高等数学北大第二版
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二元函数
对x 和对y 的偏增量
f y( x, y)y
二元函数
对x 和对y 的偏微分
全增量： z = f ( x x, y y ) f ( x, y )
全微分定义
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z Ax By o(r )，其中A, B不依赖于 x, y而仅与x, y有关，r (x)2 (y)2 ，
则称函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分， Ax By称为函数z f ( x , y )在点( x, y)的 全微分，记为dz，即 dz= Ax By.
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
定理 2 如果函数z f ( x, y)在点( x, y)可微
解 u aeax cosby x
u beax sin by y
2u x 2
a 2e ax
cos by
2u y2
b2eax
cos by
2u abeax sin by 2u abeax sin by
xy
yx
x3 y
例9
设f
( x,
y)
x
2
y2
0
fxy(0,0)与f yx (0,0)是否相等？
x2 y2 0时 x2 y2 0时
解 x2 y2 0时
fx(x, y)
3x2 y(x2 y2) ( x2 y2 )2
x3 y 2x
3x2 y x2 y2
(
x
2x 2
4y y2
)2
f (x,0) f (0,0)
f
x
(0,0)
lim
x0
x
0
fxy(0,0)
lim
y0
f x (0, y) y
z x
二、高阶偏导数
x
z x
2z x 2
fxx( x, y)
z y y
2z y 2
f yy ( x, y)
y
z x
பைடு நூலகம்2z xy
fxy( x, y)
混合偏导
z x y
2z yx
f yx ( x, y)
例7 求z x3 y2 3xy3 xy 7
的二阶偏导数及 3z y3
lim x 0 x0 x
不
偏导数的几何意义
f
y(
x0 ,
y0 )
lim
y0
f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) y
注意：x0始终不变
z f (x, y)
x
x0
实质： 仍是一元函数的导数
x0 ( x0 , y0 )
z
x x0 0
y•0
y
( x0 , y0 )
偏导(函)数 设z f ( x, y)在区域D内每点的偏导数都
分, 则函数在该点连续. 可微＝>连续
由于 z Ax By o(r ), lim z 0, r 0
lim f ( x x, y y) lim[ f ( x, y) z]
解 z 3x2 y2 3 y3 y x
2z x 2
6 xy 2
z 2x3 y 9xy2 x y
2z y 2
2x3 18xy
3z y3 18x
2z xy
y
z x
(3x2 y2 3 y3
y
y)
6x2 y
9y2 1
2z 6x2 y 9y2 1 yx
例8 求u eax cosby的二阶偏导数
f
x
(
x0
,
y0
)
lim
x0
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) x
( x0 , y0 )可以是D内的点
fx(x, y)
例3 求 z x2 3xy y2 在(1,2)处的偏导数
解
z x 2x 3 y
z y 3x 2 y
z x
x1 y2
8
z y
x1 y2
5
例4 求z x3 sin5 y的偏导数
V RT p
p V T ? V T p
T pV R
p V
RT V2
V R T p
T V p R
p V T V T p
RT V2
R V RT p R pV
1
dy dy 1 dx dx
对 z ? x
注意：
分段函数分段点的偏导数必须用定义计算
z 是一个整体符号
z
x
x
二、高阶偏导数
若 2z 、 2z 在区域D内连续,则相等 xy yx
例10
验证 z
1 ln( 2
x2
y
2
)
满足 2u x 2
2u y2
0
证
u x
x2
x
y2
u y
x2
y
y2
2u x2
x2 y2 x 2x ( x2 y2 )2
(
y2 x2
x2 y2 )2
同理
2u y2
x2 y2 ( x2 y2 )2
f x (0,0)
0
fxy(0,0) 0
同理
f
y
( x,
y)
x2
x3
y2
(
2x3 x2
y2 y2
)2
0
x2 y2 0时 x2 y2 0时
f
yx
(0,0)
lim
x0
f y (x,0) x
f y (0,0)
1
fxy(0,0) f yx (0,0)
定理1 设z f ( x, y)
2u x 2
2u y2
0
全微分
回顾：对于一元函数 y f ( x) ，可导与可微一致
f '( x) ＝ lim y y ＝ f ( x)x (x)
x0 x
x
dy
微分概念推广到二元函数 z f ( x, y)
x x x
f ( x x, y) f ( x, y) fx( x, y)x
f ( x, y y) f ( x, y)
xy
例1
设f
( x,
y)
x2
y2
0
求f x (0,0)、f y (0,0)
x2 y2 0时 x2 y2 0时
解
fx
(0,0)
lim
x0
f (0 x,0) f (0,0) x
lim 0 0 0 x0 x
同理
f y (0,0) 0
? 注意： 在P0( x0 , y0 )处 偏导数
连续
在P0( x0 , y0 )处 偏导数 例2 设f ( x, y) x2 y2
连续
lim f ( x, y) lim x2 y2 0 f (0,0)
( x, y )(0,0)
( x, y )(0,0)
f ( x, y)在(0,0)连续
f
x
(0,0)
lim
x0
f (0 x,0) f (0,0) x
解 z 3x2 sin5 y z 5x3 cos5 y
x
y
例5 设z x y 求证
x z 1 z 2z y x ln x y
证 z yx y1 x
z x y ln x y
x y
z x
1 ln x
z y
x y
yx y1
1 ln x
xy
ln
x
xy
xy
2z
例6 气态方程 pV RT
p RT V
对x 和对y 的偏增量
f y( x, y)y
二元函数
对x 和对y 的偏微分
全增量： z = f ( x x, y y ) f ( x, y )
全微分定义
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z Ax By o(r )，其中A, B不依赖于 x, y而仅与x, y有关，r (x)2 (y)2 ，
则称函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分， Ax By称为函数z f ( x , y )在点( x, y)的 全微分，记为dz，即 dz= Ax By.
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
定理 2 如果函数z f ( x, y)在点( x, y)可微
解 u aeax cosby x
u beax sin by y
2u x 2
a 2e ax
cos by
2u y2
b2eax
cos by
2u abeax sin by 2u abeax sin by
xy
yx
x3 y
例9
设f
( x,
y)
x
2
y2
0
fxy(0,0)与f yx (0,0)是否相等？
x2 y2 0时 x2 y2 0时
解 x2 y2 0时
fx(x, y)
3x2 y(x2 y2) ( x2 y2 )2
x3 y 2x
3x2 y x2 y2
(
x
2x 2
4y y2
)2
f (x,0) f (0,0)
f
x
(0,0)
lim
x0
x
0
fxy(0,0)
lim
y0
f x (0, y) y
z x
二、高阶偏导数
x
z x
2z x 2
fxx( x, y)
z y y
2z y 2
f yy ( x, y)
y
z x
பைடு நூலகம்2z xy
fxy( x, y)
混合偏导
z x y
2z yx
f yx ( x, y)
例7 求z x3 y2 3xy3 xy 7
的二阶偏导数及 3z y3
lim x 0 x0 x
不
偏导数的几何意义
f
y(
x0 ,
y0 )
lim
y0
f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) y
注意：x0始终不变
z f (x, y)
x
x0
实质： 仍是一元函数的导数
x0 ( x0 , y0 )
z
x x0 0
y•0
y
( x0 , y0 )
偏导(函)数 设z f ( x, y)在区域D内每点的偏导数都
分, 则函数在该点连续. 可微＝>连续
由于 z Ax By o(r ), lim z 0, r 0
lim f ( x x, y y) lim[ f ( x, y) z]
解 z 3x2 y2 3 y3 y x
2z x 2
6 xy 2
z 2x3 y 9xy2 x y
2z y 2
2x3 18xy
3z y3 18x
2z xy
y
z x
(3x2 y2 3 y3
y
y)
6x2 y
9y2 1
2z 6x2 y 9y2 1 yx
例8 求u eax cosby的二阶偏导数
f
x
(
x0
,
y0
)
lim
x0
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) x
( x0 , y0 )可以是D内的点
fx(x, y)
例3 求 z x2 3xy y2 在(1,2)处的偏导数
解
z x 2x 3 y
z y 3x 2 y
z x
x1 y2
8
z y
x1 y2
5
例4 求z x3 sin5 y的偏导数
V RT p
p V T ? V T p
T pV R
p V
RT V2
V R T p
T V p R
p V T V T p
RT V2
R V RT p R pV
1
dy dy 1 dx dx
对 z ? x
注意：
分段函数分段点的偏导数必须用定义计算
z 是一个整体符号
z
x
x
二、高阶偏导数
若 2z 、 2z 在区域D内连续,则相等 xy yx
例10
验证 z
1 ln( 2
x2
y
2
)
满足 2u x 2
2u y2
0
证
u x
x2
x
y2
u y
x2
y
y2
2u x2
x2 y2 x 2x ( x2 y2 )2
(
y2 x2
x2 y2 )2
同理
2u y2
x2 y2 ( x2 y2 )2
f x (0,0)
0
fxy(0,0) 0
同理
f
y
( x,
y)
x2
x3
y2
(
2x3 x2
y2 y2
)2
0
x2 y2 0时 x2 y2 0时
f
yx
(0,0)
lim
x0
f y (x,0) x
f y (0,0)
1
fxy(0,0) f yx (0,0)
定理1 设z f ( x, y)
2u x 2
2u y2
0
全微分
回顾：对于一元函数 y f ( x) ，可导与可微一致
f '( x) ＝ lim y y ＝ f ( x)x (x)
x0 x
x
dy
微分概念推广到二元函数 z f ( x, y)
x x x
f ( x x, y) f ( x, y) fx( x, y)x
f ( x, y y) f ( x, y)
xy
例1
设f
( x,
y)
x2
y2
0
求f x (0,0)、f y (0,0)
x2 y2 0时 x2 y2 0时
解
fx
(0,0)
lim
x0
f (0 x,0) f (0,0) x
lim 0 0 0 x0 x
同理
f y (0,0) 0
? 注意： 在P0( x0 , y0 )处 偏导数
连续
在P0( x0 , y0 )处 偏导数 例2 设f ( x, y) x2 y2
连续
lim f ( x, y) lim x2 y2 0 f (0,0)
( x, y )(0,0)
( x, y )(0,0)
f ( x, y)在(0,0)连续
f
x
(0,0)
lim
x0
f (0 x,0) f (0,0) x
解 z 3x2 sin5 y z 5x3 cos5 y
x
y
例5 设z x y 求证
x z 1 z 2z y x ln x y
证 z yx y1 x
z x y ln x y
x y
z x
1 ln x
z y
x y
yx y1
1 ln x
xy
ln
x
xy
xy
2z
例6 气态方程 pV RT
p RT V