常见的网络病毒模型总结

人口的对数。
这些新的仓室叫做被污染类(C)
数学模型如下:
dS t
dt
S
t
ln I t ln At
S
t
ln
A
t
dC t
dt
S
t
ln ln
I t At
1C
t
ln
At
2C
t
dI t
dt
2C t I t ln At
dAt
dt
S
t
ln
A
t
1C
t
ln
A
t
I
t
ln
A
t
一个非线性的微分方程：
dI t I t N I t I t
dt
dS t
dt
S
t
N
S
t
N
S
t
1.3
符号 N
含义 一定区域内的计算机数
S(t)
区域内在时间 t 时的易感染者数
I(t)
区域内在时间 t 时的感染者数
病毒的感染率
感染结点的治愈率
模型的门限值
R(t)
区域内在时间 t 时计算机系统的死亡数目
参数与方程（1.5）相同。如果假设种群内的数量为 N，则 N = S (t ) + I (t ) + R (t )，
若再提供相应的初始条件比如 I 0 I0、S 0 =S0 分别表示感染者和易感染者最
初的数目，也可以解得 SIRS 模型的解。
同样记 = 为模型的门限值，那么由 dI t 0 即可以得到病毒的传播扩
6.SIA 模型:
示意图
数学模型描述是：
7.SAIC 模型:
dS t
dt
S
t
I
t
S
t
At
dI t
dt
S tI t AtI t
dAt
dt
S
t
A
t
A
t
I
t
SIA 模型对于实际数据有良好的适合性，可以提高包括一个新的仓室，这个仓室
代表了没有表现出染病特征的染病计算机。为得到与实际数据良好的符合，引入
染病人数也会以一定的比例 δ 而减少，如死亡。那么种群内由于病毒的传播而
引起的状态变化服从微分系统
dI t
dt
I
t
S
t
I
t
dS t I t S t
dt
1.1
I 0 I0, S 0 S0
其中的 β 表示病毒的感染率，那么 βI(t )S(t)表示易感染者向感染者转化的增
量，δ 表示病毒的治愈率，那么 δI (t)表示感染者因病造成的减少数。这就是最早
状态（Infectious）和被删除状态（Removed）。
dI t I t S t I t
dt
dS t S t I t
dt
1.5
dR t I t
dt
I 0 I0, S 0 S0, R 0 R0
其中的参数 γ 表示个体因感染而消失的比率，其他变量与方程（1.1）相同。
显然 Kermack-Mckendrick 的 SIR 模型由于考虑到宿主被感染后的变化，要么
因感染而死亡，要么也可能得到免疫，从而将这些结点分离开来：dR t I t 。
dt
因而要比没有考虑宿主感染后变化的（1.1）模型有了提高。 4.SIRS 模型
Romualdo Pastor-Satorras 考虑到更一般的情况，哪些由于感染病毒而获得
比率被治愈而变成易感染者，也就是说计算机病毒的 SIS 模型中不考虑像生物
病毒传播中的生物体在被感染后，能获得免疫能力或死亡，而严格来讲计算机也
不可能会获得真正的免疫和死亡，所以在（1.3）中感染者 I (t)减少的部分：− δI(t)
同时也就成了易感染者 S (t)增加的部分，这也是 SIS 模型的来历，SIS 模型是
SI
S
t
I
t
AI
At
I
t
IS
I
t
I
t
dR t
dt
I
RS
R
t
dAt
dt
S
t
At
AI
At I
t
模型的参数定义如下：
2) N：输入率，代表了网络中新计算机的进入；
3) ：非染病因素的死亡率；
4) SI ：易感计算机的感染率； 5) AI ：新病毒开始的解毒计算机的感染率； 6) ：感染计算机的移出率； 7)IS ：感染计算机的移出率； 8)RS : 由于一个操作的干预而移出的移出率； 9) ：易感计算机进入解毒类的移出率。此过程是在易感计算机和解毒类
上述模型并没有考虑由于生物体被感染而导致的死亡和获得“免疫”的部分，
而死亡和“免疫”会结束该生物体所可能带来的感染。于是 Kermack-Mckendrick
又给出了另一模型，这也就是所谓的 SIR 模型，在 Kermack-Mckendrick 的 SIR
模型中，区域内的生物体被划分为 3 个状态，易感染状态（Susceptible）、感染
dt
t0
大的条件：
S0I0
I0
0即
S0
。也就是说易感染的数目只有大于门限
值，病毒才可能流行，若
S0
，那么病毒是流行不起来的，而这一点与
Kermack-Mckendrick 的结论是一致的。
5.SAIR 模型
数学模型描述是：
dS t
dt
N
t
S
t
A
t
SI
S
t
I
t
IS
I
t
RS
R
t
dI t
dt
网络病毒模型
1.生物病毒模型 1975 年一大批数学家研究了生物种群内生物病毒的传播规律。他们将一定
区域内的人口分为两类，一类是已感染病毒的患者，一类是没有感染病毒的易感
染者。设 I (t)， S (t)分别表示 t 时刻感染者人数和易感染者人数。由于易感染者
因接触感染者而受到感染变成感染者，故染病者的增量正比于 I (t)和 S (t)，传
dt
记为 。将 ρ 代入（1.3）式，并令 t →∞，可以得到区域内感染病毒的计算
机的最终Baidu Nhomakorabea量：I
N 1 ，这意味着当
1时，区域内的所有计算机将
最终战胜病毒；若 1 时，则意味着区域内的计算机将都被病毒感染。
其实，在实际的环境中这两种极端的情况很难出现，但它却给人们指出了防 御病毒传播的最主要矛盾，即增加治愈率，降低感染率。 3.SIR 模型
“免疫”的结点或者死亡的结点，又以某一生还比率 μ 变成了易感染者，换言之部
分于感染而失去的结点在时间 t 时，又加入到易感染者行列，这就是 SIRS 模型
dI t I t S t I t
dt
dS t
dt
S
t
I
t
R
t
1.6
dR t I t R t
dt
其中的 μ 为消失（Removed）后结点的变为易感染者的生还率变量，其他的
的 Kermach-Mchendrick 模型。此模型为流行病的传播模型奠定了基础，人们后
来又在此基础上建立了包含更多因素的传染病模型。 2.SIS 模型
大约在 1990 初，Kephart 和 White 依据生物上流行病的传播模型（1.1）
提出了计算机的病毒的传播模型，也就是 SIS 模型。该模型给出了计算机病毒
模型的参数定义如下：
：感染计算机污染易感主机的污染率。
1 ：污染主机由于进行适当的操作后的免疫率
2 ：污染主机受到染病主机感染了病毒的感染率
：染病主机接受治疗之后的移出率 ：易感主机的免疫率
感染病毒后的生还率
计算机系统因感染病毒而导致的死亡率
假设方程（1.3）的初始条件为： I 0 I0 表示区域内计算机感染者最初的
数量为 I0 。那么由分离变量法可以解出方程（1.3）具有如下形式的解：
I
t
I0
I0 N
N I0 e N t
1.4
令方程（1.3）中的第一个式子 dI t 0 ，就可求得模型的门限值（平衡状态），
传播中的一些定性因素，较好地帮助人们理解计算机病毒传播中的一些规律，它
也为后来其他的计算机病毒模型奠定了基础。在 SIS 模型中，所有的计算机只
能处在两个不同的状态，易感者（Susceptible）和感染者（Infectious），每一个
易感染者，以某一比率受到感染而变成感染者，同时每一个感染者也会以一定的