第三节：taylor公式第四节函数的单调性与凹凸性
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
f ' ( x0 ) 0 x0为函数的极值点 ?
例2 求函数 y x 的驻点 .
3
y
y x3
解
y x 3 的驻点为 x 0 .
O
x
但它不是极值点.
11
此外, 不可导点也可能是极值点,
如 y | x | 在 x 0 处不可导,但却是极小值点.
函数的不可导点也不一定是极值点。 y
19
例5 求函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.
解
D f : (,)
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3.
f ( x ) 6 x 6 ,
x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
1 1 f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ).
曲线的凹向与函数导数的单调性的关系：
凹
凸
曲线凹 导函数递增？
x1 x2 1 f( ) [ f ( x1 ) f ( x2 ))] 2 2 x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
设 x1 x2 ,由泰勒展开定理
3 2
不可导点 x 3, 驻点x 2,4.
17
23 求 f ( x ) ( x 4 ) x 3 的单调区间和极值 . 例4 不可导点 x 3, 7( x 4)( x 2) f ( x ) 驻 点x 2,4. 3 3 ( x 3) 2
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
从几何上看，曲线的凹凸性反映的是曲线弧上两点，连接这两点间的弦与 这两点间的弧段的位置关系。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
9
定理 2
设 f (x ) 在 a ,b 上连续，在 (a ,b ) 内具有一阶和二阶导数，那么
> 0 ，则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凹的； < 0 ，则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凸的。 ∈ a ,b ，且 x 1 < x 2 ，记 x 0 =
= 0 处，曲线 y = x 3 有水平切线，即 x 轴。
一般地，如果 f ′ (x ) 在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处保持固定 符号时，函数 f (x ) 在该区间上是单调的。 结论在 f ′ (x )
= 0 有无限个解时未必成立。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
7
例6 证
证明：当 x 令 f (x )
=0
< a < 1,b = 2k + 1 k ∈ Z + ,ab > 1 +
(
)
3π 2
，
Van Der Waerden 构造并证明： f (x )
=
n =0
∑
∞
ϕ 10n x
10n
(
) ，其中
x − x , ϕ (x ) = x + 1 − x ,
> 1 时， 2 x > 3 −
1
x
。
1 = 2 x − 3 − ，则 x
f ′ (x ) =
1
x
−
1
x
2
=
1
x2
高等数学3.4函数的单调性与曲线的凹凸性
ln(1 x ).
三、曲线的凹凸性 问题: 如何研究曲线的弯曲方向?
y
y
C
B
A
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段 位于所张弦的下方
图形上任意弧段 位于所张弦的上方
三、曲线的凹凸性
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x1
x2
x
o
解方程f ( x ) 0 得，x1 1, x2 2.
x 1 时 f ( x ) 0, 在( ,1]上 单调增加 1 x 2 时 f ( x ) 0, 在[1, 2]上 单调减少
2 x 时 f ( x ) 0, 在[2, )上 单调增加
设函数 y f ( x )在[a, b]上连续，在(a, b)内可导. （1） 如果在(a, b)内f ( x ) 0，那末函数 y f ( x ) 在[a, b] 上单调增加； (2) 如果在(a, b)内 f ( x ) 0，那末函数 y f ( x ) 在[a, b] 上单调减少.
四、曲线凹凸的判定
y
y f (x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
y 0 f ( x ) 递增 y 0 f ( x ) 递减 定理1 在( a , b ) 内 有一阶和二阶导数， 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上 连续；
若在 ( a , b ) 内 (1) f ( x ) 0, 则函数 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形 是凹的 (2) f ( x ) 0,则函数 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形 是凸的
函数的单调性和曲线的凹凸性
故在(0, +)上 f (x)单增.
例4. 证明不等式 ex – (1+x) > 1– cosx, (x > 0)
证明思路: 用两次单调性
证: 设 F(x) = ex – (1+x) – (1– cosx)
= ex –x +cosx –2
则 F(0)=0. 要证F(x) > 0 (x > 0)
故曲线在(0, +)上是凹的.
即有 f (tx +(1– t) y) < t f (x) + (1– t) f (y) 即
定义2. 设f (x)C(U(x0)), 若曲线 y = f (x)在点 (x0, f (x0))的左右两侧凹凸性相反, 则称点(x0, f (x0))为该曲线的拐点.
= t f (x1)+(1– t) f (x2)
= t x1+(1– t) x2 x = x2+(x1– x2)t
弦上对应点的纵坐标B: y2+(y1– y2)t = t y1+(1– t)y2
STEP1
STEP2
STEP3
STEP4
故得如下定义.
定义1. 设 f (x)在[a, b]上有定义,x1, x2[a, b](x1x2) 和t(0, 1), 若有
凹凸性标志着图形弯曲的方向.
如图(a), (b)
y=f (x)
o
y
x
x1
x2
A
B
(x1, y1)
(x2, y2)
x
x
o
y
x1
x2
A
B
y=f (x)
(x2, y2)
(x1, y1)
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性㈠本课的基本要求掌握用导数判断函数的单调性的方法，会用导数判断函数图形的凹凸性以及拐点，会单调性和凹凸性的一些简单运用㈡本课的重点、难点单调性的判断是本课的重点、凹凸性的判定为本课的难点㈢教学内容单调性是函数的重要性态之一，它既是决定着函数递增和递减的状况，又能帮助我们研究函数的极值，还能证明某些不等式和分析函数的图形。
本节以微分中值定理为工具，给出函数单调性及极值的判别法。
一．函数单调性的充分条件单调性的定义。
再假设函数在某个区间内可导且具有单调性，如单调递增，由单调递增这一整体性质不难看到：无论0>∆x 还是0<∆x ，差商0)()(≥∆-∆+=∆∆xx f x x f x y ，这样可得0)(≥'x f 。
（注意，即使严格递增，一般也得不到0)(>'x f 。
），反过来，也希望利用导数的符号判断函数在某个区间上的单调性。
定理1 设函数内可导上连续，在在),(],[)(b a b a x f ⑴如果在内单调增加在，则内],[)(0)(),(b a x f x f b a >'；⑵如果在内单调在，则内],[)(0)(),(b a x f x f b a <'减少。
证略。
（课堂上介绍）几何意义：如曲线)(x f y =在某区间内的切线与x 轴正向的夹角α是锐角（tan α>0），则该曲线在该区间内上升，若这个夹角是钝角（tan α<0），则该曲线在该区间内下降。
(在黑板上画图)由定理知，可导函数的单调性可根据其导数的正负情况予以确定。
如函数的导数仅在个别点处为0，而在其余的点处均满足定理的条件，那么定理1的结论仍然成立，例如3x y =在x=0处的导数为0，但在),(+∞-∞内的其它点处的导数均大于0，因此它在区间),(+∞-∞内是增加的。
有时，函数在其定义域上并不具有单调性，但在各个部分区间上却具有单调性。
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法定理1 设函数()y f x =在[],a b 上连续，在(),a b 内可导．（1）如果在(),a b 内()0f x '≥，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数()y f x =在[],a b 上单调增加；（2）如果在(),a b 内()0f x '≤，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数()y f x =在[],a b 单调减少．例1 判定函数sin y x x =-在[],ππ-上的单调性． 解 因为函数sin y x x =-在[],ππ-上连续，当x ∈(),ππ-时， 1cos 0y x '=-≥，且等号仅在0x =处成立，所以函数sin y x x =-在[],ππ-上单调增加． 例2 讨论函数1x y e x =--的单调性．解 函数1x y e x =--的定义域为(),-∞+∞， 1.x y e '=- 因为在(),0-∞内0y '<，在()0,+∞内0y '>，所以1x y e x =--在(],0-∞上单调减少，在[)0,+∞上单调增加．例3 讨论函数y解 的定义域为(),-∞+∞．当0x ≠时，y '=而函数在0x =处不可导．在(),0-∞内，0y '<，在()0,+∞内0y '>，因此函数y =在(],0-∞上单调减少，在[)0,+∞上单调增加．该函数的图象如下图所示．例4 确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间．解 该函数的定义域为(),-∞+∞．()()()261812611.f x x x x x '=-+=--方程()0f x '=的全部根为121, 2.x x ==这两个根把区间(),-∞+∞分为三个部分区间：(][][),1,1,2,2,.-∞+∞在区间(),1-∞内()0f x '>，函数()f x 在(],1-∞单调增加．在区间()1,2内，()0f x '<，函数()f x 在区间[]1,2单调减少．在区间()2,+∞内()0f x '>，函数()f x 在区间[)2,+∞单调增加．例5 证明：当1x >时，13.x-证 令()13f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则 ()()22111.f x x x '== ()f x 在[)1,+∞上连续，在()1,+∞内()0f x '>，因此在[)1,+∞上函数()f x 单调增加，于是当1x >时，()()10f x f >=，即130,x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭ 13.x- 二、曲线的凹凸性与拐点定义 设函数()f x 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点12,x x ，恒有()()1212,22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭那么称()f x 在I 上的图形是凹的；如果恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭， 那么称()f x 在I 上是凸的．定理2 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在(),a b 内()0f x ''>，则()f x 在[],a b 上的图形是凹的；（2）若在(),a b 内()0f x ''<，则()f x 在[],a b 上的图形是凸的． 例6 判定曲线ln y x =的凹凸性．解 因为211,y y x x'''==-，所以函数ln y x =在定义域()0,+∞内，0y ''<，故曲线ln y x =是凸的．例7 判定曲线3y x =的凹凸性．解 因为23,6.y x y x '''==当0x <时，0y ''<，所以曲线在(],0-∞是凸的；当0x >时，0y ''>，曲线在[)0,+∞是凹的．例8 求曲线32231214y x x x =+-+的拐点．解 216612,126122y x x y x x ⎛⎫'''=+-=+=+ ⎪⎝⎭． 解方程0y ''=，得1.2x =-当12x <-时，0y ''<；当12x >-时，0y ''>．因此点11,2022⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线的拐点．例9 求曲线43341y x x =-+的拐点及凸凹区间． 解 函数43341y x x =-+的定义域为(),-∞+∞．321212,y x x '=-22362436.3y x x x x ⎛⎫''=-=- ⎪⎝⎭ 解方程0y ''=，得1220,.3x x == 在(),0-∞内，0y ''>，曲线在区间(),0-∞凹的．在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内，0y ''<，曲线在区间20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦是凸的．在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，0y ''>，曲线在区间2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭是凹的． 当0x =时，1y =．当23x =时，11.27y = 点()0,1和211,327⎛⎫ ⎪⎝⎭是这曲线的两个拐点． 习题3-41.判定函数()arctan f x x x =-的单调性．解 ()22211011x f x x x '=-=-≤++且仅在0x =时成立．因此函数()arctan f x x x =-在(),-∞+∞内单调减少．2.判定函数()cos f x x x =+的单调性．解 ()1sin 0f x x '=-≥，且当()20,1,2,2x n n ππ=+=±± 时，()0f x '=．因此函数()cos f x x x =+在(),-∞+∞内单调增加．3.确定下列函数的单调区间：（1）3226187y x x x =---；解 函数的定义域为(),-∞+∞，在(),-∞+∞内可导，且 ()()261218631.y x x x x '=--=-+令0y '=，得驻点121, 3.x x =-=当时1x <- 时，0y '>，函数在(],1-∞-单调增加； 当13x -<<时，0y '<，函数在[]1,3-单调减少； 当3x >时，0y '>，函数在()3,+∞单调增加．（2）()820y x x x=+>；解 函数的定义域为()0,+∞，在()0,+∞内可导，且()()22222228282.x x x y x x x -+-'=-== 令0y '=，得驻点12x =-（舍去），22x = 当02x <<时，0y '<，函数在(]0,2单调减少；当2x >时，0y '>，函数在[)2,+∞单调增加．。
3-4函数单调性与凹凸性(09)
二、函数单调性的应用
——证明不等式和判断方程根的个数. ——证明不等式和判断方程根的个数. 证明不等式和判断方程根的个数 1. 证明不等式 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数, 并讨论 构造辅助函数 它在指定区间内的单调性. 它在指定区间内的单调性. 例4 证明不等式 e x ≥ x + 1 证
令 f 2 ( x ) = ln(1 + x ) − x
因 为 f2 (0) = 0, 而 f2′( x) =
−x < 0 ( x > 0) 1+ x
则 f ( x )单减 即 f 2 ( x ) < f 2 (0)( x > 0) 故 单减.
ln(1 + x ) < x
证
x3 令 f ( x ) = tan x − x − 3
f ′(x) ≤ 0 A y = f (x)
B
o
a
b
x
o a
b x
各点处切线的斜率为正
各点处切线的斜率为负
在区间(a, 上单调递增 若 y = f (x)在区间 b)上单调递增 在区间 在区间(a, 上单调递减 若y = f (x)在区间 b)上单调递减 在区间
f ′( x) ≥ 0
f ′( x) ≤ 0
研究函数的单调性, 就是判断它在哪些区间内递增, 注1 研究函数的单调性 就是判断它在哪些区间内递增 哪些 区间内递减. 对可导函数的单调性, 区间内递减 由定理 1 对可导函数的单调性 可根据导数的正 负情况予以确定. 负情况予以确定 注2 包括无穷区间) 定理 1 的结论对其他各种区间 (包括无穷区间 也成立 包括无穷区间 也成立.
第四节函数的单调性与凹凸性
F ( x ) 是凸函数
F ( x ) min F (0), F ( ) 0 (自证) 2 2 sin x x 即
第四节、函数单调性与凹凸性
五、作业
第四节、函数单调性与凹凸性
在区间I 上有二阶导数
在 I 内图形是凹的 ;
则 在 I 内图形是凸的 . 利用一阶泰勒公式可得
x1 x2 x x x x 1 2 1 2 f ( x1 ) f ( ) ) ( x1 ) f ( 2 2 2 f (1 ) x1 x2 2 ( x1 ) 2! 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 ) ) f ( ) ( x2 f ( x2 ) f ( 2 2 2 f ( 2 ) x1 x2 2 ( x2 ) 两式相加，得 2! 2
第四节 函数的单调性与凹凸性
一、函数单调性的判定 法 二、曲线的凹凸与拐点 三、小结、思考与练习 四、作业
一、 函数单调性的判定法
定理 1. 设函数 在开区间 I 内可导, 若 在 I 内单调递增 (递减). 任取
( f ( x ) 0) ,则
证: 无妨设
由拉格朗日中值定理得
0
故
这说明 在 I 内单调递增.
( x 1)
2( x 3 3 x 2 3 x 1) 2 3 ( x 1)
2( x 1)( x 2 3 )( x 2 3 ) 2 3 ( x 1)
第四节、函数单调性与凹凸性
令 y 0 得 x1 1 , x2 2 3 ,
x 3 2 3
内容小结
1. 可导函数单调性判别 f ( x ) 0 , x I f ( x ) 0 , x I
3.3 泰勒公式
2
2 4
cos( ) 2+2
+1
cos = 1 − + − ⋯ + (−1)
+ (−1)
,
2! 4!
(2)!
(2 + 2) !
(0 < < 1)
第三节 泰勒公式
第三章 微分中值定理与导数的应用
例3 求() = ln( 1 + )的阶麦克劳林公式.
解
∵
∴
() (0) = (−1)−1 ( − 1)!,
称为函数()在0 处(或按( − 0 )的幂展开)的次泰勒多项式.
() (0 )
(2) () =
( − 0 ) + () ≈ ()
!
=0
∎佩亚诺余项 () = (( − 0 ) ) 不能具体估算出误差的大小.
+1 ( )
∎拉格朗日余项 () =
″ ( )
( − 0 )2 , 在0 与之间.
产生的误差为 1 () =
2!
第三节 泰勒公式
第三节 泰勒公式
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用
(3)当 = 0时, 拉格朗日余项的泰勒公式变成拉格朗日中值公式
() = (0 ) + ′ ( )( − 0 )
′
2
() = (0) + (0) +
+ ⋯+
+ ( )
2!
!
称为麦克劳林（Maclaurin）公式.
第三节 泰勒公式
第三节 泰勒公式
第三章 微分中值定理与导数的应用
3.4函数的单调性与凹凸性
1. 单调性判别法
2. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用 3. 曲线凹凸性与拐点的概念 4. 曲线凹凸性与拐点的判别法
一、单调性的判别法
f ( x ) 定理 设函数 y 在 [a, b]上连续, 在 (a,b)
内可导
' ( x ) 0 ,则函数 y (1) 若在 (a,b)内 f f ( x ) 在
5 1 ,0 ) 综上所述可知， 方程 x 在区间 ( x 1 0
内有且只有一个实根.
二、曲线凹凸的概念 问题 如何研究曲线的弯曲方向?
x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 两点 x ( ) , 1, x 2,恒有 f 2 2 则称 f (x)在 I上的图形是凹的. 若对 I 上任意 x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 两点 x ( ) , 1, x 2,恒有 f 2 2 则称 f (x)在 I上的图形是凸的.
[a, b]上单调增加;
' ( x ) 0 , f ( x ) 在 则函数 y (2) 若在 (a,b) 内 f
[a, b] 上单调减少;
证 x , x ( a , b ), x ,应用拉氏定理得 且 x 1 2 1 2
( x x ), f ( x ) f ( x ) f ' ( )( x x ) 1 2 2 1 2 1
函数单调减少； 函数单调增加.
注：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导
数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处 的导数符号来判别一个区间上的单调性.
完
单调区间的求法 问题: 如何确定函数在定义域内各部分区间上函 数的单调性. 定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间. 注意: 导数等于零的点和不可导点, 均可能是单调
第四节函数的单调性与曲线
−∞ ， 单调区间为 (−∞,0] [0,+∞).
注意:区间内个别点导数为零 不影响区间的单调性 注意 区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性 区间内个别点导数为零 不影响区间的单调性.
在 单 增 . y = x3 , y′ x=0 = 0, 但 (−∞,+∞)上 调 加 例如, 例如 x , 证 立 例4 当 > 0时 试 x > ln(1 + x)成 .
3π 7π [ ∴在 0,2π] 曲 有 点 内 线 拐 为 ( ,0), ( ,0). 4 4
注意: 注意: 若 f ′′( x0 ) 不 在点( x0 , f ( x0 )) 也 能 存 , 可
连 曲 是 续 线 y = f ( x)的 点 拐 .
例4
曲 求 线y = 3 x的 点 拐 .
2 − 3 5 − 3
( ∴点 0,0)是 线 y = 3 x 拐 . 曲 的 点
三、小结
单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用 曲线的弯曲方向——凹凸性 凹凸性; 曲线的弯曲方向 凹凸性
凹凸性的判定. 凹凸性的判定 改变弯曲方向的点——拐点 拐点; 改变弯曲方向的点 拐点 拐点的求法1, 拐点的求法 2.
x , 可 函 取 极 的 件 ∴ f ′( x)在 0取得极值由 导 数 得 值 条 ,
∴ f ′′( x) = 0.
x 邻 内 阶 导 方法1: 函 f 方法1: 设 数 ( x)在 0的 域 二 可 , 且 ′′( x0 ) = 0, f
(1) x0两 旁 ′′( x)变 ,点 x0, f ( x0 ))即 拐 ; 近 f 号 ( 为 点 (2) x0两 旁 ′′( x)不 号 点 x0 , f ( x0 ))不 拐 . 近 f 变 , ( 是 点
4单调性
1
0
(1 , 2)
2
0
( 2 , )
y
2
1
2
的单调增区间为 ( , 1) , (2 , ); 的单调减区间为 (1 , 2).
机动 目录
1
o
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1 2
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x
结束
说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,
y y 3 x2
o y
x
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
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思考与练习
1. 设在 [0 ,1] 上 f ( x) 0 , 则 f (0) , f (1) , f (1) f (0)
或 f (0) f (1) 的大小顺序是 ( B )
( A) ( B) (C ) ( D) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (1) f (0) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0)
有位于一直线的三个拐点.
1 2x x2 ( x 2 1) ( x 1)2 x 证明：y 2 2 ( x 1) ( x 2 1) 2
y
(2 2 x) ( x 2 1) 2 (1 2 x x 2 ) 2( x 2 1) 2 x
2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:
若曲线 的一个拐点.
机动 目录
或不存在,
但 f (x) 在 x0 两侧异号, 则点( x0 , f ( x0 )) 是曲线
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性
y
拐点的判别法:
( x0 , f ( x0 ))
o
x
若 f ( x) 在 x0 两侧异号, 则点 ( x0 , f ( x0 ))是拐点.
求凹凸区间及拐点的方法:
(1) 求函数 f (x) 的定义域 D; (2) 求 f ( x); (3) 求 方 程 f ( x) 0 的 实 根,
证: x1, x2 [a, b], 且 x1 x2, 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1) f ( )( x2 x1 ) ( ( x1, x2 ))
(1) 若 在(a, b)内, f ( x) 0, 则 f ( ) 0, 又 x2 x1 0,
( A) f (1) f (0) f (1) f (0) (B) f (1) f (1) f (0) f (0) (C) f (1) f (0) f (1) f (0) (D) f (1) f (0) f (1) f (0) 提示: 利用 f ( x)单调增加 , 及
且点( x0 , f ( x0 ))是拐点,则
f ( x0 ) 0.
例14. 已知(2,4)是曲线y x3 ax2 bx c 的拐点,
且曲线在点x 3 处有极值,求常数a, b, c.
解:
(2,4) 是拐点
4
8 4a 2b c
(1)
y 12 2a 0 (2)
( x 0)
x (, 0) 0 (0 , )
f ( x) 不存在
f (x)
该函数在(,0]上单调减少; 在[0,) 上单调增加.
说明:导数不存在的点划分函数的定义区间为两 个具有单调性的区间.
§3.4 函数的单调性与凹凸性
为铅直渐近线
导数的应用
又因
即
为斜渐近线.
( x 3) 2 y 4( x 1)
5) 求特殊点
( x 3)( x 1) y 4( x 1) 2 2 y ( x 1)3
导数的应用
6）绘图
(极大)
无 定 义
(极小)
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
1
( x 3) 2 y 4( x 1)
的单调区间.
导数的应用
2.函数的极值
定义:
在其中当 (1) 时,
则称
称
为
的极大点 ,
为函数的极大值 ;
(2)
则称 称
为
的极小点 , 为函数的极小值 .
极大点与极小点统称为极值点 .
导数的应用
3. 函数极值的判定 定理3.4.2 (极值第一充分条件) 设 f (x) 在 x0 处连续, 在 x0 的某去心 δ 邻域内可导, (1) 如果当 如果当 (2) 如果当 如果当 (3) 如果 在
导数的应用
§3.4 函数的单调性与凹凸性
3.4.1 函数的单调性与极值 3.4.2 函数凹凸性及其判定 内容小结与作业
导数的应用
3.4.1 函数的单调性与极值
1. 函数的单调性判定
y B D
A
O
C
x
对曲线段
、
，其各点处的切线斜率为正，曲
线是上升的；对曲线段 为负，曲线是下降的．
，其各点处的切线斜率
f ( x) 0.
导数的应用 \\5.4.2 函数凹凸性及其判定
例9
求曲线
的凹凸区间和拐点.
例10 求曲线
的凹凸区间和拐点.
导数的应用
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
(−∞, 1) (1,2)
(2, +∞)
′ ()
+
−
+
()
单增
单减
单增
单调增区间为
(−∞, 1], [2, +∞).
单调减区间为
[1,2].
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第三章 微分中值定理与导数的应用
例4 确定函数 () =
注意:
区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
例如:
= 3, ′ቚ
=0
= 0, 但在(−∞, +∞)上单调增加.
一般地, 有如下定理：
定理2
设函数 = ()在[, ]上连续, 在(, )内可导.
(1) 如果在(, )内 ′ ()≥0, 且等号仅在有限多个点处成立,
例8
求曲线 = 3 4 − 4 3 + 1 #43;∞).
2
= 36( − ).
=
−
3
2
″
令 = 0, 得 1 = 0, 2 = .
3
′
12 3
″ ()
()
12 2 ,
″
(−∞, 0)
0
(0, 2ൗ3)
2ൗ
3
+
0
−
0
+
拐点(0,1)
凸的
拐点(2ൗ3 , 11ൗ27)
3. 利用单调性证明不等式
π
sin 2
例5 证明: 当0 < ≤ 时,
≥ .
2
π
证
π
sin 2
3-4函数的单调性与曲线的凹凸性
B
o a f ( x) 0 b x
oa
bx
f ( x) 0
定理 设函数 y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可
导（. 1）如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数 y f ( x)
在[a, b]上单调增加；(2) 如果在(a, b)内 f ( x) 0，
那末函数 y f ( x)在[a, b]上单调减少.
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
说明： 1、定理中的区间换成其它有限或无限区 间，结论仍然成立.
例1 讨论函数y ex x 1的单调性.
解 y e x 1.又 D : (,).
那末称 f ( x)在(a,b)内的图形是凹的;
如果对(a,b)内任意两点 x1, x2 , 恒有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
2
2
那末称 f ( x)在(a,b)内的图形是凸的;
如果f ( x)在[a,b]内连续,且在 (a,b)内的图形是凹 (或凸)的,那末称 f ( x)在[a,b]内的图形是凹(或凸)的 ;
y f (x)
y
y f (x)
f x1 x2 2
o x1
x1 x2 2
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
定义 设f ( x)在(a,b)内连续, 如果对(a,b)内任意
两点 x1, x2 ,
恒有
f ( x1 x2 ) 2
f ( x1 ) f ( x2 ) , 2
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2. 余项估计 令 Rn ( x) f ( x) pn ( x) (称为余项) , 则有
Rn ( x) ( x x0 ) n1 (1 ) Rn Rn ( x) Rn ( x0 ) (1 在 x0 与 x 之间) n n1 (n 1)(1 x0 ) ( x x0 ) 0 (1 ) Rn ( 2 ) Rn Rn ( x0 ) ( 2 在 x0 与 n (n 1)(1 x0 ) 0 (n 1)n( 2 x0 ) n1 1 之间)
a0 pn ( x0 ) f ( x0 ) ,
1 p ( x ) a2 2 ! n 0
1 f ( x )( x x ) 2 故 pn ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2 0 0 ! 1 f ( n ) ( x )( x x ) n n 0 0 !
Rn ( x) f ( x) pn ( x)
( 在 x0 与 x 之间)
( n1) ( n1) pn ( x) 0 , Rn ( x) f ( n1) ( x)
Rn ( x)
f ( n1) ( ) (n 1) !
( x x0 ) n1 ( 在 x0 与 x 之间)
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
* 可以证明:
④ 式成立
f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! (n) ( n 1) f ( x0 ) n f ( ) ( x x0 ) ( x x0 ) n1 n! (n 1) ! ( 在 x0 与 x 之间) 特例: 给出拉格朗日中值定理 (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) ( 在 x0 与 x 之间)
(k )
2 m 1 x3 x5 x sin x x (1) m1 R2m ( x) 3! 5! (2m 1) !
其中 R2 m ( x)
m m1 ) sin( x 2 (1) cos( 2 x) x 2 m1 (0 1) (2m 1) !
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
(n) f (0) 2 f (0) n f ( x) f (0) f (0) x x x f ( x ) 2 0 2 ! n ! x ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x ( ( x x0 ) n1)0 ( x) M 2,! 若在公式成立的区间上 f ( n 1) f ( n ) ( x0 ) f ( ) n n 1 ( x x0 ) ( x x0 ) n1 M n! n) 1) ! Rn ((x x 则有误差估计式 ( (n 1)在 ! x0 与 x 之间)
说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
1 1 本例 e 1 1 2! 9!
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则
6 7 0 . 5 10 , 各项舍入误差之和不超过
总误差为 7 0.5 106 10 6 5 106 这时得到的近似值不能保证误差不超过 10 6. 因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .
由此得近似公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式
(k )
f
( x) e ,
x
f ( k ) (0) 1 (k 1, 2 ,)
2 3 n x x x ex 1 x Rn ( x) 2 ! 3! n!
其中
f ( x) sin( x k ) 2 k 2m 0, (k ) ( m 1 , 2 , ) f (0) sin k 2 (1) m1 , k 2m 1
(n) ( n 1) R ( x ) R ( ) ( 在 x 与 n 0 n xn 之间) 0 (n 1) 2( n x0 ) 0 (n 1) !
(n) Rn ( n )
(n) ( x0 ) Rn Rn ( x0 ) Rn ( x0 ) 0
f ( n1) ( ) (n 1) !
( x x0 ) n1 ( 在 x0 与 x 之间) ②
公式 ① 称为
的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
注意到
Rn ( x) o[( x x0 ) ]
n
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f ( x0 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2! f ( n ) ( x0 ) n ( x x0 ) o[( x x0 ) n ] ④ n!
( x) pn
pn ( x)
( n)
1 2!
2 !a2 n(n 1)an ( x x0 )
n2
n!an ( x0 ) f ( x0 ) , a1 pn
1 f ( n) ( x ) 0 n!
1 p ( n) ( x ) f ( x0 ) ,,an n 0 ! n
第三节 泰勒 ( Taylor )公式
用多项式近似表示函数 — 应用 理论分析 近似计算
一、泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
x 的一次多项式
当在 x0 的某邻域内 f ( n1) ( x) M 时 M n 1 Rn ( x) x x0 (n 1)! n Rn ( x) o(( x x0 ) ) ( x x0 )
泰勒中值定理 :
时, 有 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! (n) f ( x0 ) n ( x x0 ) Rn ( x) ① n! 其中 Rn ( x) 阶的导数 , 则当
1 1 e 11 (0 1) 2! n ! (n 1) ! 由于 0 e e 3, 欲使 3 6 10 Rn (1) (n 1) !
由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此
1 1 e 1 1 2.718281 2! 9!
(0 1)
3. 利用泰勒公式证明不等式
例4. 证明
证: 1 x (1 x) x 1 1 1 1 ( 1) x 2 2 2! 2 2 1 1 1 1 5 2 3 ( 1)( 2)(1 x) x 3! 2 2 2 x x2 1 5 2 3 1 (1 x) x (0 1) 2 8 16 ( 1)( nx ) x 2 n 1 n 1 (0 1) 1 x) ( x 0x 1 x 1 ( ) (n 1) ! 2 8
4 3x
1 9 x 2 o( x 2 ) ( 1) (16 n) n 1 x n 1 2 9 ( 1 x ) 原式 lim 2 32 (0 n 1) ! x x
2 3 x 1 9 x 2 o( x 2 ) 4 16 4
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 可见
f ( ) ( x x0 ) 2 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2!
误差
( 在 x0 与 x 之间) df ( 在 x0 与 x 之间)
在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有 f (0) 2 f ( n ) (0) n x x f (0) f (0) x 2! n!
类似可得
2m x2 x4 x cos x 1 (1) m R2m1 ( x) 2! 4! ( 2 m) !
其中
(1) m1 cos( x) 2 m 2 R2m1 ( x) x (2m 2) !
(0 1)
f ( k ) ( x) ( 1)( k 1)(1 x) k
( n 1) ( x) 在包含 0 , x 的某区间上的上 M为 f 界. 需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;
2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数n和误差限 , 确定公式中x的适用范围.
例1. 计算无理数e的近似值 , 使误差不超过 的麦克劳林公式为 解: 已知 2 3 n x x x x e 1 x 2 ! 3! n! (0 1) 令x=1,得
y
y f ( x)
p1 ( x)
特点:
f ( x0 ) f ( x0 )
如何提高精度 ? 如何估计误差 ?
o
x0 x
以直代曲
x
需要解决的问题
1.求 n 次多项式
近似等于 f ( x) 要求:
2 n p ( x ) a ( x x ) a ( x x ) a ( x x ) a 令 n 1 0 2 0 n 0 0 ( x) a1 2a2 ( x x0 ) n an ( x x0 ) n1 则 pn
2. 利用泰勒公式求极限例3ຫໍສະໝຸດ 求用洛必塔法则 不方便 !
解: 用泰勒公式将分子展到 x 2 项, 由于
x 3x 4 2 1 3 4
2 1 1 ( 3 x) 1 1 ( 1 1) ( 3 x) 2 o( x 2 ) 4 2! 2 2 2 4 2 2 3 9 1 x x o ( x ) 2 4 4 16