新人教版数学八年级上册第十三章第1课时 轴对称(教师版)
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思全册第13章 轴对称 画轴对称图形(第1课时)教案
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第十三章轴对称13.2 画轴对称图形第1课时一、教学目标【知识与技能】能画出简单平面图形作轴对称之后的图形,了解画一般轴对称图形的方法.【过程与方法】让每个学生在生动具体的问题情境中参与数学活动,通过积极主动的探索,加深自己的理解和认识.【情感、态度与价值观】让学生体验到成功的喜悦,树立自信心,体验合作交流的重要性,感受数学美,明白数学来源于生活又服务于生活的道理.二、课型新授课三、课时第1课时,共1课时。
四、教学重难点【教学重点】1.轴对称变换的定义.2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形.【教学难点】利用轴对称进行一些图案设计.五、课前准备教师:课件、三角尺、直尺、圆规等。
学生:三角尺、直尺、圆规。
六、教学过程(一)导入新课我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质.如果有一个图形和一条直线,如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢?这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法.(出示课件3)(二)探索新知1.创设情境,探究轴对称图形的画法教师问1:(出示课件2)观察思考,欣赏美丽图案,思考这些图案是怎样形成的?你想学会制作这种图案的方法吗?学生回答:这些图案都是轴对称图形,希望学习这些图案制作方法.教师问2:在一张半透明纸的左边部分,画一只左脚印,把这张纸对折后描图,打开对折的纸,就能得到相应的右脚印,这时,右脚印和左脚印成轴对称,折痕所在直线就是它们的对称轴,并且连接任意一对对应点得到的线段被对称轴垂直平分.类似地,请你再画一个图形做一做,看看能否得到同样的结论呢?(出示课件5)学生问:这个如何做呢?出示下边的图案教师问3:认真观察,左脚印和右脚印有什么关系?(出示课件6)学生回答:成轴对称教师问4:对称轴是折痕所在的直线,即直线l,它与图中的线段PP ′是什么关系?学生回答:直线l垂直平分线段PP′教师总结点拨:由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全相同;新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点;连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.教师讲解:同学们自己能做出一个类似的图形吗?学生回答:可以做到.师生共同解答如下:(1)取一张长方形纸;(2)将纸对折,中间夹上复写纸;(3)在纸上沿折叠线画出半只蝴蝶;(4)把纸展开.得到的图案如下:教师问5:取一张白纸折叠夹上复写纸,任画一个你最喜欢的图形,打开纸看一下,然后改变折痕方向重新叠纸,在原来的图形上描图,再打开,你会发现什么结论?学生动手作图后回答:这两个图形关于某直线成轴对称.教师问6:当对称轴的方向和位置发生变化时,得到图形的方向和位置会变吗?学生画图后回答:当对称轴的方向和位置发生变化时,得到图形的方向和位置不会变化.例1:将一张正方形纸片按如图①,图②所示的方向对折,然后沿图③中的虚线剪裁得到图④,将图④的纸片展开铺平,得到的图案是()(出示课件8)师生共同解答如下:动手剪一剪,亲自操作后得到答案:B.例2:如图,将长方形ABCD 沿DE 折叠,使A 点落在BC 上的F 处,若∠EFB =50°,则∠CFD 的度数为( )(出示课件10)A .20° B.30° C .40° D.50°师生共同解答如下:A. B. C. D. A B D CE F由折叠知道:∠EFD=∠A=90°,∵∠EFB=50°,∴∠CFD=180°-90°-50°==40°.答案:C.总结点拨:折叠是一种轴对称变换,折叠前后的图形形状和大小不变,对应边和对应角相等.2、运用新知,作轴对称图形教师问7:如何画一个点的轴对称图形?学生回答:画出点A关于直线l的对称点A′.教师问8:如何画呢?师生共同解答如下:作法:(1)过点A作l的垂线,垂足为点O.(2)在垂线上截取OA′=OA.点A′就是点A关于直线l的对称点. (出示课件12)教师问8:如何画一条线段的对称图形?学生回答:已知线段AB,画出AB关于直线l的对称线段.师生共同解答如下:(出示课件13)教师问9:如果有一个图形和一条直线,如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢?师生共同探究后,完成下边的问题例3:如图,已知△ABC 和直线l ,作出与△ABC 关于直线l 对称的图形.师生共同解答如下:(出示课件14)分析:△ABC 可以由三个顶点的位置确定,只要能分别画出这三个顶点关于直线l 的对称点,连接这些对称点,就能得到要画的图形.(出示课件15)作法:(1)过点A 画直线l 的垂线,垂足为点O ,在垂线上截取OA ′=OA ,A ′就是点A 关于直线l 的对称点.(2)同理,分别画出点B ,C 关于直线l 的对称点B ′,C ′ .(3)连接A ′B ′,B ′C ′,C ′A ′,得到△ A ′B ′C ′即为所求. l AB C总结点拨:(出示课件16)作轴对称图形的方法:几何图形都可以看作由点组成.对于某些图形,只要作出图形中一些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到与原图形成轴对称的图形.例4:在3×3的正方形格点图中,有格点△ABC和△DEF,且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称,请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF.(出示课件17)师生共同解答如下:总结点拨:作一个图形关于一条已知直线的对称图形,关键是作出图形上一些点关于这条直线的对称点,然后再根据已知图形将这些点连接起来.(出示课件18)(三)课堂练习(出示课件21-25)1.作已知点关于某直线的对称点的第一步是()A.过已知点作一条直线与已知直线相交B.过已知点作一条直线与已知直线垂直C.过已知点作一条直线与已知直线平行D.不确定2.如图,把一张长方形的纸按图那样折叠后,B,D两点落在B′,D′点处,若得∠AOB′=70°,则∠B′OG的度数为________.3.如图,把下列图形补成关于直线l的对称图形.4.如图给出了一个图案的一半,虚线l 是这个图案的对称轴.整个图案是个什么形状?请准确地画出它的另一半.5.如图,画△ABC关于直线m的对称图形.参考答案:1.B2.55°3.解答如下图:4.解答如下图:5.解答如下图:(四)课堂小结今天我们学了哪些内容:1.轴对称图形的基本特征。
八年级数学上册 13.1 轴对称 13.1.1 轴对称教学设计 (新版)新人教版
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八年级数学上册 13.1 轴对称 13.1.1 轴对称教学设计(新版)新人教版一. 教材分析《新人教版八年级数学上册》第13.1节介绍了轴对称的概念和性质。
本节内容是学生对几何图形变换的一次重要学习,它不仅巩固了学生对平面几何图形的认识,而且为后续学习其他几何变换打下基础。
教材通过丰富的实例,引导学生认识轴对称,探索轴对称的性质,提高学生的空间想象能力和抽象思维能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了基本的几何知识,具备一定的观察、分析和推理能力。
但轴对称概念较为抽象,学生可能难以理解。
因此,在教学过程中,教师应注重引导学生通过具体实例去发现和探索轴对称的性质,让学生在实践中掌握知识。
三. 教学目标1.让学生了解轴对称的概念,理解轴对称的性质。
2.培养学生观察、分析和推理的能力。
3.引导学生运用轴对称的性质解决实际问题。
四. 教学重难点1.轴对称的概念及性质。
2.如何运用轴对称的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法和小组合作学习法。
通过生动有趣的实例,引导学生发现轴对称的性质,激发学生的学习兴趣。
在小组合作学习中,培养学生团队合作精神和沟通能力。
六. 教学准备1.准备与轴对称相关的实例图片和练习题。
2.准备课件,展示轴对称的性质和应用。
3.准备黑板,用于板书重要知识点。
七. 教学过程1. 导入(5分钟)利用生活中常见的实例,如剪纸、折纸等,引导学生发现这些实例中存在一种对称现象。
提问:“这种现象叫做什么?”让学生回答,引出本节课的主题——轴对称。
2. 呈现(10分钟)展示轴对称的定义和性质。
通过PPT呈现轴对称的图片,让学生观察并总结轴对称的性质。
同时,教师在黑板上画出轴对称的图形,标注出对称轴,让学生更直观地理解轴对称。
3. 操练(15分钟)让学生分组讨论,每组找出生活中的一个实例,运用轴对称的性质进行解释。
讨论结束后,每组选代表进行分享。
教师对每组的分享进行点评,指出优点和需要改进的地方。
新人教版八年级上册初中数学 13.1.1 轴对称 教案(教学设计)
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第十三章轴对称13.1轴对称13.1.1 轴对称【知识与技能】(1)理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念.(2)了解轴对称图形的对称轴,两个图形关于某条直线对称的对应点.(3)掌握线段垂直平分线的概念.(4)理解和掌握轴对称的性质.【过程与方法】通过已知图形画对称轴及画轴对称图形,让学生体会轴对称图形的性质和轴对称在实际生活中的应用.【情感态度与价值观】通过对轴对称图形和轴对称的认识,增强学生对对称美的认识,使学生感受数学带来的美.轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念.轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的区别和联系.多媒体课件、剪刀、长方形纸片教师引入:我们生活在一个充满对称的世界中,许多建筑物都设计成对称形,艺术作品的创作往往也从对称的角度考虑,自然界的许多动植物也按照对称形生长,中国的方块字中有些也具有对称性,(教师利用投影出示一些图片,如图13-1.1-1)……对称给我们带来很多美的感受!其中轴对称是对称中重要的一种,那么这节课我们就学习轴对称.(教师板书课题)探究1:轴对称教师提出问题:把一张长方形纸片对折,剪出一个图案,再打开,就剪出了美丽的窗花,你能剪出什么样的窗花呢?教师先把长方形纸片对折,用剪刀剪出一个图案,再打开这个图案,让学生欣赏,然后学生自己动手按要求剪纸.学生在观察、互相交流的基础上描述图形的特征,教师归纳轴对称图形及轴对称的概念,并板书概念:如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫作轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.这时,我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.然后教师让学生举出一些轴对称图形的例子.教师出示例题:例1在如图13-1.1-2所示的图形中,轴对称图形的个数是(B).学生先独立思考,再口答哪些是轴对称图形,教师进行点评.然后教师让学生完成:教材P60练习第1题.(学生口答,并在书上画出对称轴,标注它们的一对对称点)探究2:两个图形成轴对称教师提出问题:在教材P59图13.1-3中,每对图形有什么共同特征?你们能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗?学生观察思考,并互相交流,发现其共同特征——每一对图形沿着虚线折叠,左边的图形都能与右边的图形重合.教师进一步说明:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称,这条直线叫作对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫作对称点.然后教师让学生举出一些两个图形成轴对称的例子.教师提出问题:(1)将教材P58-59图13.1-2和图13.1-3进行比较,轴对称图形与两个图形成轴对称有什么区别?(2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形成轴对称吗?如果把两个成轴对称的图形看成一个整体,它是一个轴对称图形吗?学生独立思考后,进行交流,然后学生代表发言.教师根据学生回答的情况进行点评,最后师生共同归纳得出:把成轴对称的两个图形看成一个整体,它就是一个轴对称图形;把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形关于这条轴对称.接着,教师继续提出问题:(1)成轴对称的两个图形全等吗?全等的两个图形一定成轴对称吗?为什么?(2)在教材图13.1-3中,你能标出A,B,C的对称点吗?学生独立思考后,再展开讨论,教师参与学生的讨论,并及时指导.然后教师让学生完成:教材P60练习第2题.(学生口答,并在书上画出对称轴,标注它们的一对对称点)最后教师总结:探究3:垂直平分线教师出示问题:(1)观察教材P59图13.1-4,线段AA′,BB′,CC′与直线MN有什么关系?(2)在教材图13.1-5中,你能测量出线段AA′,BB′与直线l的夹角吗?它们与直线l垂直吗?点A与点A′到直线l的距离相等吗?点B与点B′到直线l的距离呢?教师提出问题,学生独立思考,然后小组交流,学生汇报交流结果.教师接着引导学生从观察三条线段与直线MN的位置关系,利用投影动画展示点A与点A′等重合的情形,并指出:经过线段中点并垂直于这条线段的直线,叫作这条线段的垂直平分线.最后师生共同归纳:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.1.概念:轴对称图形、两个图形关于某条直线对称、对称轴、对称点.2.找轴对称图形的对称点.3.垂直平分线.【正式作业】教材P64习题13.1第1-5题。
新人教版八年级数学教材上册第十三章《-轴对称》全章教案
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13.1.1 轴对称教学设计【教学目标】一、知识与技能1.了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念,知道轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系.2.了解线段垂直平分线的概念.二、过程与方法探索成轴对称的两个图形的性质和轴对称图形的性质,体会由具体到抽象认识问题的过程,感悟类比方法在研究数学问题中的作用.三、情感态度与价值观欣赏现实生活中的轴对称图形,体会轴对称在现实生活中的应泛运用和它的丰富文化价值。
【教学重点】轴对称的概念和性质【教学重点】轴对称的概念和性质【教学方法】观察、作图操作、类比【教学课型】新授课【教学准备】多媒体、剪刀、尺规【教学过程】一、问题导入:引言对称现象无处不在,从自然景观到艺术作品,从建筑物到交通标志,甚至日常生活用品,都可以找到对称的例子,对称给我们带来美的感受!二、探索新知:问题1 如图,把一张纸对折,剪出一个图案(折痕处不要完全剪断),再打开这张对折的纸,就得到了美丽的窗花.观察得到的窗花,你能发现它们有什么共同的特点吗?如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.这时,我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.教师:你能举出一些轴对称图形的例子吗?问题2观察下面每对图形(如图),你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗?共同特征:每一对图形沿着虚线折叠,左边的图形都能与右边的图形重合.把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.教师:你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗?教师:你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别与联系吗?两者的联系:把成轴对称的两个图形看成一个整体,它就是一个轴对称图形.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形关于这条轴对称。
两者的区别:轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合,而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系,这两个图形沿对称轴折叠后能够重合。
轴对称第一课时教案-数学八上第十三章13 .1.1人教版
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第十三章轴对称第一课时 13.1.1轴对称一、教学目标1、知识与技能:(1)理解轴对称图形,两个图形关于某直线对称的概念。
(2)了解轴对称图形与两个图形关于某直线对称的区别和联系。
(3)了解轴对称的性质。
2、过程与方法:通过轴对称图形和两个图形成轴对称的学习以及动手操作,让学生关注生活,学会观察,增强交流。
3、情感态度与价值观:通过轴对称图形和两个图形成轴对称的学习,激发学生学习欲望,主动参与数学学习活动中,体会图形的美,同时感悟数学来源于生活又用于生活。
4、教学重点轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念以及区别和联系。
5、教学难点轴对称的性质。
二、专家建议本节课从观察生活中的轴对称现象出发,通过生活中平面图形的实例,抽象概括出轴对称图形的本质特征,并结合具体的生活中的图形,类比得出两个图形成轴对称的概念.在此基础上,通过探索成轴对称的两个图形的对称轴与对应点所连线段之间的关系获得了性质,并类比其过程,得到轴对称图形的性质.三、教学方法创设情境-主体探究-合作交流-应用提高四、教学用具白板、多媒体课件、直尺、剪刀和彩纸等五、教学过程1 、引入新课一、创设情境,欣赏图片,感受生活中的轴对称现象和轴对称图形我们生活在图形的世界中,利用图形的某种特征我们想像和创造了许多美丽的事物.问题:观察下列几幅图片,大家观察后回答下列问题:(出示世博建筑物、天安门、立交桥、蝴蝶、窗花等图片).(1)这些图形有什么共同的特征?对称给人以平衡与和谐的美感,我们生活在一个充满对称的世界里,你平时有注意到吗?(2)你能举出几个生活中具有对称特征的物体,并与同伴进行交流吗?(3)你能利用手中的彩纸,剪出具有对称特征的图案吗?二、动手操作,教师组织,合作交流,归纳轴对称和轴对称图形的概念师生互动操作设计:教师走到学生中去,与学生一起观察图形,讨论其具有的共同特征,并利用“对折”的方法剪出各种美丽对称的图案,展示出来,可以发现这些图形沿一条直线对折(我们把这条直线看作轴),直线两旁的部分可以互相重合,比如在生活中具有这种特征的物体有:飞机、风筝、汽车等.1.经过学生讨论,找到特征后,引导学生归纳轴对称图形的概念.归纳:如果一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就是轴对称图形,这条直线叫做这个图形的对称轴.巩固训练11、如图所示的每个图形是轴对称图形吗?如果是支出他们的对称轴。
最新人教版八年级数学上册第十三章轴对称 教案教学设计 共10课时,含教学反思
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第十三章轴对称13.1 轴对称 (1)13.1.1 轴对称 (1)13.1.2 线段的垂直平分线的性质 (3)13.2 画轴对称图形 (8)第1课时作轴对称图形 (8)第2课时用坐标表示轴对称 (12)13.3 等腰三角形 (16)13.3.1 等腰三角形 (16)13.3.2 等边三角形 (25)13.4 课题学习最短路径问题 (33)章末复习 (35)13.1 轴对称13.1.1 轴对称【知识与技能】掌握轴对称图形和关于直线成轴对称等概念.【过程与方法】通过生活中的具体实例认识,培养观察、思维、操作、归纳能力.【情感态度】体验数学与生活的联系,发展审美观.【教学重点】准确掌握轴对称图形和关于直线成轴对称的实质.【教学难点】轴对称图形和关于直线成轴对称的区别与联系.一、情境导入,初步认识展示学生按要求收集的图片资料,教师指导并对所有图片进行分类:第一类是轴对称图形,第二类是关于一条直线对称的图形.学生观察,并以小组为单位,讨论下列问题:1.第一类图案有什么共同特征?2.第二类图案有什么共同特征?【教学说明】教师讲课前,先让学生完成“自主预习”.二、思考探究,获取新知1.轴对称图形在学生交流和说出两类图案的特征的基础上,教师提出第一类的图案称为轴对称图形.问题1 学生尝试说出轴对称图形的定义,教师适当纠正与补充.问题2 请学生再举一些日常生活中的轴对称图形的例子.问题3 请观察下列图案,看这些轴对称图形各有几条对称轴.2.两个图形关于某条直线对称教师提出第二类图案称为两个图形关于某条直线对称.问题4 鼓励学生说出两个图形关于某条直线对称的定义.问题5 举出生活中两个图形成轴对称的例子.如:提示:对称轴可能不止1条,也可能是水平的或倾斜的.教师再归纳总结轴对称图形和两个图形成轴对称间的区别与联系.三、运用新知,深化理解1.如图,在由小正方形组成的L形的图形中,用三种不同的方法添画一个小正方形,使它成为轴对称图形.2.角是轴对称图形,它的对称轴是 .【教学说明】问题1中有两种方法比较容易,方法3鼓励学生交流讨论得到;问题2提醒学生不能说成角平分线.【答案】1.2.角平分线所在的直线.四、师生互动,课堂小结本节课你学会了什么?有哪些收获?还有什么疑问?1.布置作业:从教材“习题13.1”中选取.2.如图是一个圆形的纸片,请问:它是轴对称图形吗?如果是, 对称轴有多少条?请你找到它的圆心.3.完成练习册中本课时的练习.本课时教学应重视以下几点:1.努力体现数学与生活的联系,从实际中学习新知,使学生认识这种学习方法.2.形成提炼概念的能力,注重从实物的形象思维向抽象思维转变.3.在对比中发现,认识知识,如“轴对称”与“轴对称图形”的区别与联系.13.1.2 线段的垂直平分线的性质【知识与技能】1.了解两个图形成轴对称的性质,了解轴对称图形的性质.2.探究线段垂直平分线的性质.【过程与方法】经历探索轴对称图形性质的过程,发展空间观察能力.【情感态度】体验数学与现实间的联系,发展审美感,激发兴趣.【教学重点】轴对称的性质,线段垂直平分线的性质.【教学难点】线段垂直平分线的性质.一、情境导入,初步认识问题1 下面图形中哪些是轴对称图形?如果是,请说出它的对称轴.问题2 如果两个图形成轴对称,那么这两个图形有什么关系?(如图2,△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称)【教学说明】两个图形成轴对称,那么这两个图形就全等.由此提出线段垂直平分线定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.如图3,直线l是线段AB的垂直平分线.教师讲课前,先让学生完成“自主预习”.二、思考探究,获取新知1.探究轴对称的性质(1)作两个成轴对称的三角形,如图.(2)将对称点分别用线段连接起来,观察它与对称轴的位置关系及数量关系,你能得到什么结论?是如何得到这个结论的?(3)轴对称图形是否也具备这样的性质呢?举例说明.2.探索线段垂直平分线的性质探究1 教材中的“探究”.学生先思考教科书上的问题,然后让学生以线段代替木条进行画图探究.任意画一条线段AB,画出它的垂直平分线MN,在MN上任取点P1,P2,P3,分别量一量点P1,P2,P3到点A,点B 的距离,你有什么发现?与同伴交流,说明理由.探究2 如图,PA=PB,取线段AB的中点O,连接PO,PO与AB有怎样的位置关系?指导学生运用三角形全等知识判定△PAO≌△PBO,从而推得PO是线段AB的垂直平分线.教师总结线段垂直平分线的性质与判定.例1 如图所示,有一块三角形田地,AB=AC=10m,作AB的垂直平分线ED交AC于D,交AB 于E,量得△BDC的周长为17m,请你替测量人员计算BC的长.解:∵ED是AB的垂直平分线,∴DA=DB.又∵△BDC的周长为17m,AB=AC=10m,∴BD+DC+BC=17(m).∴DA+DC+BC=17, 即AC+BC=17(m). ∴10+BC=17(m),BC=7(m). 3.作简单轴对称图形的对称轴.例2 如图所示,△ABC 与△A ′B ′C ′关于某条直线对称,请你作出这条直线.【分析】△ABC 与△A ′B ′C ′中的点A 与A ′,点B 与B ′,点C 与C ′是对应点,连接一对对应点,如连接BB ′,作线段BB ′的垂直平分线即可.解:(1)如图所示,连接BB ′,分别以点B ,B ′为圆心,以大于21BB ′的长为半径作弧,两弧相交于D 、E 两点;(2)作直线DE ,DE 即为所求的直线. 三、运用新知,深化理解1.如果△ABC 中,∠BAC=110°,P\,Q 在BC 上,若MP\,NQ 分别垂直平分AB\,AC,则∠PAQ 的度数是 .2.如图,正方形ABCD 的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为.3.如图所示,直线CD 是线段AB 的垂直平分线,P 为直线CD 上的一点,已知线段PA=5,则线段PB 的长度为( )A.6B.5C.4D.34.如图所示,OC是∠AOB的平分线,AC⊥AO,BC⊥BO,则OC与AB的关系是( ).A.AB垂直平分OCB.OC垂直平分ABC.OC只平分AB但不垂直D.OC只垂直AB但不平分5.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AC的垂直平分线交AB于E,D为垂足,连结EC.(1)求∠ECD的度数;(2)若CE=5,求BC的长.【教学说明】指导学生解答上述习题时,强调学生应:(1)注意成轴对称的两个图形的全等关系,由此可得到几组边、角的相等;(2)注意线段垂直平分线的性质的灵活运用.【答案】1.40° 2.8cm2 3.B 4.B5.(1)∵DE垂直平分AC,∴CE=AE,∴∠ECD=∠A=36°.(2)∵AB=AC,∠A=36°,∴∠B=∠ACB=72°,∵∠ECD=36°,∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=36°,∴∠BEC=72°=∠B,∴BC=EC=5.四、师生互动,课堂小结问题:本节课学会了什么?有哪些收获?还有什么疑问?由学生表述,教师归纳总结.1.布置作业:从教材“习题13.1”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课教学力求充分体现内容的基础性,方法的灵活性、学生学习的主体性和教学的主导性,在学习活动中,要求学生主动参与,认真思考、比较观察、动手交流和表述,并借助多媒体的手段辅助教学,增强直观性、激发学习兴趣.强调分组讨论,学生与学生之间很好地交流与合作,利用师生的双边活动,激发学生学习兴趣,教师从中发现、搜集学生的学习情况,查漏补缺,适时调度,从而顺利达到教学的目的.13.2 画轴对称图形第1课时作轴对称图形【知识与技能】1.通过动手操作体验如何作轴对称图形.2.能作出一个图形经一次或二次轴对称变换后的图形.3.能利用轴对称变换设计一些简单的图案.【过程与方法】通过实际操作获取作轴对称图形的方法,并应用于简单的图案设计.【情感态度】通过图案设计等活动,培养学生的动手操作能力\,审美及数学兴趣,发展学生的空间观念.【教学重点】作一个图形经轴对称变换后的图形.【教学难点】通过动手操作总结轴对称变换的特征.一、情境导入,初步认识利用多媒体向学生展示剪纸图片,供学生欣赏,并请学生交流:如此漂亮的剪纸是如何剪出的呢?问题 1 请学生拿出画有一个简单风筝(如图形状)的半透明纸,把这张纸对折后描图,学生画好后打开对折的纸,观察并回答下列问题:(1)画出的图形与原来的图形有什么关系?(2)两个图形成轴对称有什么特征?问题 2 如果改变对称轴的方向和位置,结果又如何呢?让学生在刚才的纸上任意折叠,描图,打开纸.你发现了什么?【教学归纳】由学生画图、操作、观察后总结出:(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全一样.(2)新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线l的对称点,连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.【教学说明】教师讲课前,先让学生完成“自主预习”.二、思考探究,获取新知【教学说明】成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经轴对称变换后得到.一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换扩展而成的.问题除上面所用的描图法;还可用什么方法画出轴对称变换后的图形?请学生间交流探讨.例1(1)如图1,已知△ABC和直线l,作出与△ABC关于直线l对称的图形.(2)将△ABC的位置移至图2,图3,图4时,再作出关于直线l对称的图形.并验证画法.【归纳总结】一个平面图形都是由一些点组成,点动成线,故要画一个图形经轴对称后的图形,只要找到一些特殊点,作出这些特殊点的对称点即可.【教学说明】利用轴对称变换,可以设计出精美的图案.有时,将平移和轴对称结合起来,可以设计出更美丽的图案.例2 操作并思考:如图所示,取一张薄的正方形纸,沿对角线对折后,得到一个等腰直角三角形,再沿斜边上的高线对折,将得到的三角形沿黑线剪开,去掉含90°角的部分,拆开折叠的纸,并将其铺开.(1)你会得到怎样的图案?先猜一猜,再做一做.(2)你能说明为什么会得到这样的图案吗?应用学过的轴对称的知识试一试.(3)如果将正方形纸按上面方式折3次,然后再去掉含90°角的部分展开后的结果又会怎样?为什么?解:(1)得到一个有2条对称轴的图形.(2)按照上面的做法,实际相当于折出了正方形的2条对称轴,因此图中得到的图案一定有2条对称轴.(3)按题中的方式将正方形对折3次,相当于折出了正方形的4条对称轴,因此得到的图案一定有4条对称轴.【教学说明】教师参与,与学生一起操作,力求使图案与花边完美.三、运用新知,深化理解1.把下列图形补成关于直线l对称的图形.2.如图,利用轴对称变换画出花瓶的另一半.3.如图,左边的旗子经过几次轴对称变换,可以变成右边的旗子?你能设计一种变换方案吗?4.如果我们把台球桌做成等边三角形形状,那么从AC中点D处出发的球,能否依次经BC,AB两条边反射后回到D处?如果认为不能,请说明理由;如果认为能,请作出球运动的路线.【教学说明】指导学生解答上述习题时,要注意引导学生:(1)画轴对称图形时,要先画好关键的对应点;(2)在已知成轴对称的图形时,利用成轴对称的图形的性质,找出对称轴.【答案】4.能.运动路线如图的D→E→F→D四、师生互动,课堂小结教师请学生回忆本节内容,学生发言谈收获,最后引导总结.1.由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全一样.2.经轴对称变换后的图形与原图形上的对应点连线被对称轴垂直平分.3.画一个图形经轴对称变换后的图形,关键是找到图形上的一些点,作出这些点的对称点.1.布置作业:从教材“习题13.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境,以生动活泼的形式呈现有关内容,重视学生的实际操作和观察发现与表述能力.教学时,根据本课内容特点,可依据其学科知识间联系(如例2)调动课堂气氛,培养学生学习兴趣.第2课时用坐标表示轴对称【知识与技能】1.能在直角坐标系中画出已知点关于坐标轴对称的点.2.能求出已知点关于坐标轴对称的点的坐标,求出已知点关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标.【过程与方法】在找关于坐标轴对称的点的坐标之间规律并检验其正确性的过程中,培养学生的语言表达能力、归纳能力.【情感态度】在找点,绘图的过程中使学生体验数形结合思想、体验学习乐趣,养成良好的科学研究方法.【教学重点】能求出已知点关于坐标轴对称的点的坐标.【教学难点】找对称点的坐标之间的关系,规律.一、情境导入,初步认识用多媒体展示北京城风光图片,及北京城形象地图.问题 1 老北京的地图(教材图13.2-3)中,西直门和东直门是关于中轴线对称的,如果以天安门为原点,分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系,对应于如教材图13.2-3所示的东直门的坐标,你能找到西直门的位置和坐标吗?学生指出西直门的位置或坐标,由此指出用坐标表示轴对称,很方便确定一个地方的位置.【教学说明】教师讲课前,先让学生完成“自主预习”.问题2(1)在直角坐标系中画出下列已知点:A(2,-3);B(-1,2);C(-6,-5);D(3,5);E(4,0);F(0,-3).(2)画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点,并填写表格.(3)请你仔细观察点的坐标,你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗?(4)请你想办法检验你所发现的规律的正确性,说说你是如何检验的.【归纳结论】点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y),即横坐标相等,纵坐标互为相反数;点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y),即横坐标互为相反数,纵坐标相等.二、典例精析,掌握新知例1 已知点P1(a-1,5)和P2(2,b-1)关于x轴对称,则(a+b)2012的值为( ).A.0B.-1C.1D.(-3)2012出示新问题:1.如图,分别作出△PQR关于直线x=1和直线y=1对称的图形.2.试找出它们对应点的坐标.3.猜想:如果作关于直线x=3和直线y=-4对称的图形,试找出它们对应点的坐标,并总结出一般性规律.点(x,y)关于直线x=m 对称点的坐标是(2m-x,y),即若两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)关于直线x=m 对称,则m=221x x +,y 1=y 2. 点(x,y)关于直线y=n 对称点的坐标是(x,2n-y),即若两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)关于直线y=n 对称,则x 1=x 2,n=221y y +. 例2 如图,梯形ABCD 关于y 轴对称,点A 的坐标为(-3,3),点B 的坐标为(-2,0),试写出点C 和点D 的坐标,并求出梯形ABCD 的面积.【分析】已知点D 与点A 关于y 轴对称,点B 和点C 关于y 轴对称,由此可推知点D,点C 的坐标.解:∵点D 与点A(-3,3)关于y 轴对称,∴点D 的坐标为(3,3).同理点C 的坐标为(2,0).故AD=|3-(-3)|=6,BC=|2-(-2)|=4,∴S 梯形=21 (AD+BC)·OE=21×(6+4)×3=15. 【教学说明】由以上例题,应让学生掌握:1.平行于x 轴的两点之间的距离等于两点横坐标差的绝对值.2.求规则图形的面积应选用平行于x 轴(或y 轴)的边为底边,求面积较方便.三、运用新知,深化理解1.说出下列各点关于x轴,y轴对称的点的坐标.(-2,6),(1,-2),(-1,3),(-4,-2),(1,0).2.四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1),B(-2,1),C(-2,5),D(-5,4),分别作出与四边形关于x轴和y轴对称的图形.3.在坐标系中描出点A(-1,3),B(5,-4),C(-3,-1),D(-1,1),E(-3,5),F(5,8),连接AB,BC,AC,DE,EF,DF,请你判断所得图形是轴对称图形吗?如果不是,请你说明理由;如果是,请说出对称轴.【教学说明】教师指导学生完成上述问题的解答,提示学生解题过程中注重画图找答案,体验数形结合的作用.同时,鼓励学生从实际解题中总结题中所隐含的规律.【答案】1.2.略3.图略.所得图形是轴对称图形,对称轴是y=2.四、师生互动,课堂小结教师引导学生总结本节课用坐标表示轴对称的主要解题方法和解题思路.1.已知点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段间关系来求.2.学生表述关于x轴,y轴对称的点的坐标规律.1.布置作业:从教材“习题13.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时采用探究、发现式的教学方法,通过找具有一定代表性的分别位于四个象限及坐标轴的一些点的对称点及坐标,寻找关于坐标轴对称的点的坐标的一般规律,可培养学生观察、归纳、分析问题解决问题的能力,并通过研究线段之间关系发现对称点的坐标之间的关系,从中体验数形结合思想,教学中应让学生认识到寻找规律后检验其正确性是科学研究问题的一个必不可少的步骤.13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质【知识与技能】1.理解掌握等腰三角形的性质.2.运用等腰三角形性质进行证明和计算.3.观察等腰三角形的对称性、发展形象思维.【过程与方法】1.通过实践、观察、证明等腰三角形的性质,发展学生推理能力.2.通过运用等腰三角形的性质解决有关问题,提高运用知识和技能解决问题的能力.【情感态度】引导学生对图形的观察、发现,激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中取得成功的体验.【教学重点】等腰三角形的性质及应用.【教学难点】等腰三角形的证明.一、情境导入,初步认识问题 1 让学生根据自己的理解,做一个等腰三角形.要求学生独立思考,动手做图后,再互相交流评价.可按下列方法做出:作一条直线l,在l上取点A,在l外取点B,作出点B关于直线l的对称点C,连接AB,AC,CB,则可得到一个等腰三角形.问题2 老师拿出事先准备好的长方形纸片,按下图方式折叠剪裁.观察并讨论:△ABC有什么特点?教师指导,并介绍等腰三角形的相关概念,及等腰三角形是轴对称图形.【教学说明】教师讲课前,先让学生完成“自主预习”.二、思考探究,获取新知教师依据学生讨论发言的情况,归纳等腰三角形的性质:①∠B=∠C→两个底角相等.②BD=CD→AD为底边BC上的中线.③∠BAD=∠CAD→AD为顶角∠BAC的平分线.∠ADB=∠ADC=90°→AD为底边BC上的高.指导学生用语言叙述上述性质.性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成:“等边对等角”).性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线,底边上的高重合(简记为:“三线合一”).教师指导对等腰三角形性质的证明.1.证明等腰三角形底角的性质.教师要求学生根据猜想的结论画出相应的图形,写出已知和求证.在引导学生分析思路时强调:(1)利用三角形全等来证明两角相等.为证∠B=∠C,需证明以∠B,∠C为元素的两个三角形全等,需要添加辅助线构造符合证明要求的两个三角形.(2)添加辅助线的方法可以有多种方式:如作顶角平分线,或作底边上的中线,或作底边上的高等.2.证明等腰三角形“三线合一”的性质.【教学说明】在证明中,设计辅助线是关键,引导学生用全等的方法去处理,在不同的辅助线作法中,由辅助线带来的条件是不同的,重视这一点,要求学生板书证明过程,以体会一题多解带来的体验.例如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.解:∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角).设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°于是在△ABC中,有∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.【教学说明】等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”性质,可以实现由边到角的转化,从而可求出相应角的度数.要在解题过程中,学会从复杂图形中分解出等腰三角形,用方程思想和数形结合思想解决几何问题.三、运用新知,深化理解第1组练习:1.如图,在下列等腰三角形中,分别求出它们的底角的度数.2.如图,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°,AD是底边BC上的高,标出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数,指出图中有哪些相等线段.3.如图,在△ABC,AB=AD=DC,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数.第2组练习:1.如果△ABC是轴对称图形,则它一定是( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形2.等腰三角形的一个外角是100°,它的顶角的度数是( )A.80°B.20°C.80°和20°D.80°或50°3.已知等腰三角形的腰长比底边多2cm,并且它的周长为16cm.求这个等腰三角形的边长.4.如图,在△ABC中,过C作∠BAC的平分线AD的垂线,垂足为D,DE∥AB交AC于E.求证:AE=CE.【教学说明】等腰三角形解边方面的计算类型较多,引导学生见识不同类型,并适时概括归纳,帮学生形成解题能力,注意提醒学生分类讨论思想的应用.【答案】第1组练习答案:1.(1)72°;(2)30°2.∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°;AB=AC,BD=DC=AD3.∠B=77°,∠C=38.5°第2组练习答案:1.C2.C3.设三角形的底边长为xcm,则其腰长为(x+2)cm,根据题意,得2(x+2)+x=16.解得x=4.∴等腰三角形的三边长为4cm,6cm和6cm.4.延长CD交AB的延长线于P,在△ADP和△ADC中,∠PAD=∠CAD,AD=AD,∠PDA=∠CDA,∴△ADP≌△ADC.∴∠P=∠ACD.又∵DE∥AP,∴∠CDE=∠P.∴∠CDE=∠ACD,∴DE=EC.同理可证:AE=DE.∴AE=CE.四、师生互动,课堂小结这节课主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.请学生表述性质,提醒每个学生要灵活应用它们.学生间可交流体会与收获.1.布置作业:从教材“习题13.3”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时应把重点放在逐步展示知识的形成过程上,先让学生通过剪纸认识等腰三角形;再通过折纸猜测、验证等腰三角形的性质;然后运用全等三角形的知识加以论证.由特殊到一般、由感性上升到理性,逻辑演绎,层层展开,步步深入.第2课时等腰三角形的判定【知识与技能】1.理解掌握等腰三角形的判定.2.运用等腰三角形判定进行证明和计算.【过程与方法】通过推理证明等腰三角形的判定定理,发展学生的推理能力,培养学生分析、归纳问题的能力.【情感态度】引导学生观察,发现等腰三角形的判定方法,获得成功的感受,并在这个过程中体验学习的乐趣.【教学重点】等腰三角形的判定定理.【教学难点】等腰三角形判定定理的证明.一、情境导入,初步认识先请学生回忆等腰三角形的性质,再向学生提出下列问题.问题1 如图,位于海上A,B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素).引导学生作如下思考:(1)应该能同时赶到出事地点,因为两艘救生船的速度相同,同时出发,在相同的时间内走过的路程应该相同,也就是OA=OB,所以两船能同时赶到出事地点.(2)能同时赶到O点位置的一个很重要的因素是∠A=∠B,也就是说如果∠A不等于∠B,那么同时以同样的速度出发就不能同时赶到出事地点.【教学说明】教师讲课前,先让学生完成“自主预习”.问题2 根据上述探究,考虑:“在一个三角形中,如果两个角相等,那么它们所对的边也相等”,并证明这个结论.1.指导学生表述结论并写出证明过程.2.指出表述要严谨,如不能说成:“如果一个三角形的两个底角相等,那么它是等腰三角形”.二、思考探究,获取新知例1 求证:如果一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.【教学说明】本题是文字叙述的证明题,先应将文字语言转化为相应的数学语言,再根据题意画出相应的几何图形.要证明这个问题,由特征结论联想“等角对等边”,而等角由已知的平行线和角平分线可推得.例2 如图,标杆AB高5m,为了将它固定,需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D,E两点拉两条绳子,使得D,B,E在一条直线上,量得DE=4m,绳子CD和CE要多长?【教学说明】这是一个与实际生活相关的问题,要解决这类问题,需要将实际问题抽象为数学模型.本题的实质是已知等腰三角形的底边和底边上的高,求腰长的问题.解:如图(2),选取比例尺为1∶100.①作线段DE=4cm.②作线段DE的垂直平分线MN,与DE交于点B.。
人教版八年级上数学教学设计《第13章轴对称》
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人教版八年级上数学教学设计《第13章轴对称》一. 教材分析人教版八年级上数学第13章《轴对称》是初中数学的重要内容,主要让学生理解轴对称的概念,掌握轴对称的性质,并能运用轴对称解决实际问题。
本章内容涉及图形变换,对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了基本的平面几何知识,具备一定的观察和分析能力。
但学生在学习过程中,可能对轴对称的概念和性质理解不深,因此在教学过程中,需要教师引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动,体会轴对称的性质。
三. 教学目标1.知识与技能:理解轴对称的概念,掌握轴对称的性质,能运用轴对称解决实际问题。
2.过程与方法:通过观察、操作、思考、交流等活动,培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观:激发学生学习数学的兴趣,培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点:轴对称的概念,轴对称的性质。
2.难点:轴对称的性质在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法:通过引导学生观察实际问题,激发学生的学习兴趣。
2.探究式教学法:引导学生通过操作、思考、交流等活动,自主探究轴对称的性质。
3.案例教学法:通过典型例题,引导学生运用轴对称解决实际问题。
六. 教学准备1.教学素材:收集相关的实际问题,准备典型例题。
2.教学工具:黑板、粉笔、多媒体设备。
七. 教学过程1.导入(5分钟)教师通过展示一些实际问题,如剪纸、折叠等,引导学生观察并思考:这些实际问题有什么共同特点?学生可能回答出:这些实际问题都涉及到图形的对称性。
教师总结:对称性是这些实际问题的共同特点,今天我们要学习的就是关于对称性的一种重要类型——轴对称。
2.呈现(10分钟)教师通过多媒体展示轴对称的定义和性质,引导学生观察并思考:轴对称的定义是什么?轴对称的性质有哪些?学生可能回答出:轴对称的定义是图形关于某条直线对称;轴对称的性质有对称轴上的点不变,对称轴两侧的点关于对称轴对称。
轴对称(第一课时)(课件)人教版数学八年级上册
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课堂小结
定义
1、轴对称图形 2、两个图形成轴对称
轴对称图形
区别和联
系
轴对称图形和两个图形成轴对称
应用
利用轴对称图形和两个图形成轴 对称的定义进行判断
课后作业
1.把一圆形纸片两次对折后,得到右图,然后 沿虚线剪开,得到两部分,其中一部分展开后 的平面图形是( B )
A
B
C
D
课后作业
2.如图,在3×3的正方形网格中,已有两个小正方形被 涂黑,再将图中其余小正方形任意涂黑一个,使整个图案 (包括网格)构成一个轴对称图形,则涂色的方法有( D )
追问: 你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗?
互动新授
A
B C
小试牛刀
1、分别观察以下每组图形,判断它们是否关于某条直线成轴对称?
E
E
E
EE
E
不是
不是
是
E
E
E E E
E
是
不是
是
互动新授 仔细观察,下列两个图形有什么区别?
它们之间有什么联 系和区别呢?
轴对称图形
两个图形成轴对称
总结归纳 轴对称图形和轴对称的区别与联系
A.2种 C.4种
B.3种 D.5种
1条
2条
4条
无数条
互动新授
观察下面每对图形(如图),你能类比前面的内容概括出 它们的共同特征吗?
互动新授 共同特征:每一对图形沿着虚线折叠,左边的图形都能与右
边的图形重合.
结论:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形 重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称,这 条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
人教版初中数学八年级上册精品教学课件 第13章 轴对称 13.2 第1课时 画轴对称图形
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BC连..对对接应应B点点B',交连连对线线称被被轴对对于称称点轴轴O平垂(图分直略平). 分
D过.对点应B,点B'作连B线E,B互'F相与平对称行轴垂直,垂足分别为E和F,
则BE=B'F,
图①关闭图②∴△源自EO≌△B'FO.关闭
∴B BO=B'O.
解析 答案
快乐预习感知
1
2
3
4
4.以直线l为对称轴画出下图的另一半.
的一些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些 对称点
,
就可以得到原图形的 轴对称图形 .
快乐预习感知
3.如图,在方格纸中画出与△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1.
解 △A1B1C1如图所示.
快乐预习感知
运用轴对称解决实际问题 【例题】
如图,P,Q分别为△ABC的边AB,AC上的两个定点,在BC上求作一 点D,使△DPQ的周长最短.
第1课时 画轴对称图形
快乐预习感知
1.由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形,这个
图形与原图形的 形状 、 大小 完全相同;新图形上的每一点
都是原图形上的某一点关于直线l的 对称点 ;连接任意一对对
应点的线段被 对称轴 垂直平分.
2.几何图形都可以看作由点组成,对于某些图形,只要画出图形中
快乐预习感知
1
2
3
4
2.如图,在4×4正方形网格中,已有3个小方格涂成了黑色.现在要从
其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色,使整个涂成黑色的图 形成为轴对称图形,这样的白色小方格有( )
如图,有 4 个位置使之成为轴对称图形. A.1个 B.2个 C.3个D.4个
2022年人教版八年级数学上册第十三章轴对称教案 线段的垂直平分线的性质(第1课时)
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第十三章轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时一、教学目标【知识与技能】1.理解线段垂直平分线的性质和判定.2.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及进行应用;3.能够利用尺规过直线外一点作该直线的垂线.【过程与方法】经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力.【情感、态度与价值观】在数学活动中体会获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立学习的自信心.二、课型新授课三、课时第1课时,共2课时。
四、教学重难点【教学重点】线段的垂直平分线性质定理和判定定理证明及其应用.【教学难点】线段的垂直平分线判定定理的证明.五、课前准备教师:课件、三角尺、直尺等。
学生:三角尺、直尺、剪刀。
六、教学过程(一)导入新课甲乙两位同学在玩一个游戏,甲在点A处,乙在点B处,把宝物放在什么地方对两人是公平的,除线段AB的中点外还有别的地方吗?(出示课件2-3)(二)探索新知1.创设情境,探究线段垂直平分线的性质定理教师问1:在某路段的同侧,有两个工厂A,B,为了便于两厂的工人看病,市政府计划在公路边上修建一所医院,使得两个工厂到医院的距离相等,问医院的院址应选在何处?本问题学生独立思考,但不要求学生能解答问题.观察下边的图形教师问2:如图,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3……是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3……到A与点B的距离,你有什么发现?先让学生量一下并猜想P1A与P1B的数量关系,再量一下并猜想P2A与P2B 及P3A与P3B的数量关系后回答:P1A=P1A,P2A=P2B,P3A=P3B.教师问3:猜想线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离有何数量关系?学生回答:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.教师问4:我们如何证明猜想是否正确呢?师生共同讨论如下:(出示课件6)已知:如图,直线l⊥AB,垂足为C,AC=CB,点P在l上.求证:PA=PB.师生共同解答如下:(出示课件7)证明:∵l⊥AB,∴∠PCA =∠PCB.又AC =CB,PC =PC,∴△PCA ≌△PCB(SAS).∴PA =PB.证明完成后,老师用多媒体展示线段垂直平分线的性质应用时的符号语言(即解题时的书写步骤),并强调学生注意.教师总结如下:(出示课件8)语言表示:线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.几何语言:∵CA =CB,l⊥AB,∴PA =PB.2.探究线段垂直平分线的判定定理教师问5:把线段垂直平分线的性质1反过来,如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢?学生讨论后回答:点P在线段AB的垂直平分线上.教师问6:如何证明我们的猜想是否正确呢?师生共同讨论后总结如下:(出示课件11)已知线段AB,点P是平面内一点,且PA=PB.求证:P点在线段AB的垂直平分线上.师生共同解答如下:(出示课件12)证明:过点P 作线段AB 的垂线PC,垂足为C.则∠PCA =∠PCB =90°.在Rt△PCA 和Rt△PCB 中,∵PA =PB,PC =PC,∴Rt△PCA ≌Rt△PCB(HL).∴AC =BC.又PC⊥AB,∴点P 在线段AB 的垂直平分线上.总结点拨:(出示课件13)用数学符号表示为:∵PA =PB,∴点P 在AB 的垂直平分线上.文字语言:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.教师问7:你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗?能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点?学生讨论后回答:到线段AB 两端点的距离相等的点有无数个.教师问8:这些点能组成什么几何图形?学生回答:这些点组成一条直线.总结点拨:(出示课件14)在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A,B 的距离都相等;反过来,与A,B 的距离相等的点都在直线l上,所以直线l 可以看成与两点A,B 的距离相等的所有点的集合.例1:如图,已知:在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC,求证:AO⊥BC.(出示课件15)师生共同解答如下:证明:∵OB=OC,∴点O在BC的垂直平分线上.又AB=AC,∴点A在BC的垂直平分线上,即A,O均在BC的垂直平分线上,∴AO⊥BC.3.探究线段垂直平分线的作法教师问9:已知直线上一点P,如何过点P作直线的垂线呢?师生共同探究后解答如下:如图,以点P为圆心,合适长为半径,画弧与直线交于两点,分别以这两点为圆心,同样长度为半径,画弧,交于点C,过点C,P做直线即可.教师问10:如果这一点不在直线上,在直线外如何作图呢?师生共同探究后解答如下:(出示课件18)作法:(1)任意取一点K,使点K和点C在AB的两旁.(2)以点C为圆心,CK长为半径作弧,交AB于点D和E.(3)分别以点D和点E为圆心,大于12DE的长为半径作弧,两弧相交于点F.(4)作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.(三)课堂练习(出示课件22-27)1.如图,在△ABC中,AB=AC=20 cm,DE垂直平分AB,垂足为E,交AC于点D,若△DBC的周长为35 cm,则BC的长为( )A.5 cm B.10 cmC.15 cm D.17.5 cm2.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这个三角形是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定3.如图,CD是AB的垂直平分线,若AC=1.6 cm,BD=2.3 cm,则四边形ACBD的周长为________cm.4.如图,在△ABC中,D为BC上一点,且BC=BD+AD,则点D在线段__________ 的垂直平分线上.5.如图,点A,B,C表示某公司三个车间的位置,现要建一个仓库,要求它到三个车间的距离相等,则仓库应建在什么位置?6.如图,已知E为∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D.求证:OE垂直平分CD.7.如图,已知AB比AC长2 cm,BC的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,△ACD的周长是14 cm,求AB和AC的长.参考答案:1.C2.C3.7.84.AC 解析:∵BC=BD+AD,又∵BC=BD+DC,∴AD=DC.∴点D在线段AC的垂直平分线上.5.答:△ABC 三边垂直平分线的交点上.6.证明:∵E在∠AOB的平分线上,ED⊥OB于D,EC⊥OA于C,∴ED=EC在Rt△EDO和Rt△ECO中,ED=EC,OE=OE,∴Rt△EDO≌Rt△ECO.(HL)∴OD=OC.∴O,E都在CD的垂直平分线上.∴OE垂直平分CD.7.解:∵DE垂直平分BC,∴DB=DC.∵AC+AD+DC=14 cm,∴AC+AD+BD=14 cm. 即AC+AB=14 cm.设AB=x cm,AC=y cm.根据题意,得142.,+=⎧⎨-=⎩x yx y解得86.,=⎧⎨=⎩xy∴AB长为8 cm,AC长为6 cm.(四)课堂小结今天我们学了哪些内容:1.性质1:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.用符号语言表示为:∵PC垂直平分AB(CA=CB,PC⊥AB),∴PA=PB.2.性质2:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 用符号语言表示为:∵PA=PB,∴点P在线段AB的垂直平分线上.3.利用尺规过直线外一点作已知直线的垂直平分线(五)课前预习预习下节课(13.1.2)教材62页到63页的相关内容。
八年级数学上册 13.1《轴对称》(第一课时)教案 新人教版
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轴对称(新授课)【理论支持】义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性,使数学教育面向全体。
《数学课程标准》指出:对学生数学学习的评价,既要关注学生学习的结果,更要关注学生在学习过程中的变化和发展;既要关注学生数学学习的水平,更要关注他们在数学实践活动中所表现出来的情感和态度。
荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为:学习数学惟一正确的方法是实行再创造,也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来,教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作,而不是把现成的知识灌输给学生。
因此,教师在课堂教学中,应不断创造自主探索与合作交流的学习环境,让学生有充分的时间和空间去实践,去动手操作,去观察分析,去合作交流、发现和创造所学的数学知识。
人人经历数学再创造的过程,人人体验数学规律的生成和发现的过程,使成功的喜悦人人有机会去分享。
心理学认为:认知从感知开始,感知是认知的门户,是一切知识的来源。
在课堂教学中,让学生人人参与、积极动手动脑、合作交流的探究活动,能激发学生学习数学的兴趣,对提高学生的数学素养和数学意识也是十分有意义的。
本课从学生熟悉的生活入手,结合实例,通过观察、操作等形式多样的活动,让学生初步感知生活中的轴对称现象,认识简单的轴对称图形,为今后进一步探索简单图形的轴对称特性,把握简单图形之间的轴对称关系,以及利用轴对称方法进行变换或设计图案打好基础。
教材第一道例题首先出示了一组实物图片,并把实物图形抽象为平面图形,引导学生对折发现轴对称图形的基本特征,并初步描述轴对称图形的概念。
第二个例题则让学生“做出”轴对称图形。
以活动来帮助学生积累感性认识,丰富对轴对称图形的体验,锻炼学生的实践能力。
“想想做做”安排了形式多样、内容丰富的训练帮助学生加深对轴对称图形的认识,体会数学与生活的广泛联系。
教学对象分析:1.初二学生性格开朗活泼,对新鲜事物特别敏感,且较易接受,因此,教学过程中创设的问题情境应较生动活泼,直观形象,且贴近学生的生活,从而引起学生的有意注意。
八年级数学人教版(上册)第13章《轴对称小结》第1课时PPT课件
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重难剖析
1.下列图形中只有一条对称轴的是( C )
(等边三角形)
A
B
(正五边形)
C
D
2.如图,四边形ABCD是轴对称图形,BD所在的直线是 它的对称轴,AB=5,CD=3,则四边形ABCD的周长是 ( D)
A.12
B.20
C.8
D.16
四边形ABCD 是轴对称图形
AB=5,CD=3
A
BC=5,AD=3
11.关于坐标轴对称的点的坐标规律
(1)点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y), 特点是横坐标相同,纵坐标互为相反数. (2)点(x,y)关于y轴对称的点的坐标是(-x,y), 特点是纵坐标相同,横坐标互为相反数.
12.在直角坐标系中画与已知图形关于某直线成轴对称 的图形的方法
计算:计算出已知图形中的一些特殊点的对称点的坐 标; 描点:根据对称点的坐标描点; 连接:按原图对应连接所描各点得到对称图形.
6.线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
几何语言:如图,直线l⊥AB,垂
足为C,AC=BC,点P在l上,则有
PA=PB.
A
P CB
l
7.线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分
线.
几何语言:如图,已知线段AB,
P
∵PA=PB,
∴点P在线段AB的垂直平分线上. A
A
∵∠OBC=180°-∠OBA-∠BAC-∠OCA- D ∠OCB=180°-2∠BAC-∠OCB,
O
E
∴∠OBC=90°-∠BAC.
B
FC
∴∠ABO+∠ACB=180°-∠OBC-∠BAC=180°
八年级数学上册第13章《轴对称》全章教案(人教版)
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13.1轴对称13.1.1轴对称1.在生活实例中认识轴对称图形.(重点)2.分析轴对称图形,理解轴对称的概念.(重点)3.通过丰富的生活实例认识轴对称,能够识别简单的轴对称图形及其对称轴.(难点)一、情境导入请同学们认真观看动画片,听故事,思考最后的问题.(配合动画讲故事)故事:在小河边的花丛中,有一只美丽的蝴蝶正在采花蜜.忽然,来了一只蜻蜓在它面前飞来飞去,蝴蝶生气地说:“谁在跟我捣乱?”蜻蜓笑嘻嘻地说:“你怎么连一家人都不认识了,我是来找你玩的.”这时蝴蝶更生气了,说道:“你是蜻蜓,我是蝴蝶,我们怎么可能是一家呢?”于是,蜻蜓就落在了旁边的一片叶子上,说:“这你就不知道了吧,不仅蜻蜓、蝴蝶是一家,有些树叶,还有我们身边的很多物体都和我们是一家呢.”(播放动画)思考问题:为什么蜻蜓、蝴蝶、树叶是一家?二、合作探究探究点一:轴对称图形【类型一】轴对称图形的识别下列体育运动标志中,从图案看不是轴对称图形的有( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个解析:根据轴对称图形的概念可得(1)(2)(4)都不是轴对称图形,只有(3)是轴对称图形.故选B.方法总结:要确定一个图形是否是轴对称图形要根据定义进行判断,关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.【类型二】判断对称轴的条数下列轴对称图形中,恰好有两条对称轴的是( )A .正方形B .等腰三角形C .长方形D .圆解析:A.正方形有四条对称轴;B.等腰三角形有一条对称轴;C.长方形有两条对称轴;D.圆有无数条对称轴.故选C.方法总结:判断对称轴的条数,仍然是根据定义进行判断,判断轴对称图形的关键是寻找对称轴,注意不要遗漏.探究点二:轴对称及轴对称图形的性质【类型一】 应用轴对称的性质求角度如图,一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD ,其中∠BAD =150°,∠B =40°,则∠BCD 的度数是( )A .130°B .150°C .40°D .65°解析:∵这种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD ,其中∠BAD =150°,∠B =40°,∴∠D =40°,∴∠BCD =360°-150°-40°-40°=130°.故选A.方法总结:轴对称其实就是一种全等变换,所以轴对称往往和三角形的内角和、外角的性质综合考查.【类型二】 利用轴对称的性质求阴影部分的面积如图,正方形ABCD 的边长为4cm ,则图中阴影部分的面积为( )A .4cm 2B .8cm 2C .12cm 2D .16cm 2解析:根据正方形的轴对称性可得,阴影部分的面积等于正方形ABCD 面积的一半,∵正方形ABCD 的边长为4cm ,∴S 阴影=12×42=8(cm)2.故选B. 方法总结:正方形是轴对称图形,根据图形判断出阴影部分的面积等于正方形面积的一半是解题的关键.【类型三】 用轴对称的性质证明线段之间的关系如图,O 为△ABC 内部一点,OB =72,P 、R 为O 分别以直线AB 、BC 为对称轴的对称点.(1)请指出当∠ABC 是什么角度时,会使得PR 的长度等于7?并完整说明PR 的长度为何在此时等于7的理由.(2)承(1)小题,请判断当∠ABC 不是你指出的角度时,PR 的长度小于7还是大于7?并完整说明你判断的理由.解析:(1)连接PB 、RB ,根据轴对称的性质可得PB =OB ,RB =OB ,然后判断出点P 、B 、R 三点共线时PR =7,再根据平角的定义求解;(2)根据三角形的任意两边之和大于第三边解答.解:(1)如图,∠ABC =90°时,PR =7.证明如下:连接PB 、RB ,∵P 、R 为O 分别以直线AB 、BC 为对称轴的对称点,∴PB =OB =72,RB =OB =72.∵∠ABC =90°,∴∠ABP +∠CBR =∠ABO +∠CBO =∠ABC =90°,∴点P 、B 、R 三点共线,∴PR =2×72=7; (2)PR 的长度小于7,理由如下:∠ABC ≠90°,则点P 、B 、R 三点不在同一直线上,∴PB +BR >PR ,∵PB +BR =2OB =2×72=7,∴PR <7.方法总结:利用轴对称的性质可以将线段进行转化,然后结合三角形的任意两边之和大于第三边的性质予以解答,总之熟记各性质是解题的关键.【类型四】 轴对称在折叠问题中的应用如图,将长方形纸片先沿虚线AB 向右对折,接着将对折后的纸片沿虚线CD 向下对折,然后剪下一个小三角形,再将纸片打开,那么打开后的展开图是( )解析:∵第三个图形是三角形,∴将第三个图形展开,可得,即可排除答案A.∵再展开可知两个短边正对着,∴选择答案D ,排除B 与C.故选D.方法总结:对于此类问题,要充分发挥空间想象能力,或亲自动手操作答案即可呈现.三、板书设计轴对称图形1.轴对称图形的定义;2.对称轴; 3.轴对称图形的设计方法.这节课充分利用多媒体教学,给学生以直观指导,主动向学生质疑,促使学生思考与发现,形成认识,独立获取知识和技能.另外,借助多媒体教学给学生创设宽松的学习氛围,使学生在学习中始终保持兴奋、愉悦、渴求思索的心理状态,有利于学生主体性的发挥和创新能力的培养.13.1.2线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分线的性质和判定1.掌握线段垂直平分线的性质.(重点)2.探索并总结出线段垂直平分线的性质,能运用其性质解答简单的问题.(难点)一、情境导入如图所示,有一块三角形田地,AB=AC=10m,作AB的垂直平分线ED交AC于D,交AB 于E,量得△BDC的周长为17m,你能帮测量人员计算BC的长吗?二、合作探究探究点一:线段垂直平分线的性质【类型一】应用线段垂直平分线的性质求线段的长如图,在△ABC中,AB=AC=20cm,DE垂直平分AB,垂足为E,交AC于D,若△DBC的周长为35cm,则BC的长为( )A.5cmB.10cmC.15cmD.17.5cm解析:∵△DBC的周长=BC+BD+CD=35cm,又∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,故BC+AD+CD=35cm.∵AC=AD+DC=20cm,∴BC=35-20=15cm.故选C.方法总结:利用线段垂直平分线的性质,可以实现线段之间的相互转化,从而求出未知线段的长.【类型二】 线段垂直平分线的性质与全等三角形的综合运用如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,E 为CD 的中点,连接AE 、BE ,BE ⊥AE ,延长AE 交BC 的延长线于点F .求证:(1)FC =AD ;(2)AB =BC +AD .解析:(1)根据AD ∥BC 可知∠ADC =∠ECF ,再根据E 是CD 的中点可求出△ADE ≌△FCE ,根据全等三角形的性质即可解答.(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB =BF 即可.证明:(1)∵AD ∥BC ,∴∠ADC =∠ECF .∵E 是CD 的中点,∴DE =EC .又∵∠AED =∠CEF ,∴△ADE ≌△FCE ,∴FC =AD .(2)∵△ADE ≌△FCE ,∴AE =EF ,AD =CF .∵BE ⊥AE ,∴BE 是线段AF 的垂直平分线,∴AB =BF =BC +CF .∵AD =CF ,∴AB =BC +AD .方法总结:此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,利用它可以证明线段相等.【类型三】 线段垂直平分线与角平分线的综合运用如图,在四边形ADBC 中,AB 与CD 互相垂直平分,垂足为点O .(1)找出图中相等的线段;(2)OE ,OF 分别是点O 到∠CAD 两边的垂线段,试说明它们的大小有什么关系.解析:(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段;(2)由条件可证明△AOC ≌△AOD ,可得AO 平分∠DAC ,根据角平分线的性质可得OE =OF .解:(1)∵AB 、CD 互相垂直平分,∴OC =OD ,AO =OB ,且AC =BC =AD =BD ;(2)OE =OF ,理由如下:在△AOC 和△AOD 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧AC =AD ,OC =OD ,AO =AO ,∴△AOC ≌△AOD (SSS),∴∠CAO =∠DAO .又∵OE ⊥AC ,OF ⊥AD ,∴OE =OF .方法总结:本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合,掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键.探究点二:线段垂直平分线的判定如图所示,在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 于点F ,试说明AD 与EF 的关系.解析:先利用角平分线的性质得出DE =DF ,再证△AED ≌△AFD ,易证AD 垂直平分EF .解:AD 垂直平分EF .∵AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,∴∠EAD =∠FAD ,DE =DF .在△ADE 和△ADF 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE =∠DAF ,∠AED =∠AFD ,AD =AD ,∴△ADE ≌△ADF ,∴AE =AF ,∴A 、D 均在线段EF 的垂直平分线上,即直线AD 垂直平分线段EF .方法总结:当一条直线上有两点都在同一线段的垂直平分线上时,这条直线就是该线段的垂直平分线,解题时常需利用此性质进行线段相等关系的转化.三、板书设计线段的垂直平分线1.线段的垂直平分线的作法.2.线段的垂直平分线性质定理和逆定理.3.三角形三边的垂直平分线交于一点.本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因此本节课的教学效果较好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻,还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高.第2课时 线段的垂直平分线的有关作图1.作出轴对称图形的对称轴,即线段垂直平分线的尺规作图.(重点)2.依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴.(重点)一、情境导入有时我们感觉两个平面图形成轴对称,如何验证呢?不折叠图形,你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗?二、合作探究探究点一:作线段的垂直平分线【类型一】 作某条线段的垂直平分线如图,点A 和点B 关于某条直线成轴对称,你能作出这条直线吗?(注:作一对对应点的对称轴就是作线段AB 的垂直平分线)解析:本题其实就是作线段AB 的垂直平分线,根据线段垂直平分线的作法作出即可.解:作法:(1)分别以点A 、B 为圆心,以大于12AB 的长为半径作弧,两弧相交于E 、F 两点;(2)作直线EF ,EF 即为所求的直线.同样,对于轴对称图形,只要找到任意一组对应点,作出对应点所连线段的垂直平分线,就得到此图形的对称轴.方法总结:要熟练掌握线段垂直平分线的作法,作出的图形中的作图痕迹要保留.【类型二】 垂直平分线的作法与垂直平分线的性质的综合如图,已知点A 、点B 以及直线l .(1)用尺规作图的方法在直线l 上求作一点P ,使PA =PB .(保留作图痕迹,不要求写出作法);(2)在(1)中所作的图中,若AM =PN ,BN =PM ,求证:∠MAP =∠NPB .解析:(1)利用线段垂直平分线的作法作出即可;(2)利用全等三角形的判定方法以及利用其性质得出即可.解:(1)如图所示:(2)在△AMP 和△BNP 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧AM =PN ,PM =BN ,AP =BP ,∴△AMP ≌△PNB (SSS),∴∠MAP =∠NPB .方法总结:解决此类问题首先要正确作出图形,然后运用相关的知识解决其他问题.【类型三】 垂直平分线作法的应用如图,某地由于居民增多,要在公路l 边增加一个公共汽车站,A ,B 是路边两个新建小区,这个公共汽车站C 建在什么位置,能使两个小区到车站的路程一样长(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写画法)?解析:作线段AB的垂直平分线,由垂直平分线的定理可知,垂直平分线上的点到A,B的距离相等.解:连接AB,作AB的垂直平分线交直线l于O,交AB于E.∵EO是线段AB的垂直平分线,∴点O到A,B的距离相等,∴这个公共汽车站C应建在O点处,才能使到两个小区的路程一样长.方法总结:对于作图题首先要理解题意,弄清问题中对所作图形的要求,结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图.【类型四】线段垂直平分线与角平分线作法的综合运用如图,某地有两所大学和两条交叉的公路.图中点M,N表示大学,OA,OB表示公路,现计划修建一座物资仓库,希望仓库到两所大学的距离相同,到两条公路的距离也相同,你能确定出仓库P应该建在什么位置吗?请在图中画出你的设计.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)解析:到两条公路的距离相等,在这两条公路的夹角的平分线上;到两所大学的距离相等,在这两所大学两个端点的连线的垂直平分线上,所画两条直线的交点即为所求的位置.解:如图,点P为所求.方法总结:通过本题要熟练地掌握角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法.探究点二:对称轴的画法【类型一】画出已知图形的对称轴画出下列轴对称图形的所有对称轴(不考虑颜色).解析:利用轴对称图形的性质分别得出其对称轴即可.解:如图所示:方法总结:画轴对称图形的对称轴,先找出对称点,然后作对称点的垂直平分线即可.【类型二】补全图形,并画出对称轴如图,在4×3的正方形网格中,阴影部分是由4个正方形组成的一个图形,请你用两种方法分别在如图方格内填涂2个小正方形,使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形,并画出其对称轴.解析:根据轴对称的性质画出图形即可.解:如图所示:方法总结:解答此类问题,一般要先设计出轴对称图形,然后根据图形的特点,画出对称轴.三、板书设计线段的垂直平分线的有关作图1.线段垂直平分线的作法.2.作轴对称图形的对称轴的方法.本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻,还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高.13.2画轴对称图形第1课时画轴对称图形1.理解图形轴对称变换的性质.(难点)2.能按要求画出一个图形关于某直线对称的另一个图形.(重点)一、情境导入观察下面的图形:(1)这些图案有什么共同特点?(2)能否根据其中一部分画出整个图案?二、合作探究探究点一:轴对称变换【类型一】剪纸问题将一张正方形纸片按如图①,图②所示的方向对折,然后沿图③中的虚线剪裁得到图④,将图④的纸片展开铺平,再得到的图案是( )解析:严格按照图中的顺序先向右上翻折,再向左上翻折,剪去左上角,展开得到图形B.故选B.方法总结:此类题目主要考查学生的动手能力及空间想象能力,对于此类问题,学生只要亲自动手操作,答案就会很直观地呈现.【类型二】折叠问题如图,将矩形ABCD沿DE折叠,使A点落在BC上的F处,若∠EFB=60°,则∠CFD =( )A.20° B.30° C.40° D.50°解析:根据图形翻折变换后全等可得△ADE≌△FDE,∴∠EAD=∠EFD=90°.∵∠EFB=60°,∴∠CFD=30°,故选B.方法总结:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,对应边和对应角相等.探究点二:作轴对称图形【类型一】画一个图形关于已知直线对称的另一个图形画出△ABC关于直线l的对称图形.解析:分别作出点A、B、C关于直线l的对称点,然后连接各点即可.解:如图所示:方法总结:我们在画一个图形关于某条直线对称的图形时,先确定一些特殊的点,然后作这些特殊点的对称点,顺次连接即可得到.【类型二】在方格中设计轴对称图形在3×3的正方形格点图中,有格点△ABC和△DEF,且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称,请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF.解析:对称轴可以随意确定,根据你确定的对称轴去画另一半对称图形即可.解:如图所示:方法总结:作一个图形关于一条已知直线的对称图形,关键是作出图形上一些点关于这条直线的对称点,然后再根据已知图形将这些点连接起来.【类型三】利用轴对称设计图案某居民小区搞绿化,要在一块矩形空地(如下图)上建花坛,现征集设计方案,要求设计的图案由圆和正方形组成(圆与正方形的个数不限),并且使整个矩形场地成轴对称图形.请在下边矩形中画出你的设计方案.K解析:矩形是轴对称图形,而正方形和圆也是轴对称图形,设计出的图案只要折叠重合即可.解:如图所示:方法总结:利用轴对称可以设计出精美的图案,一个图形经过不同位置的几次变换,若再结合平移、旋转等,便可以得到非常美丽的图案.三、板书设计作轴对称图形1.如何由一个平面图形得到它的轴对称图形.2.利用轴对称设计图案.本节课尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境,以生动活泼的形式呈现有关内容.重视动手操作,实践探究,但如果只有操作,而没有数学体验,数学课很容易上成劳技课,所以,本节课的设计在重视活动的同时,又重视知识的获取,因为动手操作的目的本身就在于更直观地发现新知识.练习的设计具有一定的层次性,使不同的学生在学习数学的过程中得到不同的发展.第2课时用坐标表示轴对称1.直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的特征.(重点)2.直角坐标系中关于某条直线对称的点的特征.(难点)一、情境导入十一黄金周,北京吸引了许多游客.一天,小红在天安门广场玩,一位外国友人向小红问西直门的位置,可小红只知道东直门的位置,不过,小红想了想,就准确的告诉了他.你知道为什么吗?结合老北京的地图向学生介绍:老北京城关于中轴线成轴对称设计,东直门、西直门就关于中轴线对称.如果以天安门为原点,分别以长安街和中轴线为x轴和y轴,就可以在这个平面图上建立直角坐标系,各个景点的地理位置就可以用坐标表示出来.提问:这些景点关于坐标轴的对称点你可以找出来吗?这些对称点的坐标与已知点的坐标有什么关系呢?二、合作探究探究点一:用坐标表示轴对称【类型一】求一个点关于坐标轴的对称点的坐标在平面直角坐标系中,与点P(2,3)关于x轴或y轴成轴对称的点是( )A.(-3,2) B.(-2,-3)C.(-3,-2) D.(-2,3)解析:点P(2,3)关于x轴对称的点的坐标为(2,-3),关于y轴对称的点的坐标为(-2,3),故选D.方法总结:关于x轴对称的点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标互为相反数.关于y 轴对称的点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变.【类型二】关于坐标轴对称的点与方程的综合已知点A(2a-b,5+a),B(2b-1,-a+b).(1)若点A、B关于x轴对称,求a、b的值;(2)若A、B关于y轴对称,求(4a+b)2016的值.解析:(1)根据关于x轴对称的点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标互为相反数可得2a-b =2b -1,5+a -a +b =0,解方程(组)即可;(2)根据关于y 轴对称的点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变可得2a -b +2b -1=0,5+a =-a +b ,解方程(组)即可.解:(1)∵点A 、B 关于x 轴对称,∴2a -b =2b -1,5+a -a +b =0,解得a =-8,b=-5;(2)∵A 、B 关于y 轴对称,∴2a -b +2b -1=0,5+a =-a +b ,解得a =-1,b =3,∴(4a +b )2016=1.方法总结:根据关于x 轴、y 轴对称的点的特征列方程(组)求解.【类型三】 关于坐标轴对称的点与不等式(组)的综合已知点P (a +1,2a -1)关于x 轴的对称点在第一象限,求a 的取值范围.解析:点P (a +1,2a -1)关于x 轴的对称点在第一象限,则点P (a +1,2a -1)在第四象限.解:依题意得P点在第四象限,∴⎩⎪⎨⎪⎧a +1>0,2a -1<0,解得-1<a <12,即a 的取值范围是-1<a <12. 方法总结:根据点的坐标关于坐标轴对称,判断出对称点所在的象限,由各象限内坐标的符号,列不等式(组)求解.探究点二:作关于坐标轴对称的图形【类型一】 作关于x 轴或y 轴对称的图形在平面直角坐标系中,已知点A (-3,1),B (-1,0),C (-2,-1),请在图中画出△ABC ,并画出与△ABC 关于y 轴对称的图形.解析:作出A ,B ,C 三点关于y 轴的对称点,顺次连接各点即可.解:如图所示,△DEF 是△ABC 关于y 轴对称的图形.方法总结:在坐标系中作出关于坐标轴的对称点,然后顺次连接,此类问题一般比较简单.【类型二】 与对称点有关的综合题如图,在10×10的正方形网格中,每个小方格的边长都是1,四边形ABCD 的四个顶点在格点上.(1)若以点B 为原点,线段BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,画出四边形ABCD关于y 轴对称的四边形A 1B 1C 1D 1;(2)点D 1的坐标是________;(3)求四边形ABCD 的面积.解析:(1)以点B 为原点,线段BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,然后作出各点关于y 轴对称的点,顺次连接即可;(2)根据直角坐标系的特点,写出点D 1的坐标;(3)把四边形ABCD 分解为两个直角三角形,求出面积.解:(1)如图所示;(2)点D 1的坐标为(-1,1);(3)四边形ABCD 的面积为12×1×3+12×1×2=52. 方法总结:轴对称变换作图,基本作法是:(1)先确定图形的关键点;(2)利用轴对称性质作出关键点的对称点;(3)按原图形中的方式顺次连接对称点.求多边形的面积可将多边形转化为规则图形的面积的和或差求解.三、板书设计用坐标表示轴对称1.直角坐标系中关于x 轴、y 轴对称的点的特征.2.直角坐标系中关于某条直线对称的点的特征.从本节课的授课过程来看,灵活运用了多种教学方法,既有教师的讲解,又有讨论,在教师指导下的自学,组织学生活动等.调动了学生学习的积极性,充分发挥了学生的主体作用.课堂拓展了学生的学习空间,给学生充分发表意见的自由度.13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形第1课时 等腰三角形的性质1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点)2.经历等腰三角形的探究过程,能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.(难点)一、情境导入探究:如图所示,把一张长方形的纸按照图中虚线对折并减去阴影部分,再把它展开得到的△ABC有什么特点?二、合作探究探究点一:等腰三角形的概念【类型一】利用等腰三角形的概念求边长或周长如果等腰三角形两边长是6cm和3cm,那么它的周长是( )A.9cm B.12cmC.15cm或12cm D.15cm解析:当腰为3cm时,3+3=6,不能构成三角形,因此这种情况不成立.当腰为6cm 时,6-3<6<6+3,能构成三角形;此时等腰三角形的周长为6+6+3=15(cm).故选D.方法总结:在解决等腰三角形边长的问题时,如果不明确底和腰时,要进行分类讨论,同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯,把不符合题意的舍去.探究点二:等腰三角形的性质【类型一】利用“等边对等角”求角度等腰三角形的一个内角是50°,则这个三角形的底角的大小是( )A.65°或50° B.80°或40°C.65°或80° D.50°或80°解析:当50°的角是底角时,三角形的底角就是50°;当50°的角是顶角时,两底角相等,根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.方法总结:等腰三角形的两个底角相等,已知一个内角,则这个角可能是底角也可能是顶角,要分两种情况讨论.【类型二】利用方程思想求等腰三角形角的度数如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.解析:设∠A=x,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数.解:设∠A =x .∵AD =BD ,∴∠ABD =∠A =x .∵BD =BC ,∴∠BCD =∠BDC =∠ABD +∠A =2x .∵AB =AC ,∴∠ABC =∠BCD =2x .在△ABC 中,∠A +∠ABC +∠ACB =180°,∴x +2x +2x =180°,∴x =36°,∴∠A =36°,∠ABC =∠ACB =72°.方法总结:利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系,当这种等量关系或和差关系较多时,可考虑列方程解答,设未知数时,一般设较小的角的度数为x .【类型三】 利用“等边对等角”的性质进行证明如图,已知△ABC 为等腰三角形,BD 、CE 为底角的平分线,且∠DBC =∠F ,求证:EC ∥DF .解析:先由等腰三角形的性质得出∠ABC =∠ACB ,根据角平分线定义得到∠DBC =12∠ABC ,∠ECB =12∠ACB ,那么∠DBC =∠ECB ,再由∠DBC =∠F ,等量代换得到∠ECB =∠F ,于是根据平行线的判定得出EC ∥DF .证明:∵△ABC 为等腰三角形,AB =AC ,∴∠ABC =∠ACB .又∵BD 、CE 为底角的平分线,∴∠DBC =12∠ABC ,∠ECB =12∠ACB ,∴∠DBC =∠ECB .∵∠DBC =∠F ,∴∠ECB =∠F ,∴EC ∥DF .方法总结:证明线段的平行关系,主要是通过证明角相等或互补.【类型四】 利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明如图,点D 、E 在△ABC 的边BC 上,AB =AC .(1)若AD =AE ,求证:BD =CE ;(2)若BD =CE ,F 为DE 的中点,如图②,求证:AF ⊥BC .解析:(1)过A 作AG ⊥BC 于G ,根据等腰三角形的性质得出BG =CG ,DG =EG 即可证明;(2)先证BF =CF ,再根据等腰三角形的性质证明.证明:(1)如图①,过A 作AG ⊥BC 于G .∵AB =AC ,AD =AE ,∴BG =CG ,DG =EG ,∴BG -DG =CG -EG ,∴BD =CE ;(2)∵BD =CE ,F 为DE 的中点,∴BD +DF =CE +EF ,∴BF =CF .∵AB =AC ,∴AF ⊥BC . 方法总结:在等腰三角形有关计算或证明中,会遇到一些添加辅助线的问题,其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线.【类型五】 与等腰三角形的性质有关的探究性问题如图,已知△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC =90°,BE 是∠ABC 的平分线,DE ⊥。
人教版数学八年级上册 13 2画轴对称图形(第一课时) 教案
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13.2 画轴对称图形(第一课时)教学目标1.通过实际操作,了解什么叫做轴对称变换.2.如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形.3. 经历实际操作、认真体验的过程,发展学生的思维空间,并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用.4.鼓励学生积极参与数学活动,培养学生的数学兴趣.5.初步认识数学和人类生活的密切联系,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的应用意识.教学重点1.轴对称变换的定义.2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形.教学难点1.作出简单平面图形关于直线的轴对称图形.2.利用轴对称进行一些图案设计.教学过程设计一、知识回顾1.如何验证两个平面图形是轴对称的?师生活动:教师结合所展示的图形进行提问,学生思考并回答:作出其中几对对应点的垂直平分线,看它们是否为同一条直线.2.作轴对称图形的对称轴的方法师生活动:教师结合所展示的图形进行提问,学生思考并回答:只要找到任意一组对应点,作出对应点所连线段的垂直平分线,就得到此图形的对称轴.设计意图:让学生通过观察、思考,复习关于做轴对称图形的对称轴知识,为本节课的内容做铺垫.追问:如果有一个图形和一条直线,我们能画出与这个图形关于这条直线对称的图形吗?师生活动:学生思考并说出自己的想法,当学生感到迷惑时,教师结合图形引出本节课内容二、新课讲授问题1在一张半透明的纸的左边画一只左脚印.把这张纸对折后描图,打开对折的纸,就能得到相应的右脚印.1.左脚印和右脚印有什么关系?2.对称轴是哪条直线?3.图中的对应点连线段PP ′与对称轴有什么关系?师生活动:教师提出问题,学生思考可以利用所学过的哪些知识点来解决问题教师提示,归纳:(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全相同(2)新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线l的对称点(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分设计意图:通过提出问题、解决问题,让学生学会用所学知识点解决实际操作问题,提高动手操作能力.问题2已知点A和直线l,如何画出与点A关于直线l对称的图形?师生活动:通过教师提出问题,学生观察思考,根据垂直平分线性质并归纳作法:1.过点A画直线l的垂线,垂足为点O2.在垂线上截取OA′=OA.问题3已知线段AB和直线l,如何画出与线段AB关于直线l对称的图形?师生活动:通过教师提出问题,学生观察思考,在问题2的基础上发现图形特点,归纳作法:1、过点A作直线l的垂线,垂足为点O,在垂线上截OA’=OA,点A’就是点A关于直线l的对称点;2、类似地,作出点B关于直线l的对称点B’;3、连接A’B’.问题3例1 如图,已知△ABC和直线l,作出与△ABC关于直线l对称的图形.师生活动:通过教师提出问题,学生观察思考,在问题1和问题2的基础上类比发现图形特点,归纳作法:1、过点A作直线l的垂线,垂足为点O,在垂线上截取OA’=OA,点A’就是点A关于直线l的对称点2、类似地,分别作出点B、C关于直线l的对称点B’、C’;3、连接A’B’、B’C’、C’A’.师生共同小结画轴对称图形的方法:几何图形都可以看作由点组成.对于某些图形,只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形.师生共同归纳画轴对称图形的步骤:1、找点(确定图形中的一些特殊点);2、画点(画出特殊点关于已知直线的对称点);3、连线(连接对称点)三、课堂练习1.下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形,其中正确的是()2.如图,把下列图形补成关于直线l的对称图形。
新人教版八年级数学第13章《轴对称》教案
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第十三章《轴对称》教材分析一、教材内容本章的主要内容是从生活中的图形入手,学习轴对称及其基本性质,了解轴对称在现实生活中的广泛应用,并利用轴对称变换,探索等腰三角形的性质,学习等腰三角形的判定方法,并进一步学习等边三角形的性质.在本章第1小节“轴对称”中,教科书立足于学生的生活经验和数学活动经历,从观察现实生活中的对称现象开始,引出轴对称图形和图形的轴对称的概念,概括出轴对称的特征.结合探索对称点的关系,归纳得出对应点连线被对称轴垂直平分的性质,并结合这一性质的得出,讨论了垂直平分线的性质定理及其逆定理.在第2节“画轴对称图形”中,首先通过操作对轴对称的性质进行了归纳,然后通过例题给出了画简单平面图形关于给定对称轴的对称图形的一般方法,最后用坐标从数量关系的角度刻画了轴对称.教科书从观察和实验入手,归纳得出坐标平面上一个点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律,并进一步探讨了如何利用这种规律在平面直角坐标系中画出一个图形关于x轴或y轴对称的图形.本章第3节等腰三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的所有性质外,还有许多特殊的性质.等腰三角形的许多特殊性质,又都和它是轴对称图形有关,这也是教科书把这部分内容安排在本章的一个重要原因.在本章第3小节“等腰三角形”中,利用等腰三角形的轴对称性,得出了“等边对等角”“三线合一”等性质,并进一步讨论了等腰三角形的判定方法以及等边三角形的性质与判定方法等内容.本章第4节是“课题学习最短路径问题”.教科书在这一节中安排了两个问题,分别是“牧马人饮马问题”和“造桥选址问题”,解决这两个问题的关键是通过轴对称和平移等变化把问题转化为关于“两点之间,线段最短”的问题,在解决这两个问题的过程中渗透了化归的思想.二、教学目标1、知识与技能(1)通过具体实例认识轴对称、轴对称图形,探索轴对称的基本性质,理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质.(2)探索简单图形之间的轴对称关系,能够按照要求画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形;认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.(3)理解线段垂直平分线的概念,探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.(4)了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理;探索并掌握等腰三角形的判定定理;探索等边三角形的性质定理及等边三角形的判定定理.2、过程与方法(1)在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯;(2)在灵活运用知识解决有关问题的过程中,体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法,进一步培说理和进行简单推理的能力。
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新人教八年级数学上册13.1 轴对称导学案一、学习目标1.理解什么是轴对称图形;2.理解什么是“两个图形关于一条直线对称”;3.能够说出轴对称与轴对称图形的区别与联系.二、知识回顾1.如图(1),OC平分∠AOB,则∠AOC=∠BOC=12∠AOB.2.如图(2),△ABD≌△ACD,AB与AC是对应边.写出这两个三角形的对应顶点和对应边.对应顶点:A与A;B与C;D与D.对应边:AD与AD;BD与CD.三、新知讲解1.轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.2.成轴对称的两个图形把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.3.轴对称图形与成轴对称的两个图形的区别与联系:区别一个具有特殊形状的图形,至少有一条对称轴.两个图形的位置关系,只有一条对称轴.联系如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两部分就是这条直线成轴对称.如果把两个成轴对称的图形拼在一起,看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.4.线段的垂直平分线经过线段中点并且垂直这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.5.轴对称的性质:(1)成轴对称的两个图形全等.(2)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连接线段的垂直平分线.类似地,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连接线段的垂直平分线.(3)两个图形关于某条直线对称,如果他们的对应线段或其延长线相交,那么交点一定在对称轴上.四、典例探究扫一扫,有惊喜哦!1.轴对称几何图形的识别【例1】(2015•乐陵市模拟)如图,图中的图形是常见的安全标记,其中是轴对称图形的是()A.B.C.D.总结:1.判断一个图形是轴对称图形的关键是寻找到对称轴. 如果有一条直线,使得图形两部分折叠后可重合,那么这个图形就是轴对称图形,这条直线就是对称轴.2.几何图形中的线段、角、正方形、长方形、等腰三角形、等腰梯形、圆等都是轴对称图形.练1.如图,国旗是一个国家的象征,观察下面的国旗,是轴对称图形的是().A.加拿大、澳大利亚、乌拉圭B.加拿大、澳大利亚、瑞典C.加拿大、瑞典、瑞士D.乌拉圭、瑞典、瑞士2.识别成轴对称的两个图形【例2】下面给出的每组照片中的两个图案成轴对称吗?如果是,试着找出它们的对称轴,并找出一对对称点.加拿大澳大利亚乌拉圭瑞典瑞士总结:1.成轴对称的两个图形可以沿着某一条直线折叠后能重合,这条直线是对称轴.2.成轴对称和轴对称图形是两个不同的概念,两者既有联系又有区别.练2.在下列选项中,右边图形与左边图形成轴对称的是().3.根据成轴对称的两个图形的特征进行判断【例3】(2013秋•盐都区期末)如图是一个风筝设计图,其主体部分(四边形ABCD)关于BD所在的直线对称,AC与BD相交于点O,且AB≠AD,则下列判断不正确的是()A.△ABD≌△CBD B.△ABC是等边三角形C.△AOB≌△COB D.△AOD≌△COD总结:1.如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.2.成轴对称的两个图形全等.练3.(2014•柳州)如图,直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.根据成轴对称的两个图形的特征进行求解【例4】(2015•温州一模)如图,若▱ABCD与▱BCFE关于BC所在直线对称,∠ABE=86°,则∠E等于()A.137°B.104°C.94°D.86°总结:1.成轴对称的两个图形的对应边相等、对应角相等.2.对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等.练4.(2014秋•扶余县期中)如图,两个四边形关于直线l对称,∠C=90°,试写出a,b的长度,并求出∠G的度数.五、课后小测一、选择题1.(2013秋•仪征市校级期末)圆是轴对称图形,它的对称轴有()A.1条B.2条C.3条D.无数条2.下列说法错误的是()A.若A,A′是以BC为轴对称的点,则AA′垂直平分BCB.线段的一条对称轴是它本身所在的直线C.一条线段的一个端点的对称点是另一个端点D.等边三角形是轴对称图形3.下列说法错误的是()A.等边三角形有3条对称轴B.正方形有4条对称轴C.角的对称轴有2条D.圆有无数条对称轴4.(2015•潍坊模拟)下列图形中,不是轴对称图形的是()A.B.C.D.5.(2015•伊春模拟)下列体育运动标志中,从图案看不是轴对称图形的有()个.A.4 B.3 C.2 D.16.(2015•杭州模拟)下面四幅画分别是体育运动长鼓舞,武术,举重、摔跤抽象出来的简笔画,其中是轴对称图形的是()A.B.C.D.7.(2015•南开区一模)下列四个图形中,轴对称图形有()A.4个B.3个C.2个D.1个8.(2014秋•厦门期末)如图,△ABC和△A′B′C′关于直线l对称,若∠A=50°,∠C′=30°,则∠B的度数为()A.30°B.50°C.90°D.100°9.(2014秋•孝南区期末)如图,一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD,其中∠B=40゜,∠CAD=60゜,则∠BCD=()A.160゜B.120゜C.80゜D.100゜10.(2014秋•石家庄期末)下列图形中,△A′B′C′与△ABC成轴对称的是()A.B.C.D.11.(2014春•环翠区校级期末)下列说法中,正确的是()A.到直线l的距离相等的两点关于直线l对称B.角的两边关于角的平分线对称C.圆是轴对称图形,有无数条对称轴D.有一个内角为60°的三角形是轴对称图形12.(2014春•宜宾校级期末)如图,△ABC关于直线a对称,则∠F的度数是()A.30°B.50°C.90°D.100°二、填空题13.观察下图中各组图形,其中成轴对称的为___________(只写序号1,2等).14.(2013•上海模拟)如图,AB左边是计算器上的数字“5”,若以直线AB为对称轴,那么它的轴对称图形是数字________________.15.(2010春•海曙区期末)下列图形中,轴对称图形有__________个.16.(2010秋•景洪市校级期末)如图所示,观察规律并填空:空格处应该是_______.17.(2009秋•南京期中)线段、角、平行四边形、长方形、等腰梯形中有两条对称轴的是_____.三、解答题18.(2013秋•赣县校级期中)如图,在下面一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律,然后在横线上的空白处填上恰当的图形.典例探究答案:【例1】【解析】根据轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形.据此对常见的安全标记图形进行判断. 解:A 、有一条对称轴,是轴对称图形,符合题意;B 、不是轴对称图形,因为找不到任何一条直线,使它沿这条直线折叠后,直线两旁的部分能够重合,即不满足轴对称图形的定义.不符合题意;C 、不是轴对称图形,因为找不到任何一条直线,使它沿这条直线折叠后,直线两旁的部分能够重合,即不满足轴对称图形的定义.不符合题意;D 、不是轴对称图形,因为找不到任何一条直线,使它沿这条直线折叠后,直线两旁的部分能够重合,即不满足轴对称图形的定义.不符合题意. 故选A .练1.【解析】根据轴对称图形的定义,加拿大、瑞典、瑞士的国旗是轴对称图形,故选C . 【例2】【解析】甲组是两幅相同的图案,但不成轴对称;乙组的两个图形,把其中的一个图形折叠后可以与另一个图形重合,那么这个两个图案成轴对称,其对称轴如图所示;丙组的两个图案不成轴对称.练2.【解析】C 的两个图形沿线折叠后重合,根据成轴对称的两个图形的定义,故选C . 【例3】【解析】先根据轴对称的性质得出AB=BC ,AD=CD ,OA=OC ,BD ⊥AC ,再根据全等三角形的判定定理即可得出结论.解:∵主体部分(四边形ABCD )关于BD 所在的直线对称,AC 与BD 相交于点O , ∴AB=BC ,AD=CD ,OA=OC ,BD ⊥AC , 在△ABD 与△CBD 中,AB CB AD CD BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴△ABD 与△CBD ,故A 正确; 在△AOB 与△COB 中,OA OC AOB COB BO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOB ≌△COB ,故C 正确; 在△AOD 与△COD 中,OA OC AD CD OD OD =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△AOD ≌△COD ,故D 正确; △ABC 是等腰三角形,故B 错误. 故选:B .点评:本题考查的是轴对称的性质,熟知如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键. 练3.【解析】根据轴对称的性质作出选择.解:如图所示,直角坐标系中的五角星关于y 轴对称的图形在第一象限. 故选:A .点评:本题考查了轴对称的性质.此题难度不大,采用了“数形结合”的数学思想.【例4】【解析】根据轴对称的性质可得∠ABC=∠EBC ,然后求出∠EBC ,再根据平行四边形邻角互补列式计算即可得解.解:∵▱ABCD 与▱BCFE 关于BC 所在直线对称, ∴∠ABC=∠EBC , ∵∠ABE=86°, ∴∠EBC=×86°=43°,在▱BCFE中,∠E=180°﹣∠EBC=180°﹣43°=137°.故选A.点评:本题考查了轴对称的性质,平行四边形的性质,对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等,对应的角、线段都相等.练4.【解析】轴对称的性质:(1)如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.(2)轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.解:∵两个四边形关于直线l对称,∴四边形ABCD≌四边形FEHG,∴∠H=∠C=90°,∠A=∠F=80°,∠E=∠B=135°,∴∠G=360°﹣∠H﹣∠A﹣∠F=55°,∴a=5cm b=4cm.点评:主要考查了轴对称的性质和四边形的内角和是360度的实际运用,难度不大.课后小测答案:一、选择题1.【解析】根据圆的性质:沿经过圆心的任何一条直线对折,圆的两部分都能重合,即可得到经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴,据此即可判断.解:圆的对称轴是经过圆心的直线,有无数条.故选:D.2.【解析】根据轴对称的概念:把一个图形沿某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,称轴对称,及轴对称的含义:①有两个图形,且这两个图形能够完全重合,即形状大小完全相同;②对重合的方式有限制,只能是把它们沿一条直线对折后能够重合,解答即可.解:A、应该是BC垂直平分AA′,故本选项错误;B、线段的一条对称轴是它本身所在的直线,故本选项正确;C、一条线段的一个端点的对称点是另一个端点,故本选项正确;D、等边三角形是轴对称图形,故本选项正确.故选A.点评:本题考查轴对称的概念及性质,属于基础题,掌握基本的概念是解答此类题目的关键.3.【解析】根据等边三角形,正方形,角,圆的轴对称性,即可作出判断.解:A、等边三角形的对称轴是各边的中垂线,有3条,故正确;B、正方形对称轴是边的中垂线与经过相对顶点的直线,共有4条,故选项正确;C、角的对称轴是角的平分线所在的直线,只有一条,故错误;D、圆的对称轴是经过圆心的直线,有无数条,故正确.故选:C.点评:本题考查生活中的轴对称问题,正确理解常见的几个图形的性质是解题的关键.4.【解析】根据轴对称的定义,结合所给图形即可作出判断.解:A、是轴对称图形,故本选项错误;B、是轴对称图形,故本选项错误;C、不是轴对称图形,故本选项正确;D、是轴对称图形,故本选项错误;故选:C.点评:此题考查了轴对称的知识,属于基础题,解答本题的关键是熟练掌握轴对称的定义及特点.5.【解析】根据轴对称图形的概念:关于某条直线对称的图形叫轴对称图形.求解解:(1)(2)(4)都不是轴对称图形,只有(3)是轴对称图形.故选:B.点评:轴对称图形的判断方法:如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形.6.【解析】根据轴对称图形的概念求解.解:A、不是轴对称图形,故错误;B、不是轴对称图形,故错误;C、是轴对称图形,故正确;D、不是轴对称图形,故错误.故选:C.点评:本题考查了轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合.7.【解析】根据轴对称图形定义:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析.解:①③不是轴对称图形,②④是轴对称图形,因此共有2个轴对称图形,故选:C.点评:此题主要考查了轴对称图形,关键是找出图形的对称轴.8.【解析】先根据△ABC和△A′B′C′关于直线l对称得出△ABC≌△A′B′C′,故可得出∠C=∠C′,再由三角形内角和定理即可得出结论.解:∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称,∠A=50°,∠C′=30°,∴△ABC≌△A′B′C′,∴∠C=∠C′=30°,∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=180°﹣50°﹣30°=100°.故选:D.点评:本题考查的是轴对称的性质,熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键.9.【解析】根据轴对称的性质可得∠D=∠∠B=60°,∠BCA=∠DCA,再根据∠DCA的度数,进而得到答案.解:根据轴对称的性质可得∠D=∠∠B=60°,∵∠CAD=60゜,∴∠DCA=180°﹣60°﹣40°=80°,根据轴对称的性质可得∠BCA=∠DCA=80°,∴∠BCD=160°,故选:A.点评:此题主要考查了轴对称的性质,关键是掌握轴对称的对应角相等,对应边相等.10.【解析】根据中心对称,轴对称,平移变换的性质对各选项分析判断即可得解.解:A、是中心对称图形,故本选项错误;B、是轴对称图形,故本选项正确;C、是平移变换图形,故本选项错误;D、是旋转变换图形,故本选项错误.故选:B.点评:本题考查轴对称的性质,对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等,对应的角、线段都相等.11.【解析】分别根据轴对称的性质、角平分线及圆的性质对各选项进行逐一判断即可.解:A、到直线l的距离相等的两点不一定关于直线l对称,故本选项错误;B、角的两边关于角平分线所在的直线对称,故本选项错误;C、圆是轴对称图形,有无数条对称轴,故本选项正确;D、有一个内角为60°的等腰三角形是轴对称图形,故本选项错误.故选:C.点评:本题考查的是轴对称的性质,熟知如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称是解答此题的关键.12.【解析】利用轴对称图形的性质得出对应角,进而得出答案.解;∵△ABC关于直线a对称,∴∠E=∠B,∠D=∠A,∠F=∠C,则∠F的度数是:30°.故选:A.点评:此题主要考查了轴对称图形的性质,得出对应角是解题关键.二、填空题13.【解析】认真观察所给的图形,按照直线两旁的部分是否能够互相重合来判断是否符合要求.解:3中的伞把不对称,故填①②④故填①②④点评:本题考查了生活中的轴对称问题;轴对称的关键是寻找对称轴,观察直线两边图象折叠后可重合是正确解答本题的关键.14.【解析】先得到数字“5”的轴对称图形,根据图形即可求解.解:根据轴对称图形的定义可知,数字“5”的轴对称图形是数字2.故答案为:2.点评:考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.15.【解析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形.解:第1,2,4个图形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合,是轴对称图形,故填3.点评:轴对称的关键是寻找对称轴,两边图象折叠后可重合.16.【解析】根据已知得出是连续的偶数且每两个数组成轴对称图形进而得出答案.解:由题意得出:数据是连续的偶数且每两个数组成轴对称图形,故空格处应该是.故答案为:.点评:此题主要考查了轴对称图形的性质,根据题意得出数组变化规律是解题关键.17.【解析】根据轴对称图形的概念,分析各图形的对称轴条数求解.解:线段有两条对称轴:是它的中垂线和它自身所在的直线;角有一条对称轴:是角平分线所在的直线;长方形有两条对称轴:分别是两组对边的中垂线;等腰梯形有一条对称轴:是上底和下底的中垂线.故填:线段、长方形.点评:掌握轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,注意不要遗漏.三、解答题18.【解析】仔细观察会发现它们都是轴对称图形,所以在空白处再画一个轴对称图形即可.解:从图中可以发现所有的图形都是轴对称图形,而且图形从左到右分别是1﹣7的数字,所以画一个轴对称图形且数字为6即可.所填图形为:.点评:本题是一道规律型的题,首先要从图中找出规律,然后再根据规律画图.但还是考查了轴对称图形的性质.。