初一数学行程问题常见题型分析

初一数学行程问题常见

题型分析

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

行程问题常见题型分析

一、弄清行程问题中基本的量和它们之间的关系。

行程问题中有三个基本量：速度、时间、路程。

这三个量之间的关系是：路程＝时间×速度变形可得到：速度＝路程/时间

时间＝路程/速度这三个量的作用是知道其中两个就可以表示第三个。

二、行程问题常见类型

1、普通相遇问题。

2、追及（急）问题。

3、顺（逆）水航行问题。

4、跑道上的相遇（追急）问题

三、行程问题中的等量关系

所谓等量关系就是意义相同的量，能用等量连接的关系。

若路程已知，则应找时间的等量关系和速度的等量关系；

若速度已知，则应找时间的等量关系和路程的等量关系；

若时间已知，则找路程的等量关系和速度的等量关系。

在航行问题中还有两个固定的等量关系，就是：

顺水速度＝静水速度＋水流速度逆水速度＝静水速度—水流速度

四、分类举例

例1 ：小明每天早上要在7：50之前赶到距离家1000米的学校去上学。小明以80米/分的速度出发，5分钟后小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追小明用了多长时间？

分析：此题中小明的速度，爸爸的速度均已告诉。因此速度之间不存在等量关系。我们只能在父子二人的时间和父子二人的路程上找等量关系。由于小明比爸爸早出发5分钟，且相遇时在同一个时刻，因此相遇时爸爸比小明少用5分钟，可得时间的等量关系：①爸爸的时间＋5分钟＝小明的时间，当爸爸追上小明时，父子二人都是从家走到相遇的地点，故爸爸行的路程与小明行的路程相等。得路程相等关系。②爸爸路程＝小明路程，如果爸爸追上小明用了x分钟，则第一个相等关系得：小明用了（x ＋5）分钟，带入第二个等量关系，可得方程 180x＝80（x＋5）

例2：甲乙两人在环形跑道上练习跑步。已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲的速度是乙的4/3倍。

⑴若甲、乙两人在跑道上相距8米处同时相向出发，经过几秒两人相遇？

⑵若甲在乙前8米处同时同向出发，那么经过多长时间两人首次相遇？

分析：此题甲乙两人的速度均已告诉，因此我们只能在时间中找等量关系，在路程中找等量关系。

第一问是一个在环形跑道上的相遇问题。由于两人反向同时出发，最后相遇。故相遇时两人跑的时间是相等。得到第一个等量关系：①甲时间＝乙时间由于两人出发时相距8米，所以当两人第一次相遇时，共跑了（400－8）米。故可以得到第二个路程的等量关系②甲路程＋乙路程＝400－8 设x秒后两人相遇，则相遇时乙跑了6x米，甲跑了6×x米，代入第二个等量关系中可得方程 6×x＋6x＝400－8

第二问是一个环形跑道上的追及问题。因两人同时出发，故当甲追上乙时，两人用时相同。可得第一个时间等量关系①甲时间＝乙时间

由于两人同向出发时相距8米，且速度较快的甲在前，故当两人第一次相遇时甲必须比乙多跑（400－8）米，可得第二个行程的等量关系②甲路程=乙路程+400-8

设X秒后甲与乙首次相遇，此时甲跑了6× x米，乙跑了6x米，代入第二个等量关系可得方程：6×x＝6x＋400－8

例3：一货轮航行于A、B两个码头之间，水流速度为3km/小时，顺水需2.5小时，逆水需3小时，求两码头之间的距离。

分析：此题是一个航行问题，由于顺水所需时间，逆水所需时间均已告诉，所以我们只找速度等量关系，路程等量关系，而其速度的两个等量关系时固有的，即：顺水速度=静水速度+水速、逆水速度=静水速度-水速。对此提来讲就是①顺水速度=静水速度+3；②逆水速度=静水速度-3.路程关系是比较明显的，即：③顺水路程=逆水路程

我们用③来列方程，那就是需要顺水时间、顺水速度、逆水时间、逆水速度，两个时间已知，只要放出静水速度为xkm/h,由①、②就可以分别列出表示出顺水速度=

（x+3）km/h,逆水速度=（x+3）km/h,代入③可得方程：2.5（x+3）=3(x-3) 我们看到设出来的未知数不是题中要问的，这就是间接设元。若设出来的未知数正好是题中所要求的，那就是直接设元。好多题都是间接设元比较简单。此题若是直接设元会比较难。

例4：一列火车匀速前进，从开进入300米长的隧道到完全驶出隧道共用了20秒，隧道顶部一盏固定的聚关灯照射火车10秒，这列火车的长度是多少？

分析：此题的关键是把题意理解清楚。“开始进入隧道到完全驶出隧道”的意思是火车进入隧道到火车完全离开隧道。此过程火车行驶的路程应为隧道的长度与火车长度的和。故可得第一个等量关系①火车路程=火车长度+300 “聚光灯照射火车10秒”的意思是火车以它的速度10秒行进的路程是火车的长度。故可得第二个等量关系②火车长度=火车速度×10 设该火车的速度为x米/秒，则由②得火车长度为10x米。代入第一个等量关系中，可得方程20x=10x+300

例5 ：某行军总队以8千米/时的速度前进。队末的通信员以12千米/时的速度赶到排头送一封信，送到后立即返回队尾，共用时14.4分钟。求这支队伍的长度。

分析：此题在通信员追上排头以前是一个追急问题。从排头回到排尾是一个相遇问题。我们应分着两种情形去考虑问题。由时间共用14.4分钟可得一个等量关系：①通信员追上排头的时间 +通信员回到排尾的时间=14.4分钟再由两个固定关系相遇路程/速度和=相遇时间追急路程/速度差=追击时间可得两个等量关系：②相遇路程

/8+12=相遇时间③追急路程/12-8=追急时间设队伍长x千米，则追急时间为小时，相遇时间为小时，

代入第①个等量关系中可得方程 + =

总之，利用列方程来解决问题的方法是数学里面一个重要思想，就是方程思想。具体做法是从题中找出反映题中全部意义的所有等量关系，然后根据等量关系用字母代替未知数列出方程