蛮力算法

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算法设计2： 在公鸡（x）、母鸡（y）的数量确定后，小鸡的数量 z就固定为100-x-y，无需再进行枚举了。 此时约束条件只有一个： 5*x+3*y+z/3=100.
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main( ) { int x,y,z; for(x=1;x<=20;x=x+1) for(y=1;y<=33;y=y+1) { z=100-x-y; if(z mod 3=0 and 5*x+3*y+z/3=100) {print("the cock number is",x)； print("the hen number is", y)；
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算法设计1： 1）用n个空间的一维数组a[n],每个元素记录一个锁的状 态，1为被锁上，0为被打开。 2）用数学运算方便模拟开关锁的技巧，对i号锁的一次开 关锁可以转化为算术运算：a[i]=1-a[i]。 3）第一次转动的是1，2，3，„„n号牢房； 第二次转动的是2，4，6，„„号牢房； 第三次转动的是3，6，9，„„号牢房； „„ 第 i 次转动的是 i ， 2i ， 3i ， 4i ，„„号牢房，是起点 为i，公差为i的等差数列。 4）不做其它的优化，用蛮力法通过循环模拟狱吏的开关 锁过程，最后当第i号牢房对应的数组元素a[i]为0 时，该牢房的囚犯得到大赦。
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算法设计 2 ：将算式变形为除法： DDDDDD/A=ABCAB 。 此时只需枚举 A： 3——9 D：1——9，共尝试 7*9=63
次。每次尝试，测试商的万位、十位与除数是否相
同，千位与个位是否相同，都相同时为解。
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main（） {int A,B,C,D,E,F; for(A=3;A<=9;A++) for(D=1;D<=9;D++) { E = D*100000+D*10000+D*1000+D*100+D*10+D; if(E mod A=0) F=E\A; if(F\10000=A and (F mod 100)\10=A) and (F\1000=F mod 10) print( F，”*”，A，”=”，E); } }
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算法如下： main( ) {int i,j,a[100][100],n; input(n); for(i=1;i<=n;i=i+1) for(j=1;j<=n;j=j+1) {if (i=j or i+j=n+1) a [i][j]=0; if (i+j<n+1 and i<j) a [i][j]=1; if (i+j<n+1 and i>j) a [i][j]=2; if (i+j>n+1 and i>j) a [i][j]=3; if (i+j>n+1 and i<j) a [i][j]=4;} for(i=1;i<=n;i=i+1) { print( “换行符”); for( j=1;j<=n;j=j+1) print(a[i][j]); } }
print("the chick number is ",z);} } } 算法分析：以上算法只需枚举尝试20*33=660次。实现时约束条 件限定Z能被3整除时，才判断“5*x+3*y+z/3=100”。这样省去 了z不整除3时的算术运算和条件判断，进一步提高了算法效率。
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【例3.2】解数字迷
A
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3 ） 用 i 代表行下标，以 j 代表列下标（除特别声明以后都 遵守此约定），则对n*n矩阵有以下常识： 主对角线元素：i=j； 副对角线元素：下标下界为1时i+j=n+1； 下标下界为0时i+j=n-1； 主上三角◥元素： i <=j； 主下三角◣元素： i >=j； 次上三角◤元素：下标下界为1时i+j<=n+1， 下标下界为0时i+j<=n-1； 次下三角◢元素：下标下界为1时i+j>=n+1， 下标下界为0时i+j>=n-1；
B D
C D
A
×
D D
B A D D
算法设计1：按乘法枚举 A=1,2时积不 1)枚举范围为： 会得到六位 A：3——9,B：0——9,C：0——9 数 六位数表示:A*10000+B*1000+C*100+A*10+B,尝试700次。 2)约束条件为： 每次尝试，先求六位数与A的积，再测试积的各位是否相 同，若相同则找到了问题的解。 测试积的各位是否相同比较简单的方法是，从低位开始， 每次都取数据的个位，然后整除10，使高位的数字不断变 成个位，并逐一比较。
蛮力法并不总是因为减少了人脑的思维，就一 定是效率差的算法。对规模不是太大的问题， 蛮力法还是一种比较好的算法策略。
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表3.1
n d(n) 1 1 2 2 3 2 4 3 5 2 6 4
编号与因数个数的关系
7 2 8 4 9 3 10 4 11 2 12 6 13 2 14 4 15 4 16 „„ 5 „„
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1 枚举法
枚举法（穷举法）是蛮力策略的一种表现形式，根据问题 中条件将可能情况一一列举出来，逐一尝试从中找出满足 问题条件的解。但有时一一列举出的情况数目很大，则需 要进一步考虑，排除一些明显不合理的情况，尽可能减少 问题可能解的列举数目。 通常从两个方面进行算法设计： 1）找出枚举范围：分析问题所涉及的各种情况。 2）找出约束条件：分析问题的解需要满足的条件，并 用逻辑表达式表示。
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算法1如下： 算法分析：此算 法需要枚举尝试 main( ) 20*34*100=68000 { int x,y,z; 次。算法的效率 for(x=1;x<=20;x=x+1) 显然太低。 for(y=1;y<=34;y=y+1) for(z=1;z<=100;z=z+1) if(100=x+y+z and 100=5*x+3*y+z/3) {print("the cock number is",x)； print("the hen number is", y)； print("the chick number is ",z); } }
表3.1
n d(n)
编号与因数个数的关系
11 12 13 14 15 16 „„ 2 6 2 4 4 5 „„
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4
数学模型2：d(n)有的为奇数，有的为偶数，由于牢房的门开 始是关着的，这样编号为i的牢房，所含1——i之间的不重复 因子个数为奇数时，牢房最后是打开的；反之，牢房最后是 关闭的。
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【例3.1】百钱百鸡问题。中国古代数学家张丘建在《算经》 中提出了著名的“百钱百鸡问题”：鸡翁一，值钱五；鸡母一， 值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，翁、母、雏各几何? 算法设计1： 通过对问题的理解，可能会想到列出两个三元一次方程， 去解这个不定解方程，就能找出问题的解。这确实是一种办法， 但这里我们要用“懒惰”的枚举策略进行算法设计： 设x，y，z分别为公鸡、母鸡、小鸡的数量。 尝试范围：由题意给定共100钱要买百鸡，若全买公鸡最多 买100/5=20只，显然x的取值范围1~20之间；同理，y的取值范 围在1~33之间，z的取值范围在1~100之间。 约束条件： x+y+z=100 且 5*x+3*y+z/3=100
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main1( ) { int *a,i,j,n; input(n); a=calloc(n+1,sizeof(int)); //申请存储空间 for (i=1; i<=n;i++) a[i]=1; for (i=1; i<=n;i++) for (j=i; j<=n;j=j+i) a[i]=1-a[i]; for (i=1; i<=n;i++) if (a[i]=0) print(i,”is free.”); } 算法分析1：以一次开关锁计算，算法的时间复杂度为 n(1+1/2+1/3+……+1/n)=O(nlogn)。
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算法分析2：
狱吏开关锁的主要操作是a[i]=1- a[i]；共执行 n*(1+1/2+1/3+……+1/n)次，时间复杂度近似为O （n logn）。使用了n个空间的一维数组。算法2没 有使用辅助空间，但由于求一个编号的因子个数也 很复杂，其主要操作是判断i mod j是否为0，共执 行了1+2+3+……+n次，时间复杂度为O（n2 /2）。
数学模型3：仔细观察表3.1，发现当且仅当n为完全平方 数时,d(n)为奇数；这是因为n的因子是成对出现的,也即 当n=a*b且a≠b时，必有两个因子a，b; 只有n为完全平方 数，也即当n=a2时,才会出现d(n)为奇数的情形。 算法设计3：只需找出小于n的平方数即可。
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算法1如下： 算法分析1：该算法 main（ ） 的尝试范围是A： { int A,B,C,D,E,E1,F,G1,G2,i; 3—9，B：0—9， C：0—9 。共尝试 for(A=3; A<=9; A++) 700次，不是一个 for(B=0; B<=9; B++) 好的算法。 for(C=0; C<=9; C++) { F=A*10000+B*1000+C*100+A*10+B; E=F*A； E1=E; G1=E1 mod 10; for(i=1; i<=5; i++) { G2=G1; E1=E1/10; G1= E1 mod 10; if(G1<>G2 ) break; } if(i=6) print( F，”*”，A，”=”，E); } }
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算法设计2: 1）算法是求出每个牢房编号的不重复的因子个数，当它为 奇数时，这里边的囚犯得到大赦。 2）一个数的因子是没有规律的，只能从1——n枚举尝试。 main2( ) { int s,i,j,n; input(n); for (i=1; i<=n;i++) 为什么从2开始？ { s=1; for (j=2; j<=i;j=j++) if （i mod j=0） s=s+1; if （s mod 2 =1） print(i,”is free.”); } }
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【例3.3】编程打印有如下规律的n×n方阵。
例如下图：使左对角线和右对角线上的元素为0，它们 上方的元素为1，左方的元素为2，下方元素为3，右方 元素为4，下图是一个符合条件的5阶矩阵。
0 2 2 2 0 1 0 2 0 3 1 1 0 3 3 1 0 4 0 3 0 4 4 4 0
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构造趣味矩阵：经常用二维数组来解决
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问题分析2：转动门锁的规则可以有另一种理解，第一次转动 的是编号为1的倍数的牢房；第二次转动的是编号为2的倍数 的牢房；第三次转动的是编号为3的倍数的牢房；„„则狱吏 问题是一个关于因子个数的问题。 令d(n)为自然数n的因子个数，这里不计重复的因子，如4 的因子为1，2，4共三个因子，而非1，2，2，4。则d(n)或为 奇数，或为偶数，见下表:
蛮力法
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蛮力法
蛮力法是基于计算机运算速度快这一特性，在解决问题 时采取的一种“懒惰” 策略。这种策略不经过（或者说经过 很少）思考，把问题所有情况或所有过程交给计算机去一 一尝试，从中找出问题的解。
蛮力策略应用：选择排序、冒泡排序、插入排序、顺序 查找、朴素的字符串匹配等。比较常用还有枚举法、盲目 搜索算法等。
根据趣味矩阵中的数据规律，设计算法把要输出的数据 存储到一个二维数组中，最后按行输出该数组中的元素。 基本常识： 1）当对二维表按行进行操作时，应该“外层循环控制行； 内层循环控制列”；反之若要对二维表按列进行操作时，应 该“外层循环控制列；内层循环控制行”。 2）二维表和二维数组的显示输出，只能按行从上到下连续 进行，每行各列则只能从左到右连续输出。所以，只能用“ 外层循环控制行；内层循环控制列”。
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【例3.5】狱吏问题 某国王对囚犯进行大赦，让一狱吏n次通过一排锁着 的n间牢房，每通过一次，按所定规则转动n间牢房中的某 些门锁, 每转动一次, 原来锁着的被打开, 原来打开的被 锁上；通过n次后，门锁开着的，牢房中的犯人放出，否则 犯人不得获释。 转动门锁的规则是这样的，第一次通过牢房，要转动 每一把门锁，即把全部锁打开；第二次通过牢房时，从第 二间开始转动，每隔一间转动一次；第k次通过牢房，从第 k间开始转动，每隔k-1 间转动一次；问通过n次后，哪些 牢房的锁仍然是打开的？