第4章-控制系统的根轨迹分析法PPT课件
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终于有限零点－1，另一条趋于无穷远处。 ③ 法则四，在负实轴上，0到－1区间和－2到负无穷区间
是根轨迹。
最后绘制出根轨迹如图所示。
-
10
-
11
例2： •已知系统的开环传递函数
G(s)H (s) K*(s 1) s2 3s 3.25
试求闭环系统的根轨迹分离点坐标d，并概 略绘制出根轨迹图。
-
(s pi )
i 1
| s pi |
所以
K*
i 1 m
为幅值条件
| s zj |
m
nj 1
(s z j ) (s pi ) (2k 1) 为相角条件
j 1
i 1
同时满足幅值条件与相角条件的s值即为特征根， 即系统的闭环极点。
-
7
4.2 绘制根轨迹的基本法则
规则一：根轨迹的分支数等于开环极点数n；
12
解：根据系统开环传递函数求出开环极点
p1 1.5 j1, p2 1.5 j1
按步骤：
①n=2,m=1,有两条根轨迹
②两条根轨迹分别起于开环极点，终于开环 零点和无穷远零点
③实轴上根轨迹位于有限零点－1和无穷零点
-
之间，因此判断有分离点
13
④渐近线
a
1.5
j11.5 2 1
j1 1
s(s 1)
-
3
R(s)
k
C(s)
-
s(s 1)
可知系统的特称方程为：
K 0, S1 0, S2 1
1
1
K 4 , S1 S2 2
K
1 2
,
S1
1 2
j
1 2
,
S2
1 2
j
1 2
K
, S1
1 2
j, S2
1 2
j
-
4
4.1.2 根轨迹与系统性能
jω
将K值从零增大到正无穷时，系
统特征根的变化情况绘制在s平
递函数之间的关系，直接由开环传递函数零、 极点求出闭环极点（闭环特征根）。这给系
统的分析与设计带来了极大的方便。
-
2
4.1 根轨迹的基本概念
所谓根轨迹，就是指开环传递函数某个参数（如开环 增益K）从零变化到无穷大时，闭环系统特征根在s平 面上变化的轨迹。
4.1.1 根轨迹的概念
R(s)
k
C(s)
-
R(s)
B(s) -
G（s）
C(s)
H（s）
系统的特征方程为：1 G(s)H (s) 0 G(s)H (s) 1
m
(s zj )
K * j1 n
1
(s pi )
i1
为根轨迹方程
-
6
m
(s zj )
K * j1 n
1
(s pi )
i1 n
m
(s zj )
K * j1 n
Hale Waihona Puke Baidu
1(2k 1)
幅值方程： 相角方程：
m
szi
K i1 n
1
s pi
m
i 1
n
s zi s pi 2k
i 1
i 1
-
19
使用常规根轨迹法绘制零度根轨迹时，对 于与相角方程有关的某些法则要修改
• 实轴上某一区域，若其右方开环实数零、 极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨 迹。
• 根轨迹的渐近线
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
-
8
例1： •设一单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s)=K(s+1)/[s(0.5s+1)],求 K 0 时的闭环根轨迹。
•解：将开环传递函数写成零、极点形式
G(s) 2K (s 1) s(s 2)
-
9
按绘制根规迹法则逐步进行：
① 法则一，有两条根轨迹 ② 法则三，两条根轨迹分别起始于开环极点0、－2，一条
等效开环传递函数为
G1
(s)H1
(s)
Ta s2
s2 (s 1) sK
等效开环传递函数有3个零点，即0，0，-1；2个极点， 不同K值可计算出不同极点。
按照常规根轨迹的绘制法则可绘制出广义根轨迹如图
-
17
-
18
4.3.2 零度根轨迹
特征方程 D s 1 G s H s
根轨迹方程 GsH s 1
第四章 控制系统的根轨迹分析法
本章学习目标： 明确根轨迹的概念及基本法则，熟练掌握 常规根轨迹的绘制； 能够利用根轨迹分析系统的性能； 了解特殊根轨迹的有关概念。
-
1
闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统极 点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确 定出闭环极点位置是十分有意义的。
根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传
2
a
(2k 1)
2 1
⑤求分离点坐标d
1 1 1 d 1.5 j1 d 1.5 j1 d 1
-
d1 2.12, d2 0.12 （舍去）
14
-
15
4.3 特殊根轨迹
4.3.1 广义根轨迹
设系统开环传递函数为 G(s)H (s)
闭环特征方程为 G(s)H (s) 1 0
等效变换成
A P(s) 1 0 Q(s)
规则二：根轨迹起始于开环极点，终于开环零点；
规则三：根轨迹是连续的，并且关于实轴对称；
规则四：实轴上的根轨迹区域右侧实轴上开环零极点
的个数是奇数；
n
m
规则五：根轨迹的渐近线有n-m条，交与实轴
pi z j
i 1
j 1
与实轴正向夹角为 2k 1 ；
nm
nm
规则六：根轨迹的分离点d在实轴上且满足
m
面上如图所示。
K=0.5
K=0
K=0.25
K=0
-1
O -0.5
K=0.5
-
稳定性：特征根都在s左半平面；
稳态性能：根据系统的稳态误差要 σ 求，可以由根轨迹图确定闭环极点
位置的允许范围；
动态性能：由根轨迹图可知，当 0<K<0.5时，特征根都在负实轴上， 单位阶跃响应为非周期响应…..
5
4.1.3 根轨迹的幅值条件与幅角条件
A
2k
nm
-
a 计算公式不变。
20
根轨迹的起始角与终止角
m
n
pi 2k z j pi pj pi
j 1
j 1
ji
m
m
zi 2k z jzi pjzi
j 1
j 1
ji
分离角与会合角
除上述四个法则外，其他法则不变
-
21
例：某正反馈系统，其中
G(s)
(s
K *(s 2) 3)(s2 2s
2)
, H (s) 1
试绘制开环系统根轨迹增益 K * 0 变化时的根轨迹。
解：该系统是正反馈系统。
当 K * 0 变化时的根轨迹是零度根轨迹。利用零度根轨
迹法则绘制该系统的闭环根轨迹。
•实轴根轨迹在(3, )和(2, )区间内。
起始于开环极点 p1 3, p2 1 j1, p3 1 j1
令：
G1
(s)H1
(s)
A
P(s) Q(s)
-
16
例：已知系统的开环传递函数为 G(s)H (s)
K
试绘制当开环增益K为 化时的根轨迹。
1 2
s(s
,1时, 2，时间常数
1)(Ta s 1)
Ta 变 0
解： 题目显然是求广义根轨迹问题。
系统特征方程为 D(s) s(s 1)(Ta s 1) K 0
是根轨迹。
最后绘制出根轨迹如图所示。
-
10
-
11
例2： •已知系统的开环传递函数
G(s)H (s) K*(s 1) s2 3s 3.25
试求闭环系统的根轨迹分离点坐标d，并概 略绘制出根轨迹图。
-
(s pi )
i 1
| s pi |
所以
K*
i 1 m
为幅值条件
| s zj |
m
nj 1
(s z j ) (s pi ) (2k 1) 为相角条件
j 1
i 1
同时满足幅值条件与相角条件的s值即为特征根， 即系统的闭环极点。
-
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4.2 绘制根轨迹的基本法则
规则一：根轨迹的分支数等于开环极点数n；
12
解：根据系统开环传递函数求出开环极点
p1 1.5 j1, p2 1.5 j1
按步骤：
①n=2,m=1,有两条根轨迹
②两条根轨迹分别起于开环极点，终于开环 零点和无穷远零点
③实轴上根轨迹位于有限零点－1和无穷零点
-
之间，因此判断有分离点
13
④渐近线
a
1.5
j11.5 2 1
j1 1
s(s 1)
-
3
R(s)
k
C(s)
-
s(s 1)
可知系统的特称方程为：
K 0, S1 0, S2 1
1
1
K 4 , S1 S2 2
K
1 2
,
S1
1 2
j
1 2
,
S2
1 2
j
1 2
K
, S1
1 2
j, S2
1 2
j
-
4
4.1.2 根轨迹与系统性能
jω
将K值从零增大到正无穷时，系
统特征根的变化情况绘制在s平
递函数之间的关系，直接由开环传递函数零、 极点求出闭环极点（闭环特征根）。这给系
统的分析与设计带来了极大的方便。
-
2
4.1 根轨迹的基本概念
所谓根轨迹，就是指开环传递函数某个参数（如开环 增益K）从零变化到无穷大时，闭环系统特征根在s平 面上变化的轨迹。
4.1.1 根轨迹的概念
R(s)
k
C(s)
-
R(s)
B(s) -
G（s）
C(s)
H（s）
系统的特征方程为：1 G(s)H (s) 0 G(s)H (s) 1
m
(s zj )
K * j1 n
1
(s pi )
i1
为根轨迹方程
-
6
m
(s zj )
K * j1 n
1
(s pi )
i1 n
m
(s zj )
K * j1 n
Hale Waihona Puke Baidu
1(2k 1)
幅值方程： 相角方程：
m
szi
K i1 n
1
s pi
m
i 1
n
s zi s pi 2k
i 1
i 1
-
19
使用常规根轨迹法绘制零度根轨迹时，对 于与相角方程有关的某些法则要修改
• 实轴上某一区域，若其右方开环实数零、 极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨 迹。
• 根轨迹的渐近线
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
-
8
例1： •设一单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s)=K(s+1)/[s(0.5s+1)],求 K 0 时的闭环根轨迹。
•解：将开环传递函数写成零、极点形式
G(s) 2K (s 1) s(s 2)
-
9
按绘制根规迹法则逐步进行：
① 法则一，有两条根轨迹 ② 法则三，两条根轨迹分别起始于开环极点0、－2，一条
等效开环传递函数为
G1
(s)H1
(s)
Ta s2
s2 (s 1) sK
等效开环传递函数有3个零点，即0，0，-1；2个极点， 不同K值可计算出不同极点。
按照常规根轨迹的绘制法则可绘制出广义根轨迹如图
-
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4.3.2 零度根轨迹
特征方程 D s 1 G s H s
根轨迹方程 GsH s 1
第四章 控制系统的根轨迹分析法
本章学习目标： 明确根轨迹的概念及基本法则，熟练掌握 常规根轨迹的绘制； 能够利用根轨迹分析系统的性能； 了解特殊根轨迹的有关概念。
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1
闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统极 点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确 定出闭环极点位置是十分有意义的。
根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传
2
a
(2k 1)
2 1
⑤求分离点坐标d
1 1 1 d 1.5 j1 d 1.5 j1 d 1
-
d1 2.12, d2 0.12 （舍去）
14
-
15
4.3 特殊根轨迹
4.3.1 广义根轨迹
设系统开环传递函数为 G(s)H (s)
闭环特征方程为 G(s)H (s) 1 0
等效变换成
A P(s) 1 0 Q(s)
规则二：根轨迹起始于开环极点，终于开环零点；
规则三：根轨迹是连续的，并且关于实轴对称；
规则四：实轴上的根轨迹区域右侧实轴上开环零极点
的个数是奇数；
n
m
规则五：根轨迹的渐近线有n-m条，交与实轴
pi z j
i 1
j 1
与实轴正向夹角为 2k 1 ；
nm
nm
规则六：根轨迹的分离点d在实轴上且满足
m
面上如图所示。
K=0.5
K=0
K=0.25
K=0
-1
O -0.5
K=0.5
-
稳定性：特征根都在s左半平面；
稳态性能：根据系统的稳态误差要 σ 求，可以由根轨迹图确定闭环极点
位置的允许范围；
动态性能：由根轨迹图可知，当 0<K<0.5时，特征根都在负实轴上， 单位阶跃响应为非周期响应…..
5
4.1.3 根轨迹的幅值条件与幅角条件
A
2k
nm
-
a 计算公式不变。
20
根轨迹的起始角与终止角
m
n
pi 2k z j pi pj pi
j 1
j 1
ji
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m
zi 2k z jzi pjzi
j 1
j 1
ji
分离角与会合角
除上述四个法则外，其他法则不变
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例：某正反馈系统，其中
G(s)
(s
K *(s 2) 3)(s2 2s
2)
, H (s) 1
试绘制开环系统根轨迹增益 K * 0 变化时的根轨迹。
解：该系统是正反馈系统。
当 K * 0 变化时的根轨迹是零度根轨迹。利用零度根轨
迹法则绘制该系统的闭环根轨迹。
•实轴根轨迹在(3, )和(2, )区间内。
起始于开环极点 p1 3, p2 1 j1, p3 1 j1
令：
G1
(s)H1
(s)
A
P(s) Q(s)
-
16
例：已知系统的开环传递函数为 G(s)H (s)
K
试绘制当开环增益K为 化时的根轨迹。
1 2
s(s
,1时, 2，时间常数
1)(Ta s 1)
Ta 变 0
解： 题目显然是求广义根轨迹问题。
系统特征方程为 D(s) s(s 1)(Ta s 1) K 0