x
f y (0,0)
1
fxy(0,0) f yx (0,0)
定理1 设z f ( x, y)