外点法求约束最优化问题

数学规划课程设计

题目外点法求约束最优化问题

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摘要

罚函数是应用最广泛的一种求解式的数值解法，基本思路是通过目标函数加上惩罚项，将原约束非线性规划问题转化为求解一系列无约束的极值问题。（这种惩罚体现在求解过程中，对于企图违反约束的那些迭代点，给予很大的目标函数值，迫使这一系列无约束问题的极小值或者无限地向可行解（域）逼近，或者一直保持在可行集（域）内移动，直到收敛于原来约束问题的极小值点。）

本文.......

外点法可用于求解不等式约束优化问题，又可用于求解等式约束优化问题，主要特点是惩罚函数定义在可行域的外部，从而在求解系列无约束优化问题的过程中，从可行域外部逐渐逼近原约束优化问题最优解。

关键词：罚函数法、约束最优化问题、外点法

一、预备知识（基本理论）

看下是否还有定理、定义等等，可以加一些

外点惩罚函数法的一般形式

考虑不等式约束优化设计时：对

)

,2,1(,0)(.

.),

(min m u X g t s R

x X f u n

=≥∈

构造一般形式的外点惩罚函数为：

[]2

1

}

)(,0{min )(),(∑=+=m

u u

k

k

X g

r

X f r X P

其中：

（1）当满足所有约束条件时惩罚项为0，即

[]{}0

)(,0min 2

1

=∑=m

u u

k

X g

r

（2）当

X

违反某一约束条件，即0

)(

[]{}[]0)()(,0min 2

2

1

>=∑=X g r

X g

r

u k

m

u u

k

表明X 在可行域外，惩罚项起作用，且若

X 离开约束边界越远，惩罚力度越大。这样用惩 罚的方法迫使迭代点回到可行域。

（3）惩罚因子k r 是一递增的正数数列，即 <<<<

→k k r lim 一般1=k r

考虑等式约束的优化问题：

)

,,2,1(0

)(..

.),(min p v X h t s R

X X f v n

==∈

构造外点罚函数：

[]∑=+=p

v v

k

k

X h

r

X f r X P 1

2

)()(),(

同样，若X 满足所有等式约束则惩罚项为0；若不能满足，则[]0)(2

>∑=p

q

v v k X h r 且

随着惩罚因子的增大而增大；

综合等式约束和不等式约束情况，可以得到一般约束优化问题的外点罚函数公式为：

??

?

?????????

?

??

?

+

+=∑∑==m u p

v v u k k X h X g r X f r X p 12

12

)())(,0min()(),( 实际计算中，因为惩罚因子k r 不可能达到无穷大，故所得的最优点也不可能收敛到原问题的最优点，而是落在它的外面，显然，这就不能严格满足约束条件。

为了克服外点惩罚函数法的这一缺点，对那些必须严格满足的约束（如强度、刚度等性能约束）引入约束裕度 u δ ，即将这些约束边界向可行域内紧缩，移动一个微量，得到

),,2,1(0

)()(m u X g X g u u u =≥-=δ

这样用重新定义的约束函数来构造惩罚函数，得到最优设计方案。 外点惩罚函数法的迭代步骤：

1.给定初始点0X ，初始惩罚因子1r ，维数n 迭代精度ε和递增系数1>C ；

2.构造外点惩罚函数),(k k r X P ；

3.选用无约束优化方法来求解惩罚函数极小点，即，

),(min ),(k

k

k

r X P r X P =

4.检验是否满足迭代终止条件

ε

≤--1

k k

X

X

或ε

≤--)()(1

k k X

f X f 若满足转6，若不满足转5；

5.令1

+→k r r C k ，转2；

6.输出最优解，迭代终止。

二、解问题

1 问题重述

用外点法求解约束最优化问题

1

.

.)2min(212

22

1≥++x x t s x x

2 问题求解

解：构造罚函数 ()[]2

21211,0min ),(-+++=x x M x x M X φ

用解析法求解

()[]1,0min 222111

-++=??x x M x x φ

()[]1,0min 242122-++=??x x M x x φ

02

1

=??=

??x x φφ

即，???=-++=-++0)1(240)1(22212211x x M x x x M x

??

??

?+=

+=M M

x M M x 3232221

),min(K

M X 的解为T

???

? ?

?++=K

K

K

K

M

M

M

M Y 32,

322

当∞→K

M 时，)31,32(*

=x ，3

2)2min(2

221=+x x

即解为: 3

2)2min(2221=+x x

程序解法：

利用MATLAB 编写程序如下：

m=zeros(1,50);a=zeros(1,50);

b=zeros(1,50);f0=zeros(1,50);%a b 为最优点坐标，f0为最优点函数值，f1 f2最优点梯度。

syms x1 x2 e; %e 为罚因子。

m(1)=1;c=10;a(1)=0;b(1)=0; %c 为递增系数。赋初值。

f=x1^2+2*x2^2+e*(1-x1-x2)^2;f0(1)=1;

fx1=diff(f,'x1');fx2=diff(f,'x2');fx1x1=diff(fx1,'x1'); fx1x2=diff(fx1,'x2');fx2x1=diff(fx2,'x1'); fx2x2=diff(fx2,'x2');%求偏导、海森元素。

for k=1:100 %外点法e 迭代循环.

x1=a(k);x2=b(k);e=m(k);

for n=1:100 %梯度法求最优值。

f1=subs(fx1); %求解梯度值和海森矩阵

f2=subs(fx2);

f11=subs(fx1x1);

f12=subs(fx1x2);

f21=subs(fx2x1);

f22=subs(fx2x2);

if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.001)

%最优值收敛条件

a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f));

break;

else

X=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]';

x1=X(1,1);x2=X(2,1);

end

end

if(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)-b(k))^2))<=0.001)&&(doubl e(abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001) %罚因子迭代收敛条件a(k+1) %输出最优点坐标，罚因子迭代次数，最优值

b(k+1)

k

f0(k+1)

break;

else

m(k+1)=c*m(k);

end

end

得结果：ans =

0.6666

ans =

0.3333

k =

5

ans =

0.6666

即min()的最优结果为0.6666

写一些总结性内容

三、参考文献

[1] 范玉妹，徐尔，赵金玲，胡毅庆.数学规划及其应用[M].北京：冶金工业出版社，2009

[2] 姜启源，谢金星，叶俊.数学建模[M].北京：高等教育出版社，2003

[3] [沙特] M.H.Alsuwaiyel.算法设计技巧与分析[M].北京：电子工业出版社，2009

[4] 刘卫国.MATLAB程序设计及其应用[M].北京：高等教育出版社，2006

[6] 唐加福,汪定伟,许宝栋,李露.基于评价函数的遗传算法求解非线性规划问题[J]. 控制

与决策学报，2000(5)