计算方法--龙贝格积分法
辛普森公式 龙贝格算法
辛普森公式龙贝格算法辛普森公式与龙贝格算法 辛普森公式和龙贝格算法是数值计算中常用的数值积分方法。
它们可以用于计算函数的定积分，通过将复杂的定积分问题转化为更简单的求和问题来求解。
下面将介绍辛普森公式和龙贝格算法的原理和应用。
辛普森公式是一种通过将函数划分为多个小区间，并在每个区间内使用二次多项式逼近函数曲线的方法来求解定积分。
该公式的基本思想是将函数曲线近似看作是由一系列抛物线段组成的，然后通过对这些抛物线段的面积进行求和来获取整个函数曲线下的面积。
辛普森公式的推导基于牛顿-科特斯公式，通过将区间划分为偶数个小区间，并在每个小区间内使用二次多项式逼近函数曲线来计算定积分。
这种方法可以大大提高计算的精确性，尤其在对曲线进行高精度逼近时特别有效。
龙贝格算法是一种迭代方法，通过逐步细化区间格点来逼近定积分的方法。
它的基本思想是将区间进行二等分，然后通过递归地对子区间进行步长缩放和函数值计算，以获得更加精确的数值积分结果。
龙贝格算法的核心是通过不断加密区间格点和调整步长来逐渐提高计算精度，直到满足预设的误差要求。
这种方法在计算复杂函数的定积分时非常有用，它能够自适应地调整计算步长，并在迭代过程中逐渐收敛到期望的结果。
辛普森公式和龙贝格算法在数值计算中广泛应用于求解定积分问题。
它们适用于各种类型的函数，包括连续函数、平滑函数和非平滑函数。
通过适当选择区间划分和迭代次数，可以有效地控制计算误差，并获得满足要求的数值积分结果。
这种方法相对于传统的数值积分方法具有更高的精确性和可靠性，能够满足各种实际应用的计算需求。
总之，辛普森公式和龙贝格算法是数值计算中常用的数值积分方法。
它们通过将复杂的定积分问题转化为更简单的求和问题，并利用适当的逼近和迭代方法来提高计算精度。
这些方法在实际应用中具有很高的灵活性和可靠性，可以应对各种类型的函数和积分问题。
通过合理应用辛普森公式和龙贝格算法，我们能够更准确、更快速地求解定积分，为科学研究和工程计算提供有力的支持。
龙贝格积分算法实验[1]
![龙贝格积分算法实验[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/1c3c3ec18bd63186bcebbcf8.png)
且 （ 为等份次数）
2．按梯形公式的递推关系，计算
3．按龙贝格公式计算加速值
4．精度控制。对给定的精度 ，若
则终止计算，并取 作为所求结果；否则 ，重复2~4步，直到满足精度为止。
问题
（1）程序运行如下：
I = Romberginterg(inline('x.^2.*exp(x)'),0,1,25,1e-6)
function I = GaussInterg(fun, type, a, b, tol)
% GaussInterg用Gauss型求积公式求积分,具体形式由使用者选取
%
% Synopsis: I = GaussInterg(fun, type, a, b)
% I = GaussInterg(fun, type, a, b, tol)
if nargin < 4
npanel = 25;
end
if nargin < 5
tol = 5e-9;
end
if nargin < 6
flag = 0;
end
T(1,1) = TrapezoidInteg(fun, a, b, npanel); %T0(h) = T(h)
err = 1; %初始化误差值
if nargin < 4
npanel = 25;
end
nnode = npanel + 1; %节点数=段数+ 1
h = (b-a)/(nnode-1); %步长
x = a:h:b; %将积分区间分段
f = feval(fun,x);%求节点处被积函数的值
I = h * ( 0.5*f(1) + sum(f(2:nnode-1)) + 0.5*f(nnode) );
龙贝格求积公式
2
f( ) 2
T3 , 1 T3 , 2
T3 , 3
T4 , 1 T5 , 1
M
T4 , 2 T5 , 2
M
T4, 3 T5 , 3
M
T4 , 4 T5 , 4
M
用龙贝格方法计算积分的步骤为：
（1）：准备初值，先用梯形公式计算积分近
似 （值 2）：：T1按 变b 2步a[长f (a梯) 形f (公b)]式计算积分近似值：
4 0.918741799 0.916327874 0.916297224 0.916294351
5 0.916905342 0.916293190 0.916290077 0.916290776
T5 , 4 0.916290776
例3：取=0.00001,用龙贝格方法计算积分
1
I
4
dx
01 x2
解：由题意
f(x)=4/(1+x2) a=0 b=1 f(0)=4 f(1)=2 由梯形公式得
T1=1/2[f(0)+f(1)]=3 计算f(1/2)=16/5 用变步长梯形公式得
T2=1/2[T1+f(1/2)]=3.1 由加速公式得
S1=1/3(4T2-T1)=3.133333333
求出f(1/4) f(3/4) 进而求得 T4=1/2{T2+1/2[f(1/4)+f(3/4)]}
Simpson加速公式： Cn
42 S2n Sn 42 1
I
C2n
1 43 1(C2n
Cn )
43C2n Cn 43 1
Cotes加速公式：Rn
43C2n Cn 43 1
Romberg 值序列
龙贝格算法
龙贝格积分1. 算法原理采用复化求积公式计算时，为使截断误差不超过ε，需要估计被积函数高阶导数的最大值，从而确定把积分区间[]b a ,分成等长子区间的个数n 。
首先在整个区间[]b a ,上应用梯形公式，算出积分近似值T1；然后将[]b a ,分半，对 应用复化梯形公式算出T2；再将每个小区间分半，一般地，每次总是在前一次的基础上再将小区间分半，然后利用递推公式进行计算，直至相邻两个值之差小于允许误差为止。
实际计算中，常用ε≤-n n T T 2作为判别计算终止的条件。
若满足，则取n T f I 2][≈；否则将区间再分半进行计算，知道满足精度要求为止。
又经过推导可知，∑=-++=ni i i n n x x f h T T 112)2(221，在实际计算中，取kn 2=，则k a b h 2-=，112)1*2(2++--+=+k i i ab i a x x 。
所以，上式可以写为∑=++--+-+=+kk i k k ab i a f a b T T 211122)2)12((2211k开始计算时，取())()(21b f a f ab T +-=龙贝格算法是由递推算法得来的。
由梯形公式得出辛普森公式得出柯特斯公式最后得到龙贝格公式。
根据梯形法的误差公式，积分值n T 的截断误差大致与2h 成正比，因此步长减半后误差将减至四分之一，即有21114n n T T -≈-将上式移项整理，知2211()3n n n T T T -≈-由此可见，只要二分前后两个积分值n T 和2n T 相当接近，就可以保证计算保证结果计算结果2n T 的误差很小，这种直接用计算结果来估计误差的方法称作误差的事后估计法。
按上式，积分值2n T 的误差大致等于21()3n n T T -，如果用这个误差值作为2n T 的一种补偿，可以期望，所得的()222141333n n n n n T T T T T T =+-=-应当是更好的结果。
计算方法用龙贝格程序计算数值积分的值(附程序代码)
2第二题 求数值积分11sin 3sin x dx x x -+⎰精确到610-。
龙贝格的算法思想：Romberg 方法也称为逐次分半加速法。
它是在复化梯形公式的基础上，利用Richardson 外推法，构造出一种高精度的数值积分方法。
在等距基点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。
这样，前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程 。
2.2.1程序设计关键步骤（1）准备初值aa[0][0]=(b-a)*(F(a)+F(b))/2.0来实现就算初值。
（2）用 for ( n=i,j=1; n>0;n--,j++)aa[j][n]=(pf(2*j+1)*aa[j-1][n+1]-aa[j-1][n])/(pf(j*2+1)-1) 来实现(2)(k )00T T 到的计算。
（3）用fabs(aa[i][1]-aa[i][0])判断数值的精度，如果fabs(aa[i][1]-aa[i][0]<e,则返回gcc(a,b,aa,i+1)进行计算下一个要用到得值； 如果fabs(aa[i][1]-aa[i][0]> e ，则根据aa[i+1][0]=(pf(2*i+3)*aa[i][1]-aa[i][0])/(pf(2*i+3)-1)而得到结果。
2.2.2程序运行结果如下图所示#include "stdafx.h"#include <iostream>#include <math.h>#define F(x) (sin(x)/(3*x+sin(x))) //函数举例。
using namespace std;//------------步长及4，16，64.......的实现----------double pf (int i){int s=1;for (int j=0;j<i;j++)s*=2;return s/2;}//---------定义一个求t1,t2......的函数-------------double gcc (double a, double b,double aa[][20],int i){double s,h,x;h=(b-a)/pf(i);s=0;x=a+h/3;do{s+=F(x);x+=h;}while (x<b);aa[0][i]=aa[0][i-1]/2+h/2*s;return 0;}//----------------------主函数---------------------------int main(){double aa[20][20]={0},e,a,b,h;int j,i,n;cout <<"请输入积分区间：\na= ";cin >>a;cout <<"b= ";cin >>b;cout <<"请输入精度：e=";cin >>e;aa[0][0]=(b-a)*(F(a)+F(b))/2.0;gcc(a,b,aa,1);aa[1][0]=(4*aa[0][1]-aa[0][0])/3;for (i=1;i<20;i++){gcc(a,b,aa,i+1);//求下一个要用的t。
龙贝格求 积分
龙贝格（Romberg ）求积法1.算法理论Romberg 求积方法是以复化梯形公式为基础，应用Richardson 外推法导出的数值求积方法。
由复化梯形公式 )]()(2)([2222b f h a f a f h T +++=可以化为)]()]()([2[212112h a f h b f a f hT +++=＝)]([21211h a f h T ++一般地，把区间[a,b]逐次分半k －1次，（k ＝1,2,……,n ）区间长度（步长）为kk m a b h -=，其中mk ＝2k －1。
记k T ＝)1(k T由)1(k T ＝]))12(([21211)1(1∑=---++km j k k k h j a f h T 从而⎰badxx f )(＝)1(kT－)(''122k f h a b ξ- （1）按Richardson 外推思想，可将（1）看成关于k h ，误差为)(2k h O 的一个近似公式，因而，复化梯形公式的误差公式为⎰badxx f )(－)1(k T ＝......4221++kkh K h K ＝∑∞=12i i k i h K （2）取1+k h ＝k h 21有⎰badxx f )(－)1(1+k T＝∑∞=+121221i i k iihK （3）误差为)(2jh O 的误差公式 )(j kT＝)1(-j kT＋141)1(1)1(------j j k j k T T 2.误差及收敛性分析（1）误差，对复化梯形公式误差估计时，是估计出每个子区间上的误差，然后将n 个子区间上的误差相加作为整个积分区间上的误差。
（2）收敛性，记h x i =∆，由于∑=++=ni i i n x f x f h f T 01))]()([2)(＝))()((21101∑∑-==∆+∆n i ni i i i i x x f x x f上面两个累加式都是积分和，由于)(x f 在区间],[b a 上可积可知，只要],[b a 的分划的最大子区间的长度0→λ时，也即∞→n 时，它们的极限都等于积分值)(f I 。
龙贝格算法
龙贝格算法一、问题分析1、1龙贝格积分题目要求学生运用龙贝格算法解决实际问题（塑料雨篷曲线满足函数y（x)=l sin （tx），则给定雨篷得长度后，求所需要平板材料得长度）.二、方法原理2、１龙贝格积分原理龙贝格算法就是由递推算法得来得。
由梯形公式得出辛普生公式得出柯特斯公式最后得到龙贝格公式.在变步长得过程中探讨梯形法得计算规律.设将求积区间［ａ，b]分为ｎ个等分，则一共有n+1个等分点，n.这里用表示复化梯形法求得得积分值，其下标n 表示等分数。
先考察下一个字段[]，其中点,在该子段上二分前后两个积分值显然有下列关系将这一关系式关于k从０到n－１累加求与，即可导出下列递推公式需要强调指出得就是,上式中得代表二分前得步长，而梯形法得算法简单，但精度低,收敛速度缓慢,如何提高收敛速度以节省计算量，自然式人们极为关心得.根据梯形法得误差公式，积分值得截断误差大致与成正比，因此步长减半后误差将减至四分之一,既有将上式移项整理,知由此可见，只要二分前后两个积分值与相当接近，就可以保证计算保证结果计算结果得误差很小，这种直接用计算结果来估计误差得方法称作误差得事后估计法。
ﻩ按上式,积分值得误差大致等于，如果用这个误差值作为得一种补偿，可以期望,所得得应当就是更好得结果。
ﻩ按上式，组合得到得近似值直接验证，用梯形二分前后得两个积分值与按式组合，结果得到辛普生法得积分值。
再考察辛普生法。
其截断误差与成正比.因此,若将步长折半,则误差相应得减至十六分之一。
既有由此得不难验证,上式右端得值其实就等于,就就是说,用辛普生法二分前后得两个积分值与，在按上式再做线性组合,结果得到柯特斯法得积分值，既有重复同样得手续，依据斯科特法得误差公式可进一步导出龙贝格公式应当注意龙贝格公式已经不属于牛顿—柯特斯公式得范畴.在步长二分得过程中运用公式加工三次，就能将粗糙得积分值逐步加工成精度较高得龙贝格,或者说,将收敛缓慢得梯形值序列加工成熟练迅速得龙贝格值序列，这种加速方法称龙贝格算法。
5.3龙贝格(Romberg)算法
一、复合梯形公式的递推化
将定积分I = ∫ f ( x )dx的积分区间[ a , b ]分割为n等份 a b−a xk = a + jh , j = 0 ,1,L , n 各节点为 h= n 复合梯形(Trapz)公式为
n−1 b−a Tn = [ f ( a ) + 2 ∑ f ( x j ) + f (b )] 2n j =1
k −3
if(fabs(t3[k-3]-t2[k-2])<0.000000001) // 若 | R2 { printf("k=%3d,I=%12.9f\n",k,t3[k-3]); break; } } } double f(double x) { double y; y=sqrt(1.0+x*x); return y; }
13
其中外推加速公式可简化为
1 Tm ( k − 1) = m [ 4 m Tm − 1 ( k ) − Tm − 1 ( k − 1)] 4 −1
--------(11)
并且m可以推广到 m = 1,2 ,L
Romberg算法求解步骤
k = 1 , 2 ,L
Romberg算法的代 数精度为m的两倍 Romberg算法的收敛 阶高达m+1的两倍
第6章 数值积分与数值微分
龙贝格(Romberg)算法 算法 龙贝格
1
龙贝格(Romberg)算法 算法 龙贝格
综合前几节的内容,我们知道 梯形公式,Simpson公式,Cotes公式的代数精度分别为 1次,3次和5次 复合梯形、复合Simpson、复合Cotes公式的收敛阶分别为 2阶、4阶和6阶 无论从代数精度还是收敛速度,复合梯形公式都是较差的 有没有办法改善梯形公式呢?
龙贝格积分算法实验
实验题目2 Romberg 积分法摘要考虑积分()()b aI f f x dx =⎰欲求其近似值，可以采用如下公式： （复化）梯形公式 11[()()]2n ii i hT f x f x-+==+∑2()12b a E h f η-''=-[,]a b η∈ （复化）辛卜生公式 11102[()4()()]6n i i i i hS f x f x f x -++==++∑4(4)()1802b a h E f η-⎛⎫=- ⎪⎝⎭ [,]a b η∈ （复化）柯特斯公式 111042[7()32()12()90n i i i i hC f x f x f x -++==+++∑31432()7()]i i f xf x +++6(6)2()()9454b a h E f η-⎛⎫=- ⎪⎝⎭[,]a b η∈ 这里，梯形公式显得算法简单，具有如下递推关系121021()22n n n i i h T T f x -+==+∑因此，很容易实现从低阶的计算结果推算出高阶的近似值，而只需要花费较少的附加函数计算。
但是，由于梯形公式收敛阶较低，收敛速度缓慢。
所以，如何提高收敛速度，自然是人们极为关心的课题。
为此，记0,k T 为将区间[,]a b 进行2k等份的复化梯形积分结果，1,k T 为将区间[,]a b 进行2k等份的复化辛卜生积分结果，2,k T 为将区间[,]a b 进行2k等份的复化柯特斯积分结果。
根据李查逊（Richardson ）外推加速方法，可得到1,11,,0,1,2,40,1,2,41m m k m km k m k T T T m -+-=-⎛⎫=⎪=-⎝⎭可以证明，如果()f x 充分光滑，则有,lim ()m k k T I f →∞= （m 固定）,0lim ()m m T I f →∞=这是一个收敛速度更快的一个数值求积公式，我们称为龙贝格积分法。
用龙贝格求积方法计算下列积分
用龙贝格求积方法计算下列积分现代数学中，积分有着非常广泛的应用，在科学、工程和统计中都有着重要的作用。
2000多年以来，人们对积分的研究就像穿越时光隧道，从比较简单的研究龙贝格求积方法开始，到20世纪60年代建立起完善的数学积分理论，用于解决复杂的积分问题。
龙贝格求积方法是一套由数学家 L.F. Gauss 于1812年开发出来的求积算法。
它广泛用于解决多元函数的积分问题。
它主要通过三步来实现求积：第一步：将要求积的函数拆分成多个简单的函数。
第二步：使用龙贝格求积公式来求解每个简单函数的积分。
第三步：将各函数的积分值相加，以得到最终的结果。
因此，正确使用龙贝格求积方法计算下列积分是非常重要的。
例1：计算 $$int frac {x^2} {1+x^2} dx$$解：首先将上述函数拆分成简单函数，即$$frac {x^2}{1+x^2}=frac 1 2 -frac 1 {2(1+x^2)}$$然后，使用龙贝格求积公式计算简单函数的积分：$$int (frac 1 2 -frac 1 {2(1+x^2)}) dx = frac x 2 - frac 1 2 tan^{-1}(x) + C$$最后，根据龙贝格求积公式的结果，将各函数的积分值求和，即 $$int frac {x^2} {1+x^2} dx = frac x 2 - frac 1 2 tan^{-1}(x) + C$$例2：计算 $$int {x^3 e^{2x}} dx$$解：首先将上述函数拆分成简单函数，即$$x^3 e^{2x}=x^2 e^{2x} + xe^{2x}$$然后，使用龙贝格求积公式计算简单函数的积分：$$int (x^2 e^{2x} + xe^{2x})dx = frac {x^3 e^{2x}} 2 + frac {e^{2x}} 2 + C $$最后，根据龙贝格求积公式的结果，将各函数的积分值求和，即 $$int {x^3 e^{2x}} dx = frac {x^3 e^{2x}} 2 + frac {e^{2x}} 2 + C $$以上通过两个例子，体现出了龙贝格求积方法在计算复杂积分问题时的高效性和优势。
龙贝格求积法
h p
)
Fk
q pk 1
(h)
,k
0,1, 2,L
定义的序列{Fk(h)}有
Fk (h) F (0) an(n)1h pn1
a h (n) pn2 n2
a h (n) pn3 n3
L
,
其中an(n)k (k 1, 2, 3,L )与h 无关，q>1.
Richardson外推法应用非常广泛且有效，下面介绍应用 于数值积分的情形。
16 15
S4
1 15
S2
3.1415946
64 1 R1 63 C2 63 C1 3.141586292
1 sin x
算例结2 果用见R表om4-b5(ekr代g算表法二计分算次I数)。0 计x算值dx.的得误到差的不梯超形过值，计
0.510-6.
表4-5
k
T2k
S k 1 2
§4.4 外推原理与Romberg求积方法
4.4.1 外推原理
在科学与工程计算中，很多算法与步长h有关，特别是数值 积分、数值微分和微分方程数值解的问题。对于这些算法，我 们可以通过外推技巧提高计算精度。
例1 计算的近似值。
用龙贝格算法计算椭圆周长
用龙贝格算法计算椭圆周长：简单来讲，移动互联网是利用移动终端（例如智能手机、平板电脑等）以及相关的网络技术，来实现移动终端与互联网之间的无线网络连接，从而实现无线网络上的数据传输、消息互动、网络服务和信息共享。
1、龙贝格算法求解椭圆周长龙贝格算法是用于计算椭圆周长的一种数值积分方法。
它是通过将椭圆的曲线拆分成多个四边形，然后求取每个四边形的周长，最后把每个四边形的周长相加得到椭圆的总周长来实现的。
2、应用龙贝格算法计算椭圆周长龙贝格算法是一种求解椭圆周长的数值算法。
该算法将椭圆拆分成多个小矩形，根据重心积分法，计算每个小矩形的面积，最后累加求得所有小矩形面积之和，即可得到椭圆的周长。
3、利用龙贝格算法解决椭圆周长问题龙贝格算法是一种数值计算方法，可以用来解决椭圆周长问题。
原理是用一个有限的级数展开式来估算椭圆的周长，该级数式的每一项都是通过计算椭圆的积分来求得的。
通常使用龙贝格算法估算椭圆周长时，需要以迭代的方式，不断地增加级数中项数，直到结果足够接近为止。
4、研究龙贝格算法求解椭圆周长龙贝格算法是一种求解椭圆周长的数值积分方法。
它基于龙贝格准则，通过迭代地将积分区间以指定的比例分割，以达到近似椭圆周长的目的。
算法使用一个梯形积分公式来计算椭圆周长。
梯形公式将椭圆的椭圆曲线设置成一系列的正方形，通过计算每个正方形的面积之和来估算椭圆的周长。
具体的，龙贝格算法的第一步是将椭圆积分区间分割成两个子区间，然后计算每个子区间的梯形面积，将两个子区间的面积之和作为椭圆的周长的近似值。
然后，将每个子区间再分割成两个子区间，再次计算每个子区间的梯形面积，并将它们之和作为椭圆的周长的近似值。
如此迭代下去，知道椭圆周长的近似值稳定为止。
(龙贝格求积)
针对这类问题的算法技巧是在不同区间上预测被积函数 变化的剧烈程度确定相应的步长.
这种方法称为自适应积分方法.
设给定精度要求 0，计算积分
b
I a f (x)dx
的近似值.先取步长 h b a ，应用辛普森公式有
I b f (x)dx S(a, b) b a ( h )4 f (4) (),
注意到每个子区间等分分为设将区间一次如果将求积区间再二分1个分点共有子区间上的积分值为用复化梯形公式求得该分点经过二分只增加了一个注意到不难导出下列递推公式逐次分半算法据梯形公式计算得9588510求出将区间二等分进一步二分求积区间9445135计算积分值8414709例题1精确至三位有效数字例题25695注意到57例如
例如：对区间[a, b], 令h b a构造梯形值序列{T2k }
h
T1
[ 2
f (a)
f
(b)]
逐次分半算法
把区间二等分，每个小区间长度为 h/2=(b-a）/2，
于是
T2 =T1/2+[h/2]f(a+h/2） 把区间四(22)等分，每个小区间长度为h/2 2 =（b-a）
/4，于是
T4 =T2/2+[h/22][f(a+h/4)+f(a+3h/4)]
················
把[a,b] 2k 等分，分点xi=a+(b-a)/ 2k ·i （i =0， 1，2 ···2k）每个小区间长度为(b-a)/ 2k ，由归
纳法可得
T T 1
2k 2
2 k1
ba 2k
注意到每个子区间
[ xk , xk1 ]经过二分只增加了一个分点
几种定积分的数值计算方法
几种定积分的数值计算方法数值计算定积分是计算定积分的一种近似方法，适用于无法通过代数方法求得精确解的定积分。
本文将介绍几种常见的数值计算定积分的方法。
1.矩形法（矩形逼近法）：矩形法是最简单的数值计算定积分方法之一、它将定积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上取一个样本点，将每个小区间上的函数值乘以小区间的宽度，得到小矩形的面积，最后将这些小矩形的面积相加即可得到定积分的近似值。
矩形法有两种主要的实现方式：左矩形法和右矩形法。
左矩形法使用每个小区间的左端点作为样本点，右矩形法则使用右端点。
2.梯形法（梯形逼近法）：梯形法是另一种常见的数值计算定积分方法。
它将定积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上取两个样本点，分别作为小区间的端点。
接下来，计算每个小区间上的函数值，然后将每个小区间上的函数值与两个端点连线所构成的梯形的面积相加，得到所有梯形的面积之和，最后得到近似的定积分值。
3.辛普森法：辛普森法是一种更为精确的数值计算定积分方法。
它将定积分区间分为若干个小区间，然后用二次多项式逼近每个小区间上的函数曲线。
在每个小区间上，辛普森法使用三个样本点，将函数曲线近似为一个二次多项式。
然后，对于每个小区间，计算该二次多项式所对应的曲线下梯形区域的面积，并将所有小区间的面积相加，得到近似的定积分值。
4. 龙贝格法（Romberg integration）：龙贝格法是一种迭代的数值计算定积分方法，通过进行多次计算，逐步提高近似的精确度。
龙贝格法首先使用梯形法或者辛普森法计算一个初始近似值，然后通过迭代的方式进行优化。
在每次迭代中，龙贝格法先将区间划分成更多的子区间，并在每个子区间上进行梯形法或者辛普森法的计算。
然后，利用这些计算结果进行Richardson外推，从而得到更精确的定积分近似值。
通过多次迭代，龙贝格法可以逐步提高逼近的精确度。
上述介绍的四种数值计算定积分的方法都有各自的优势和适用范围。
《龙贝格求积》课件
龙贝格求积法的历史背景
01
龙贝格求积法是由瑞典数学 家龙贝格在19世纪末提出的
。
02
它的出现为数值积分的发展 奠定了基础，成为数学领域
的一项重要成果。
03
随着计算机技术的发展，龙 贝格求积法在科学计算、工 程技术和数据分析等领域得
缺点
计算量大
对于大规模问题，龙贝格求积法可 能需要较大的计算资源和时间，因 为需要进行多次迭代和数值逼近。
对初值敏感
该方法对初值的选择比较敏感，如 果初值选择不当，可能会导致算法
不收敛或者收敛到非期望的解。
需要选择合适的参数
龙贝格求积法的精度和稳定性与参 数的选择密切相关，需要仔细选择 合适的参数值。
通过差商的方式计算插值多项式的导数。
导数在数值分析中的应用
用于估计函数的局部变化趋势，提高数值计算的精度。
龙贝格求积公式的推导
03
龙贝格求积公式的定义
龙贝格求积公式的推导过程
龙贝格求积公式的应用
利用插值多项式及其导数构造求积公式， 用于数值积分。
通过构造插值多项式和其导数，利用牛顿 -莱布尼茨公式推导得出。
对未来研究的展望
01
入 ，未来可以对龙贝格求积法进 行进一步的改进和优化，以提 高其计算效率和适用范围。
02
与其他方法的比较研究
可以开展龙贝格求积法与其他 积分方法的比较研究，深入探 讨各种方法的优缺点和应用场 景，为实际应用提供更加全面
的理论支持。
03
扩展应用领域
对不规则区域处理困难
对于不规则积分区域，龙贝格求积 法可能需要进行额外的处理和调整 ，增加了计算的复杂度。
龙贝格求 积分
龙贝格（Romberg ）求积法1.算法理论Romberg 求积方法是以复化梯形公式为基础，应用Richardson 外推法导出的数值求积方法。
由复化梯形公式 )]()(2)([2222b f h a f a f h T +++=可以化为)]()]()([2[212112h a f h b f a f hT +++=＝)]([21211h a f h T ++一般地，把区间[a,b]逐次分半k －1次，（k ＝1,2,……,n ）区间长度（步长）为kk m a b h -=，其中mk ＝2k －1。
记k T ＝)1(k T 由)1(k T ＝]))12(([21211)1(1∑=---++km j k k k h j a f h T 从而⎰badxx f )(＝)1(kT－)(''122k f h a b ξ- （1）按Richardson 外推思想，可将（1）看成关于k h ，误差为)(2k h O 的一个近似公式，因而，复化梯形公式的误差公式为⎰badxx f )(－)1(k T ＝......4221++k k h K h K ＝∑∞=12i i k i h K （2）取1+k h ＝k h 21有 ⎰ba dx x f )(－)1(1+k T ＝∑∞=+121221i ik ii hK （3）误差为)(2jh O 的误差公式 )(j kT＝)1(-j kT＋141)1(1)1(------j j k j k T T2.误差及收敛性分析（1）误差，对复化梯形公式误差估计时，是估计出每个子区间上的误差，然后将n 个子区间上的误差相加作为整个积分区间上的误差。
（2）收敛性，记h x i =∆，由于∑=++=ni i i n x f x f h f T 01))]()([2)(＝))()((21101∑∑-==∆+∆n i ni i i i i x x f x x f上面两个累加式都是积分和，由于)(x f 在区间],[b a 上可积可知，只要],[b a 的分划的最大子区间的长度0→λ时，也即∞→n 时，它们的极限都等于积分值)(f I 。
数值计算方法 龙贝格求积公式 - 龙贝格求积公式
类似地可验证：
3
S2
4
4
1
T4
4
1
1
T2
龙
贝 格 算 法
Sn
4
4
1
T2
n
4
1
1
Tn
即
Sn
4 3 T2n
1 3
Tn
Sn __ 辛 普 森 积 分 值
注 意 复 化 辛 普 森 求 积 公式 的 余 项
3
Rn
I
Sn
ba 180
h 2
4
f
(4) ( )
O(h4
)
龙 贝 格
R2 n
I
S2n
T4
1 2
T2
1 4
[
f
(
1 4
)
f
(
3 4
)]
0.9445135
典型例题
例2
用复化梯形公式计算积分I 1 dx
0 (1 x ) x
精确至三位有效数字
I
1 dx 0 (1 x )
x t x
1 2dt 0 1 t2
1
g(t )dt
0
T1
1 [g(0) 2
g(1)] 1.5
T2
1 2
[T1
1
g(0.5)] 1.55
T4
1 2
[T2
1 ( g(0.25) 2
g(0.75))] 1.5656
典型例题
T8
1 2 [T4
1 ( g(0.125) 4
g(0.375)
g(0.625)
g(0.875))]
1.5695
注意到:
T8 T4
龙贝格算法matlab程序
龙贝格算法matlab程序一、龙贝格算法简介龙贝格算法是一种数值积分的方法，它可以用来计算函数在给定区间上的定积分。
该算法基于复合梯形公式和复合辛普森公式，通过逐步逼近真实值来得到数值解。
它是一种自适应方法，即在每个子区间上都采用不同的步长以获得更高的精度。
二、龙贝格算法的原理1. 复合梯形公式复合梯形公式是将一个区间分成若干个小区间，在每个小区间上应用梯形公式求出积分值，最后将所有小区间的积分值相加得到整个区间上的积分值。
具体公式如下：$$\int_{a}^{b}f(x)dx \approx \frac{h}{2}(f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)+f(b))$$其中，h为步长，n为子区间数。
2. 复合辛普森公式复合辛普森公式是将一个区间分成若干个小区间，在每个小区间上应用辛普森公式求出积分值，最后将所有小区间的积分值相加得到整个区间上的积分值。
具体公式如下：$$\int_{a}^{b}f(x)dx \approx \frac{h}{6}(f(a)+4\sum_{i=1}^{n/2-1}f(a+(2i)h)+2\sum_{i=1}^{n/2}f(a+(2i-1)h)+f(b))$$其中，h为步长，n为子区间数。
3. 龙贝格算法龙贝格算法是通过不断加密网格来逼近真实值的方法。
首先，将整个区间分成若干个小区间，并在每个小区间上应用复合梯形公式求出初始积分值T(0,0)，然后将这些积分值相加得到整个区间上的积分值T(0,1)。
接着，在每个小区间上应用复合辛普森公式求出更精确的积分值T(1,0)，并将所有小区间的积分值相加得到整个区间上的积分值T(1,1)。
然后，计算两次结果之差E(1,0)=T(1,1)-T(0,1)，如果E(1,0)小于给定误差限，则直接输出T(1,1)作为积分结果；否则，在每个子区间中再次应用复合辛普森公式求出更精确的积分值，并计算两次结果之差，直到满足误差限为止。
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结论:从运行结果可见， 当设定误差 eps=1e-5 时， 为了满足误差要求， 运行 n=14 时才能满足， 这样精度比较高，但是代价就是运行的时候速度有点慢。
按照题目要求， 要求尽可能的使结果精确一些， 因此我这里采用的是根据误差要求进行的计 算，计算程序如下： function [R,T,n]=Romberg3(myfunc,a,b,eps) %This function uses Romberg to calculate integration %myfunc is the integrand,a is integral lower bound %b is integral upperbound %eps is tolerance format long; n=5; while 1 T(n,:)=0; T(1,1)=(b-a)*(myfunc(a)+myfunc(b))/2; for k=1:n-1 sum=0; for i=1:2^k sum=sum+myfunc(a+(2*i-1)*(b-a)/(2^(k+1))); end T(k+1,1)=0.5*T(k,1)+(b-a)*sum/(2^(k+1)); end for i=2:n T(i,2)=T(i,1)+1/3*(T(i,1)-T(i-1,1)); end for i=3:n T(i,3)=T(i,2)+1/15*(T(i,2)-T(i-1,2)); end for i=4:n T(i,4)=T(i,3)+1/(4^3-1)*(T(i,3)-T(i-1,3)); end if abs(T(n,4)-T(n-1,4))<eps break; else n=n+1; end end R=T(n,4); 以上便是这次编写的龙贝格积分的程序。 在matlab的command window运行如下： >> myfuc=inline('log(1+x)/(1+x^2)','x'); >> eps=1e-5;
6.2 计算实习 我所做的题目是：利用龙贝格积分法计算积分 1 (1 ln + ������������ ) ������������������������ � 1 + ������������ 2 0
>> a=0;b=1; >> [R,T]=Romberg3(Байду номын сангаасyfuc,a,b,eps) 运行结果截图如图所示(注：运行结果截图一张放不下，截了两张)：