《解析几何》课程教案

第一章矢量与坐标教学目的1、理解矢量的有关概念，掌握矢量线性运算的法则及其运算性质;2、理解矢量的乘法运算的意义，熟悉它们的几何性质，并掌握它们的运算规律;3、利用矢量建立坐标系概念，并给出矢量线性运算和乘法运算的坐标表示;4、能熟练地进行矢量的各种运算，并能利用矢量来解决一些几何问题。

教学重点矢量的概念和矢量的数性积，矢性积，混合积。

教学难点矢量数性积，矢性积与混合积的几何意义。

参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，大学，2000.08授课课时8§1.1 矢量的概念教学目的1、理解矢量的有关概念; 2、掌握矢量间的关系。

教学重点矢量的两个要素：摸与方向。

教学难点矢量的相等参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，大学，2000.08授课课时1一、有关概念1. 矢量2. 矢量的表示3. 矢量的模二、特殊矢量1. 零矢2. 单位矢三、矢量间的关系1. 平行矢2. 相等矢3. 自由矢4. 相反矢5. 共线矢6. 共面矢7. 固定矢量例1. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：＝. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？例2. 回答下列问题：(1) 若矢量//，//,则是否有//？(2) 若矢量,,共面，,,也共面，则,,是否也共面？(3) 若矢量,,中//，则,,是否共面？(4) 若矢量，共线，在什么条件下，也共线？作业题：1. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量、、、、、、、、、、和中，哪些矢量是相等的？2. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) 、; (2) 、; (3) 、; (4) 、; (5) 、.矢量的线性运算(§1.2 矢量的加法、§1.3 矢量的数乘)教学目的1、掌握矢量加法的两个法则、数量与矢量的乘法概念及运算律;2、能用矢量法证明有关几何命题。

教学重点矢量加法的平行四边形法则、数量与矢量的乘法概念教学难点运算律的证明、几何命题转化为矢量间的关系参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，大学，2000.08授课课时1一、概念1. 两个例子2. 矢量的加法法则(1) 三角形法则(2) 平行四边形法则二、性质1. 运算规律(1) 交换律+＝+;(2) 结合律 (+)+＝+(+);(3) +＝;(4) +(－)＝.2. 矢量加法的多边形法则3. 矢量减法4. 三角不等式(1)|+|≤||+||, |-|≥||-||;(2)|++…+|≤||+||+…+||.例1. 从矢量方程组中解出矢量.例2. 用矢量法证明平行四边形对角线互相平分.作业题：1. 设两矢量与共线，试证+＝+.2. 证明：四边形ABCD为平行四边形的充要条件是对任一点O有+＝＋.§1.3 数量乘矢量一、概念1. 数乘的例子2. 数乘的定义二、性质1. 运算规律(1)1＝.(2) 结合律 ()＝().(3) 第一分配律 (+)＝+.(4) 第二分配律(+)＝+.例1. 如图1-7，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明例2. 设点O是平面上正多边形A1A2…A n的中心，证明:作业题：1. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量, , 可以构成一个三角形.2. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明+=++.3. 用矢量法证明，四面体对棱中点的连线相交于一点且互相平分.§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解教学目的1、理解矢量在直线和平面及空间的分解定理；2、掌握矢量间的线性相关性及判断方法。

教学重点矢量的三个分解定理及线性相关的判断。

教学难点分解定理的证明参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，大学，2000.08授课课时1一、矢量的分解1. 线性运算2. 线性组合3. 矢量在直线上的分解：定理1 如果矢量，那么矢量与矢量共线的充要条件是可以用矢量线性表示，或者说是的线性组合，即＝x，且系数x被，唯一确定. 称为用线性组合来表示共线矢量的基底.4. 矢量在平面上的分解：定理2 如果矢量, 不共线，那么矢量与, 共面的充要条件是可以用矢量, 线性表示，或者说矢量可以分解成矢量, 的线性组合，即＝x+y，且系数x, y被, , 唯一确定. ,称为平面上矢量的基底.5. 矢量在空间的分解：定理3 如果矢量, , 不共面，那么空间任意矢量可以由矢量, , 线性表示，或者说矢量可以分解成矢量, , 的线性组合，即＝x+y+z，且系数x, y, z被, , , 唯一确定. , , 称为空间矢量的基底.二、矢量的线性关系1.定义对于n (n≥1)个矢量, , …, ，如果存在不全为零的n个数1, 2，…, n, 使得1+2+…+n=,那么n个矢量, , …, 叫做线性相关. 矢量, , …, 线性无关是指，只有当1＝2＝…＝n＝0时，上式才成立.2.判断方法推论1 一个矢量线性相关的充要条件是=.定理4 矢量, ,…, (n≥2)线性相关的充要条件是其中有一个矢量是其余矢量的线性组合.定理5 如果一组矢量中的一部分矢量线性相关，那么这一组矢量就线性相关.推论2 一组矢量中如果含有零矢量，那么这组矢量必线性相关.定理6 两矢量共线的充要条件是它们线性相关.定理7 三矢量共面的充要条件是它们线性相关.定理8 空间任何四个矢量总是线性相关.推论3 空间四个以上矢量总是线性相关.例1. 设一直线上三点A, B, P满足＝(－1),O是空间任意一点，求证：＝例2. 在△ABC中，设＝，＝，AT是角A的平分线（它与BC交于T点），试将分解为,的线性组合.作业题：1. 在平行四边形ABCD中，(1) 设对角线＝,＝，求, , , ;(2) 设边BC和CD的中点为M和N，且＝, ＝,求, .2. 在△ABC中，设＝, ＝, D、E是边BC的三等分点，将矢量,分解为, 的线性组合.3. 用矢量法证明: 三角形三中线共点.4. 设G是△ABC的重心，O是空间任意一点，试证＝(+).5．设＝ (i＝1, 2, 3, 4)，试证P1, P2, P3, P4四点共面的充要条件是存在不全为零的实数i (i ＝1, 2, 3, 4)使1+2+3+4=, 且.§1.5 标架与坐标教学目的1、能利用矢量建立坐标系概念；2、理解点的坐标及矢量分量的表示方法；3、掌握矢量线性运算及线段定比分点的坐标表示方法。

教学重点标架概念及点和矢量的坐标表示方法教学难点矢量的分量参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育，2001.06(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，大学，2000.08授课课时 1一、空间坐标系1. 空间中的一个定点O，连同三个不共面的有序矢量, , 的全体，叫做空间中的一个标架，记做{O;,}.2. 对于标架{O;,,}，如果, , 间的相互关系和右手拇指、食指、中指相同，那么这个标架叫做右旋标架或称右手标架；如果, , 间的相互关系和左手的拇指、食指、中指相同，那么这个标架叫做左旋标架或称左手标架.3. 表达式＝x+y+z中的x, y, z叫做矢量关于标架{O;,,}的分量或称为坐标，记做{x, y, z}或{x, y, z}.4. 对于取定了标架{O;,,}的空间中任意点P，矢量叫做点P的径矢，径矢关于标架{O;,,}的分量x, y, z叫做点P关于标架{O;,,}的坐标，记做P (x, y, z)或(x, y, z).5. 当空间取定标架{ O; ,, }之后，空间全体矢量的集合或者全体点的集合与全体有序三数组x, y, z的集合具有一一对应的关系，这种一一对应的关系叫做空间矢量或点的一个坐标系. 空间坐标系也常用{O;,,}来表示，此时点O叫做坐标原点，, , 都叫做坐标矢量.6. 由右(左)旋标架决定的坐标系叫做右(左)旋坐标系或右(左)手坐标系；仿射标架、笛卡尔标架与直角标架所确定的坐标系分别叫做仿射坐标系、笛卡尔坐标系与直角坐标系.二、平面坐标系1. 约定用{O;}表示直角坐标系，以后在讨论空间问题时所采用的坐标系，一般都是空间右手直角坐标系.2. 过点O沿着三坐标矢量, , 的方向引三轴Ox, Oy, Oz,可以用这三条具有公共点O的不共面的轴Ox, Oy, Oz来表示空间坐标系，记做O—x y z，此时点O叫做空间坐标系的原点，三条轴Ox, Oy, Oz 都叫做坐标轴，且依次叫做x轴，y轴和z轴，每两条坐标轴所决定的平面叫做坐标面，分别叫做xOy平面，yOz平面与xOz平面. 三坐标平面把空间划分为八个区域，每一个区域都叫做卦限.3. 平面上一个定点O, 连同两个不共线的有序矢量, 的全体，叫做平面上的一个标架，记做{O;,}，如果, 都是单位矢量，那么{O;,}叫做笛卡尔标架；与相互垂直的笛卡尔标架叫做笛卡尔直角标架，简称直角标架；在一般情况下，{O;,}叫做仿射标架.4. 对于标架{O;,}，将绕O旋转，使的方向以最近的路径旋转到与的方向相合时，如果旋转方向是逆时针的，则这种标架叫做右旋标架或称右手标架；5. 表达式＝x＋y中的x, y叫做矢量关于标架{O;,}的分量或称为坐标，记做{x, y}或{x, y}.6. 对于取定了标架{O;,}的平面上的任意点P，矢量叫做点P的径矢，径矢关于标架{O;,}的分量x, y叫做点P关于标架{O;,}的坐标，记做P(x, y)或(x, y).7. 当平面上取定标架{O;,}之后，平面上全体矢量的集合或者全体点的集合与全体有序数对x, y 的集合具有一一对应的关系，这种一一对应的关系叫做平面上矢量或点的一个坐标系. 平面坐标系也常用{O;,}来表示，此时点O叫做坐标原点，, 都叫做坐标矢量.8. 由右(左)旋标架决定的坐标系叫做右(左)旋坐标系或右(左)手坐标系；仿射标架、笛卡尔标架与直角标架所确定的坐标系分别叫做仿射坐标系、笛卡尔坐标系与直角坐标系.15. 约定用{O;,}表示直角坐标系, 在讨论平面问题时所采用的坐标系，一般都是平面右手直角坐标系.9. 过点O沿着坐标矢量, 的方向引二轴Ox, Oy,可以用这二条具有公共点O的不共线的轴Ox，Oy 来表示平面坐标系，记做O－x y，此时点O叫做平面坐标系的原点，Ox叫做x轴，Oy叫做y轴. 两坐标轴把平面分成四个区域，每一个区域都叫做象限.三、直线坐标系1. 直线上一个定点O，连同直线上一个非零矢量的全体，叫做直线上的一个标架，记做{O;}，如果为单位矢量，那么{O;}叫做笛卡尔标架，在一般情况下，{O;}叫做仿射标架.2. 表达式＝x中的x叫做矢量关于标架{O;}的分量或称为坐标，记做{x}或{x}.3. 对于取定了标架{O;}的直线上任意点P，矢量叫做点P的径矢，径矢关于标架的分量x叫做点P关于标架{O;}的坐标，记做P(x)或(x).4. 当直线上取定标架{O;}之后，直线上全体矢量的集合或全体点的集合与全体实数x的集合具有一一对应的关系，这种一一对应的关系叫做直线上矢量或点的一个坐标系. 直线上的坐标系也常用{O;}来表示，此时点O叫做坐标原点，叫做坐标矢量.5. 由仿射标架与笛卡尔标架所确定的坐标系分别叫做仿射坐标系与笛卡尔坐标系.6. 取定标架{O; }的直线，叫做坐标轴或简称为轴，原点为O，坐标写成x的轴记做Ox.例1. 在空间直角坐标系{O;}下，求P(2,－3,－1)，M(a, b, c)关于 (1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标.例2. 已知矢量, , 的分量如下：(1) ＝{0, －1, 2}，＝{0, 2, －4}，＝{1, 2, －1}；(2) ＝{1, 2, 3}，＝{2, －1, 0}，＝{0, 5, 6}.试判别它们是否共面？能否将表成，的线性组合？若能表示，写出表示式.作业题：1. 指出坐标满足下列条件的点(x, y, z)在空间的位置.(1)x＝y； (2)y z<0; (3)x y z<0.2. 平行于z轴的矢量有什么特点？平行于x轴和y轴的矢量又分别有什么特点？3. 已知线段AB被点C(2, 0, 2)和D(5,－2, 0)三等分，试求这个线段两端点A与B的坐标.§1.6 矢量在轴上的射影教学目的1、掌握射影与射影矢量的概念及矢量线性运算的射影表示；2、理解矢量在轴上的的射影与坐标的关系。