《解析几何》课程教案

第一章矢量与坐标

教学目的1、理解矢量的有关概念，掌握矢量线性运算的法则及其运算性质;

2、理解矢量的乘法运算的意义，熟悉它们的几何性质，并掌握它们的运算规律;

3、利用矢量建立坐标系概念，并给出矢量线性运算和乘法运算的坐标表示;

4、能熟练地进行矢量的各种运算，并能利用矢量来解决一些几何问题。

教学重点矢量的概念和矢量的数性积，矢性积，混合积。

教学难点矢量数性积，矢性积与混合积的几何意义。

参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育，2001.06

(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，大学，2000.08

授课课时8

§1.1 矢量的概念

教学目的1、理解矢量的有关概念; 2、掌握矢量间的关系。

教学重点矢量的两个要素：摸与方向。

教学难点矢量的相等

参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育，2001.06

(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，大学，2000.08

授课课时1

一、有关概念

1. 矢量

2. 矢量的表示

3. 矢量的模

二、特殊矢量

1. 零矢

2. 单位矢

三、矢量间的关系

1. 平行矢

2. 相等矢

3. 自由矢

4. 相反矢

5. 共线矢

6. 共面矢

7. 固定矢量

例1. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、Ｃ

Ｄ、ＤＡ的中点，求证：＝. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也

成立？

例2. 回答下列问题：

(1) 若矢量//，//,则是否有//？

(2) 若矢量,,共面，,,也共面，则,,是否也共面？

(3) 若矢量,,中//，则,,是否共面？

(4) 若矢量，共线，在什么条件下，也共线？

作业题：

1. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量、、、、、

、、、、、和中，哪些矢量是相等的？

2. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相

等的矢量和互为相反矢量的矢量：

(1) 、; (2) 、

; (3) 、; (4) 、; (5) 、.

矢量的线性运算(§1.2 矢量的加法、§1.3 矢量的数乘)

教学目的1、掌握矢量加法的两个法则、数量与矢量的乘法概念及运算律;

2、能用矢量法证明有关几何命题。

教学重点矢量加法的平行四边形法则、数量与矢量的乘法概念

教学难点运算律的证明、几何命题转化为矢量间的关系

参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育，2001.06

(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，大学，2000.08

授课课时1

一、概念

1. 两个例子

2. 矢量的加法法则

(1) 三角形法则

(2) 平行四边形法则

二、性质

1. 运算规律

(1) 交换律+＝+;

(2) 结合律 (+)+＝+(+);

(3) +＝;

(4) +(－)＝.

2. 矢量加法的多边形法则

3. 矢量减法

4. 三角不等式

(1)|+|≤||+||, |-|≥||-||;

(2)|++…+|≤||+||+…+||.

例1. 从矢量方程组中解出矢量.

例2. 用矢量法证明平行四边形对角线互相平分.

作业题：

1. 设两矢量与共线，试证+＝+.

2. 证明：四边形ABCD为平行四边形的充要条件是对任一点O

有

+＝＋.

§1.3 数量乘矢量

一、概念

1. 数乘的例子

2. 数乘的定义

二、性质

1. 运算规律

(1)1＝.

(2) 结合律 ()＝().

(3) 第一分配律 (+)＝+.

(4) 第二分配律(+)＝+.

例1. 如图1-7，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明

例2. 设点O是平面上正多边形A1A2…A n的中心，证明:

作业题：

1. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量

, , 可以构成一个三角形.

2. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明

+=++.

3. 用矢量法证明，四面体对棱中点的连线相交于一点且互相平分.

§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解

教学目的1、理解矢量在直线和平面及空间的分解定理；2、掌握矢量间的线性相关性及判断方法。

教学重点矢量的三个分解定理及线性相关的判断。

教学难点分解定理的证明

参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育，2001.06

(2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，大学，2000.08

授课课时1

一、矢量的分解

1. 线性运算

2. 线性组合

3. 矢量在直线上的分解：

定理1 如果矢量，那么矢量与矢量共线的充要条件是可以用矢量线性表示，或者说是的线性组合，即＝x，且系数x被，唯一确定. 称为用线性组合来表示共线矢量的基底.

4. 矢量在平面上的分解：

定理2 如果矢量, 不共线，那么矢量与, 共面的充要条件是可以用矢量, 线性表示，或者说矢量可以分解成矢量, 的线性组合，即＝x+y，且系数x, y被, , 唯一确定. ,

称为平面上矢量的基底.

5. 矢量在空间的分解：

定理3 如果矢量, , 不共面，那么空间任意矢量可以由矢量, , 线性表示，或者说矢量可以分解成矢量, , 的线性组合，即＝x+y+z，且系数x, y, z被, , , 唯一确定. , , 称为空间矢量的基底.

二、矢量的线性关系

1.定义

对于n (n≥1)个矢量, , …, ，如果存在不全为零的n个数1, 2，…, n, 使得

1+2+…+n=,

那么n个矢量, , …, 叫做线性相关. 矢量, , …, 线性无关是指，只有当1＝2＝…＝n＝0时，上式才成立.

2.判断方法