小六数学第5讲：递推与归纳(教师版)
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第五讲遴稚鸟归角大脳体標作业兒成情况知识械理有时，我们会遇上一些具有规律性的数学问题，这就需要我们在解题时根据已知条件尽快地去发现规律，并利用这一规律去解决问题。
例如：按规律填数：1，4, 9, 16, 25, ( ), 49, 64；分析：要在括号填上适当的数，就要正确判断出题目所呈现出的规律。
若你仔细地观察这一数列，就会发现这些数之间的规律：⑴先考虑相邻两个数之间的差，依次是3, 5, 7, 9,……,15；可以看到相邻两数的差从3 开始呈现递增2的规律，所以括号里的数应是25+11=36,再看36+13=49得到验证。
⑵如果我们换一个角度去考虑，那么我们还可以发现，这数列的第一项是1的平方，第二项是2的平方，第三项是3的平方，……，从这些事实中，发现规律是第n项是n的平方。
那么所求的是第六项是62=36。
我们把相邻数之间的关系称为递归关系，有了递归关系可以利用前面的数求出后面的未知数。
像这种解题方法称为递推法。
教学重•难点1.理解递推法的概念。
2.会用递推法解题趣味引入例1： 999・・：99*X999・・：999』勺乘积屮有多少个数字是奇数?10个910个9分析：我们可以从最简单的9X9的乘积屮有几个奇数着手寻找规律。
9X9=81,有 1 个奇数；99 X 99=99 X (100-1) =9900-99=9801,有 2 个奇数; 999X999=999 (1000-1) =999000-999=998001,有 3 个奇数； …… 从而可知，Q99・・・999X9g9・・・99Q 的乘积屮共有10个数字是奇数。
---- y ------------ V Z10个910个9分析:先从AB 之间只有一个点开始，在逐步增加AB 之I'可的点数，找出点和线段之I'可的规律。
我们可以采用列表的方法清楚的表示出点和线段数之间的规律。
AB 之间只有1个点：线段有1+2=3条。
AB 之间只有2个点：线段有1+2+3二6条。
2021年人教版六年级数学上册5 整理和复习课件牛老师
有半径的长度(
相等
)，所有直径长度(
直径的长度是半径长度的(
2倍
)。
)。
)条，所
相等
)，
一个圆形牛栏的直径为30m，要用多长的粗铁丝才能把牛栏
围上3圈？
3.14×30×3＝282.6（m）
答：要282.6m长的粗铁丝才能把牛栏围上3圈。
世界最大单口径射电望远镜——“中国天眼”于2017年10月
生活是蜿蜒在山中的小径，坎坷不平。
►一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家。——
维尔斯特拉斯
►历史使人贤明,诗造成气质高雅的人,数学使人高尚,自然哲学使人
深沉,道德使人稳重,而伦理学和修辞学则使人善于争论。——培根
►在现实中,不存在像数学那样有如此多的东西,持续了几千年依然是
确实的如此美好。——苏利文确。
is not old until regrets take the place of dreams.
只要一个人还有追求，他就没有老。直到后悔取代了梦想，一个人才
算老。
►Bad times make a good man.
艰难困苦出能人。
►Life is a path winding in the mountain, bumpy and zigzagging.
►宇宙的伟大建筑是现在开始以纯数学家的面目出现了。J·H·京斯
►新的数学方法和概念,常常比解决数学问题本身更重要。——华罗
庚
►数学是无穷的科学。――赫尔曼外尔
►上帝是一位算术家。——雅克比
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。
►冲冠一怒为红颜，英雄难过美人关。只愿博得美人笑，烽火戏侯弃江山
六年级上册数学教案-第五单元归纳总结人教新课标
教学内容1. 数学基础知识的复习：复习整数、小数、分数的基本概念和运算规则，包括四则运算、分数的通分和约分、小数的位值等。
2. 数学应用问题的解决：通过解决实际问题，如百分比、比例、速率、面积和体积计算等，来提升学生的数学应用能力。
3. 数学思维的培养：通过逻辑推理、问题分析、解决策略的选择等，锻炼学生的数学思维能力。
4. 数学在实际生活中的应用：将数学知识应用于日常生活中，如购物时的价格计算、家庭预算的制定等。
教学目标1. 知识目标：学生能够熟练掌握并运用整数、小数、分数的运算规则，理解并运用数学公式和定理。
2. 技能目标：学生能够运用所学的数学知识解决实际问题，包括计算、测量、估算等。
3. 思维目标：学生能够通过数学学习培养逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。
4. 应用目标：学生能够将数学知识应用到实际生活中，增强数学的实用性和生活联系。
教学难点本单元的教学难点在于如何帮助学生将零散的数学知识进行系统化整理，形成完整的知识框架，并能够灵活运用到实际问题中。
如何激发学生对数学的兴趣，提高他们解决复杂问题的能力，也是教学中的难点。
教具学具准备1. 教具：多媒体教学设备、数学公式挂图、实物模型等。
2. 学具：学生笔记本、计算器、直尺、圆规等。
教学过程1. 复习导入：通过复习已学的数学知识，帮助学生回顾和巩固基础概念。
2. 知识讲解：详细讲解数学公式、定理和概念，并通过实际例子进行说明。
3. 互动讨论：组织学生进行小组讨论，共同解决实际问题，促进知识的内化。
4. 案例分析：通过分析生活中的数学问题，让学生体验数学的实用性。
5. 课后作业：布置相关练习题，让学生在课后进行巩固。
板书设计板书设计将简洁明了地展示教学内容，包括关键知识点、公式、定理等，并配合图表和实例进行说明。
作业设计作业设计将围绕本单元的教学内容，包括基础知识的巩固练习、实际应用问题的解决以及思维训练题目。
作业难度适中，旨在帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
最新整理六年级数学教案北师大版六年级上册数学知识点归纳(五、六单元).docx
最新整理六年级数学教案北师大版六年级上册数学知识点归纳（五、六单元）北师大版六年级上册数学知识点归纳（五、六单元）第五单元数据处理1、三种统计图：条形统计图（表示各个量的多少）、折线统计图（表示数量多少、反映增减变化）扇形统计图（表示部分与整体的关系）。
第六单元比的认识（一）比的基本概念1．两个数相除又叫做两个数的比，“：”是比号。
比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
2．比值通常用分数、小数和整数表示。
3．比的6．比的基本性质：比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数（0除外），比值不变。
4．7、分数的基本性质：分后项不能为0。
5．同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商；根据分数与除法的关系，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数的值。
数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
乘积是1的两个数互为倒数。
1的倒数是1，0没有倒数。
8、商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍（0除外），商不变。
9、小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。
（二）求比值1、求比值：用比的前项除以比的后项。
最后结果是数值。
（三）化简比1、化简比：用比的前项除以比的后项求出分数的比值后，再把分数比值改成比（最终是比的形式）。
公因数只有1的两个数叫做互质数。
最简整数比：比的前项和后项是互质数。
2、比的化简：用商不变的性质、分数的基本性质或比的基本性质来化简。
（四）比的应用1、比的第一种应用：已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或这几个数量是多少？例如：六年级有60人，男女生的人数比是5：7，男女生各有多少人？题目解析：60人就是男女生人数的和。
解题思路：第一步求每份：60÷（5+7）=5人第二步求男女生：男生：5×5=25人女生：5×7=35人。
2、比的第二种应用：已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？例如：六年级有男生25人，男女生的比是5：7，求女生有多少人？全班共有多少人？题目解析：“男生25人”就是其中的一个数量。
2023人教版六年级数学上册全册整理教案
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2023年人教版六年级数学上册全册整理教案 - 整体评述教学是一项复杂而又重要的工作，教师需要精心准备教案来支撑自己的教学活动。
教案的质量直接关系到教学效果，因此2023年人教版六年级数学上册全册整理教案的重要性不言而喻。
本文将从不同章节的教案内容出发，深入探讨这一主题。
1. 教案的重要性教案是指导和规范教学活动的一种工具，它包括了教学目标、教学内容、教学方法、教学安排、教学活动设计、师生活动安排以及评价方式等内容。
【精品】五年级下册数学试题：培优专题讲练：第5讲 巧用递推 人教版
第5讲巧用递推方法和技巧学会实际操作、计算、观察、分析、，归纳出规律，并应用这些规律解决实际问题。
例题精讲A级基础点睛【例1】班主任需要在最短的时间内，向全班同学发出紧急通知。
假定用电话联系，每通知一个同学需要1分钟，第1分钟由班主任通知同学C，第2分钟由班主任和C同学通知其他的两位同学，以此类推，如果没有重复，那么，5分钟共通知了多少名同学？分析与解第一分钟通知1名同学：第二分钟通知2名同学；第三分钟通知4（2×2=4）名同学；第四分钟通知8（2×2×2=8）名同学；第五分钟通知16（2×2×2×2=16）名同学。
所以，共通知了1+2+4+8+16=31（名）同学。
做一做1 把一张16厘米×32厘米的纸裁去一半，再将其中的一张裁去一半……继续这样裁下去，直到得到一张1厘米×2厘米的纸为止。
那么，一共需裁多少次？【例2】将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干块小纸片，如果要分成不少于50块小纸片，那么至少要画多少条直线？请说明。
分析与解我们通过列表来观察：直线条数纸片最多划分成的块数1 1+12 1+1+23 1+1+2+34 1+1+2+3+45 1+1+2+3+4+5…………不难看出，表中每行右边的数等于1加上从1到行数的所有整数的和。
我们把问题转化为：自第几行起，右边的数不小于50？我们知道1+1+2+3+…+10=56，1+1+2+3+…+9=46，可见第9行右边还不到50，而第10行右边已经超过50了。
答：至少要画10条直线。
做一做2 若把一个菠萝竖直切成11块，问：最少要切多少刀？【例3】如右图，在2×2的方格中画一条直线，最多可穿过3个方格，在3×3的方格中画一条直线，最多可穿过5个方格，那么在10×10的方格中画一条直线，最多可穿过多少个方格？分析与解采用递推的方法，从中找出规律和答案。
人教版数学小学六年级上册 第5单元 圆 第4~5课时 圆的面积计算公式的推导及应用 优质教案
2.独立解答后，汇报，全班集体交流。
5.将一只羊拴在草地的木桩上，绳子的长度是4米。这只羊最多可以吃到多少平方米的草？
3.14×42＝3.14×16＝50.24m2
答：这只羊最多可以吃到50.24平方米的草。
五、课堂总结，拓展延伸。（2分钟）
1.总结本节课学习的内容。
2.布置课后学习内容。
2.指导操作，推导圆的面积计算公式。
（1）议一议：怎样求圆的面积？
（2）想一想：怎样分割才能把圆转化成长方形？
（3）剪一剪、拼一拼。（教师指导，课件演示）
（4）问题提示：拼成的近似长方形的长和宽分别相当于圆的哪一部分？
你能根据长方形的面积计算公式推导出圆的面积计算公式吗？
（5）师生共同小结。
1.思考并回答老师提出的问题。
教师点评和总结：
2.（1）小组内讨论。
（2）小组讨论分割的方法。
（3）利用学具操作：把圆平均分成2份；再把每个半圆平均分成8份；剪开后拼一拼。
（4）观察拼成的近似长方形，教师提出的问题，小组内讨论的面积计算公式的推导过程
（5）汇报推导结果。
3.填空。
（1）把圆平均分成若干份，然后把它剪开，可以拼成一个近似的长方形，这个长方形的长等于圆的（周长的一半），宽等于圆的（半径）。
在学生掌握圆的面积计算公式最常用推导方法的基础上，引导学生巧妙运用转化的方法创新思维，多角度探究推导圆的面积计算公式的方法。
学习目标
1.理解圆的面积的意义，掌握圆的面积的计算公式，能运用公式解决实际问题。
2.经历圆的面积计算公式的推导过程，体会转化的思想方法。
3.培养动手操作、自主探究的能力。
学习重点
（2）圆的半径扩大2倍，它的周长扩大（2）倍，面积扩大（4）倍。
浙教版(2023)六上第5课算法的执行教案2
学生在进入六年级之前，已经学习了基础的数学知识和简单的计算机操作。他们对算法概念可能有一定的了解，但不一定能够深入理解算法的执行过程和原理。学生在知识方面，需要进一步掌握算法的基本概念和执行方法。在能力方面，学生需要提高逻辑思维和问题解决能力，能够运用算法解决实际问题。在素质方面，学生需要培养创新意识和实践能力。
教学资源拓展
1.拓展资源
-算法案例库：提供一系列不同领域的算法案例，如数学、物理、生物等，让学生了解算法在实际应用中的广泛性。
-编程挑战平台：介绍一些在线编程挑战平台，如LeetCode、Codeforces等，让学生通过解决实际问题来提高编程能力。
-算法讲座视频：推荐一些在线视频讲座，如MIT OpenCourseWare、Coursera等，让学生深入了解算法的理论和应用。
输出：最大值索引max_index，最小值索引min_index
算法流程：
1.初始化max_index = 0，min_index = 0
2.对于数组中的每个元素arr[i]：
1.如果arr[i] > arr[max_index]，则更新max_index = i
2.如果arr[i] < arr[min_index]，则更新min_index = i
1.初始化n =数组长度
2.对于i = 0到n-1：
1.对于j = 0到n-i-1：
1.如果arr[j] > arr[j+1]，则交换arr[j]和arr[j+1]
3.返回排序后的数组arr
```
4.题型四：算法优化
题目：优化以下算法，使其时间复杂度更低：给定一个整数数组，计算数组中所有元素的和。
答案：
六年级上册数学教案第五单元归纳总结人教新课标-精选教育文档
五、扇形统计图
一、扇形统计图的意义：
用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。
也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）。
二、常用统计图的优点：
1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。
2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。
3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。
三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇
形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大。
（因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。
）
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六年级奥数优胜教育第5讲：递推与归纳含答案
第五讲 递推与归纳A1. 100 条直线最多能把一个平面分成 _____ 个部分。
2. 熊大叔是一个卖烧饼的师傅 ,他用一个平底锅煎饼 ,他是这样煎饼的 : 每次只能放两个饼 每个饼正反面都要煎 ,煎每一面都要 1分钟 ,问他煎 10个这样的饼需要 ______ 分钟。
3. 上一段 11阶楼梯,规定每一步只能上一级或两级 ,那么要登上第 11级台阶有 ______ 种不同 的走法。
4. 请先计算 11× 11,111 × 111,1111 × 1111, 你能根据以上结果 , 不经过计算而直接写出 11111111×11111111= ________ 。
例 1： 999⋯999×999⋯999 的乘积中有多少个数字是奇数？10 个 9 10 个 9例 2：如图所示：线段 同的线段？ AB 上共有 10 个点（包括两个端点）那么这条线段上一共有多少条不 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 B a 8 例 3：计算 13+23+33+43+53+63+73+83+93+103 得值。
例 4： 2000 个学生排成一行，依次从左到右编上 1～2000 号，然后从右到左按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的人离开队伍，⋯⋯按这个规律如 此例 5：圆周上两个点将圆周分为两半，在这两点上写上数 1 ；然后将两段半圆弧对分，在两个分点上写上相邻两点上的数之和； 再把 4 段圆弧等分， 在分点上写上相邻两点上的数 之和，如此继续下去，问第 6 步后，圆周上所有点上的之和是多少？ 例 6： 4 个人进行篮球训练， 互相传球接球， 要求每个人接球后马上传给别人， 开始由甲发 球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方式？5. __ 我们知道三角形的内角和是180度,长方形的内角和是360 度,那么正十边形的内角和是____ 度。
小学数学六年级(上)第03讲 递推计数(含答案)
第三讲递推计数有许多计数问题很复杂，直接处理比较困难，此时硬碰硬是不行的．一个比较有效的策略是退而求其次：先考虑该问题的简单情形，看看简单情形如何处理；在解决了简单情形后，再考虑如何利用简单情形的结论来解决更复杂的问题……这个由简单到复杂的推导过程就叫“递推”．那如何利用“递推法”来解决计数问题呢？下面我们就来看几个例子．例1．老师给小高布置了12篇作文，规定他每天至少写1篇．如果小高每天最多能写3篇，那么共有多少种不同的完成方法？（小高每天只能写整数篇）「分析」从简单情况入手，看看能否找到合适的突破口．如果老师只布置1篇作文，小高有多少种不同的完成方法？如果老师布置2篇作文，小高有多少种不同的完成方法？如果老师布置3篇、4篇、……小高又分别有多少种不同的完成方法？篇数由少到多，完成方法数也会逐渐变多，这其中有什么规律呢？练习1、一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈二级台阶或三级台阶．走完这12级台阶，共有多少种不同的走法？⨯的方格表，共有多少种例2．用10个13⨯的长方形纸片覆盖一个103覆盖方法？「分析」与例1的类似，我们还是从简单情形入手找递推关系．可具体从什么样的情形入手呢？练习2、用7个12⨯的长方形纸片覆盖一个72⨯的方格表，共有多少种覆盖方法？例3．在一个平面上画出100条直线，最多可以把平面分成几个部分？「分析」当直线数量不多时，画图数一数即可．但现在有100条，画图数并不现实．我们不妨在纸上将直线逐一画出，并在画的过程中仔细观察：每增加一条直线，平面被分成的部分会增加多少？这个增量．．有什么变化规律？练习3、如果在一个圆内画出50条直线，最多可以把圆分成多少部分？下面我们来学习一类很经典的递推计数问题——传球问题．例4．四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过8次传球后球仍然回到红衣人手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？「分析」看到这个问题，很多同学可能想通过树形图来求解，我们不妨来试一试．设穿着红、黄、绿、蓝四种颜色球衣的人分别是A 、B 、C 、D ．如下图，最开始时，球在A 手上，第一次传球由A 传给B 、C 、D ，也就是第一层有三个字母就够了．然后B 、C 、D 都会继续往下传球，各有3种传法，传到第二层需要9个字母．再传到第三层，需要27个字母……每一层需要的字母增加迅猛！如果传8次球，到最后一层会用到836561 个字母，这要多大的一个树形图啊！可见画树形图的方案不可行．但树形图对这道题就没有用了吗？并非如此．它可以帮助我们找出传球过程中所隐藏的递推关系．事实上，我们并不关心树形图长啥样，我们关心的是数量——树形图每一层分支的数量．因此，只要知道每一层各字母出现的次数就可以了，我们不妨制作一个表格来统计这个次数．如下表，我们用第一列来表示层数，第一行来表示每个人，其余空格用于填写字母在该层中出现的次数．请你从上方的树形图中数一数，填出表格中的前几行．然后思考一下：这其中隐藏着什么样的递推关系？B C D ACDABDABCAB C D A B D A B C B C D A C D A B C B C D A C D A B D练习4、三个人分别穿着红、黄、蓝三种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过7次传球后传到蓝衣人手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？解传球问题的方法称为“传球法”．“传球法”是递推法的一种特殊形式，是一种极其实用的数表累加计数法．例5． 一个七位数，每一位都是1、2或者3，而且没有连续的两个1，这样的七位数一共有多少个？「分析」这道题与前面两道题有何异同？应该如何求解呢？前面的计数问题，递推关系都表现为数列、数表的简单累加，但这不是递推的全部．简单累加只是递推的一种表现形式，递推还有很多其它形式．下面我们就来看一道无法通过简单累加求解的计数问题．A B C D 0 1 2 345678例6．圆周上有10个点A 1、A2、、A10，以这些点为端点连接5条线段，要求线段之间没有公共点，共有多少种连接方式？「分析」圆周上10个点，连5条线段，连法很多，很难直接画出来枚举．像这类问题，我们同样还是从简单的情况入手．那么是应该按1个点、2个点、3个点、……这样依次计数，来找递推关系吗？课堂内外神奇的汉诺塔一位法国数学家曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针．印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔．不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面．僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽．不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序．这需要多少次移动呢?这里需要递归的方法．假设有n片，移动次数是．显然，，，且．此后不难证明．时，．假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一个平年365天有31536000 秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，计算一下，18446744073709551615/31556952=584554049253.855年．这表明移完这些金片需要5845亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年．真的过了5845亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭．作业1.有10个蛋黄派，萱萱每天吃1个或2个，那么共有多少种不同的吃法？2.甲、乙两人玩抓石子游戏，共有12个石子，甲先乙后轮流抓取．每次可以抓取其中的2个、3个或4个，直到最后抓取完毕为止．那么共有多少种抓取石子的方案？3.用直线把一个平面分成100部分，至少要在平面上画几条直线？4.一个七位数，它由数字0、1、2、3、4组成，相邻位置上的数字不相同，并且个位数字是2．这样的七位数有多少个？5.用8个的长方形纸片覆盖下面的方格表，共有多少种覆盖方法？第三讲递推计数例题例1． 答案：927详解：将作文数量与完成作文的方法数列成一张表格，如下所示：下面解释一下这张数表是如何累加得到的．写1、2、3篇作文的方法数可以枚举得到．写4篇作文的完成方法数可以分三类去数：如果第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下3篇有4种完成方法；如果第一天写2篇，同样参考数表可得，剩下2篇有2种完成方法；如果第一天写3篇，那么剩下1篇还有1种完成方法——因此4篇作文的完成方法总数为1247++=，如上表箭头所示．接着分析5篇作文的完成方法数，仍然分三类：第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下4篇还有7种完成方法；第一天写2篇，那么剩下3篇还有4种完成方法；第一天写3篇，那么剩下2篇还有2种完成方法——因此5篇作文的完成方法数等于24713++=……以此类推便可填满整张表格．例2． 答案：28详解：我们同样可以列出一个递推数列，将其表示如下：下面详细说明该问题的递推规律．覆盖1×3、2×3和3×3方格表的方法数可以枚举得到．接着分析覆盖4×3的表格有几种覆盖方法．如下图所示，左上角的阴影方格在覆盖的时候有两种方法：竖着覆盖或横着覆盖．当竖着覆盖时，余下部分恰好是一个3×3的方格表，覆盖方法数为2；当横着覆盖时，其下方的方格只能被横放的纸片盖住，因此只剩下一个1×3的方格表需要覆盖，方法数为1．由此可得4×3表格的方法数为2+1=3．用同样的方法分析5×3的方格表，可得其覆盖方法数等于43⨯的方法数加上23⨯的方法数，因此等于314+=．接着以此类推即可． 例3． 答案：5051详解：我们同样可以列出一个递推数列，将其写为如下的一张数表：作文数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 完成方法数124713244481149274504927方格表大小覆盖方法数1 1234 6 9 131928余下部分是的方格表，覆盖方法有2种．阴影方格下方的格子只能用横放的纸片盖住，因此只剩下的方格表需要覆盖直线数量 1 2 3 4 5 … 100 平面被分成的区域24711165051…下面详细说明该递推过程．平面上有1、2、3条直线的情形画图即可解决，我们从第4条直线开始分析．如右图所示，当画上第4条直线时，会把原有的区域一分为二（如编号为I 、II 、III 、IV 的4个区域），因此会增加4个新区域．而之所以能产生4个新区域，就是由于第4条直线会与原有的3条直线产生3个交点，而这3个交点会把第4条直线分为4部分，每一部分都会位于一个原有的区域中，因此每一部分都就会把原有的某个区域一分为二，因此直线被分为几部分，区域数量自然也就增加几部分．上述逻辑关系在下方右侧有明确的表示．由此可得，增加到第n 条直线就会增加n 个新区域，因此答案是()22341005051+++++=．例4． 答案：1641详解：本题的方法称为“传球法”．传球法在很多问题中有着广泛的应用．如右侧表格所示，除了第“0”行外，其余每一行的数量都是由上一行的数量通过某种规则累加得到的．比如第“1”行A 下方的0，就是通过第“0”行B 、C 、D 的数量相加得到的；第“3”行B 下方的7，就是通过第“2”行A 、C 、D 的数量相加得到的；第“4”行C 下方的20，就是通过第“5”行A 、B 、D 的数量相加得到的；第“6”行D 下方的182，就是通过第“5”行A 、B 、C 的数量相加得到的．之所以有这样的累加规则，就是因为A 想拿球，必须由B 、C 、D传球给他，所以他下方的数也必须由B 、C 、D 累加给他——这就是传球规则决定累加规则．依据这一累加规则，我们不停地将数表向下累加，每传一次球就多累加一行，最后得到第“8”行．这一行的四个数分别为1641、1640、1640和1640．他们分别表示8次传球后，由A 、B 、C 、D 拿球的传球方法数．由于题目要求最后球回到A 手中，因此答案为1641种． 例5． 答案：1224详解：我们把这个七位数看作是1、2、3三个人之间传6次球的一个传球顺序，具体的传球规则是：1能传球给2、3，但不能给自己；2、3都能传球给1、2、3．依据“传球规则决定累加规则”，我们可以列出如右表所示的一张递推表格．表格的第“0”行是发球行，对应的是这个七位数的第4条III IIIIVIII IIIIV 增加第n 条直线产生个交点第n 条直线被分成n 部分直线的每一部分 都分出一个新区域增加n 个新区域A B C D 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 2 3 2 2 2 3 6 7 7 74 21 20 20 205 60 61 61 616 183 182 182 1827 546 547 547 5478 1641 1640 1640 1640 1 2 3 0 1 1 11 2 3 32 6 8 83 16 22 224 44 60 605 120 164 164 6328448448首位数字．由于1、2、3都能作首位，因此第“0”行写的都是1．接着按照传球规则累加即可．表格中第“6”行（最后一行）中的三个数分别表示第六次传球后，球在1、2、3手中的方法数，对于七位数而言，就是表示分别以1、2、3结尾的符合题意的七位数有多少个．所以最后答案应该把它们全加起来，等于328+448+448=1224．例6． 答案：42详解：我们依照连续偶数的次序进行递推累加．（1）圆周上有2个点，只有1种连法．（2）圆周上有4个点，只有2种连法．（3）圆周上有6个点A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6（如下左图），那么与A 1相连的点只能是A 2、A 4或A 6．依次分三类情况讨论：第一，A 1连A 2，剩下4个点连法数为2；第二，A 1连A 4，剩下4个点连法数为1；第三，A 1连A 4，剩下4个点连法数也为2．由此可得，6个点共有5种不同的连法．（4）如果圆周上有8个点A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6、A 7、A 8（如下右图），那么与A 1相连的点有四种可能，分别是A 2、A 4、A 6或A 8．以此分四类讨论，共14种方法．（5）如果圆周上有10个点，同样考虑能与A 1相连的点，分五类讨论，如下图所示．共42种方法．评析：本题虽然不像之前那样，只遵循一个简单的累加规则，但也仍然是一个由小求大的递推过程：在求解6个点的方法数时，会用到2个、4个点的方法数；在求解8个点的方法数时，也会用到2个、4个、6个点的方法数；而在求解10个点的方法数时，则会用到2个、4个、6个、8个点的方法数……由此可见“由小求大”应该说是递推法真正的内涵．我们再处理问题时，要有能力将数目较大的情形通过变形，化归为数目较小的情形来解决．另外，请大家观察右图．从A 处出发，每次只能向右或向上走一步，那么从A 到B 、C 、D 、E 、F 的最短路径分别有多少？大家不妨用标数法（参考四年级上册第16讲《加法原理与乘法原理》）自己做一做，在把相应的结果与本题的结果对照一下，你能发现其中的奥妙吗？A 3A 1A 2A 4A 5A 6 A 1A 2A 3 A 4A 5A 6A 7 A 8还剩4个点， 2种方法．1种方法．还剩4个点， 2种方法．还剩6个点，共5种方法．剩余个点，方法数为．剩余个点，方法数为．还剩6个点，共5种方法．6个点 共5种方法8个点共14种方法 A 1A 2 A 3 A 4A 5 A 6A 7A 8 A 9 A 10 A 1A 2 A 3 A 4A 5 A 6A 7 A 8 A 9 A 10 A 1A 2 A 3 A 4A 5 A 6A 7 A 8 A 9 A 10 A 1A 2 A 3 A 4A 5 A 6A 7 A 8 A 9 A 10 A 1A 2 A 3 A 4A 5 A 6A 7A 8 A 9 A 10 剩余8个点 共14种方法 剩余个点 共种方法 剩余个点 共种方法 剩余个点 共种方法 剩余8个点 共14种方法B CDEFA练习1、答案：12简答：仿照例题1进行分类讨论，列出如下数表进行累加即可，注意累加规则．台阶数123456789101112上台阶方法数0111223457912练习2、答案：21简答：仿照例题2，找到左上角的方格，按照该方格是横着覆盖还是竖着覆盖分两类讨论即可得递推规则．方格表大小覆盖方法数123581321练习3、答案：1276简答：本题与直线分平面的问题本质相同，因此与例题3类似进行递推即可．如下表所示直线数量12345 (50)圆被分成的区域24711161276…练习4、答案：43简答：本题的传球规则和例题4相同，都只能把球传给别人，因此累加规则也相同．但最后的拿球人不是发球人这一点要注意！1. 答案：89 简答：2. 答案：36 简答：3. 答案：14 简答：略．4. 答案：3277简答：如右表所示，用传球法列表解决．传球规则是：0不能发球，其它都可以发球；传球不能传给自己，只能传给别人；总共传球传6次． 5. 答案：29简答：如下方左图所示，和例题2类似，找到某个方格，依据这个方格是横着覆盖还是竖着覆盖分两种情况讨论．情况一，横着覆盖：这类情况其实就是的覆盖方法，利用练习2的分析方法和相关结论，可得答案为21．情况二，竖着覆盖：在这类情况下，有另外四个格子的覆盖方法唯一确定，如下方右图中的虚线所示，剩下需要覆盖的是一个的方格表，其方法数量也可参考练习2的分析方法和相关结论来取得，答案为8．上述两种情况相加，可得答案为．蛋黄派数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 吃的方法数123581321345589石子数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 抓取方法数1122458111724360 1 2 3 4 0 0 1 1 1 1 1 4 3 3 3 3 2 12 13 13 13 13 3 52 51 51 51 51 4 204 205 205 205 205 5 820 819 819 819 819 632763277327732773277。
六年级奥数-递推的方法
递推的方法有时，我们会遇上一些具有规律性的数学问题，这就需要我们在解题时根据已知条件尽快地去发现规律，并利用这一规律去解决问题。
例如：按规律填数：1，4，9，16，25，（），49，64。
分析：要在括号内填上适当的数，就要正确判断出题目所呈现出的规律。
若你仔细地观察这一数列，就会发现这些数之间的规律：（1）先考虑相邻两个数之间的差，依次是3，5，7，9，…，15；可以看到相邻两数的差从3开始呈现递增2的规律，所以括号里的数应是25+11=36，再看36+13=49得到验证。
（2）如果我们换一个角度去考虑，那么我们还可以发现，这数列的第一项是1的平方，第二项是2的平方，第三项是3的平方……从这些事实中，发现规律是第n项是n的平方。
那么所求的第六项是6²=36。
我们把相邻数之间的关系称为递归关系，有了递归关系可以利用前面的数求出后面的未知数。
像这种解题方法称为递推法。
例1 999…999×999…999的乘积中有多少个数字是奇数？10个10个分析我们可以从最简单的9×9的乘积中有几个奇数着手寻找规律。
解 9×9=81，有1个奇数；99×99=99×（100-1）=9900-99=9801，有2个奇数；999×999=999×（1000-1）=999000-999=998001，有3个奇数；……从而可知，999…999×999…999的乘积中共有10个数字是奇数。
10个10个例2 如图所示：线段AB上共有10个点（包括两个端点），那么这条线段上一共有多少条不同的线段？1234 5 678分析先从AB之间只有一个点开始，再逐步增加AB之间的点数，找出点和线段之间的规律。
我们可以采用列表的方法清楚地表示出点和线段数之间的规律。
解AB之间只有1个点：线段有1+2=3(条)；AB之间只有2个点：线段有1+2+3=6(条)；AB之间只有3个点：线段有1+2+3+4=10(条)；AB之间只有4个点：线段有1+2+3+4+5=15(条)；……不难发现，当AB之间有8个点时，线段有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（条）。
讲义归纳递推方法
归纳递推方法本专题讲座将集中讨论数学归纳法、无穷递降法、递推方法的原理以及在解数学竞赛题中的应用。
§1 数学归纳法Peano 自然数公理 所谓自然数，是指一个集合N 里某些元素之间有一基本关系，称为“直接后继”（用“,”表示，比如5是4的直接后继，记为54='，5称为4的后继数）。
并且集合N 满足下列条件：Ⅰ “1”是自然数；Ⅱ 每个自然数n 的后继数n '是自然数；Ⅲ 如果b 、c 都是自然数a 的后继数，则c b =；Ⅳ 1不是任何自然数的后继数；Ⅴ 任意一个自然数的集合，如果包含1，并且假设包含a ，也一定包含a 的后继数a ，那么这个集合包含所有的自然数。
定理1 （最小数原理）任意一个自然数的集合N ，如果不是空集，必有最小数。
定理2 （第一数学归纳法）如果关于自然数n 的某个命题)(n P 具备下列条件：（1）)1(P 真；（2）)(k P 真则)1(+k P 真，那么对)(,n P N n ∈真。
定理3 （第二数学归纳法）如果关于自然数n 的某个命题)(n P 具备下列条件：（1）)1(P 真；（2）k n N k <∈,时，)(n P 真⇒)(k P 真，则对N n ∈，)(n P 真。
上述的定理2、定理3为我们提供了证明关于自然数n 的命题的一种方法。
应用定理2或定理3实现证题的方法叫做用数学归纳法证题。
例1 求证对.|,n n b a b a N n --∈例2 证明：).67403(|6412-++n k例3 用天平称重量，若砝码只能放在一边，证明：用1,2,4,8,…,21-n 克的砝码，可以称出1,2,3,…，12-n 克的重量。
例4 证明：如果1x 和2x 是方程0162=+-x x 的根，则n n x x 21+对任意N n ∈都是整数，且不能被5整除。
例5 证明：任何由)(3N n n ∈个相同的数字组成的整数，能被n 3整除（如222,777都能被3整除，而222222222和555555555都能被932=整除等等）。
六年级下册数学试题-能力提升：第02讲 归纳与递推(解析版)全国通用
六年级下册数学试题-能力提升：第02讲 归纳与递推（解析版）全国通用【简述】归纳：从个别事实→普遍的推理（特殊→一般），总结规律，找出通项递推：有点枚举的感觉，知道前面的才能知道后面的【复习常见数列】【一】等差数列 （一）4个基本公式1、求第N 项/通项：通项首项(项数1)×公差 / =+-1(1)n a a n d =+-⨯2、求项数：项数(末项-首项)÷公差 1 / =+1()1n n a a d =-÷+3、求和：和(首项末项)×项数÷2 / =+1()2n n S a a n =+⨯÷ 当项数为奇数：和中项×项数= 当项数为偶数：和首末平均×项数=4、中项定理：项数为奇数：中项(首项末项)÷2=+项数为偶数：隐藏中项(首项末项)÷2=+ （二）2个引申公式1、天下无双，项数平方： 2135(21)n n n n ++++-=⨯= 例如： 2135+7+9+11+13+15888=64++=⨯= 2、山顶数列求和，山顶平方：2123(1)(1)321n n n n n n ++++-++-++++=⨯=例如：212350321505050=2500++++++++=⨯= 【二】其他数列1、等比数列（末项的2倍 - 首项）0123880124825622222222+++++=+++++=⨯-【思维导图】【正文】【一】图形中的找规律1：如图⑴所示，是一个正方形，分别连接这个正方形各边中点得到图⑵，再分别连接图⑵中的小正方形各边的中点，得到图⑶（1）填写下表：（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有多少个正方形？多少个三角形？{解析}（1）+（2）2：如图，①、②、③、④四个图都称作平面图，观察图①和表中对应数值，探究计数的方法并答：（1）数一数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出多少区域，并将结果填入下表：（2）根据表中数值，写出平面图的顶点数m 、边数n 、区域数f 之间的一种关系：（3）如果一个平面图有20个顶点和11个区域，那么根据（2）那么中得出的关系，则这个平面图有________条边．{解析}（1）填表（2）1m f n +=+（3）2011130+-= 3：如下图是用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字，第二个“上”字，第三个“上”字，如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：第90 个“上”字分别需用________枚棋子．+⨯-={解析}把图形转换为数列，首项为6，公差为4，即：64(901)362 4：按下图的方式，用火柴搭成三角形当三角形个数变为7 时，火柴棒的根数为________．{解析}把图形转换为数列，如下表：第一个图第二个图第三个图第四个图第N个图火柴棒个数35792n+1即当n=7时，火柴棒个数为15.5：图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②的中间的小三角形三边的中点，得到图③．按上边的方法继续下去，第100 个图有________个三角形．{解析}把图形转换为数列，如下表：操作次数1234n三角形个数11+4142+⨯143+⨯14(1)n +⨯-即当n =100时，三角形个数为298个.6：把同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆放，则第 10 个图形需要黑色棋子的个数是________．{解析}如下表：7：有一块地坪，需要铺红砖和白砖，按图示规律排列，已知每个小等边三角形边长为一分米，这块等边三角形地坪的边长为103 分米，问共需多少块红砖？{解析}除第一层以外，每两层有六边形红色砖，六边形红色砖依次增加，即为1、2、3、……最后一层：，即最后一层有51个红色正六边形．(1031)251-÷=总共有：（块）．6(12351)7956⨯++++= 8：根据下图中的图形和字母的关系，将 bc 的图补上．{解析}观察：a表示大圆，b表示小三角，c表示大三角，d表示小圆.即：9：有A、B、C、D，4 张透明胶片，请你根据字母与图形关系将4 幅图补充完整．{解析}10：4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人；开始由甲发球，并作为第一次传球；第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方法？【二】兔子数列+兔子数列型（一）兔子数列1：每对雌雄小兔子在出生后一个月就长成大兔子，而每对雌雄大兔子每个月能生出一对雌雄小兔子来．如果一个人在一月份买了一对雌雄小兔子，那么十二月份的时候他共有多少对兔子？{解析}第一个月，有1对小兔子；第二个月，长成大兔子，所以还是1对；第三个月，大兔子生下一对小兔子，所以共有2对；第四个月，刚生下的小兔子长成大兔子，而原来的大兔子又生下一对小兔子，共有3对；第五个月，两对大兔子生下2 对小兔子，共有5 对；……这个特点的说明每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，所以每月的兔子数为上月的兔子数与上上月的兔子数相加．依次类推可以列出下表：经过月数123456789101112兔子对数1123581321345589144所以十二月份的时候共有144对小兔子.2：一棵树一年后长出一条新枝，新枝隔一年后成为老枝，老枝便可每年长出一条新枝，如此下去，十年后树枝将有多少？{解析}将每年的枝条情况列表如下经过年数12345678910新枝数101123581321老枝数0112358132134总枝数11235813213455今年的新枝数等于去年的老枝数，今年的老枝数等于去年的新枝加去年的老枝这就造成了三个数列都呈现出斐波那契数列的样子，其中总枝数数列正是斐波那契数列：从第3 个数开始，每个数都是它前面两个相邻数的和.（二）兔子数列型（三）走台阶1：一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？{解析}89台阶012345678910方法11235813213455892：一楼梯共10 级，规定每步只能跨上一级或三级，要登上第10 级，共有多少种不同走法？{解析}28台阶012345678910方法11123469131928 3：一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级、两级或三级，要登上第10级，共有多少种不同走法？{解析}274台阶012345678910方法11247132444811492744：一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级且必过第5级，共有多少种不同走法？{解析}64台阶012345678910方法1123588162440645：一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级且不过第5级，共有多少种不同走法？{解析}25台阶012345678910方法112350551015256：一楼梯共10级，规定每步只能跨质数级，要登上第10级，共有多少种不同走法？{解析}16台阶012345678910方法10111326610167：大白有18个鸡蛋，妈妈规定他每天吃2个或3个，吃完共有多少种不同的吃法？{解析}65鸡蛋1817161514131211109876543210方法101112234579121621283749658：老师给冬冬布置了12篇作文，规定他每天至少写1篇。
【小升初培优专题】六年级下册数学-递推与归纳(一)(解析版)
【小升初培优专题】六年级下册数学-递推与归纳（一）（解析版）一、知识点1、递推思想有小到大，由简单到复杂开始阶段要尝试寻找前后关系2、切割绳子对折n次后绳子层数：2n在绳子上切1刀，共几段：2n＋1在绳子上切ｍ刀，共几段：2n＋m＋13、直线分平面增量分析法直线数新增交点数新增直线段数新增区域数4、上台阶问题从简单入手，枚举台阶较少的方法数根据上台阶规则得出累加规则提醒：有台阶不能踩踏时，用0占位二、学习目标1. 我能够通过动手操作、观察等活动，发现简单的递推规律，并能够合理推断前后的关系，并运用这个规律解决简单的问题。
2. 我能够运用枚举法从简单入手，尝试有条理的表达变化过程，体会转化思想，并能够根据发现的规律解决问题。
三、课前练习1. 在平面上画4条直线，最多会出现几个交点？【解答】1＋2＋3＝6（个）。
2. 在平面上画10条直线，最多会出现几个交点？【解答】1＋2＋3＋4＋…＋9＝45（个）。
3. 按条件画出绳子的示意图：条件一条拉直的绳子对折1次对折2次对折3次示意图四、典型例题例题1计算下列各题：1＋3＝1＋3＋5＝1＋3＋5＋7＝1＋3＋5＋7＋9＝1＋3＋5＋ (99)1＋3＋5＋……＋2n－1＝【解答】如下：1＋3＝41＋3＋5＝91＋3＋5＋7＝161＋3＋5＋7＋9＝251＋3＋5＋……＋99＝25001＋3＋5＋……＋2n－1＝n²练习1先观察规律再填空：15²＝1×2×100＋25＝22525²＝2×3×100＋25＝62535²＝3×4×100＋25＝1225……请你根据你的观察计算：95²＝125²＝【解答】9×10×100＋25＝9025；12×13×100＋25＝15625。
例题2把一根细绳对折，再对折，然后从对折后的中间处剪开，这根细绳被剪成了多少段？【解答】1×2×2＝4（层）4＋1＝5（段）练习2把一根细绳对折，对折，再对折，然后从对折后的中间处剪开，这根细绳被剪成了多少段？【解答】1×2×2×2＝8（层）；8＋1＝9（段）例题3一条直线可以将平面分成2部分，2条直线可以将平面分成4部分，5条直线最多可以将平面分成几部分？n条直线最多可以将平面分成几部分？【解答】原本有1个平面，1条直线分成2个部分，新增1个部分，画第2条直线分成4个部分，新增2个部分，画第3条直线分成7个部分，新增3个部分，则此题的规律为，n条直线最多将平面分成1＋1＋2＋3＋4＋……＋n个部分。
小六数学第5讲：递推与归纳(学生版)
第五讲 递推与归纳知识梳理递推法：教学重难点1. 理解递推法的概念。
2. 会用递推法解题特色讲解：例1：999…999×999…999的乘积中有多少个数字是奇数？例2：如图所示：线段AB 上共有10个点（包括两个端点）那么这条线段上一共有多少条不同的线段？例3：计算13+23+33+43+53+63+73+83+93+103得值。
例4：2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从右到左按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的人离开队伍，……按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。
问：最后留下的这个人原来的号码是多少？例5：圆周上两个点将圆周分为两半，在这两点上写上数1；然后将两段半圆弧对分，在两个分点上写上相邻两点上的数之和；再把4段圆弧等分，在分点上写上相邻两点上的数之和，如此继续下去，问第6步后，圆周上所有点上的之和是多少？例6： 4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方式？当堂练习A1. 100条直线最多能把一个平面分成_____个部分。
2. 熊大叔是一个卖烧饼的师傅,他用一个平底锅煎饼,他是这样煎饼的:每次只能放两个饼,每个饼正反面都要煎,煎每一面都要1分钟,问他煎10个这样的饼需要_____分钟。
3. 上一段11阶楼梯,规定每一步只能上一级或两级,那么要登上第11级台阶有_____种不同的走法。
4.请先计算11×11,111×111,1111×1111,你能根据以上结果,不经过计算而直接写出11111111×11111111=________。
10个9 10个9 1 2 3 4 5 6 7 8 B5.我们知道三角形的内角和是180度,长方形的内角和是360度,那么正十边形的内角和是_____度。
行列式的计算方法(课堂讲解版)
计算n 阶行列式的若干方法n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算例计算行列式001002001000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n nD n --=-2．利用行列式的性质计算例： 一个n 阶行列式nij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为121311223213233123000n nn n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。
六年级奥数优胜教育第5讲：递推与归纳含答案
第五讲 递推与归纳例1：999…999×999…999的乘积中有多少个数字是奇数？例2：如图所示：线段AB 上共有10个点（包括两个端点）那么这条线段上一共有多少条不同的线段？例3：计算13+23+33+43+53+63+73+83+93+103得值。
例4：2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从右到左按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的人离开队伍，……按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。
问：最后留下的这个人原来的号码是多少？例5：圆周上两个点将圆周分为两半，在这两点上写上数1；然后将两段半圆弧对分，在两个分点上写上相邻两点上的数之和；再把4段圆弧等分，在分点上写上相邻两点上的数之和，如此继续下去，问第6步后，圆周上所有点上的之和是多少？例6： 4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方式？A1. 100条直线最多能把一个平面分成_____个部分。
2. 熊大叔是一个卖烧饼的师傅,他用一个平底锅煎饼,他是这样煎饼的:每次只能放两个饼,每个饼正反面都要煎,煎每一面都要1分钟,问他煎10个这样的饼需要_____分钟。
3. 上一段11阶楼梯,规定每一步只能上一级或两级,那么要登上第11级台阶有_____种不同的走法。
4.请先计算11×11,111×111,1111×1111,你能根据以上结果,不经过计算而直接写出10个9 10个9 A a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 B11111111×11111111=________。
5.我们知道三角形的内角和是180度,长方形的内角和是360度,那么正十边形的内角和是_____度。
B6.有一列数,第一个数是0.第二个数是100,从第三个数开始,每个数都是前两个数的平均数,问第2005个数的整数部分是_____。
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第五讲递推与归纳有时，我们会遇上一些具有规律性的数学问题，这就需要我们在解题时根据已知条件尽快地去发现规律，并利用这一规律去解决问题。
例如：按规律填数：1，4，9，16，25，（），49，64；分析：要在括号填上适当的数，就要正确判断出题目所呈现出的规律。
若你仔细地观察这一数列，就会发现这些数之间的规律：⑴先考虑相邻两个数之间的差，依次是3，5，7，9，……，15；可以看到相邻两数的差从3开始呈现递增2的规律，所以括号里的数应是25+11=36，再看36+13=49得到验证。
⑵如果我们换一个角度去考虑，那么我们还可以发现，这数列的第一项是1的平方，第二项是2的平方，第三项是3的平方，……，从这些事实中，发现规律是第n项是n的平方。
那么所求的是第六项是62=36。
我们把相邻数之间的关系称为递归关系，有了递归关系可以利用前面的数求出后面的未知数。
像这种解题方法称为递推法。
1. 理解递推法的概念。
2. 会用递推法解题例1：999…999×999…999的乘积中有多少个数字是奇数？ 分析：我们可以从最简单的9×9的乘积中有几个奇数着手寻找规律。
9×9=81，有1个奇数；99×99=99×（100-1）=9900-99=9801，有2个奇数； 999×999=999（1000-1）=999000-999=998001，有3个奇数； ……从而可知，999…999×999…999的乘积中共有10个数字是奇数。
例2：如图所示：线段AB 上共有10个点（包括两个端点）那么这条线段上一共有多少条不同的线段？分析：先从AB 之间只有一个点开始，在逐步增加AB 之间的点数，找出点和线段之间的规律。
我们可以采用列表的方法清楚的表示出点和线段数之间的规律。
AB 之间只有1个点：线段有 1+2=3条。
AB 之间只有2个点：线段有 1+2+3=6条。
AB 之间只有3个点：线段有 1+2+3+4=10条。
AB 之间只有4个点：线段有 1+2+3+4+5=15条。
……不难发现，当AB 之间有8个点时，线段有 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45条。
若再进一步研究可得出这样得规律，线段数=点数×（点数-1）÷2。
例3：计算13+23+33+43+53+63+73+83+93+103得值。
分析：这是一道特殊的计算题，当然我们可以采用分别求出每个数的立方是多少再求和计算出这题的结果。
这样的计算工作量比较大，是否可以采用其它较简便的方法计算呢？下面我们就来研究这个问题。
13+23=（1+2）2； 13+23+33=（1+2+3）2； 13+23+33+43=（1+2+3+4）2 ；……这样我们可以容易地得到13+23+33+43+53+63+73+83+93+103 =（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）2 =552= 3025通过这个例题我们可以得到13+23+33++……+n 3=（1+2+3+…+n ）2例4：2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从右到左按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的人离开队伍，……按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。
问：最后留下的这个人原来的号码是多少？ 分析“我们通过前几次留在队伍中的学生的编号找出规律。
第一次留下的学生编号是：2，4，6，8，10，……； 都是2的倍数。
即21的倍数；第二次留下的学生编号是：4，8，12，16，20，……； 都是4的倍数，即22的倍数；第一次留下的学生编号是：8，16，24，32，40，……；都是8的倍数。
即23的倍数；……由于210=1024＜2000＜211=2048；这样可知，最后留下学生的号码一定是1024。
例5：圆周上两个点将圆周分为两半，在这两点上写上数1；然后将两段半圆弧对分，在两个分点上写上相邻两点上的数之和；再把4段圆弧等分，在分点上写上相邻两点上的数之和，如此继续下去，问第6步后，圆周上所有点上的之和是多少？分析：先可以采用作图尝试寻找规律。
10个9 10个9 10个910个9 1 2 3 4 5 6 7 8 B第一步，圆周上有两个点，第二步有四个点，第三步有八个点，第四步有十六个点，…，第六步有32个点。
因为问题是求圆周上所有数的和，所以我们不必去考虑每一步具体增加了哪些数，只须知道每一步增加数的总和是多少。
第一步：圆周上有两个点，两个数的和是1+1=2；第二步：圆周上有四个点，四个数的和是1+1+2+2=6；增加数之和恰好是第一步圆周上所有数之和的2倍。
第三步：圆周上有八个点，八个数的和是1+1+2+2+3+3+3+3=18，增加数之和恰好是第二步数圆周上所有数之和的2倍。
第四步：圆周上有十六个点，十六个数的和是1+1+2+2+3+3+3+3+4+4+4+4+5+5+5+5=54，增加数之和恰好是第三步数圆周上所有数之和的2倍。
……这样我们可以知道，圆周上所有数之和是前一步圆周上所有数之和的3倍。
用递推法关系表示。
设a n 为第n 步后得出的圆周上所有数之和，则a n =3×a n －1利用此式可以得到： a n =3×a n －1=3×3a n －2=3×3×3a n －3=……=3×3×……×3a 1 因为a 1=2，所以：a n =3×3×……×3a 1=3（6-1）×2=486。
例6： 4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方式？ 分析：设第n 次传球后，球又回到甲手中的传球方式有a n 种。
可以想象前n-1次传球，如果每一次传球都任选其他三人中的一人进行传球，即每次传球都有3种可能，由乘法原理，共有 3×3×……×3=3（种）传球方法。
这些传球方式并不是符合要求的，它们可以分为两类，一类是第n-1次恰好传到甲手中，这有a n-1传法，它们不符合要求，因为这样第n 次无法再把球传给甲；另一类是第n-1次传球，球不在甲手中，第n 次持球人再将球传给甲，有a n 传法。
根据加法原理，有a n-1+a n =3×3×……×3=3n-1。
由于甲是发球者，一次传球后球又回到甲手中的传球方式是不存在的，所以a 1=0。
利用递推关系可以得到 a 2=3-0=3，a 3=3×3-3=6，a 4=3×3×3-6=21，a 4=3×3×3×3-21=60。
这说明经过5次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有60种。
当然这题也可以利用列表法求解。
我们可以这样想，第n 次传球后，球不在甲手中的传球方法，第n+1次传球后球就可能回到甲手中，所以只需求出第四次传球后，球不在甲手中的传法共有多少种。
从图中可以看出经过四次传球后，球仍回到甲手中的传球方法共有60种。
1 1 1 （n －1）个3（n －1）个3（n －1）个3 （n －1）个3A1.100条直线最多能把一个平面分成_____个部分。
答案：50512.熊大叔是一个卖烧饼的师傅,他用一个平底锅煎饼,他是这样煎饼的:每次只能放两个饼,每个饼正反面都要煎,煎每一面都要1分钟,问他煎10个这样的饼需要_____分钟。
答案：103.上一段11阶楼梯,规定每一步只能上一级或两级,那么要登上第11级台阶有_____种不同的走法。
答案：1444.请先计算11×11,111×111,1111×1111,你能根据以上结果,不经过计算而直接写出11111111×11111111=________。
答案：1234567876543215.我们知道三角形的内角和是180度,长方形的内角和是360度,那么正十边形的内角和是_____度。
答案：1440B6.有一列数,第一个数是0.第二个数是100,从第三个数开始,每个数都是前两个数的平均数,问第2005个数的整数部分是_____。
答案：667.小华过生日,邀请了班上的16名同学参加他的生日聚会,小华买了一个单层的大蛋糕,要保证每个人都能吃到蛋糕,问至少要切_____刀。
答案：58.一对刚出生的雌雄小兔,在喂养两个月后就生下一对雌雄小兔,并且以后每个月都能生一对雌雄小兔,张大伯现在喂养一对雌雄小兔,一年后一共有_____对小兔。
答案：1449.两个自然数的差是5，它们的最小公倍数与最大公约数的差是203，则这两个数的和是_____。
答案：2910.两个自然数它们的最小公倍数是60。
那么它们的差有_____种可能。
答案：23C11.一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子，已知狗一跳前进3米，兔子一跳前进2.1米，狗跳3次的时间兔子跳4次。
兔子跑出_____米远将被猎狗追上。
答案：28012.甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，两人同向而行，甲26分钟赶上乙；两人相向而行，6分钟可相遇。
已知乙每分钟行50米，求A，B两地的距离是_____米。
答案：78013.小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米/时、48千米/时和42千米/时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车。
问：甲、乙两地相距_____千米远。
答案：27014.A、B两辆汽车同时从甲、乙两站相对开出，两车第一次在距甲站32千米处相遇，相遇后两车继续行驶，各自到达乙、甲两站后，立即沿原路返回，第二次在距甲站64千米处相遇，甲、乙两站间相距_____千米。
答案：8015.AB两地相距98千米，甲从A地出发汽车速度为30千米/时，乙从B地出发开车速度为40千米/时，问甲乙第三次迎面相遇距离A地_____米远。
答案：141.平面上有10条直线，这10条直线最多有多少个交点？答案：452.小明有5块水果糖，妈妈规定：每天只能吃一块或两块，小明吃完这5块糖有多少种不同方法？答案：83.小蜜蜂通过蜂巢房间，规定：只能从小号房间进入大号房间，问小蜜蜂由1号房间走到8号房间有多少种方法？（2007年东直门中学试题）答案：214.（21012）3=（ ）10答案：1945.11（a 2＋b 2）=b a 0 求 b a 0=（ ）答案：8036.求1×2×3×4×……×50末尾有多少个连续的零？答案：121.下列数是按一定规律排列的。
3、8、15、24、35、48、63、……，那么，它的第36个数是（ ）。