二次函数零点分布
二次函数的零点分布问题
二次函数作为一种基本的数学工具，在物理学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。未来，我 们将探索如何将二次函数零点分布的研究成果应用于这些领域，推动相关学科的发展。
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二次函数的零点分布问
contents
目录
• 引言 • 二次函数零点存在性定理 • 二次函数零点个数判断方法 • 二次函数零点分布规律探讨 • 典型案例分析与应用举例 • 总结与展望
01 引言
二次函数定义与性质
二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b,
c$ 为常数，$a neq 0$。
零点的意义
零点是函数图像与 $x$ 轴交点的横坐 标，决定了函数图像在 $x$ 轴上的位 置。
研究目的和意义
研究目的
通过探讨二次函数的零点分布问题，可以深入理解二次函数的性质及其与一元二次方程 的关系，为解决实际问题提供理论支持。
研究意义
二次函数作为一种基本的数学模型，在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。研究二次函数的零 点分布问题，不仅有助于完善数学理论体系，还能为解决实际问题提供有效的数学工具。例如，在控制论中， 通过分析二次函数的零点分布可以判断系统的稳定性；在经济学中，可以利用二次函数模型分析市场供需关
迭代法收敛性
牛顿迭代法具有平方收敛速度，即每一步迭代后误差减少为上一步误差 的平方。但在某些情况下，如初始值选取不当或函数性质不满足要求时， 迭代法可能不收敛。
03 二次函数零点个数判断方 法
图像法
01
观察二次函数图像与x轴的交点个 数，交点个数即为零点个数。
02
二次函数零点分布
∆ ≥ 0 b x1 + x2 = − < 0 a c x1 x2 = a > 0
3、一正一负 、
f ( x) = ax + bx + c = 0
2
∆ > 0 c x1x 2 = < 0 a
4、有一个根为零
f ( x) = ax + bx + c = 0
应用举例 例2 2 已知的 x + (m − 3) x + 7 − m = 0 两根都比3大 的范围。 两根都比 大，求m的范围。 的范围
应用举例 例3 一个三角形的两边是方程的
x + px + 1 = 0
2
两根，第三边是 ， 两根，第三边是2，求P的 的 取值范围。 取值范围。
例4.若方程 ax − x − 1 = 0 若方程
f ( x) = ax + bx + c
2
(a > 0)
∆ > 0 f (k ) > 0 1 f (k2 ) < 0 f ( k3 ) > 0
7、方程有两个根
x1 < x 2 < k
2
f ( x) = ax + bx + c (a > 0)
∆ > 0 b <k − 2a f (k ) > 0
8、方程有两个根
x1 < k < x 2
f ( x) = ax + bx + c (a > 0)
2
∆ > 0 f (k ) < 0
9、方程有两个根
k1 < x1 < x 2 < k 2
二次函数零点分布情况
二次函数零点分布情况二次函数是一种常见的数学函数形式，可以用来描述很多自然现象和数学问题。
在二次函数中，零点即为方程 $ax^2+bx+c=0$ 的解，其中 $a, b, c$ 是常数，$a\neq0$。
在本文中，我们将探讨二次函数的零点分布情况，包括有两个实根、有一个实根和无实根的情况。
首先，我们来讨论二次函数有两个实根的情况。
对于这种情况，方程$ax^2+bx+c=0$ 的判别式 $D=b^2-4ac$ 必须大于零，才能有两个不相等的实根。
当 $D>0$ 时，方程有两个实根，且它们的值可以通过求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ 来求得。
此时，我们可以绘制二次函数的图像，发现它与 $x$ 轴交于两个不同的点，这两个点就是函数的零点。
其次，我们来讨论二次函数有一个实根的情况。
对于这种情况，方程$ax^2+bx+c=0$ 的判别式 $D=b^2-4ac$ 必须等于零，才能有一个实根。
当 $D=0$ 时，方程有一个实根，它的值可以通过求根公式 $x=\frac{-b}{2a}$ 来求得。
此时，我们可以绘制二次函数的图像，发现它与$x$ 轴相切于一个点，这个点就是函数的零点。
最后，我们来讨论二次函数无实根的情况。
对于这种情况，方程$ax^2+bx+c=0$ 的判别式 $D=b^2-4ac$ 必须小于零，才能无实根。
当$D<0$ 时，方程无实根，此时我们无法在实数范围内找到满足方程的解。
对于这种情况，二次函数的图像也不会与 $x$ 轴相交，即没有零点。
通过以上讨论，我们可以得出以下结论：对于二次函数 $ax^2+bx+c$，它的零点分布情况依赖于方程的判别式 $D=b^2-4ac$ 的值。
如果 $D>0$，则函数有两个实根，若 $D=0$，则函数有一个实根，若 $D<0$，则函数无实根。
需要注意的是，判别式的正负性实际上也与二次函数的开口方向有关。
当 $a>0$ 时，二次函数开口向上，有两个零点的情况会出现在开口向上的抛物线中；当 $a<0$ 时，二次函数开口向下，有两个零点的情况会出现在开口向下的抛物线中。
数形结合巧运用,零点分布妙化解--浅谈对二次函数零点分布问题解题教学的研究
解题探索数形结合巧运用，零点分布妙化解一浅谈对二次函数零点分布问题解题教学的研究张程燕(山东省济南中学，250001)一元二次函数是中学数学中最基本、最重要的 函数之一，也是高考考查的重要内容之一，是高考的 高频考点.高中数学教学中一元二次函数的零点分 布问题即初中数学教学中一元二次方程根的分布问 题，是二次函数部分的重点知识与内容，既是学生学 习的重点，也是学习的难点，因此对二次函数零点分 布问题的解题教学研究十分必要.目前，高中生对二 次函数零点分布问题的解题方法偏重于借助对二次 方程根的判别式和韦达定理的运用，能够解决的零 点分布问题有限且易出错，解题方法尚不够系统和 完善，针对这一学情，结合高中所学的零点存在定理 以及数形结合这一重要的数学思想方法，笔者将系 统地分析一元二次函数的零点分布问题，力求将解 题方法系统化、模式化、巧妙化，从而提高数学解题 教学的效率和质量，优化学生的思维品质，发展学生 的数学核心素养.1熟悉知识背景，理解方法本质学生对同一类数学题的解答与掌握，需要的不 仅仅是理解并掌握这类题目的解题方法与技巧，更 需要知晓题目所涉及的知识背景.从知识背景出发， 联系解题所需要的数学知识和方法，将知识与方法 有机融合在一起，构建起数学解题模型，既加深了学 生对数学知识的熟悉程度，也有助于学生理解数学 方法的本质，从而达到学以致用、举一反三的学习效 果，这也是数学解题教学的期望所在.本文所涉及的 数学知识与方法如下所述：1.函数零点存在定理:如果函数y =/(%)在区 间[a ，]上的图像是一^条连续不断的曲线，且有/ (a )/() <0,那么函数y =/()在区间（a ，)内至少 有一个零点，即存在c e (a ，)，使得/(C) = 0，这个c 也就是方程/() =0的解[1].特别地，对于一次函数y = h +&(�)和二次 函数y = a / +心+c (a #0)而言，若/(幻在区间（a ， 6)上满足零点存在定理，则在（a ，)上有且仅有一个零点.2.数形结合的思想方法——从四个方面将二次函数图像与代数不等式之间建立联系:①开口方向， ②对称轴，③判别式4，④特殊点函数值的符号.2探究典型例题，把握解题方法数学解题教学是数学教师根据教学需要选择合 适的试题，以学生的学情为起点，以自身的解题经 历、经验和研究为基础，通过师生间对话交互，促进 学生深度思考，优化学生思维品质的教学活动[2].本文选取四道典型例题，从思路分析、解答过程和 方法指导三个方面对二次函数零点分布问题进行解题 教学探究，全方位、多角度的对例题进行剖析，帮助学 生理解问题本质、建立解题模型以及掌握解题方法.例1如果方程尤2 + (^i -1)) +爪2 -2=0的两个 实根一个小于1，另一个大于1，求实数m 的取值范围.思路分析：（1)方程尤2 + (爪-1)尤+爪2-2=0根的分布问题0函数/(%) =%2 + (m - 1)% +m 2 -2的零点分布问题，完成方程的根与函数零点的转化；(2) 函数/() =% + (m -1)%+m 2 - 2 开口上，其与％轴的交点一个在1的左侧、一个在1的右 侧，易画出草图，熟悉题设，理清思路；(3)利用数形结合的思想方法，从四个方面二次函数图像与代数不等式之间建立联系：开口向 上是确定的;对称轴可以在1的左侧、右侧或者对称 轴为1;判别式4 = ( m - 1)2 - 4 ( m - 2 ) > 0;特殊 点函数值/(1) <0.解题过程1法一:数形结合由已知可列方程组:• 62•r 4 = (m -1)2 - A i m 1 - 2 ) >0, |/( 1) =1 + m — 1 + m 2 —2 <0.r 3m 2 + 2m -9 <0, m 2 + m - 2 <0.1 +2 槡 -1 +2 槡----;---< m <---------,33-2 < m < 1.%，^2满足0<% < 1<%2 <6,求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口向上，过定点（0,4)，其 与X 轴有两个交点％，2满足0<%<1<% <6,易 画出草图，熟悉题设，理清思路；(2)利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系.解题过程：-2 < m < 1. m e ( - ，1）方法指导：因为/(X )开口向上，所以X —± ^ 时，/(X )— + (即/( -) >0，/( + ) >0),再有/(1) <0,则在区间（-^ ,1)和（1，+1)上都满足 零点存在定理，所以在两个区间都各有一个零点，从而满足题意.因此，判别式4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0可省略不解，解答过程十分简单.解题过程1 :法一（简化）：数形结合 由已知得:/(1) <0....1 + m - 1 + m 2 - 2 < 0. ... m 2 + m - 2 < 0..-2 < m < 1. .m e (-2,1).我们再来看一下第二种解题方法/昔助对二次 方程根的判别式和韦达定理的运用，来解决二次函 数零点分布问题.解题过程2:法二:韦达定理4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0,xt - 1 )(%2 - 1) <0.4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0，%1%2 _ (xt +X 2 ) +1 <0.4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0，一2) -（1 一 m ) +1 <0.由已知，得{.{.{3m 2 + 2m -9<0，m 2 + m - <01 +2 槡 -1+2 槡...|-^^<m < ^3^，-2 < m < 1..- 2 < m < 1. .m e (-2,1).方法指导:韦达定理使用的前提是一元二次方 程的两根存在，即判别式4^0.因此在利用判别式 和韦达定理解决二次函数的零点分布问题时，判别 式4 = (m -1)2 - 4(m 2 - 2 ) >0不可以省略，必须 要求解.显然，在解决二次函数零点分布问题时，利 用韦达定理解题比利用数形结合解题计算量要大. 也就是说，数形结合方法解决零点分布问题更简易、 更巧妙、更通用.例2已知函数/(X ) =X 2 -2ax +4有两个零点由已知可列方程组：,/(0) =4>0， |/(1)=5-2a <0，...1/(6) =40 -12a >0.a >10a < —5 10 5 10.T <a <T .a E (T ’y ).方法指导：因为/(X )开口向上，且由图像可得， /(0) >0，(1) <0，(6) >0,则在区间(0,1)和(1,6)上 都满足零点存在定理，所以在区间(0，1 )和（1，）上各 有一个零点，满足题意“/(X )两个零点X i ，2且0 <X 1 < 1 <X 2 <6”，故而有关对称轴0 <a <6和判别式4 = (-2a )2 -4 x 1 x 4的不等式可省略.例3已知函数/(X ) =X 2 - 2aX +4有两个零点，且都大于1，求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口向上，过定点（0，4 )，且 两个零点X 1，2都大于1，易画出草图，熟悉题设，理 清思路；()利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系解题过程：• 63•由已知可列方程组：/(1) =5 -2a >0, a >1,轴=—2a2x 1=a > 1a <52,，4 =4a 2 - 16 >0. La >2 或 a <-2.2 < a <52a g5)•方法指导：因为/()开口向上，所以/( - 〇〇) > 0，/( + 〇〇 ) > 0，且由图像可得/(1) > 0，但仅仅凭借 特殊点函数值/(1) >0并不能满足零点存在定理， 这就需要其它三个方面加以限制，即开口方向、对称轴-冬>1和4>0.La例4函数/(*) =a *2 -*-1在区间（0,1)内恰有一个零点，求实数a 的取值范围.思路分析：（1)函数开口方向不确定，过定点 (0，_1)；()首项系数含参且在(0，1)内恰有一个零点， 满足条件的草图有很多，因此需要分类讨论，而分类 讨论的依据可以是首项系数的符号.亦或者，我们可 以利用前面的解题思路，按照端点函数值/(0)/( 1) 的符号来讨论；(3)利用数形结合的思想方法，从四个方面将 二次函数图像与代数不等式之间建立联系.解题过程:分类讨论法一:按首项系数分类讨论(1) 若a =0,则/() = -*-1为一次函数，令/(*) =0,得 *= -1.此时/(*)只有*=-1这一个零点，在区间（0, 1)内无零点.(2)若 a >0,则/(*) = a *2 - * - 1 为一兀二次函数，开口向上，过定点（0, -1).由已知可列方程组：f (0) = ―1:0, .a >2.[/(1) =a - 2 >0.(3)若 a <0,则/(*) =a *2-*-1 为一兀二次 函数，开口向下，过定点（0, -1).由已知可列方程组：a <0，1 a <0,0 <^<1， ,、2a 或{ A =1 + 4a >0，4=1 +4a =0, |/(1) =a 一 2>0./(1) =a -2<0a <0，、a <2a <0，或a >a >2••.均无解.综上所述：的取值范围为(2，+ ^ )•方法指导:与例1例2、例3 —样，需要画出函 数草图，从开口方向、对称轴、判别式A 和特殊点函 数值的符号四个方面建立起函数图像与不等式之间 的关系.但由于函数首项系数含参，具有不确定性， 因此依据首项系数的符号进行分类讨论，进而求解 参数的范围.需要说明的是:在情形（2)中，二次函 数/(*) =a *2 -* - 1区间（0,1)上满足零点存在定 理，则在(0，1 )上有且仅有一个零点.法二:按特殊点函数值符号分类讨论：()当/(0)/(1) <0,由/(0) = -1，得/(1) =a-2 >0,即 a >2 时；此时满足零点存在定理，二次函数/(*) =a *2 -* -1在区间(0，）内必恰有一-零点.(2)当/(0)/(1) >0,由/(0) = -1，得/(1) =a-2 <0,即 a <2 时；由图可列方程组得:• 64•a<0,0 <2a<1,A-4a+1=0,/(0) = -1 <0,/(1) =a-2<0.a<0,a无解.、a<2.()当/(0)/() =0,由/(0) = -1，得/(1) -a -2=0,即a=2 时；v/(x) =ax2-x-1=22-x-1= (2+1) (-1)，...令/(x) =(2x+1)(x- 1) =0.得 X1 =-+送（0，1)，2 =1 送（0，1).■■■/(x) =ax2-X-1在区间（0，1)内没有零点..a=2不符合题意，舍去.综上所述：的取值范围为(2，+ 1X1 ).方法指导：1)当/(0)/() <0时，满足函数零 点存在定理，则对于二次函数而言在区间（0，1)有 且只有一个零点，满足题意；⑵当/(0)/(1) >0时，函数/(X)端点值同号，不满足零点存在定理，所以结合图像，还得添加其它 三个条件:开口方向、对称轴、判别式A;(3)当/(0)/(1)=0时，可直接求得a=2，此时 函数解析式确定，直接求出零点的值，再判断零点是 否在区间（0，1)内即可.通过对比按首项系数分类讨论和按特殊点函数 值符号（即是否满足零点存在定理）分类讨论两种 方法，我们发现:虽同为利用数形结合与分类讨论的 数学思想方法解题，但显然方法二比方法一简单许 多，再次验证了函数零点存在定理在零点分布问题 求解中的优势所在.3研究零点分布，归纳解题结论通过对典型例题的深度探究，我们发现:二次函 数的零点分布问题，可以从开口方向、对称轴、判别 式和特殊点函数值符号四个方面找寻二次函数图像 与代数不等式之间的关系，从而建立起数学解题模型.我们还发现，当特殊点的函数值符号异号时，即在某区间上函数满足零点存在定理时，那就只需要 列特殊点函数值符号的不等式即可，其它三个不等 式不用列也无需解；当不满足零点存在定理时，就需 要其它三个方面的不等式加以限制，此时不能省略.因此，从四个方面将二次函数图像与代数不等式之 间建立联系，利用数形结合解决二次函数的零点分 布问题时，要注意四个方面研究的顺序性，优先考虑 特殊点函数值的符号情况，若满足零点存在定理，则可简化解题步骤，巧妙解决二次函数的零点分布问 题.此外，对于需要分类讨论的二次函数零点存在问 题，以/( a)/( 6 )的符号为切入点展开分类讨论，显然思路比较清晰，便于求解.数形结合巧运用，零点分布妙化解.利用一个简单的数学知识——零点存在定理和一个常用的数学 思想方法——数形结合，把二次函数零点分布问题 的解题方法系统化、直观化和形象化，在题目的诸多变化中找到了数学解题的“不变性”，达到“以不变 应万变”的解题教学效果，从而能够促进学生的深 度思考，提升学生的解题能力，优化学生的数学思维 品质，发展学生的数学核心素养.(说明：本文中出现的函数图像，都是在假设存 在的前提下依据题意画出的草图，并不代表此函数 图像一定存在.尤其在涉及分类讨论求参数范围时，满足条件的函数图像是否真实存在取决于解题的结果是否有解.）参考文献：[1] 中学数学课程教材研究开发中心.普通中教科书数学必修第一册（2019年A版）[M].北 京:人民教育出版社，2019.[2] 安学保.讲在学生需要处，讲在思维深处——例谈高中数学解题教学中的问题驱动[J].中学数学教学参考，2019,（22) :54 -57.[3] 江春莲，胡玲.基于APOS理论和R M I原的二次函数图象平移教学实验研究[J].数学教育学报，2020,29(6) ：2 -39.[4] 葛丽婷，旆梦媛，于国文.基于UbD理论单元教学设计——以平面解析几何为例[J].数学 教育学报，2020,29(5) :5 -31.• 65•。
二次函数两个零点
二次函数两个零点二次函数是数学中的一种函数类型，其数学表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
二次函数的图像呈现出一条平滑的曲线，其形状和位置与函数的三个参数有关。
标题中提到的两个零点，指的是二次函数的解，即使得f(x)等于0的x值。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，可以使用求根公式来求解其零点。
求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
根据这个公式，可以求得二次函数的两个零点。
假设二次函数的两个零点分别为x1和x2，且x1小于x2。
根据解的性质，可以得出以下结论：1. 零点的存在性：对于二次函数而言，存在两个零点的条件是b^2 - 4ac大于等于0。
当b^2 - 4ac等于0时，二次函数有两个相等的零点；当b^2 - 4ac大于0时，二次函数有两个不相等的零点；当b^2 - 4ac小于0时，二次函数没有实数解。
2. 零点的关系：根据二次函数的对称性，可以得出零点的平均值等于二次函数的顶点横坐标的负值，即(x1 + x2) / 2 = -b / (2a)。
这个结论可以用来判断零点的位置关系，以及求解二次函数的顶点坐标。
3. 零点的符号：由于二次函数是一个连续函数，所以在两个零点之间的区间内，函数的值符号是相同的。
例如，如果x1小于x小于x2，则f(x1)和f(x2)的符号相同。
这个性质可以用来分析二次函数的增减性，以及确定函数的正负区间。
除了上述性质外，二次函数还有其他一些重要的特点和应用。
下面将介绍二次函数的顶点、轴对称性、图像及其应用。
1. 顶点：二次函数的顶点是函数图像的最低点或最高点，其横坐标为-x / (2a)，纵坐标为f(-b / (2a))。
顶点的横坐标可以通过零点的关系式求得。
顶点的纵坐标可以通过代入顶点横坐标到函数表达式中求得。
2. 轴对称性：二次函数关于顶点的横坐标轴对称。
二次函数零点分布情况
二次函数零点分布情况二次函数是代数学中重要的一种函数类型。
它的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是实数常数，且a不为零。
二次函数的图像为开口向上或向下的抛物线，而与二次函数相关联的一个重要概念就是零点。
零点，也称为根或解，指的是使得函数取值为零的x值。
对于二次函数来说，求解零点的方法比较简单，有一条通用的公式可以使用。
给定一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，其零点可以通过解以下的二次方程得到：ax^2 + bx + c = 0二次方程的解可以通过求解下面的一元二次方程公式得到：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)根据这个公式，我们可以得到一些关于二次函数零点分布情况的结论。
1.零点的数量：根据一元二次方程的解的公式，零点的数量取决于判别式的值，即(b^2-4ac)的正负性。
如果判别式大于零，方程有两个不同的实数根；如果判别式等于零，方程有两个相等的实数根；如果判别式小于零，方程没有实数根，但可能有两个复数根。
2.对称性：二次函数的零点也与其图像的对称性有关。
由于二次函数是关于抛物线的对称轴对称的，所以如果一个根为x，则对称轴上的距离为2x的点也是零点。
换句话说，如果(x1,0)是函数图像上的一个零点，那么对称轴上的点(-x1,0)也是零点。
3.零点位置与抛物线开口方向的关系：二次函数的开口方向由系数a的正负性决定。
如果a大于零，抛物线开口向上，此时函数图像的最低点就是零点的位置；如果a小于零，抛物线开口向下，此时函数图像的最高点就是零点的位置。
4.零点的分布情况：二次函数的零点的分布情况也与判别式的值有关。
如果判别式大于零，说明方程有两个不同的实数根，这意味着抛物线与x轴相交于两个不同的点；如果判别式等于零，说明方程有两个相等的实数根，这意味着抛物线与x轴相切于一个点；如果判别式小于零，说明方程没有实数根，这意味着抛物线与x轴没有交点。
在解析几何中，二次函数的零点也被称为方程与坐标轴的交点。
二次函数的零点的分布
Δ＝(m－3)2－4m≥0， ∴3－m 2m >0. 解得 0<m≤1. 综上所述，知所求 m 的取值范围
O
O
O x O
x2
k1x1 O
x2 k2 x
OO O
O OO
充要条件
f (k ) 0
0 b k1 k2 2a f (k1 ) 0 f (k2 ) 0
根的 分布
k1 x1 k2 x2 k3
y
在 (k1 , k2 ) 有且只有 一个根
(2)若函数的两个不同零点都大于0，求m的 取值范围 (3)若函数有两个零点，其 中一零点在区间 (1,0)
内, 另一零点在区间 (1,2)内，求 m的取值范围
(4)若函数的两个零点中一个比1大，一个比1 小，求m的取值范围
例2.已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1在原点右侧至
少有一个零点，求实数m的取值范围.
这种考风将使学校的学风每况愈下手机作弊是愈演愈烈我们平时的月考期中期末考试初中高中毕业考试等等axbx的两根两正根axbx的两个实根则根的分布有且只有一个根充要条件2若方程的两个不同根都大于若方程的两个不同根都大于00求求mm的取值范围的取值范围4若方程有两根其中一个比若方程有两根其中一个比11大一个比大一个比11小求mm的取值范围的取值范围这种考风将使学校的学风每况愈下手机作弊是愈演愈烈我们平时的月考期中期末考试初中高中毕业考试等等2若函数的两个不同零点都大于若函数的两个不同零点都大于00求求mm的的取值范围取值范围4若函数的两个零点中一个比若函数的两个零点中一个比11大一个比大一个比11小求mm的取值范围的取值范围这种考风将使学校的学风每况愈下手机作弊是愈演愈烈我们平时的月考期中期末考试初中高中毕业考试等等例2
二次函数零点分布
一元二次函数零点分布（二次方程根的分布）教学目标学会如何通过研究函数的图像，确定二次函数在给定区间上的零点分布。
教学重点根据函数的图像确定二次函数在给定区间上的零点分布。
教学难点体会影响二次函数在给定区间上的零点分布的要素。
教学过程一、探究二次函数零点分布的要素1、 回想：方程0)3(2=+-+a x a x 有两个正根，两个负根，一个正根一个负根。
2、 思考：函数2)3()(2+-+=x a x x f 有两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。
若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。
3.探究：二次函数零点分布的要素二、例题讲解例1 函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a 范围【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x例2函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围【总结】一元二次函数两个零点均在一个区间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞ 。
这类问题要考虑哪些因素。
【练习2】12)(2++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x【变式2】12)(2++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围例3函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且0,021><x x ，求a 范围【总结】一元二次函数两个零点在不同区间，这一类问题需要考虑哪些因素，为什么？【练习3】例3中条件改成1,121><x x【变式1】12-)(2++=ax x x f 的两个零点有1,121><x x ，求a 范围。
一元二次函数零点分布问题的正确教学。
⼀元⼆次函数零点分布问题的正确教学。
⼀元⼆次函数f(x)=ax²+bx+c(a>0)的零点分布，也可以说是⼀元⼆次⽅程ax²+bx+c=0根的分布，亦可简称‘’区间根‘’，很多书上和⽼师都没教到位，没有提练出问题的本质，⽽是就题论题，学
⽣学得⼀头雾⽔。
在这⾥我给⼤家教⼀教，其实⼀元⼆次⽅程根的分步只有两种题型，第⼀种问题是设及两个区间，⽐如说两根分别在x=3的左右（相当于⼀根在(－∞，3)，⼀根在（3，＋∞））。
⼜⽐如⼀根在区间(0，1)，⼀根在区间(2，3)。
这样的问题我们只需应⽤零点存在定理，仅考查端点的函数值就可以了。
⽐如第⼀个例⼦仅需f(3)<0即求解了。
第⼆个例⼦，我们的求解就是不等式组
f(0)>0，f(1)<0，f(2)>0，f(3)<0的解集就得解了。
第⼆种问题就是只设及⼀个区间，⽐如两个根都在区间(1，2)上，这种问题我们就不能只考虑端点值了，需要△>0，对称轴在区间内，1<－b/2a<2，两个端点值都⼤于零f(1)>0，f(2)>0，四个条件限制它才⾏了。
通过这样⼦⼀提练，问题就简单多了，我相信你以后有关⼆次函数零点问题再也不会错了！
谢谢阅读，不正之处望⼤家多提意见！。
一元二次(函数)方程根(零点)的分布问题
高考热点专题系列之一元二次（函数）方程根（零点）的分布问题二次方程的根从几何意义上来说就是抛物线与轴交点的横坐标，所以研究方程的实根的情况，可从的图象上进行研究．一、.若在内研究方程的实根情况只需考察函数与轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由的系数可判断出的符号，从而判断出实根的情况．二、若在区间内研究二次方程，则需由二次函数图象与区间关系来确定．1．二次方程有且只有一个实根属于的充要条件1）若其中一个是方程的根，则由韦达定理可求出另一根．2）若不是二次方程的根，二次函数的图象有以下几种可能：（1）（2）（3）（4）由图象可以看出，在处的值与在处的值符号总是相反，即；反之，若，的图象的相对位置只能是图中四种情况之一．所以得出结论：若都不是方程的根，记，则有且只有一个实根属于的充要条件是．2．二次方程两个根都属于的充要条件方程的两个实根都属于，则二次函数的图象与轴有两个交点或相切于点，且两个交点或切点的横坐标都大于小于，它的图象有以下几种情形：（1）（2）（3）（4）可得出结论：方程的两个实根都属于区间的充要条件是：这里．3．二次方程的两个实根分别在区间的两侧（一根小于，另一根大于）的充要条件是：这里．4．二次方程的两个实根都在的右侧的充要条件是：二次方程的两个实根都在的左侧（两根都小于）的充要条件是：这里．三、一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程（）的两个实根为，，且。
【定理1】：，或上述推论结合二次函数图象不难得到。
【定理2】：，或由二次函数图象易知它的正确性。
【定理3】【定理4】，且；，且。
四、一元二次方程的非零分布——分布设一元二次方程（）的两实根为，，且。
为常数。
则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若干定理。
二次函数的零点问题
二次函数在给定区间上的零点分布一学习目标：学会如何通过研究函数的图象确定二次函数在给定区间上的零点分布.二 知识点精讲一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。
这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。
函数与方程思想：若y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔f (0x )=0若y =f (x )与y =g (x )有交点(0x ，0y )⇔()f x =()g x 有解0x 。
下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。
1．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧．设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤．1方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个正根：01>x ，02>x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧∆=-≥⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩推论：01>x ，02>x⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到．2方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个负根：01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b 推论：01<x ，02<x⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>=>≥-=∆0)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 由二次函数图象易知它的正确性．3方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个异号根：210x x <<⇔0<ac ．4 ○1方程02=++c bx ax （0≠a ）有一个零根，一个正根：01=x ，02>x ⇔0=c 且0<ab ； （2）方程02=++c bx ax （0≠a ）有一个零根，一个负根：01<x ，02=x ⇔0=c 且0>a b ．2．一元二次方程的非零分布——k 分布设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。
二次函数零点分布
二次函数零点分布 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-一元二次函数零点分布（二次方程根的分布） 教学目标学会如何通过研究函数的图像，确定二次函数在给定区间上的零点分布。
教学重点根据函数的图像确定二次函数在给定区间上的零点分布。
教学难点体会影响二次函数在给定区间上的零点分布的要素。
教学过程一、 探究二次函数零点分布的要素1、回想：方程0)3(2=+-+a x a x 有两个正根，两个负根，一个正根一个负根。
2、思考：函数2)3()(2+-+=x a x x f 有两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。
若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。
3.探究：二次函数零点分布的要素二、例题讲解例1函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a范围 【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x例2函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围【总结】一元二次函数两个零点均在一个区间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞ 。
这类问题要考虑哪些因素。
【练习2】12)(2++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a范围【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x 【变式2】12)(2++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围例3函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且0,021><x x ，求a范围【总结】一元二次函数两个零点在不同区间，这一类问题需要考虑哪些因素，为什么？【练习3】例3中条件改成1,121><x x【变式1】12-)(2++=ax x x f 的两个零点有1,121><x x ，求a 范围。
二次函数的零点分布问题
若关于x的方程4x+2xa+a+1=0有实根，求实数a的取值范 围.
方法点拨1： 方法点拨 ：对于方程有解问题，如果能够分离出参数，把方程转 化为f(x)=g(a)有解，则利用值域法求解即可.
【名师示范2】已知函数 f (x)=mx2+(m -3)x+1在原点右侧至少有一 名师示范 】 个零点，求实数m的取值范围. 分析 二次函数的零点分布问题,经常要结合其图象进行求解. 【解释】注意到x=0时， f (x)=1，∴f (x)的图象恒过定点（0，1）. 解释】 当m=0时， f (x)=-3x+1在原点右侧有一零点， 当m＜0时， f (x)的图象开口向下，在原点右侧有一个零点， 当m＞0时， f (x)的图象开口向上，如下图所示. ∆=(m-3)2-4m≥0, 3-m ＞0, 2m
p40学生展示2关于x的不等式xax40在区间0上恒成立则实数a的最大值是解释x0由原不等式得ax恒成立
P13 【学生展示2】 学生展示 】 已知关于x的方程 (m+1)x2+2(2m+1)x+(1-3m)=0. 当m为何值时，方程有两异号的实根.
P23 【名师示范 】 名师示范3】 方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根大于1，求k的取值范围.
P40【学生展示2】 【学生展示 】 关于x的不等式x2-ax+4≥0在区间(0,+∞)上恒成立，则实数 a的最大值是
【答案】 4 答案】 【解释】 ∵x>0，∴由原不等式得a≤x+ 4恒成立. 解释】 x ∵x+ 4 ≥2 x
.
∴x+ 4 的最小值是4，∴a≤4，即a的最大值为4. x
4 =4（当且仅当x=2时取等号） x⋅ x
二次函数的零点分布
二次函数的零点分布一、基础知识1．零点存在性定理：函数()y f x =的图像连续不断，且满足f(a)f(b）＜0；则函数()y f x =在区间（a,b ）存在零点；当c 在（a,b ）内且f(c)=0存在唯一零点。
2．函数265y x x =-+的零点为1,53．二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的零点个数与方程20ax bx c ++=根的关系：若0∆>，则方程20ax bx c ++=有2根，函数2y ax bx c =++有2个零点若0∆=，则方程20ax bx c ++=有2根，函数2y ax bx c =++有1个零点若0∆<，则方程20ax bx c ++=有0根，函数2y ax bx c =++有0个零点二、例题讲解例1：函数29y x mx =++有两个零点均大于2，求实数m 的范围变式1：函数29y x mx =++有两个零点在区间（2，4）内，求实数m 的范围变式2：函数29y x mx =++有两个零点在区间（2，4）两侧，求实数m 的范围变式3：函数29y x mx =++有一个零点在区间（2，4）内，求实数m 的范围变式4：函数29y x mx =++的两个零点，一个在（2，3）内，一个在（4，5）内，求实数m 的范围变式5：函数29y x mx =++有两个零点一个比2大，一个比2小，求实数m 的范围变式6：函数29y x mx =++的零点都比2大，求实数m 的范围例2：若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是()A (－∞,2]B [－2,2]C (－2,2]D (－∞,－2)例3：已知函数2()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立，则a 的取值范围为解：设()f x 的最小值为()g a （1）当22a -<-即a ＞4时，()g a ＝(2)f -＝7－3a ≥0，得73a ≤故此时a 不存在；(2)当[2,2]2a -∈-即－4≤a ≤4时，()g a ＝3－a －24a ≥0，得－6≤a ≤2又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；（3）22a ->即a ＜－4时，()g a ＝(2)f ＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a ＜－4故－7≤a ＜－4综上，得－7≤a ≤2例4：是否存在这样的实数k，使得关于x 的方程x 2+（2k－3）x －（3k－1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试说明理由.解：令2()(23)(31)f x x k x k =+---那么由条件得到2(23)4(31)0(0)130(2)42(23)(31)023022k k f k f k k k ⎧∆=-+-≥⎪=->⎪⎪⎨=+--->⎪-⎪<<⎪⎩即24501313722k k k k ⎧+≥⎪⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩即此不等式无解即不存在满足条件的k 值.例5：已知函数()213f x ax x a =+-+()a ∈R 在区间[]1,1-上有零点，求实数a 的取值范围．解：当0a =时，()1f x x =-，令()0f x =，得1x =，是区间[]1,1-上的零点．当0a ≠时，函数()f x 在区间[]1,1-上有零点分为三种情况：①方程()0f x =在区间[]1,1-上有重根，令()14130a a ∆=--+=，解得16a =-或12a =．当16a =-时，令()0f x =，得3x =，不是区间[]1,1-上的零点．当12a =时，令()0f x =，得1x =-，是区间[]1,1-上的零点．②若函数()y f x =在区间[]1,1-上只有一个零点，但不是()0f x =的重根，令()()()114420f f a a -=-≤，解得102a <≤．③若函数()y f x =在区间[]1,1-上有两个零点，则()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<-<->++-=∆>.01-,01,1211,01412,02f f a a a a 或()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<-<->++-=∆<.01-,01,1211,01412,02f f a a a a 解得a ∈∅．综上可知，实数a 的取值范围为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．例6：已知二次函数2()163f x x x q =-++：⑴若函数在区间[]1,1-上存在零点，求实数q 的取值范围；⑵问：是否存在常数(0)t t ≥，当[],10x t ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12t -。
二次函数零点分布问题.docx
二次函数零点分布问题二次函数零点分布问题二次函数作为数学中重要的函数之一，其零点分布问题一直是数学研究的热点之一。
通过探究二次函数的零点分布情况，我们可以进一步了解函数图像特征和函数解析式的关系，为解决实际问题提供了有力的数学工具。
本文将从二次函数零点分布的定义、特性及应用等方面进行探讨。
一、二次函数零点分布的定义二次函数可用一般式表示为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别代表常数，且a≠0。
二次函数的零点，即函数f(x)在x 轴上的交点，是指使得f(x) = 0的x值。
零点分布问题旨在研究二次函数的零点在数轴上的位置及个数。
二、二次函数零点分布的特性1. 零点个数：根据二次函数的解析式，在a≠0的前提下，二次函数的零点个数最多为2个。
当函数的判别式Δ=b^2-4ac＞0时，二次函数有两个不相等实数根；当Δ=0时，二次函数有两个相等的实数根；当Δ＜0时，二次函数没有实数根。
2. 零点位置：根据二次函数的对称性可知，二次函数的零点位于其对称轴上，即x = -b/2a。
3. 零点分布规律：当a＞0时，即二次函数开口向上时，如果函数有两个零点，那么这两个零点将分别位于对称轴的两侧；当a＜0时，即二次函数开口向下时，如果函数有两个零点，那么这两个零点将分别位于对称轴的同一侧。
三、二次函数零点分布的应用1. 几何应用：通过对二次函数零点分布规律的研究，我们能够更好地理解抛物线的特性。
在绘制抛物线图形时，我们可以准确地确定抛物线在坐标系中的位置，从而更好地进行几何推导和计算。
2. 物理应用：二次函数的零点分布问题在物理学中也有广泛的应用。
例如，对于运动学中的抛体运动问题，通过研究抛体的轨迹方程，我们可以通过零点分布来确定抛体的高度、时间、速度等物理量。
3. 经济应用：二次函数零点分布问题在经济学领域中也有一定的应用。
例如，通过对二次函数零点的研究，可以确定成本、收益、利润等经济指标在不同条件下的变化趋势，为经济决策提供数学支持。
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一元二次函数零点分布
教学过程
一、探究二次函数零点分布的要素 1、 回想：方程0)3(2
=+-+a x a x 有两
个正根，两个负根，一个正根一个负根。
2、 思考：函数2)3()(2
+-+=x a x x f 有
两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。
若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。
3.探究：二次函数零点分布的要素
二、例题讲解
例1 函数a x a x x f +-+=)3()(2
有两个零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a 范围
【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x
例2函数a x a x x f +-+=)3()(2
有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围
【总结】一元二次函数两个零点均在一个区
间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞ 。
这类问题要
考虑哪些因素。
【练习2】12)(2
++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围
【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x
【变式2】12)(2
++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围
例3函数a x a x x f +-+=)3()(2
有两个零点21,x x ，且0,021><x x ，求a 范围
【总结】一元二次函数两个零点在不同区间，这一类问题需要考虑哪些因素，为什么？
【练习3】例3中条件改成1,121><x x
【变式1】12-)(2
++=ax x x f 的两个零点有1,121><x x ，求a 范围。
【变式2】a x a x x f +-+=)3()(2
两个零点有()()4,0,0,121∈-∈x x ，求a 范围。
例 4 方程0122=--ax x 在()1,0恰有一解，求a 范围。
【总结】一元二次函数有且仅有一个零点在在区间()n m ,内，这一类问题要考虑哪些因素。
【练习4】0122
=--x ax 在()1,0恰有一
解，求a 范围。
【变式】方程022=+-a ax x 在[]10 恰有
一解，求a 范围。
一元二次函数零点分布作业
1.已知二次函数)3()1(2)(2
---+=m x m x x f . ①实数m 满足什么条件时，函数在),0(+∞上有两个零点？ ②实数m 满足什么条件时，函数在),1(+∞上有两个零点？ ③实数m 满足什么条件时，函数在)1,(-∞上有两个零点？ ④实数m 满足什么条件时，函数在)1,(-∞上有且只有一个零点？ ⑤实数m 满足什么条件时，函数在)4,0(上有两个零点？ ⑥实数m 满足什么条件时，函数在)4,0(上有且只有一个零点？
⑦实数m 满足什么条件时，函数的一个零点在)1,2(--，一个零点在)0,1(-？
2.若方程013422
=-++m mx x 有两个负数根，求实数m 的取值范围.
3.若函数)2()1()(2
2
-+-+=m x m x x f 的一个零点比1大，另一个零点比1-小，则实数
m 的取值范围是
4.已知关于函数62)1()(2
2
-++--=m m mx x m x f 有两个零点βα,，且满足
βα<<<10．求实数m 的取值范围.。