新高三数学上期末试卷(及答案)
北京市丰台区2023-2024学年高三上学期期末练习数学试卷含答案
丰台区2023～2024学年度第一学期期末练习高三数学（答案在最后）2024.01本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{3,2,1,0,1,2}U =---，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U A B ⋃=ð（）A.{3,2}-- B.{3,2,1,2}--C.{3,2,1,0,1}--- D.{3,2,1,0,2}---【答案】A【解析】【分析】由补集和并集的定义求解即可.【详解】因为{3,2,1,0,1,2}U =---，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，所以{}1,0,1,2A B ⋃=-，U ð(){}3,2A B ⋃=--.故选：A .2.若(1i)1i z -=+，则||z =（）A.iB.1C. D.2【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算法则进行运算，继而直接求模即可.【详解】因为(1i)1i z -=+，所以()()()()1i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z +++====-+-，所以i 1z z =-=，，故选：B ．3.在6(2)x y -的展开式中，42x y 的系数为（）A.120- B.120C.60- D.60【答案】D【解析】【分析】求出6(2)x y -的通项，令2r =即可得出答案.【详解】6(2)x y -的通项为：()()66166C 2C 2r rr r r r r r T x y x y --+=-=-，令2r =可得：42x y 的系数为()226C 215460-=⨯=.故选：D .4.在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积129,,,a a a L （单位：L ）依次成等差数列，若1233a a a ++=，80.4a =，则129a a a +++= （）A.5.4B.6.3C.7.2D.13.5【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质及求和公式求解.【详解】∵129,,,a a a L 依次成等差数列，1233a a a ++=，∴233a =，即21a =，又80.4a =，则()()()81912299910.49 6.3222a a a a a a a +⨯+⨯+⨯+++==== .故选：B.5.已知直线y kx =与圆221x y +=相切，则k =（）A.1± B.C. D.2±【答案】B【解析】【分析】根据题意可得圆心(0,0)O 到0-=kx y 的距离等于半径1，即可解得k 的值．【详解】直线y kx =+即0-=kx y ，由已知直线y kx =+与圆221x y +=相切可得，圆221x y +=的圆心(0,0)O 到0kx y -=的距离等于半径1，1=，解得k =，故选：B ．6.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式π()tan 4f x x >的解集是（）A.{|20}x x -<< B.{|01}x x <<C.{|21}x x -<< D.{|12}x x -<<【答案】C【解析】【分析】利用正切型函数的图象与性质结合分段函数性质即可得到解集.【详解】设()πtan4h x x =，令π242k x k ππππ-<<+，且k ∈Z ，解得4242k x k -<<+，k ∈Z ，令0k =，则22x -<<，则()h x 在()2,2-上单调递增，()00h =1,1BC AC k k =-=，则2,02()2,20x x f x x x -+≤<⎧=⎨+-<<⎩，则当20x -<≤时，()0h x ≤，()0f x >，则满足()()f x h x >，即π()tan 4f x x >，当02x <<时，()11f =，且()f x 单调递减，()11h =，且()h x 单调递增，则()0,1x ∈时，()()f x h x >，即π()tan4f x x >；()1,2x ∈时，()()f x h x <，即()πtan 4f x x <；综上所述：π()tan4f x x >的解集为()2,1-，故选；C.7.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC 折起，使得二面角A BC D --为直二面角，得图2所示四面体ABCD ．小明对四面体ABCD 中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①CD ⊥平面ABC ；②AB ⊥平面ACD ；③平面ABD ⊥平面ACD ；④平面ABD ⊥平面BCD ．其中判断正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，因为二面角A BC D --为直二面角，可得平面ABC ⊥平面BCD ，又因为平面ABC ⋂平面BCD BC =，DC BC ⊥，且DC ⊂平面BCD ，所以DC ⊥平面ABC ，所以①正确；对于②中，由DC ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ，可得AB CD ⊥，又因为AB AC ⊥，且AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ，所以②正确；对于③中，由AB ⊥平面ACD ，且AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面ACD ，所以③正确；对于④，中，因为DC ⊥平面ABC ，且DC ⊂平面BCD ，可得平面ABC ⊥平面BCD ，若平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面ABC AB =，可得AB ⊥平面BCD ，又因为BC ⊂平面BCD ，所以AB BC ⊥，因为AB 与BC 不垂直，所以矛盾，所以平面ABD 和平面BCD 不垂直，所以D 错误.8.已知,a b 是两个不共线的单位向量，向量c a b λμ=+r r r （,λμ∈R ）．“0λ>，且0μ>”是“()0c a b ⋅+> ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】举例验证必要性，通过向量的运算来判断充分性.【详解】当0λ>，且0μ>时，()()()()()22cos ,c a b a b a b a a b b a b λμλλμμλμλμ⋅+=+⋅+=++⋅+=+++ ()0λμλμ>+-+=，充分性满足；当()0c a b ⋅+> 时，()()cos ,c a b a b λμλμ⋅+=+++ ，当0λ>，0μ=时，()cos ,c a b a b λλ⋅+=+ 是可以大于零的，即当()0c a b ⋅+> 时，可能有0λ>，0μ=，必要性不满足，故“0λ>，且0μ>”是“()0c a b ⋅+>”的充分而不必要条件.故选：A .9.在八张亚运会纪念卡中，四张印有吉祥物宸宸，另外四张印有莲莲．现将这八张纪念卡平均分配给4个人，则不同的分配方案种数为（）A.18B.19C.31D.37【答案】B【分析】设吉祥物宸宸记为a ，莲莲记为b ，将这八张纪念卡分为四组，共有3种分法，再分给四个人，分别求解即可.【详解】设吉祥物宸宸记为a ，莲莲记为b①每人得到一张a ，一张b ，共有1种分法；②将这八张纪念卡分为()()()(),,,,,,,a a a a b b b b 四组，再分给四个人，则有2242C C 6=种分法③将这八张纪念卡分为()()()(),,,,,,,a b a a a b b b 四组，再分给四个人，则有2142C C 12=种分法共有：161219++=种.故选：B .10.已知函数2()||2||f x x a x =++，当[2,2]x ∈-时，记函数()f x 的最大值为()M a ，则()M a 的最小值为（）A.3.5B.4C.4.5D.5【答案】C【解析】【分析】先利用函数的奇偶性，转化为求()f x 在[]0,2上的最大值；再根据a 的取值范围的不同，讨论函数()f x 在[]0,2上的单调性，求函数()f x 的最大值.【详解】易判断函数()f x 为偶函数，根据偶函数的性质，问题转化为求函数()22f x x a x =++，[]0,2x ∈上的最大值()M a .当0a ≥时，()22f x x x a =++，二次函数的对称轴为1x =-，函数在[]0,2上单调递增，所以()()288M a f a ==+≥；当10a -≤<时，()222,022x x a x f x x x ax ⎧-+-≤≤⎪=⎨++≤⎪⎩，1≤，所以()f x在⎡⎣上递增，在2⎤⎦上也是递增，所以()()287M a f a ==+≥；当41a -<<-时，()222,022x x a x f x x x ax ⎧-+-≤≤⎪=⎨++≤⎪⎩，因为12<<，所以()f x 在[]0,1上递增，在(上递减，在2⎤⎦上递增，所以()()11M a f a ==-或()()28M a f a ==+，若18a a -≥+⇒742a -≤≤-，则()()9112M a f a ==-≥；若18a a -<+⇒712a -<<-，则()()9282M a f a ==+>;当4a ≤-时，()22f x x x a =-+-，[]0,2x ∈2≥），所以函数()f x 在[]0,1上递增，在(]1,2上递减，所以()()115M a f a ==-≥.综上可知：()M a 的最小值为92.故选：C【点睛】关键点点睛：问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题，然后讨论函数在给定区间上的单调性，从而求最大值.认真分析函数的单调性是关键.第二部分非选择题（共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.双曲线2214x y -=的渐近线方程________．【答案】12y x =±【解析】【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【详解】∵双曲线2214x y -=的a=2，b=1，焦点在x 轴上而双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y=±b x a ∴双曲线2214x y -=的渐近线方程为y=±12x故答案为y=±12x 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想12.已知()44x x f x -=-，则11(()22f f -+=___．【答案】0【解析】【分析】由解析式直接代入求解即可.【详解】因为1122113()442222f -=-=-=，1122113()442222f --=-=-=-，所以11((022f f -+=.故答案为：0.13.矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，且,E F 分为,BC CD 的中点，则AE EF ⋅= ___．【答案】74-##-1.75【解析】【分析】以A 为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，求出,AE EF ，由数量积的坐标表示求解即可.【详解】以A 为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，()()()()()10,0,2,0,2,1,0,1,2,,1,12A B C D E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以112,,1,22AE EF ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()11172122244AE EF ⋅=⨯-+⨯=-+=- .故答案为：74-.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角(0π)αα<<的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆O 交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ．若记点M 到直线OP 的距离为()f α，则()f α的极大值点为___，最大值为___．【答案】①.π4或3π4②.12##0.5【解析】【分析】根据三角函数的概念得(cos ,sin )P αα及,,OP OM MP ，利用面积法求得()f α，根据α的范围及三角函数的性质讨论()f α的单调性，进而求得答案.【详解】由题意(cos ,sin )P αα，1,cos ,sin OP OM MP αα===，由()1122OP f OM MP α⋅=⋅，得()1πsin 2,0122cos sin sin cos sin 21π2sin 2,π22f αααααααααα⎧<<⎪⎪=⋅===⎨⎪-<<⎪⎩，∴当π04α<<时，()f α单调递增；当ππ42α<<时，()f α单调递减；当π3π24α<<时，()f α单调递增；当3ππ4α<<时，()f α单调递减，则()f α的极大值点为π4或3π4，∵0πα<<，022πα<<，∴当sin 21α=±，即π4α=或3π4α=时，()f α取最大值为12．故答案为：π4或3π4；12.15.在平面直角坐标系内，动点M 与定点(0,1)F 的距离和M 到定直线:3l y =的距离的和为4．记动点M 的轨迹为曲线W ，给出下列四个结论：①曲线W 过原点；②曲线W 是轴对称图形，也是中心对称图形；③曲线W 恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）；④曲线W 围成区域的面积大于则所有正确结论的序号是___．【答案】①③④【解析】【分析】根据题目整理方程，分段整理函数，画出图象，可得答案.【详解】设(),M x y ，则MF =，M 到直线l 的距离3d y =-，34y +-=，222(1)(43)x y y +-=--，22221168369x y y y y y +-+=--+-+，224483x y y =---，当3y ≥时，2214812412x y y x =-=-+，，则2214312,12x x x -+≥≤-≤≤，当3y <时，22144x y y x ==，，则2134x <，212x <，x -<<可作图如下：由图可知：曲线W 过原点，且是轴对称图形，但不是中心对称图形，故①正确，②错误；曲线W 经过()()()()0,02,10,42,1O A C E -，，，4个点，没有其它整点，故③正确；由()B ，()D -，()0,3F ，四边形AFEO 的面积113462S =⨯⨯=，122ABF EFD S S ==⨯= ，112BCD S =⨯⨯= ，多边形ABCDEO 的面积626S =+⨯=+曲线W 围成区域的面积大于，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在△ABC 中，a =，2π3A =．（1）求C 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出AC 边上的中线的长度．条件①：2a b =；条件②：△ABC 的周长为4+ABC 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π6（2【解析】【分析】（1）由正弦定理可解得；（2）条件②由余弦定理可得；条件③由三角形的面积公式和余弦定理可得.【小问1详解】在ABC 中，因为sin sin a cA C=，又a =，所以sin A C =．因为2π3A =，所以1sin 2C =．因为π03C <<，所以π6C =．【小问2详解】选择条件②：因为ABC 中，2π3A =，π6C =，πA B C ++=，所以π6B =，即ABC 为等腰三角形，其中b c =．因为a =，所以24a b c b ++=+=+．所以2b =．设点D 为线段AC 的中点，在ABD △中，1AD =．因为ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD BAD=+-⋅∠22221221cos73π=+-⨯⨯⨯=，所以7BD =AC 7．选择条件③：因为ABC 中，2π3A =，π6C =，πA B C ++=，所以π6B =，即ABC 为等腰三角形，其中b c =．因为ABC 的面积为312πsin 323ABC S bc ∆==，所以2b c ==．设点D 为线段AC 的中点，在ABD △中，1AD =．因为ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD BAD=+-⋅∠22221221cos73π=+-⨯⨯⨯=，所以7BD =AC 7．由题可知3a b =，故①不合题意.17.如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AD PA =，点E 为PA 中点．（1）求证：AD //平面BCE ；（2）点Q 为棱BC 上一点，直线PQ 与平面BCE 所成角的正弦值为515，求BQ BC 的值．【答案】（1）证明见解析（2）12BQ BC =【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得Q 的坐标，即可得解.【小问1详解】因为正方形ABCD 中，//BC AD ．因为BC ⊂平面BCE ，AD ⊄平面BCE ，所以//AD 平面BCE ．【小问2详解】因为PA ⊥底面ABCD ，正方形ABCD 中AB AD ⊥，分别以,,AB AD AP的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，如图不妨设2PA =，因为AD PA =，点E 为PA 的中点，点Q 为棱BC 上一点，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,1)E ，(0,0,2)P ，(2,,0)Q m (02)m ≤≤．所以(0,2,0)BC = ，(2,0,1)BE =- ，(2,,2)PQ m =-．设(,,)n x y z =为平面BCE 的法向量，则BCn ⊥ ，BE n ⊥．所以2020BC n y BE n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得102x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以(1,0,2)n = ．设直线PQ 与平面BCE 所成角为θ，则sin cos ,15PQ n PQ n PQ n θ⋅==== ，解得21m =，因为02m ≤≤，所以1m =，所以12BQ BC =．18.2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值a ，将该指标小于a 的人判定为阳性，大于或等于a 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p a ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q a ．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率．（1）当临界值20a =时，求漏诊率()p a 和误诊率()q a ；（2）从指标在区间[20,25]样本中随机抽取2人，记随机变量X 为未患病者的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记()f a 为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当[20,25]a ∈时，直接写出使得()f a 取最小值时的a 的值．【答案】（1）(20)0.1p =，(20)0.05q =（2）分布列见解析；期望为65（3）20a =【解析】【分析】（1）由频率分布直方图计算可得；（2）利用超几何分布求解；（3）写出()f a 的表达式判单调性求解.【小问1详解】由频率分布直方图可知(20)0.0250.1p =⨯=，(20)0.0150.05q =⨯=．【小问2详解】样本中患病者在指标为区间[20,25]的人数是200.0252⨯⨯=，未患病者在指标为区间[20,25]的人数是200.0353⨯⨯=，总人数为5人．X 可能的取值为0，1，2．202325C C 1(0)10C P X ===，112325C C 3(1)C 5P X ===，022325C C 3(2)10C P X ===．随机变量X 的分布列为X012P11035310随机变量X 的期望为1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】由题，()()()95%5%f a q a p a =⨯+⨯，[20,25]a ∈时，令()20,0,1,2,3,4,5a t t =+=()()50.010.03,50.020.0255t t q a p a ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()()50.010.0395%50.020.025%55t t f a g t ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，关于t 的一次函数系数为()50.0319%0.021%0⨯-⨯>，故()g t 单调递增，则0=t 即20a =时()f a 取最小值19.已知函数2()e ()x f x x ax a =--．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求实数a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间．【答案】（1）1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先求函数()f x 的导函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，只需保证()01f '=，求实数a 的值即可；（2）求得()0f x '=有两个根“2x =-和x a =”，再分2a <-、2a =-和2a >-三种情况分析函数()f x 的单调性即可.【小问1详解】由题可得2()e [(2)2]x f x x a x a '=+--，因为()f x 在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，所以()01f '=，即e(33)0a -=，解得1a =，经检验1a =符合题意．【小问2详解】因为2()e [(2)2]x f x x a x a '=+--，令()0f x '=，得2x =-或x a =．当2a <-时，随x 的变化，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,)a -∞a(,2)a -2-(2,)-+∞()f 'x +-+()f x 单调递增()f a 单调递减(2)f -单调递增所以()f x 在区间(,)a -∞上单调递增，在区间(,2)a -上单调递减，在区间(2,)-+∞上单调递增．当2a =-时，因为2()e (2)0x f x x '=+≥，当且仅当2x =-时，()0f x '=，所以()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增．当2a >-时，随x 的变化，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,2)-∞-2-(2,)a -a(,)a +∞()f 'x +-+()f x 单调递增(2)f -单调递减()f a 单调递增所以()f x 在区间(,2)-∞-上单调递增，在区间(2,)a -上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增．综上所述，当2a <-时，()f x 的单调递增区间为(,)a -∞和(2,)-+∞，单调递减区间为(,2)a -；当2a =-时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当2a >-时，()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(,)a +∞，单调递减区间为(2,)a -．20.已知椭圆22:143x y E +=．（1）求椭圆E 的离心率和焦点坐标；（2）设直线1:l y kx m =+与椭圆E 相切于第一象限内的点P ，不过原点O 且平行于1l 的直线2l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，点A 关于原点O 的对称点为C ．记直线OP 的斜率为1k ，直线BC 的斜率为2k ，求12k k 的值．【答案】（1）离心率为12，焦点坐标分别为(1,0)-，(1,0)（2）121k k =【解析】【分析】（1）根据椭圆方程直接求出离心率与焦点坐标；（2）根据直线1l 与椭圆E 相切求出P 坐标并得到134k k=-，法一：设直线2l 的方程为y kx n =+，由韦达定理求出234k k=-证得结论．法二：记1122(,),(,)A x y B x y ，由点差法求2k k ⋅可证得结论．【小问1详解】由题意得2222243a b c a b ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．所以椭圆E 的离心率为12c e a ==，焦点坐标分别为(1,0)-，(1,0)．【小问2详解】由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：222()4384120k x kmx m +++-=①其判别式Δ0=得222(8)4(43)(412)0km k m -+-=，化简为2243m k =+．此时方程①可化为2228160m x kmx k ++=，解得4kx m=-，(由条件知,k m 异号)．记00(,)P x y ，则04k x m=-，所以220443()k m k y k m m m m -=-+==，即点43(,)k P m m -．所以OP 的斜率13344m k k k m==--．法一：因为12//l l ，所以可设直线2l 的方程为(0,)y kx n n n m =+≠≠．由22,143y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：222(43)84120k x knx n +++-=．当其判别式大于零时，有两个不相等的实根，设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212228412,4343kn n x x x x k k -+=-=++．因为C 是A 关于原点O 的对称点，所以点C 的坐标为11(,)C x y --．所以直线BC 的斜率22121221212122243384443y y kx n kx n n n k k k k k kn x x x x x x k k k +++++===+=+=-=-+++-+．所以121k k =．法二：记1122(,),(,)A x y B x y ，因为点C 与点A 关于原点对称，所以11(,)C x y --．因为12//l l ，所以直线AB 的斜率为k ，所以22212121222212121y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-．因为点,A B 在椭圆上，所以2211143x y +=，2222143x y+=．两式相减得：22222121043x x y y --+=．所以2221222134y yx x-=--，即234k k⋅=-，所以234kk=-．所以121kk=．【点睛】方法点睛：将P视为1l与椭圆相交弦中点，由中点弦定理得212bk ka⋅=-，设AB中点为M，由中点弦定理得22OMbk ka⋅=-，由2OMk k=得222bk ka⋅=-，故12k k=.21.对于数列{}n a，如果存在正整数T，使得对任意*()n n∈N，都有n T na a+=，那么数列{}na就叫做周期数列，T叫做这个数列的周期．若周期数列{}n b，{}n c满足：存在正整数k，对每一个*(,)i i k i∈N≤，都有i ib c=，我们称数列{}n b和{}n c为“同根数列”．（1）判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；①sinπna n=；②121,1,3,2,, 3.nn nnb nb b n--=⎧⎪==⎨⎪-≥⎩（2）若{}n a和{}n b是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：6k≤；（3）若{}n a和{}n b是“同根数列”，且周期的最小值分别是2m+和4m+*()m∈N，求k的最大值．【答案】（1）{}n a、{}n b均是周期数列，数列{}n a周期为1（或任意正整数），数列{}n b周期为6（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由周期数列的定义求解即可；（2）由“同根数列”的定义求解即可；（3）m是奇数时，首先证明25k m+≥不存在数列满足条件，其次证明24k m=+存在数列满足条件.当m 是偶数时，首先证明24k m+≥时不存在数列满足条件,其次证明23k m=+时存在数列满足条件．【小问1详解】{}n a 、{}n b 均是周期数列，理由如下：因为1sin (1)π0sin πn n a n n a +=+===，所以数列{}n a 是周期数列，其周期为1（或任意正整数）．因为32111n n n n n n n b b b b b b b +++++=-=--=-，所以63n n n b b b ++=-=．所以数列{}n b 是周期数列，其周期为6（或6的正整数倍）．【小问2详解】假设6k ≤不成立，则有7k ≥，即对于17i ≤≤，都有i i a b =．因为71a a =，722b b a ==，所以12a a =．又因为63a a =，611b b a ==，所以13a a =．所以123a a a ==，所以1=n n a a +，与1T 的最小值是3矛盾．所以6k ≤．【小问3详解】当m 是奇数时，首先证明25k m +≥不存在数列满足条件．假设25k m +≥，即对于125i m +≤≤，都有i i a b =．因为()54m t m t a b t m ++=≤≤+，所以()24454t t t a b a t m ---==≤≤+，即1352m a a a a +==== ，及2461m a a a a +==== ．又5t m =+时，12(2)12511m m m m a a b b a +++++====，所以1=n n a a +，与1T 的最小值是2m +矛盾．其次证明24k m =+存在数列满足条件．取(2)31,=21(1)212,2(1)2m l im i k k a m i k k +++⎧-≤≤⎪⎪=⎨+⎪=≤≤⎪⎩()l ∈N及()431,=21(1)212,2(1)21,32,4m l i m i k k m i k k b i m i m +++⎧-≤≤⎪⎪+⎪=≤≤=⎨⎪=+⎪⎪=+⎩()l ∈N ，对于124i m +≤≤，都有i i a b =．当m 是偶数时，首先证明24k m +≥时不存在数列满足条件．假设24k m +≥，即对于124i m +≤≤，都有i i a b =．因为()53m t m t a b t m ++=≤≤+，所以()24453t t t a b a t m ---==≤≤+，即1351m a a a a +==== ，及246m a a a a ==== ．又4t m =+时，2m m m a b a +==，所以2=n n a a +，与1T 的最小值是2m +矛盾．其次证明23k m =+时存在数列满足条件．取()221,=21(1)22,2(1)23,2m l i m i k k a m i k k i m +++⎧-≤≤⎪⎪=⎨=≤≤⎪⎪=+⎩()l ∈N 及()421,=21(1)22,2(1)23,21,32,4m l im i k k m i k k b i m i m i m +++⎧-≤≤⎪⎪⎪=≤≤⎪=⎨⎪=+⎪=+⎪⎪=+⎩()l ∈N ，对于123i m +≤≤，都有i i a b =．综上，当m 是奇数时，k 的最大值为24m +；当m 是偶数时，k 的最大值为23m +．【点睛】关键点睛：本题(3)的突破口是利用“同根数列”的定义分类讨论，当m 是奇数时，首先证明25k m +≥不存在数列满足条件，其次证明24k m =+存在数列满足条件.当m 是偶数时，首先证明24k m +≥时不存在数列满足条件，其次证明23k m =+时存在数列满足条件．。
2023-2024学年北京市昌平区高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＞1}，那么∁U A ＝（ ） A ．[﹣1，1] B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，1]D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）2．在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别为A ，B ，则z 1•z 2＝（ ）A ．﹣1﹣3iB ．﹣3﹣iC ．1﹣3iD ．3+i3．若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为√3，则其渐近线方程为（ ）A ．y ＝±2xB ．y =±√2xC ．y =±12xD ．y =±√22x4．已知（1﹣3x ）5＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则a 2+a 4＝（ ） A ．﹣32B ．32C ．495D ．5855．下列函数中，在区间（0，2）上为减函数的是（ ） A ．y ＝2x B ．y ＝sin xC ．y =x 1−xD ．y ＝log 0.5（﹣x 2+4x ）6．设函数f （x ）的定义域为R ，则“∀x ∈R ，f （x +1）＜f （x ）”是“f （x ）为减函数”的（ ） A ．充分必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知点P 在圆（x ﹣1）2+y 2＝1上，点A 的坐标为(−1，√3)，O 为原点，则AO →⋅AP →的取值范围是（ ） A ．[﹣3，3]B ．[3，5]C ．[1，9]D ．[3，7]8．“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即S =√14[c 2a 2−(c 2+a 2−b 22)2]．现有面积为3√15的△ABC 满足sin A ：sin B ：sin C＝2：3：4，则△ABC 的周长是（ ） A ．9B ．12C ．18D ．369．已知函数f （x ）＝2sin x ﹣2cos x ，则（ ） A ．f(π4+x)=f(π4−x)B ．f （x ）不是周期函数C ．f （x ）在区间(0，π2)上存在极值D ．f （x ）在区间（0，π）内有且只有一个零点10．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AB 上的点，且AE EB=3，点P 在线段D 1E上，则点P 到直线AD 距离的最小值为（ ）A ．√22B ．√32C ．35D ．1二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知sinx =−35，x ∈(π，32π)，则tan x ＝ ．12．抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点的距离为8，则点P 到x 轴的距离为 ．13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ﹣a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列，则a 1＝ ；a n＝ ．14．若函数f(x)={2x −m ，x ≤1，lnx ，x ＞1在定义域上不是单调函数，则实数m 的一个取值可以为 ．15．已知数列{a n }，a 1＝a （0＜a ＜1），a n +1=a a n ．给出下列四个结论： ①a 2∈（a ，1）； ②a 10＞a 9；③{a 2n }为递增数列；④∀n ∈N *，使得|a n +1﹣a n |＜1﹣a ． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（13分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，AB ＝AD ＝2，DC ＝PD ＝4，点N 是PD 的中点，直线PC 交平面ABN 于点M ． （1）求证：点M 是PC 的中点； （2）求二面角A ﹣MN ﹣P 的大小．17．（14分）在△ABC 中，b cos C +c cos B ＝2a cos A ． （1）求角A 的大小；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得△ABC 存在且唯一确定，求△ABC 的面积． 条件①：a ＝7； 条件②：c ＝8； 条件③：cos C =17．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（13分）某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140]，并整理得到如下频率分布直方图： （1）求m 的值；（2）该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为X 元，求X 的分布列和数学期望E （X ）；（3）用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为Y ，问k （k ＝0，1，2，…，10）为何值时，P （Y ＝k ）的值最大？（结论不要求证明）19．（15分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点M （2，0），离心率为√22．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点T（t，0）的直线l与椭圆E有两个不同的交点A，B（均不与点M重合），若以线段AB为直径的圆恒过点M，求t的值．20．（15分）已知函数f（x）＝x2e2﹣x﹣x+1．（1）求曲线y＝f（x）在（2，f（2））处的切线方程；（2）设函数g（x）＝f'（x），求g（x）的单调区间；（3）判断f（x）极值点的个数，并说明理由．21．（15分）已知Q：a1，a2，…，a k为有穷正整数数列，且a1≤a2≤…≤a k，集合X＝{﹣1，0，1}．若存在x i∈X，i＝1，2，…，k，使得x1a1+x2a2+…+x k a k＝t，则称t为k﹣可表数，称集合T＝{t|t＝x1a1+x2a2+…+x k a k，x i∈X，i＝1，2，…，k}为k﹣可表集．（1）若k＝10，a i＝2i﹣1，i＝1，2，…，k，判定31，1024是否为k﹣可表数，并说明理由；（2）若{1，2，…，n}⊆T，证明：n≤3k−1 2；（3）设a i＝3i﹣1，i＝1，2，…，k，若{1，2，…，2024}⊆T，求k的最小值．2023-2024学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＞1}，那么∁U A ＝（ ） A ．[﹣1，1] B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，1]D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）解：全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＞1}＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），∁U A ＝[﹣1，1]， 故选：A ．2．在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别为A ，B ，则z 1•z 2＝（ ）A ．﹣1﹣3iB ．﹣3﹣iC ．1﹣3iD ．3+i解：由图可知，z 1＝﹣2﹣i ，z 2＝1+i ，故z 1•z 2＝（﹣2﹣i ）•（1+i ）＝﹣2﹣2i ﹣i +1＝﹣1﹣3i ． 故选：A ．3．若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为√3，则其渐近线方程为（ ）A ．y ＝±2xB ．y =±√2xC ．y =±12xD ．y =±√22x解：由双曲线的离心率√3，可知c =√3a ，又a 2+b 2＝c 2，所以b =√2a ，所以双曲线的渐近线方程为：y =±bax =±√2x ．故选：B ．4．已知（1﹣3x ）5＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则a 2+a 4＝（ ） A ．﹣32B ．32C ．495D ．585解：令x ＝0，解得a 0＝1；当x ＝1时，a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝﹣32；①，当x ＝﹣1时，a 0−a 1+a 2−a 3+a 4−a 5=45，②，故①+②得：2a 0+2a 2+2a 4＝1024﹣32＝992，解得a 0+a 2+a 4＝496， 故a 2+a 4＝495．故选：C ．5．下列函数中，在区间（0，2）上为减函数的是（ ） A ．y ＝2x B ．y ＝sin xC ．y =x 1−xD ．y ＝log 0.5（﹣x 2+4x ）解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝2x ，是指数函数，在（0，2）上为增函数，不符合题意； 对于B ，y ＝sin x ，是正弦函数，在（0，π2）上为增函数，不符合题意；对于C ，y =x 1−x =−1x−1−1，可以由函数y =−1x向右平移一个单位，向下平移一个单位得到， 故y =x1−x在区间（0，2）上不是单调函数，不符合题意； 对于D ，y ＝log 0.5（﹣x 2+4x ），设t ＝﹣x 2+4x ，y ＝log 0.5t ， t ＝﹣x 2+4x 在（0，2）上为增函数，且t ＞0恒成立， y ＝log 0.5t 在（0，+∞）上为减函数，故y ＝log 0.5（﹣x 2+4x ）在区间（0，2）上为减函数，符合题意． 故选：D ．6．设函数f （x ）的定义域为R ，则“∀x ∈R ，f （x +1）＜f （x ）”是“f （x ）为减函数”的（ ） A ．充分必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件解：根据题意，函数f （x ）={ ⋯⋯x −4，2≤x ＜3x −2，1≤x ＜2x ，0≤x ＜1x +2，−1≤x ＜0⋯⋯，在R 上满足f （x +1）＜f （x ）， 当f （x ）不是增函数，反之，若f （x ）为减函数，必有f （x +1）＜f （x ），故“∀x ∈R ，f （x +1）＜f （x ）”是“f （x ）为减函数”的必要而不充分条件． 故选：B ．7．已知点P 在圆（x ﹣1）2+y 2＝1上，点A 的坐标为(−1，√3)，O 为原点，则AO →⋅AP →的取值范围是（ ） A ．[﹣3，3]B ．[3，5]C ．[1，9]D ．[3，7]解：设P （x ，y ），由图可知，AO →与AP →夹角为锐角，故AO →⋅AP →＞0，又AO →=(1，−√3)，AP →=(x +1，y −√3)，则AO →⋅AP →=x −√3y +4， 令t =|x−√3y+4|2，则t 为点P （x ，y ）到直线x −√3y +4=0的距离， 圆心C （1，0）到直线x −√3y +4=0的距离d =52，所以t ∈[32，72]，故AO →⋅AP →∈[3，7]．故选：D ．8．“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即S =√14[c 2a 2−(c 2+a 2−b 22)2]．现有面积为3√15的△ABC 满足sin A ：sin B ：sin C＝2：3：4，则△ABC 的周长是（ ） A ．9B ．12C ．18D ．36解：由正弦定理可得，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，故可设a ＝2x ，b ＝3x ，c ＝4x ， S =√14[c 2a 2−(c 2+a 2−b 22)2]=12√(8x 2)2−(16x 2+4x 2−9x 22)2=3√15，解得，x ＝2，故△ABC 的周长为4+6+8＝18． 故选：C ．9．已知函数f （x ）＝2sin x ﹣2cos x ，则（ ） A ．f(π4+x)=f(π4−x)B ．f （x ）不是周期函数C ．f （x ）在区间(0，π2)上存在极值D ．f （x ）在区间（0，π）内有且只有一个零点解：对于A ：因为函数f （x ）＝2sin x ﹣2cos x ， 所以f （x +π2）+f （﹣x ）＝2sin(x+π2)−2cos(x+π2)+2sin（﹣x ）﹣2cos（﹣x ）＝2cos x ﹣2﹣sin x+2﹣sin x﹣2cos x ＝0，所以f （x ）关于点（π4，0）对称，所以f （π4+x ）＝﹣f （π4−x ），故A 错误；对于B ：因为f （x +2π）＝2sin（x +2π）﹣2cos（x +2π）＝2sin x ﹣2cos x ＝f （x ），所以2π为函数f （x ）的一个周期，故B 错误；对于C ：因为f （x ）＝2sin x ﹣2cos x ，所以f ′（x ）＝2sin x cos x •ln 2+2cos x sin x •ln 2， 当0＜x ＜π2时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以f （x ）在（0，π2）上单调递增，故C 错误；对于D ：令f （x ）＝2sin x ﹣2cos x ＝0，即2sin x ＝2cos x ，即sin x ＝cos x ，因为x ∈（0，π），则tan x ＝1，所以x =π4，所以方程在（0，π）上只有一个根，所以函数f （x ）在（0，π）内有且只有一个零点，故D 正确． 故选：D ．10．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AB 上的点，且AE EB=3，点P 在线段D 1E上，则点P 到直线AD 距离的最小值为（ ）A ．√22B ．√32C ．35D ．1解：以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A （1，0，0），E （1，34，0），D 1（0，0，1），∴DA →=(1，0，0)，ED 1→=(−1，−34，1)，设n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅DA →=x =0n →⋅ED 1→=−x −34y +z =0，取y ＝1，得n →=(0，1，34)． ∴点P 到直线AD 距离的最小值为d =|n →⋅AE →||n →|=34√1+916=35．故选：C ．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知sinx =−35，x ∈(π，32π)，则tan x ＝ 34．解：因为sinx =−35，x ∈(π，32π)，所以cos x =−45，则tan x =sinx cosx =34．故答案为：3412．抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点的距离为8，则点P 到x 轴的距离为 7 ． 解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y ＝﹣1， 根据抛物线定义，∴y p +1＝8，解得y p ＝7，∴点P 到x 轴的距离为7， 故答案为：7．13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ﹣a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列，则a 1＝ 2 ；a n ＝ 2n ． 解：由S n ＝2a n ﹣a 1，得S n +1＝2a n +1﹣a 1， 两式相减得a n +1＝2a n +1﹣2a n ，即a n+1a n=2，∴{a n }是以q ＝2为公比的等比数列，由a 1，a 2+1，a 3成等差数列，得2（a 2+1）＝a 1a 3， 即2（2a 1+1）＝a 1+4a 1，解得a 1＝2， ∴a n ＝2×2n ﹣1＝2n ．故答案为：2，2n ．14．若函数f(x)={2x −m ，x ≤1，lnx ，x ＞1在定义域上不是单调函数，则实数m 的一个取值可以为 0（答案不唯一） ．解：根据题意，假设函数f(x)={2x −m ，x ≤1，lnx ，x ＞1在定义域上是单调函数，则有21﹣m ≤ln 1，即2﹣m ≤0，解可得：m ≥2，反之，若函数f(x)={2x −m ，x ≤1，lnx ，x ＞1在定义域上不是单调函数，必有m ＜2，即m 的取值范围为（﹣∞，2），故m 的值可以为0． 故答案为：0（答案不唯一）．15．已知数列{a n }，a 1＝a （0＜a ＜1），a n +1=a a n ．给出下列四个结论： ①a 2∈（a ，1）； ②a 10＞a 9；③{a 2n }为递增数列；④∀n ∈N *，使得|a n +1﹣a n |＜1﹣a ． 其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．解：根据题意可知a 2=a a 1=a a ，因为0＜a ＜1，所以a 1＜a a ＜a 0⇒a 2∈（a ，1）即①正确；由a 1＜a 2＜1，可得a a 1＞a a 2＞a 1，得1＞a 2＞a 3＞a 1＝a ，所以a a 2＜a a 3＜a a 1，即a 3＜a 4＜a 2，故③不正确；根据递推式有a ＜a 3＜a 4＜a 2＜1，a a 3＞a a 4＞a a 2，即a 4＞a 5＞a 3，同理可得a 4＞a 6＞a 5，a 5＜a 7＜a 6，a 6＞a 8＞a 7，a 7＜a 9＜a 8，从而可得a a 7＞a a 9＞a a 8，即a 8＞a 10＞a 9，故②正确；因为0＜a ＜1，所以a a ＝a 2∈（a ，1），则a a 2∈(a ，1)，依次可知a a n ∈(a ，1)，所以{a ＜a n+1＜1a ≤a n ＜1，故|a n +1﹣a n |＜1﹣a 成立，④正确． 故答案为：①②④．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（13分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，AB ＝AD ＝2，DC ＝PD ＝4，点N 是PD 的中点，直线PC 交平面ABN 于点M ． （1）求证：点M 是PC 的中点； （2）求二面角A ﹣MN ﹣P 的大小．（1）证明：因为AB ∥DC ，AB ⊄平面PDC ，DC ⊂平面PDC ， 所以AB ∥平面PDC ，又AB ⊂平面ABMN ， 平面ABMN ∩平面PDC ＝MN ， 所以AB ∥MN ，故MN ∥DC ，又N 为PD 中点，所以M 为PC 中点；（2）解法一：由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥AD ， 又AD ⊥DC ，DC ∩PD ＝D ，则AD ⊥平面PDC ，故∠AND 为二面角A ﹣MN ﹣P 的平面角的补角，又AD ＝2，PD ＝4，点N 是PD 的中点，则AD ＝DN ＝2，故∠AND ＝45°，故二面角A ﹣MN ﹣P 的大小为135°；解法二：由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥AD ，PD ⊥DC ，又AD ⊥DC ，则DA ，DC ，DP 两两垂直，故以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由AD ＝2，DC ＝PD ＝4，点M ，N 是分别是PD ，PC 的中点，则A （2，0，0），M （0，2，2），N （0，0，2），即AM →=(−2，2，2)，AN →=(−2，0，2)，设平面AMN 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则由{n →⋅AM →=−2x +2y +2z =0n →⋅AN →=−2x +2z =0，令x ＝1，可得y ＝0，z ＝1， 则平面AMN 的一个法向量为n →=(1，0，1)，不妨取平面PMN 的一个法向量为m →=(1，0，0)，则cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=1√2=√22， 由图可知二面角A ﹣MN ﹣P 的平面角为钝角，则二面角A ﹣MN ﹣P 的大小为135°．17．（14分）在△ABC 中，b cos C +c cos B ＝2a cos A ．（1）求角A 的大小；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得△ABC 存在且唯一确定，求△ABC的面积．条件①：a＝7；条件②：c＝8；条件③：cos C=1 7．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）由b cos C+c cos B＝2a cos A及正弦定理，可得sin B cos C+sin C cos B＝2sin A cos B，即sin（B+C）＝2sin A cos A，即sin A＝2sin A cos A，又A∈（0，π），sin A≠0，所以cosA=12，即A=π3；（2）若选①②：即a=7，c=8，A=π3，由正弦定理，可得sinC=sinAa⋅c=√327×8=4√37，因为a＜c，所以A＜C，即C可能为锐角或钝角，故△ABC不唯一，不合题意；若选①③：即a=7，cosC=17，A=π3，由cosC=17，可得sinC=4√37，由正弦定理可c=asinA⋅sinC=7√32×4√37=8，由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab•cos C，即64=49+b2−2×7×b×17，整理得b2﹣2b﹣15＝0，，解得b＝5，故S△ABC=12absinC=12×7×5×4√37=10√3；若选②③：即c=8，cosC=17，A=π3，由cosC=17，可得sinC=4√37，由正弦定理可得：a=csinC⋅sinA=84√37√32=7，由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab•cos C，即64=49+b2−2×7×b×17，整理得b2﹣2b﹣15＝0，，解得b＝5，故S△ABC=12absinC=12×7×5×4√37=10√3．18．（13分）某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）求m的值；（2）该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为X元，求X的分布列和数学期望E（X）；（3）用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为Y，问k（k＝0，1，2，…，10）为何值时，P（Y＝k）的值最大？（结论不要求证明）解：（1）依题意，（0.005+0.025+0.035+m+0.007）×10＝1，所以m＝0.028；（2）由题意可知，X的可能取值为：6000，7000，8000，9000，任选1人，估计认为该款车性能的评分不低于110分的概率为0.7，则P(X=6000)=C33×0.73×0.30=0.343；P(X=7000)=C32×0.72×0.3=0.441，P(X=8000)= C31×0.7×0.32=0.189，P(X=9000)=C30×0.70×0.33=0.027，所以X的分布列为：所以E（X）＝6000×0.343+7000×0.441+8000×0.189+9000×0.027＝6900元；（3）k＝7时，P（Y＝k）的值最大，理由如下：由题意可知Y～B（10，0.7），则{C10k×0．7k×0．310−k≥C10k+1×0．7k+1×0．39−kC10k×0．7k×0．310−k≥C10k−1×0．7k−1×0．311−k，解得6.7≤k≤7.7，又因为k＝0，1，2，…，10，所以k＝7，即k ＝7时，P （Y ＝k ） 的值最大．19．（15分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点M （2，0），离心率为√22． （1）求椭圆E 的方程；（2）设过点T （t ，0）的直线l 与椭圆E 有两个不同的交点A ，B （均不与点M 重合），若以线段AB 为直径的圆恒过点M ，求t 的值．解：（1）因为椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点M （2，0），离心率为√22， 所以a ＝2，c ＝b =√2，所以椭圆E 的方程x 24+y 22=1．（2）设直线l 的方程为：x ＝my +t ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{x =my +t x 2+2y 2−4=0，得（m 2+2）y 2+2mty +t 2﹣4＝0， Δ＝（2mt ）2﹣4（m 2+2）（t 2﹣4）＞0，y 1+y 2=−2mt m 2+2，y 1y 2=t 2−4m 2+2， x 1+x 2＝m （y 1+y 2）+2t =4t 2+m 2，x 1x 2＝（my 1+t ）（my 2+t ） ＝m 2y 1y 2+mt （y 1+y 2）+t 2=m 2(t 2−4)2+m 2−2m 2t 22+m 2+t 2=2t 2−4m 22+m 2， 因为以线段AB 为直径的圆恒过点M ，所以MA →⋅MB →=0，即（x 1﹣2）（x 2﹣2）+y 1y 2＝0，所以x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4+y 1y 2＝0，即2t 2−4m 22+m 2−2×4t 2+m 2+4+t 2−4m 2+2=0， 即3t 2﹣8t +4＝0，解得t =23或t ＝2（舍）， 所以t =23． 20．（15分）已知函数f （x ）＝x 2e 2﹣x ﹣x +1． （1）求曲线y ＝f （x ）在（2，f （2））处的切线方程；（2）设函数g （x ）＝f '（x ），求g （x ）的单调区间；（3）判断f （x ）极值点的个数，并说明理由．解：（1）∵f （x ）＝x 2e 2﹣x ﹣x +1， ∴f ′（x ）＝e 2﹣x （2x ﹣x 2）﹣1， ∴f ′（2）＝﹣1，f （2）＝3，∴y ＝f （x ）在（2，f （2））处的切线方程为y ﹣3＝﹣（x ﹣2），即x +y ﹣5＝0；（2）∵g（x）＝f'（x）＝e2﹣x（2x﹣x2）﹣1，x∈R，∴g′（x）＝e2﹣x（x2﹣4x+2）=e2−x(x−2+√2)(x−2−√2)，∴当x∈（﹣∞，2−√2）∪（2+√2，+∞）时，g′（x）＞0；当x∈（2−√2，2+√2）时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调增区间为（﹣∞，2−√2），（2+√2，+∞），单调减区间为（2−√2，2+√2）；（3）2个极值点，理由如下：又（2）知：当x＜2−√2时，g（x）在（﹣∞，2−√2）上单调递增，且g（2−√2）=(2−√2)e√2−1＞12e−1＞0，g（0）＝﹣1＜0，∴存在唯一x1∈（0，2−√2），使得g（x1）＝0；当2−√2＜x＜2+√2时，g（x）在（2−√2，2+√2）上单调递减，g（2−√2）＞0，g（2+√2）＜g（2）＝﹣1＜0，∴存在唯一x2∈（2−√2，2+√2），使得g（x1）＝0；当x＞2+√2时，﹣x2+2x＜0，e2﹣x＞0，∴g（x）＝e2﹣x（2x﹣x2）﹣1＜0，∴g（x）在（2+√2，+∞）上无零点，综合可得：当x∈（﹣∞，x1），g（x）＝f'（x）＜0，当x∈（x1，x2），g（x）＝f'（x）＞0，当x∈（x2，+∞），g（x）＝f'（x）＜0，∴当x＝x1时，f（x）取得极小值；当x＝x2时，f（x）取得极大值，故f（x）有2个极值点．21．（15分）已知Q：a1，a2，…，a k为有穷正整数数列，且a1≤a2≤…≤a k，集合X＝{﹣1，0，1}．若存在x i∈X，i＝1，2，…，k，使得x1a1+x2a2+…+x k a k＝t，则称t为k﹣可表数，称集合T＝{t|t＝x1a1+x2a2+…+x k a k，x i∈X，i＝1，2，…，k}为k﹣可表集．（1）若k＝10，a i＝2i﹣1，i＝1，2，…，k，判定31，1024是否为k﹣可表数，并说明理由；（2）若{1，2，…，n}⊆T，证明：n≤3k−1 2；（3）设a i＝3i﹣1，i＝1，2，…，k，若{1，2，…，2024}⊆T，求k的最小值．解：（1）31是，1024不是，理由如下：由题意可知x1a1+x2a2+⋯+x k a k＝t，当a i=2i−1，k＝10时，有x1+2x2+⋯+29x10=t，x i∈{﹣1，0，1}，显然若x1＝﹣1，x6＝1，x i＝0（i∈{2，3，4，5，7，8，9，10}）时，t＝31，而t ≤20×1+21×1+22×1+⋯+29×1＝210﹣1＝1023＜1024，故31是k ﹣可表数，1024不是k ﹣可表数；（2）由题意可知若x i ＝0⇒t ＝0，即0∈T ，设s ∈T ，即∃x i ∈{﹣1，0，1}使得x 1a 1+x 2a 2+⋯+x k a k ＝S ，所以（﹣x 1a 1）+（﹣x 2a 2）+⋯+（﹣x k a k ）＝﹣s ，且﹣x i ∈{﹣1，0，1}成立，故﹣s ∈T ，所以若{1，2，…，n }⊆T ，则{±1，±2，…，±n ，0}⊆T ，即{±1，±2，…±n ，0}中的元素个数不能超过T 中的元素，对于确定的Q ，T 中最多有3k 个元素，所以2n +1≤3k ⇒n ≤3k−12； （3）由题意可设∀n ∈N *，∃m ∈N *使3m−1−12＜n ≤3m −12， 又x 1×1+x 2×3+x 3×32+⋯+x m−1×3m−2≤1×1+1×3+1×32+…+1×3m ﹣2=3m−1−12， 所以k ＞m ﹣1，即k ≥m ，而1×1+1×3+1×32+⋯+1×3m−1=3m −12，即当n =3m−12时，取a 1＝1，a 2＝3，…，a m =3m−1 时，n 为m ﹣可表数， 因为2×(1×1+1×3+1×32+⋯+1×3m−1)=2×3m−12=3m −1， 由三进制的基本事实可知，对任意的0≤p ≤3m ﹣1，存在r ∈{0，1，2}（i ＝1，2，…，m ，），使p =r 1×30+r 2×31+⋯r m ×3m−1，所以p −3m−12=(r 1×30+r 2×31+⋯r m ×3m−1)−(30+31+⋯+3m−1)=(r 1−1)×30+(r 2−1)×31+⋯+(r m −1)×3m−1，令x i ＝r i ﹣1 则有x i ∈{﹣1，0，1}，i ＝1，2，…，m ，设t =p −3m −12⇒−3m −12≤t ≤3m−12， 由p 的任意性，对任意的−3m −12≤t ≤3m −12，t ∈Z ， 都有t =x 1×30+x 2×31+⋯+x m ×3m−1，x i ∈{﹣1，0，1}，i ＝1，2，…，m ，又因为n ≤3m−12， 所以对于任意的﹣n ≤t ≤n ，t ∈Z ，t 为m ﹣可表数，综上，可知k 的最小值为m ，其中m 满足3m−1−12＜n ≤3m −12， 又当n ＝2024时，37−12＜n ≤38−12， 所以k 的最小值为8．。
2023-2024学年江苏省苏州市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |log 2x ＜1}，N ＝{x |x ＞1}，则集合{x |0＜x ≤1}＝（ ） A ．M ∪NB ．M ∩NC ．（∁U M ）∩ND ．（∁U N ）∩M2．设i 为虚数单位，复数z 满足（3﹣i ）z ＝4+2i ，则|z |＝（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．43．2023年9月28日，沪宁沿江高速铁路开通运营，形成上海至南京间的第二条城际高速铁路，沪宁沿江高速铁路共设8座车站（如图）．为体验高铁速度，游览各地风光，甲乙两人准备同时从南京南站出发，甲随机选择金坛、武进、江阴、张家港中的一站下车，乙随机选择金坛、武进、江阴、张家港、常熟中的一站下车．已知两人不在同一站下车，则甲比乙晚下车的概率为（ ）A ．320B ．14C ．120D ．384．已知函数f （x ）＝cos （ωx +π3）+1（ω＞0）的最小正周期为π，则f （x ）在区间[0，π2]上的最大值为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．25．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =π2，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，以下底BC 所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ） A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π6．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 是圆C 1：x 2+（y ﹣3）2＝1上的一点，B ，C 是圆C 2：（x ﹣4）2+y 2＝4上的两点，则∠BAC 的最大值为（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π37．已知正实数a ，b ，c 满足2a+1a=2a ﹣a ，3b+1b =3b ﹣b ，4c+1c=4c ﹣c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜a ＜c8．若sin π10是函数f （x ）＝ax 3﹣bx +1（a ，b ∈N *）的一个零点，则f （1）＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024北京东城区高三(上)期末数学试卷及答案
东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测高三数学参考答案及评分标准 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）C （2）D （3）C（4） D （5） B （6） A （7）C （8）B（9） A （10）D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）()()0,11,∞+ （12） y = （13） π3(答案不唯一 ) （14）①2− ② (],1∞−- （15）②③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）取11A C 中点G ，连接,FG AG . 在直三棱柱111ABC A B C −中，因为,,E F G 分别为1111,A C B B A C ，的中点，所以1111,AE B GF A A B ,111=2A GFB ,1112A A E B =. 所以GF AE ，GF AE =.所以四边形EFGA 为平行四边形，所以EF AG .又因为EF ⊄平面11ACC A ，AG ⊂平面11ACC A ，所以//EF 平面11ACC A . ................................6分 （Ⅱ）在直三棱柱111ABC A B C −中,1BB ⊥平面ABC .而BA ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1BB BA ⊥，1BB BC ⊥因为90ABC ∠=︒，BA BC ⊥，所以BA BC ，,1BB 两互相垂直.如图，建立空间直角坐标系B xyz −.则A （0，2，0），B （0，0，0），C （2，0，0），E （0，1，0），F（1，0，2）. 设[]00,2Pm m ∈（0，，）,， 则()0,2,AP m =−，()0,1,0BE =，()1,0,2BF = .设平面BEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，所以0,0,BE BF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20.y x z =⎧⎨+=⎩设1z =−，则()2,0,1n =−设AP 与平面BEF 所成的角为θ， 则221sin cos ,552)AP m AP AP m nn n θ⋅−=〈〉===⋅−+（．解得21,1m m ==±.因为[]0,2m ∈，所以1m =.于是，1BP =...............................................................................14分（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）在ABC △中,由余弦定理得222cos 2BC AB AC B BC AB+−=⋅又因为4BC =，AC =1AB =，所以cos B 2224112412+−==⨯⨯. 又()0,πB ∈,所以π3B ∠=. ......................................... (5)分 （II ）选择条件①：π4ADB ∠=. 在ADB △中，由正弦定理 sin sin AD AB B ADB =∠，得=， 所以AD =所以sinsin()BAD B ADB∠=∠+∠sin cos cos sin B ADB B ADB =∠+∠12222=+⨯4=.所以1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠. 112=⨯38+= . ......................................................................13分选择条件③：由余弦定理 2222cos AD AB BD AB BD B =+−⋅,AB BD AD ++=得()2221BD BD BD =+−，解得 2BD =，所以11sin 122222ABD S AB BD B ∆=⋅=⨯⨯⨯=. ........................ ...............13分 (18)（本小题13分）解：（Ⅰ）由表格中的数据可知：2022年100名参加第一次考试的考生中有60名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为5310060=； 2023年100名参加第一次考试的考生中有50名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为2110050=； 从2022年、2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，这两位考生都通过考试的概率为1032153=⨯ . .......................................................4分 （Ⅱ）记“2022年考生在第i 次考试通过”为事件1,2,3)i A i =（，“小明2022年参加考试，他通过不超过两次考试该科目成绩合格”为事件A ， 则1233707804(),(),().5100101005P A P A P A ===== 小明一次考试该科目成绩合格的概率13()5P A =， 小明两次考试该科目成绩合格的概率12377()151025P A A =−⨯=（）， 所以小明不超过两次考试该科目成绩合格的概率1121123722()()()()52525P A P A A A P A P A A ==+=+= . ................................10分 （III ）88. .................................................................................... .........13分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意得 22222,a b c a c a c ⎧⎪⎨⎪=++=+−=⎩−解得2,1,c a b ⎧===⎪⎨⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ............... ...............................................5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，()2,0A −,()2,0B .设(),M m n ，则(),N m n −，且满足2244m n +=.因为E 为线段OM 的中点，所以,22m n E ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以直线():24n AE y x m =++. 设()11,D x y , 由()222444n y x m x y ⎧=+⎪+⎨⎪+=⎩得 ()()222222441616440m n x n x n m ⎡⎤++++−+=⎣⎦. 因为2244m n +=，所以 ()22225(4)(2812)0m x m x m m ++−−++=. 所以212812225m m x m ++−=−+， 解得214625m m x m ++=+，则()1425n m y m +=+， 所以()2446,2525n m m m D m m +⎛⎫++ ⎪++⎝⎭. 因为G 为线段MB 的中点，所以2,22m n G +⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以直线GN 的方程为()32n y n x m m +=−−−， 代入D 点坐标，得左式=()()4332525n m n m n m m +++=++，右式=2346225n m m m m m ⎛⎫++− ⎪−+⎝⎭()3325n m m +=+. 所以左式=右式.所以,,D G N 三点共线．.................................................... .......................15分 （20）（本小题15分）解：（Ⅰ）若1k =，则1()1x x f x e x −=−+， 所以22'()(1)x f x e x =−+， 所以022'(0)1(01)f e =−=+， 又因为001(0)201f e −=−=−+， 所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为(2)(0)y x −−=−，即2y x =−. ............. .......................................................................6分 （Ⅱ）若12k ≤<，因为22'()(1)x f x ke x =−+， 设函数22()(1)=−+x g x ke x ， 则34'()0(1)=−−<+xg x ke x ((0))x ∈+∞， 所以22'()(1)=−+x f x ke x 为(0)+∞，上的减函数. 当时12k ≤<时，022'(0)20(01)f ke k =−=−≤+， 11122221288'()01299(1)2f ke ke e =−=−<−<+，所以存在01(0,)2x ∈，使得0'()0=f x ，即02020(1)−=+x ke x .x所以当12k ≤<时，函数()y f x =在(0)+∞，上有极大值. 00001()1−==−+x x m f x ke x ， 由2020(1)−=+x ke x ，得0200121(1)−=−++x m x x 200221(1)1x x =−−+++. 因为00x >，所以()010,11x ∈+. 得31−<<m . ..................................................15分(21)（本小题15分）解：（Ⅰ）由于数列23226A a a −：，，，，具有性质c P ， 所以15264a a c +=−+==.由244a a +=以及42a =，得22a =.由334a a +=，得32a =. .....................4分 （Ⅱ）由于数列A 具有性质0P ，且12n a a a <<<，n 为奇数，令21n k =+，可得10k a +=，设12123210k k k k k a a a a a a a ++++<<<<=<<<<.由于当0(1)i j a a i j n >≤≤，，时，存在正整数k ，使得j i k a a a −=，所以324252212k k k k k k k k a a a a a a a a ++++++++−−−−，，，，这1k −项均为数列A 中的项, 且324252212210k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++++++++<−<−<−<<−<，因此一定有3224235242122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，，即：3224325422122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，， 这说明：2321k k k a a a +++，，，为公差为2k a +的等差数列，再由数列A 具有性质0P ，以及10k a +=可得，数列A 为等差数列. ..................................................................9分（III ）（1）当*42()n k k =+∈N 时，设122122+1222+3244+142:k k k k k k k k A a a a a a a a a a a −+++，，，，，，，，，，，. 由于此数列具有性质c P ，且满足2122k k a a m +++=, 由2122k k a a m +++=和2122k k a a c +++=得c m =±.① c m =时，不妨设12a a m +=，此时有：21a m a =−，411k a a +=，此时结论成立. ② c m =−时，同理可证. 所以结论成立.(2)当*4()n k k =∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：22122231122322212k k k k k k k k −−−+−−−+−−+，，，，，，，，，，，，.(3)当*23()n k k =+∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：112(1)(1)(1)(1)(1)1012(1)(1)k k k k k k k k +−−−⋅+−⋅−⋅−−−−⋅−，，，，，，，，，，1(1)(1)(1)k k k k −−⋅−⋅+，综上所述，*42()n k k =+∈N 符合题意. ...........................................15分.。
安徽省六安市2024届高三上学期期末教学质量检测数学试题含答案
六安市2024年高三教学质量检测数学试题（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2log 1,A x x x =≤∈Z，{}220B x xx =+-<，则A B = （）A.{}0,1 B.{}2,1-- C.{}1,0- D.{}1-【答案】D 【解析】【分析】解出对数不等式和一元二次不等式，再根据交集含义即可.【详解】2log ||1x ≤，即22log ||log 2x ≤，则22x -≤≤且0x ≠，则{}2,1,1,2A =--，{}21B x x =-<<，所以{}1A B ⋂=-.故选：D .2.已知复数z 的共轭复数在复平面内对应的点为()2,2-，则复数1z的虚部为（）A.1-B.i- C.14-D.1i 4-【答案】C 【解析】【分析】得到22i z =+，利用复数除法法则得到111i 44z =-，求出虚部.【详解】由已知得22i z =+，()()122i 1i 11i 22i 22i 444z --===-+-，则复数1z 的虚部为14-.故选：C3.已知向量a =，向量(1,b =- ，则a 与b 的夹角大小为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示求解即得.【详解】向量a =，(1,b =-，则cos ,222a b 〈〉==-⨯ ，而0,180a b ︒≤〈〉≤︒ ，所以a，b的夹角为150︒.故选：D4.等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，若()83124m S a a a =++，则m =（）A.11B.12C.13D.14【答案】C 【解析】【分析】由等差数列的前n 项和公式与通项公式转化为基本量计算即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，所以81828S a d =+，则有()11118282214a d a d a m d a +=+++-+⎡⎤⎣⎦，即()141d m d =+，又0d ≠，所以114m +=，所以13m =.故选：C.5.函数()e 4,1ln ,1x x x f x x x ⎧+-<=⎨≥⎩，若()()()21105f a f a f +≤--，则实数a 的取值范围是（）A.{}1- B.(],1-∞-C.[)1,-+∞ D.11,e⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】原不等式变形为()()25110f a f a ⎡⎤+≤-⎣⎦，再利用分段函数的单调性即可得到不等式，解出即可.【详解】当1x <时，()e 4xf x x =+-，因为e ,4x y y x ==-在(),1∞-上单调递增，此时()f x 单调递增，当1x ≥时，易知()ln f x x =单调递增，且当1x =时，1e 14e 30ln1+-=-<=，则()f x 在R 上单调递增，因为211a +≥，则()()()()()222215ln 1ln5ln5151f a f a a f a ⎡⎤++=++=+=+⎣⎦，所以由()()()21105f a f a f +≤--得()()25110f a f a ⎡⎤+≤-⎣⎦，所以()25110a a +≤-，解得1a =-.故选：A .6.已知ππcos 2cos 63αα⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.35 B.45C.45-D.35-【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式结合二倍角公式，利用齐次式计算可得.【详解】因为πππ632αα⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ππsin 2cos 33αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πtan 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以222πππ2sin cos 2tan 2πππ4333sin 22sin cos πππ3335sin cos tan 1333ααααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=++=== ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.7.圆()222:0O x y r r +=>上一点1,22A r r ⎛⎫⎪⎝⎭关于x 轴的对称点为B ，点E ，F 为圆O 上的两点，且满足EAB FAB ∠=∠，则直线EF 的斜率为（）A.B.3C.3D.13【答案】B 【解析】【分析】根据圆的性质以及斜率乘积与直线垂直的关系即可.【详解】由EAB FAB ∠=∠知BOE BOF ∠=∠，所以OB EF ⊥，而212OB OArk k r =-=-=，∴3EF k =.故选：B.8.某种生命体M 在生长一天后会分裂成2个生命体M 和1个生命体N ，1个生命体N 生长一天后可以分裂成2个生命体N 和1个生命体M ，每个新生命体都可以持续生长并发生分裂.假设从某个生命体M 的生长开始计算，记n a 表示第n 天生命体M 的个数，n b 表示第n 天生命体N 的个数，则11a =，10b =，则下列结论中正确的是（）A.413a = B.数列{}nnb a 为递增数列C.5163ni b==∑ D.若{}n n a b λ+为等比数列，则1λ=【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出递推公式，进而求出数列{},{}n n a b 的通项公式，再逐项分析判断即得.【详解】依题意，12n n n a a b +=+，12n n n b b a +=+，则113()n n n n a b a b +++=+，而111a b +=，因此数列{}n n a b +是首项为1，公比为3的等比数列，13n n n a b -+=，又11n n n n a b a b ++=--，因此111n n a a b b -=-=，于是1312n n a -+=，1312n n b --=，对于A ，3431142a +==，A 错误；对于B ，11131213131n n n n n b a ----==-++，显然数列12{}31n -+是递减数列，因此{}n n b a 为递增数列，B 正确；对于C ，51014134058ni b==++++=∑，C 错误；对于D ，1122331,2,54a b a b a b λλλλλ==+=++++，由{}n n a b λ+为等比数列，得2(2)54λλ+=+，解得1λ=或1λ=-，当1λ=时，13n n n b a λ-+=，显然数列{}n n a b λ+是等比数列，当1λ=-时，1n n a b λ+=，显然数列{}n n a b λ+是等比数列，因此当数列{}n n a b λ+是等比数列时，1λ=或1λ=-，D 错误.故选：B【点睛】思路点睛：涉及求数列单调性问题，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答，也可以借助函数单调性进行判断.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.ln y x =B.ln y x= C.2y x -= D.e e x xy -=+【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，根据函数奇偶性得到()ln f x x =为偶函数，且在()0,∞+单调递增，A 正确；B 不满足奇偶性，C 不满足单调性；D 选项，满足为偶函数，且求导得到函数在()0,x ∈+∞上单调递增，得到答案.【详解】A 选项，()ln f x x =定义域为()(),00,x ∈-∞⋃+∞，且()()ln ln f x x x f x -=-==，故()ln f x x =为偶函数，且()0,x ∈+∞时，ln y x =单调递增，故A 正确；B 选项，ln y x =的定义域为()0,∞+，故不是偶函数，故B 项错误；C 选项，()0,x ∈+∞时，2y x -=单调递减，故C 项错误；D 选项，()e exxg x -=+的定义域为R ，且()()e e x xg x g x --=+=，故()e exxg x -=+是偶函数，且()0,x ∈+∞时，()e e0xxg x -'=->，函数单调递增，故D 项正确.故选：AD10.地震释放的能量E 与地震震级M 之间的关系式为lg 4.8 1.5E M =+，2022年9月18日我国台湾地区发生的6.9级地震释放的能量为1E ，2023年1月28日伊朗西北发生的5.9级地震释放的能量为2E ，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼马拉什省发生的7.7级地震释放的能量为3E ，下列说法正确的是（）A.1E 约为2E 的10倍B.3E 超过2E 的100倍C.3E 超过1E 的10倍D.3E 低于1E 的10倍【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，结合对数运算公式，即可判断.【详解】A.()12lg lg 1.5 6.9 5.9E E -=⨯-，所以 1.51210E E =，故A 错误；B.()32lg lg 1.57.7 5.9E E -=⨯-， 2.73210100E E =>，故B 正确；C.()31lg lg 1.57.7 6.9E E -=⨯-， 1.2311010E E =>，故C 项正确，D 项错误.故选：BC11.已知函数()f x 的导函数为()f x '，对任意的正数x ，都满足()()()22f x xf x f x x <<-'，则下列结论正确的是（）A.()1122f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭B.()()1122f f <C.()11422f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭D.()()11214f f <+【答案】BC 【解析】【分析】设()()()0f x g x x x=>，利用导数求出()g x 的单调性，据此即可判断A 和B 选项，设()()()220f x x h x x x-=>，根据导数求出()h x 的单调性，据此即可求解C 和D 选项.【详解】设()()()0f x g x x x=>，则()()()20xf x f x g x x'-='>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，由()112g g ⎛⎫>⎪⎝⎭得()1122f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故A 项错误；由()()12g g <得()()1122f f <，故B 项正确；设()()()220f x x h x x x-=>，则()()()()()()()()243222220f x x f x x x xf x f x x h x x x ---⋅--=''=<'，所以()h x 在()0,∞+上单调递减，由()112h h ⎛⎫<⎪⎝⎭得()11422f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故C 项正确：由()()12h h >得()()11214f f >+，故D 项错误.故选：BC.12.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱上一点，满足1PA PC d +=（d 为定值），记P 点的个数为n ，则下列说法正确的是（）A.当d =2n =B.1d <<+时，6n =C.当d =时，15n =D.n 的最大值为18【答案】AD 【解析】【分析】由点P 的位置进行分类讨论判断求解即可.【详解】当点P 位于A 或1C 处时，d当P 在AB 棱上由A 到B 移动时，d 1，当P 在AD ，1AA ，1C C ，11C B ，11C D 等棱上移动时，d 1+当P 在1BB 棱上由B 到1B 移动时，d 由11+；当P 在BC ，DC ，1D D ，11A B ，11A D 等棱上移动时，d 也是由1+再由增大到1+.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线24y x =的焦点F 与x 轴上一点A 的连线的中点P 恰在抛物线上，则线段AF 的长为______.【答案】316##0.1875【解析】【分析】根据题意求线段AF 的中点坐标，结合抛物线的定义分析求解.【详解】因为24y x =，即214x y =，可知抛物线的焦点10,16F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为116y =-，设(),0A a ，则线段AF的中点为1,232a ⎛⎫⎪⎝⎭，则113321632PF =+=，所以3216AF PF ==.故答案为：316.14.如图，在四边形ABCD 中，AD AB ⊥，120ADC ∠=︒，AB =，1AD =，2CD =，求四边形ABCD 绕直线AD 旋转一周所成几何体的表面积为______.【答案】(12π+【解析】【分析】作出辅助线，求出各边长度，求出以AB 为半径的圆的面积，以CD 为母线和CE 为半径的圆锥的侧面积，以BC 为母线的圆台的面积，相加后得到答案.【详解】作CE AD ⊥，CFAB ⊥，E ，F 为垂足，因为120ADC ∠=︒，所以60EDC ∠=︒，因为2CD =，所以1DE =，CE =，故==AF CE ，又AB =1AD =，故2CF AE AD DE ==+=，BF AB AF =-=，由勾股定理得CB ==，四边形ABCD 绕直线AD 旋转一周所成几何体的表面积分为三部分，以AB 为半径的圆的面积(2π12π=，以CD 为母线和CE 为半径的圆锥的侧面积πrl =，以BC 为母线的圆台的侧面积+=所以该几何体的表面积为(12π+.故答案为：(12π+15.已知函数()()()22cos0f x x ωω=>的最小正周期为π，将函数()y f x =的图象上的所有点向右平移π6个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到()y g x =的图象，则()y g x =在ππ,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为______.【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】化简()f x 的解析式，根据()f x 的最小正周期求得ω，根据三角函数图象变换的知识求得()g x ，进而求得()g x 在ππ,124⎡⎤⎢⎣⎦上的值域.【详解】()cos21f x x ω=+，2ππ2ω=，22ω=，()cos21f x x =+，将函数()y f x =的图象上的所有点向右平移π6个单位长度，得到ππcos 21cos 2163y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，得到()πcos 413g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为ππ,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2π40,33x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π1cos 4,132x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()y g x =在ππ,124⎡⎤⎢⎣⎦上的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.已知2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，圆222:O x y a +=与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点A ，点B 在双曲线C 上，222BF F A =-，则双曲线C 的渐近线方程为______.【答案】2y x =±【解析】【分析】求出点A 的坐标及2AF 长，由222BF F A =-可得点A 为2BF 的中点，再结合双曲线定义求解即得.【详解】由222BF F A =-，得点A 为2BF 的中点，记1F 为C 的左焦点，连接1BF ，令半焦距为c ，则122BF OA a ==，由222b y x ax y a ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得2a x cab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2(,)a ab A c c ，而2(,0)F c ，因此2222()()a ab AF c b c c=-+=，由双曲线定义得222b a a -=，即2b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为2y x =±.故答案为：2y x=±四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()140n n S a λλλ-=->.（1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）当2λ=时，设1221log log n n n a n a n b a a ++++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）证明见解析（2）261939n n nT n +=+【解析】【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩作差得到1n n a a λ+=，即可得证；（2）由（1）可得12n n a +=，则321122323n n n b n n n n ++=+=+-++++，再利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】证明：因为()()140n n S a λλλ-=->，当1n =时，()1114S a λλ-=-，解得14a =，由()14n n S a λλ-=-得()1114n n S a λλ++-=-，两式作差得()()()111144n n n n S S a a λλλλ++---=---，即()111n n n a a a λλλ++-=-，则1n n a a λ+=，又0λ>，所以数列{}n a 是首项为4，公比为λ的等比数列.【小问2详解】当2λ=时，由（1）得11422n n n a -+=⨯=，又223121322232log log log log 2322n n n n n n n a n a n n n b a a n n ++++++++++=+=+=+++，所以322131112232323n n n n n b n n n n n n +++++-=+=+=+-++++++，所以1111112344523n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+-⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111112344523n n n ⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭21161923339n n n n n +⎛⎫=+-=⎪++⎝⎭.18.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .（1）若12b a =，6sin sin B A -=，求角A 的值；（2）若π3A =，且b 是a 和3c 的等差中项，求cos B 的值.【答案】（1）π3A =或2π3（2）1cos 7B =-【解析】【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角即可得结果；（2）由等差中项可得23a b c =-，结合余弦定理解得83b c =，73a c =，代入余弦定理即可得结果.【小问1详解】因为12b a =，由正弦定理sin sin b a B A=得1sin sin 2B A =，又因为6sin sin B A -=sin 2A =，且()0,πA ∈，所以π3A =或2π3.【小问2详解】显然0,0,0a b c >>>，由b 是a 和3c 的等差中项得23b a c =+，即230a b c =->，可得32b c >，因为π3A =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得()22223b c b c bc -=+-，化简得2231180b bc c -+=，即()()380b c b c --=，解得83b c =或b c =（舍去），由23a b c =-，可得73a c =，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得22278133cos 7723c c c B c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.19.已知函数()()36R f x x ax a =+-∈.（1）若函数()f x 的图象在2x =处的切线与x 轴平行，求函数()f x 的图象在3x =-处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】19.15480x y -+=20.答案见解析【解析】【分析】（1）先求导函数再求斜率最后写出切线方程；（2）分类讨论列表根据导函数求单调性.【小问1详解】()23f x x a ='+.由题意()2120f a ='+=，解得12a =-，所以()3126f x x x =--，()33f -=，()315f '-=()f x 在3x =-处的切线方程为15480x y -+=【小问2详解】()23f x x a ='+.①当0a ≥时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增.②当0a <时，由()0f x '=得x =，()f x 在R 上的变化情况如下表：由上表可得()f x 在,∞⎛- ⎝上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增.综上，当0a ≥时，增区间为(),∞∞-+，无减区间；当0a <时，增区间为,∞⎛- ⎝和∞⎫+⎪⎪⎭，减区间为⎛ ⎝.20.如图，在三棱锥A BCD -中，CE BD ⊥，垂足为点E ，AH ⊥平面BCD ，垂足H 在CE 上，点F 在AC 上，且CEF CAH ∠=∠.（1）证明：AC ⊥平面BDF ；（2）若22BE DE ==，22CH EH ==，三棱锥A BCD -的体积为BF 与平面ABD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5.【解析】【分析】（1）利用线面垂直得到线线垂直，由CEF CAH ∠=∠，可得出AC EF ⊥，利用线面垂直的判定定理可以证得AC ⊥平面BDF ；（2）通过三棱锥A BCD -的体积，可以求出AH ，进一步求AC ，由两个三角形AHC ，EFC 相似，得出F 为AC 的中点，然后建立空间直角坐标系，求平面ABD 的法向量，进而可以求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】由AH ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，得AH BD ⊥，又CE BD ⊥，而AH ⊂平面ACE ，CE ⊂平面ACE ，AH CE H = ，所以BD ⊥平面ACE ，又AC ⊂平面ACE ，所以BD AC ⊥.再由AH ⊥平面BCD ，EC ⊂平面BCD ，得AH EC ⊥，得90AHC ∠=︒，又CEF CAH ∠=∠，ACH ECF ∠=∠，得90EFC AHC ︒∠=∠=，即AC EF ⊥.又EF ⊂平面BDF ，BD ⊂平面BDF ，EF BD E = ，所以AC ⊥平面BDF .【小问2详解】由条件知11133322A BCD BCD V S AH BD CE AH AH -=⋅=⨯⨯⨯⨯==所以AH =，在Rt AHC 中，2228412AC AH CH =+=+=，所以AC =由（1）知Rt Rt AHC EFC ~△△，所以FC ECHC AC =，即2FC =，得FC =，可知F 为AC 的中点，过点H 作HG BD ∥交BC 于点G由（1）易得HG ，HC ，HA 两两垂直，以{HG 、HC 、}HA正交基底，建立空间直角坐标系H xyz -，如图所示由题意可知，(0,0,A ，()2,1,0B -，()0,1,0E -，()0,2,0C，(F .则(0,1,EA = ，()2,0,0EB =，(2,BF =- ，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z =，则020EA n y EB n x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1z =-，则y =，所以平面ABD的一个法向量()0,1n =-，设直线BF 与平面ABD 所成角θ，则sin =cos<,5n BF n BF n BFθ⋅>===⋅.故直线BF 与平面ABD所成角的正弦值为5.21.平面内一动点P 到直线:4l y =的距离，是它到定点()0,1F 的距离的2倍.（1）求动点P 的轨迹Γ的方程；（2）经过点F 的直线（不与y 轴重合）与轨迹Γ相交于M ，N 两点，过点M 作y 轴平行线交直线l 于点T ，求证：直线NT 过定点.【答案】（1）22143y x +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得4y -=，化简即可得解；（2）设直线MN 的方程以及,,M N T 的坐标，联立若椭圆方程，由韦达定理得()121232kx x x x =+，表示出NT 的方程，令0x =，证明此时y 为定值即可得证.【小问1详解】由题意，设动点P 的坐标为(),x y，则4y -=，平方整理得22143y x +=，所以点P 的轨迹Γ方程为22143y x+=.【小问2详解】由题意，设直线MN 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1,4T x .将1y kx =+代入22143y x +=得()2234690k x kx ++-=，所以122634k x x k -+=+，122934x x k -=+，显然0∆>，所以()121232kx x x x =+.因为直线NT 的方程为()212144y y x x x x --=--，令0x =，则()21221221122121214144x x kx x x y x x kx x y x x x x x x -+---===---()()21122121213545222x x x x x x x x x x --+-===--，因此，直线NT 过定点50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法，设直线MN 的方程为1y kx =+，再将其椭圆方程联立得到韦达定理式，再化积为和得到()121232kx x x x =+，再得到直线NT 的方程，令0x =计算即可.22.已知函数()()()22ln 211R 2m f x x x m x m =+-++∈.（1）求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 有两个极值点12,x x ，求证：()()122f x f x f m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，对导函数因式分解，分0m ≤，12m =，12m >，102m <<，得到函数的单调性，进而得到函数的极值情况；（2）由（1）得110,,22m ∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并得到()()12212ln 222f x f x m m m +=---，2222ln 44f m m ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，作差法得到()()21222f x f x f m ⎛⎫⎫+-=-- ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，结合m 的范围得到结论.【小问1详解】()()22ln 2112m f x x x m x =+-++的定义域为()0,∞+，()()()()()()2212212210mx m x x mx f x mx m x x x x-++--'=+-+==>①若0m ≤，则()20f '=，()0,2x ∈时()0f x '>，()2,x ∞∈+时()0f x '<，故()f x 在()0,2x ∈上单调递增，在()2,x ∞∈+上单调递减，所以函数的极大值为()22ln221f m =--，无极小值，②若12m =，则()()2202x f x x'-=≥，()f x 在()0,∞+上单调递增，无极值.③若12m >，由()()()210x mx f x x--'==得2x =或1x m =，10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>，1,2x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，()2,x ∞∈+时()0f x '>，故()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,∞+上单调递增，在1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以极大值为112ln 12f m m m ⎛⎫=---⎪⎝⎭，极小值为()22ln221f m =--.④若102m <<，由()()()210x mx f x x--'==得2x =或1x m =，()0,2x ∈时()0f x '>，12,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，1,x m ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时()0f x '>，故()f x 在()0,2，1,m ∞⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递增，在12,m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以极大值为()22ln221f m =--，极小值为112ln 12f m m m ⎛⎫=---⎪⎝⎭.综上，当0m ≤时，极大值为()22ln221f m =--，无极小值；当102m <<时，极大值为()22ln221f m =--，极小值为112ln 12f m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭；当12m =时，()f x 无极值；当12m >时，极大值为112ln 12f m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，极小值为()22ln221f m =--.【小问2详解】由（1）知函数()f x 有两个极值点时，110,,22m ∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()()()121122ln2212ln 12f x f x f f m m m m ⎛⎫+=+=----- ⎪⎝⎭212ln222m m m=---，()222224ln 222122ln 44f m m m m m ⎛⎫=+-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()()122122462f x f x f m m m ⎛⎫+-=--++- ⎪⎪⎝⎭22442⎫=-+-=-⎪⎭，因为110,,22m ∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2≠，所以()()212220f x f x f m ⎛⎫⎫+-=-+< ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，即()()1222f x f x f m ⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：在导数解答题中，单调性问题是绕不开的一个问题，因为单调性是解决后续问题的关键，利用导函数求解函数单调性步骤，先求定义域，再求导，导函数能因式分解的要进行因式分解，根据导函数的正负号，确定函数的单调区间，若不能直接求出，可能需要多次求导.。
2023-2024学年江苏省连云港市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省连云港市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足（1+i ）•z ＝i ，则此复数z 的虚部为（ ） A ．12B ．−12C ．12iD ．−12i2．已知集合S ＝{x |x ＝k −12，k ∈Z }，T ＝{x |x ＝2k +12，k ∈Z }，则S ∩T ＝（ ）A ．SB ．TC ．ZD ．R3．随机变量X ～N （2，σ2），若P （X ≤1.5）＝m ，P （2≤X ≤2.5）＝1﹣3m ，则P （X ≤2.5）＝（ ） A ．0.25B ．0.5C ．0.75D ．0.854．图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面ABCD 与平面ATBS 的夹角为45°，则cos ∠ASB ＝（ ）A ．√22B ．√32 C ．13D ．2√235．某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（ ） A ．108种B ．90种C ．72种D ．36种6．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的左顶点为M ，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线交C 于A ，B 两点，若∠AMB 为锐角，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．（1，√3）B ．（1，2）C ．（√3，+∞）D ．（2，+∞）7．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝4，A =π3，且BE 为边AC 上的高，AD 为边BC 上的中线，则AD →•BE →的值为（ ）A ．2B ．﹣2C ．6D ．﹣68．已知a ＝ln 3，b ＝log 2e ，c =6(2−ln2)e，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜3}，B ＝{x |x 2≥4}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣1，+∞）B ．（﹣1，2]C ．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，3）2．在复平面内，复数z =i−2i的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设a ，b ∈R ，且a ＞b ，则（ ） A ．1a ＜1bB ．tan a ＞tan bC ．3﹣a ＜2﹣bD ．a |a |＞b |b |4．已知双曲线C 的一个焦点是F 1（0，2），渐近线为y =±√3x ，则C 的方程是（ ） A ．x 2−y 23=1B ．x 23−y 2=1C ．y 2−x 23=1D ．y 23−x 2=15．已知点O （0，0），点P 满足|PO |＝1．若点A （t ，4），其中t ∈R ，则|P A |的最小值为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．26．在△ABC 中，∠B ＝60°，b =√7，a ﹣c ＝2，则△ABC 的面积为（ ） A ．3√32B ．3√34 C ．32D ．347．已知函数f(x)=ln1+x1−x，则（ ） A ．f （x ）在（﹣1，1）上是减函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称轴B ．f （x ）在（﹣1，1）上是减函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称中心C ．f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称轴D ．f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称中心 8．设a →，b →是非零向量，则“|a →|＜|b →|”是“|a →•b →|＜|b →|2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．设{a n }是首项为正数，公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n ．若存在无穷多个正整数k ，使S k ≤0，则q 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0）B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣1，0）D ．（0，1）10．如图，水平地面上有一正六边形地块ABCDEF ，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板A 1B 1C 1D 1E 1F 1．若其中三根柱子AA 1，BB 1，CC 1的高度依次为12m ，9m ，10m ，则另外三根柱子的高度之和为（ ）A ．47mB ．48mC ．49mD ．50m二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2024北京海淀区高三(上)期末数学试题及答案
高三年级（数学）参考答案 第 1 页（共 9 页）海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）D （3）B （4）D （5）C （6）A （7）D （8）B （9）B （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（ 11 ）5-（12）2 （13）1-（14）1 1（答案不唯一） （15）②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD .在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11//C D CD ，11C D CD =.因为//AB CD ，12CD AB =，M 为AB 中点， 所以//CD AM ，CD AM =.所以11//C D AM ，11C D AM =.所以四边形11MAD C 为平行四边形.所以11//MC AD .因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1//C M 平面11ADD A ． （Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥.因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD .所以1AA ⊥AD .因为1AD B M ⊥, 1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，M D 1C 1B 1A 1D C B A高三年级（数学）参考答案 第 2 页（共 9 页）所以AD ⊥平面11ABB A .所以AD ⊥AB .如图建立空间直角坐标系A xyz -.不妨设1AD =，则(0,0,0)A ，1(1,2,1)C ，1(0,2,2)B ，(0,0,1)M . 所以1(1,2,1)AC =，11(1,0,1)C B =-，1(1,2,0)MC =. 设平面11MB C 的法向量为 (,,)x y z =n ，则 1110,0,C B MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩ 令2x =，则1y =-，2z =.于是(2,1,2)=-n .因为111cos ,|||AC AC AC ⋅<>==⋅n n n |， 所以直线1AC 与平面11MB C高三年级（数学）参考答案 第 3 页（共 9 页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及2cos 2c A b a =-，得 2sin cos 2sin sin C A B A =-. ①因为πA B C ++=，所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+. ② 由①②得2sin cos sin 0A C A -=.因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠. 所以1cos 2C =. 因为(0,π)C ∈， 所以π3C =. （Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=. 由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠. 所以2πsin sin sin()sin 3B A A A -=--11sin sin sin 22A A A A A =+-- πsin()3A =-. 所以π1sin()32A -=. 因为2π(0,)3A ∈，所以πππ(,)333A -∈-. 所以ππ36A -=，即π6A =. 所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形.因为c =所以2sin sin 3AB AC C ==.高三年级（数学）参考答案 第 4 页（共 9 页） 所以AC 边上的中线的长为1.选条件③：2222b a -=.由余弦定理得223a b ab +-=.AC 设边上的中线长为d ，由余弦定理得 2222cos 42b ab d a C =+-⋅ 2242b ab a =+- 2222234a b b a =-+-+1=. 所以AC 边上的中线的长为1.（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则 3()10P A =.（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以X 的所有可能取值为0，1，2．2024261(0)15C C P X C ===，1124268(1)15C C P X C ⋅===，0224262(2)5C C P X C ===. 所以X 的分布列为所以()012151553E X =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）213()()()D Y D Y D Y >>.高三年级（数学）参考答案 第 5 页（共 9 页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3=a，2=c所以c 2224=-=b a c ． 所以椭圆E 的方程为22194+=x y ，其短轴长为4． （Ⅱ）设直线CD 的方程为1=+x my ， 11(,)C x y ，22(,)D x y ，则11(,)--M x y .由221,941⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y x my 得22(49)8320m y my ++-=. 所以122849-+=+my y m .由(3,0)A 得直线AM 的方程为11(3)3=-+y y x x . 由11(3),31⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩y y x x x my 得11123y y x my -=+-.因为111=+x my ， 所以12y y =-，112()122y my x m -=-+=.所以112(,)22my yN --. 因为Q 为OD 的中点，且221=+x my ， 所以221(,)22my y Q +. 所以直线NQ 的斜率21221222121288492212()1812912249m y y y y m m k my my m y y m m m -+++====+-+--+--+. 当0m ≤时，0k ≤.高三年级（数学）参考答案 第 6 页（共 9 页）当0m >时，因为912m m +≥m .所以28129m k m =+.所以当m k（20）（共15分）解：（Ⅰ）①当1=a 时，2()sin (sin )f x x x x b x x x b =-+=-+.记()sin =-g x x x （0x ≥），则'()1cos 0=-≥g x x . 所以()g x 在[0,)+∞上是增函数. 所以当0>x 时，()(0)0>=g x g .所以当0>x 时，()(sin )f x x x x b b =-+>.②由2()sin =-+f x x x x b 得'()2sin cos f x x x x x =--，且'(0)0=f . 当0>x 时，'()(1cos )sin =-+-f x x x x x . 因为1cos 0-≥x ，sin 0->x x ， 所以'()0>f x .因为'()'()-=-f x f x 对任意∈R x 恒成立， 所以当0<x 时，'()0<f x . 所以0是()f x 的唯一极值点.（Ⅱ）设曲线()=y f x 与曲线cos =-y x 的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121=-k k . 因为(cos )'sin x x -=， 所以1212sin sin 1⋅==-x x k k . 所以12{sin ,sin }{1,1}=-x x . 不妨设1sin 1=x ，则122π=π+x k ，∈Z k . 因为111111'()2sin cos ==--k f x ax x x x ，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin --=ax x x x x .高三年级（数学）参考答案 第 7 页（共 9 页）所以1124==π+πa x k ，∈Z k . 由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-， 所以0=b . 当24=π+πa k ，∈Z k ，0=b 时，取122π=π+x k ，222π=-π-x k ，则11()cos 0=-=f x x ，22()cos 0=-=f x x ，11'()sin 1==f x x ，22'()sin 1==-f x x ，符合题意. 所以24=π+πa k ，∈Z k ，0=b .（21）（共15分）解：（Ⅰ）1()10f A =,1()12H A =； 2()12f A =，2()15H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变. 因为m 为奇数，{1,1}ij a ∈-，所以(1),(2),,()r r r m ，(1),(2),,()c c c m 均不为0.（Ⅱ）当{0,}s m ∈或{0,}t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =.若0t =，结论显然成立； 若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =，则(,)i j H ∈，1,2,,i m =，1,2,,j t =.所以()H A mt ≥，结论成立.当{0,}s m ∉且{0,}t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =，()0c j >，1,2,,j t =，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <. 因为当1,2,,i s =，1,2,,j t t m =++时，()0r i >，()0c j <，所以2(())(())()()0ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅⋅⋅=⋅⋅<.高三年级（数学）参考答案 第 8 页（共 9 页）所以(,)i j H ∈.同理可得：(,)i j H ∈，1,2,,i s s m =++，1,2,,j t =.所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-. （Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89. 对于如下的数表A ，()8()9H A f A =. 下面证明：()8()9H A f A ≥. 设(1)r ，(2)r ，…，()r m 中恰有s 个正数，(1)c ，(2)c ，…，()c m 中恰有t 个正数，,{0,1,2,3,4,5}s t ∈.①若{0,5}s ∈或{0,5}t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =.所以当1ij a =时，(,)i j H ∈.由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且25(1)(2)(5)25(25)()22r r r a a f A a +++++--===，()H A a ≥.所以()81()9H A f A ≥>. ②由①设{0,5}s ∉且{0,5}t ∉.若{2,3}s ∈或{2,3}t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥.因为25|(1)(2)(5)|0()122r r r f A -+++<=≤，所以()118()129H A f A ≥>. ③由①②设{0,2,3,5}s ∉且{0,2,3,5}t ∉.若{,}{1,4}s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=. 因为0()12f A <≤， 所以()178()129H A f A ≥>.高三年级（数学）参考答案 第 9 页（共 9 页）若s t =，{1,4}s ∈，不妨设1s t ==，(1)0r >，(1)0c >，且()1()H A f A <，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥.所以()()8f A H A >≥.若数表A 中存在ij a （,{2,3,4,5}i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表'A . 因为(')()1H A H A =-，(')()1f A f A ≥-， 所以(')()1()(')()1()H A H A H A f A f A f A -≤<-. 所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小. 所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）. 因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤， 所以()8()9H A f A ≥.。
2023-2024学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{1，2，3}，则∁U（A∩B）＝（）A．{2，4，5，6}B．{4，6}C．{2，4，6}D．{2，5，6}2．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则复数z1•z2的虚部为（）A．﹣i B．﹣1C．﹣3i D．﹣33．已知直线l1：x+y2=1，直线l2：2x﹣ay+2＝0，且l1∥l2，则a＝（）A．1B．﹣1C．4D．﹣44．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MF|＝4，O为坐标原点，则|OM|＝（）A．4√2B．4C．5D．2√55．在正四棱锥P﹣ABCD中，AB＝2，二面角P﹣CD﹣A的大小为π4，则该四棱锥的体积为（）A．4B．2C．43D．236．已知⊙C：x2+2x+y2﹣1＝0，直线mx+n（y﹣1）＝0与⊙C交于A，B两点．若△ABC为直角三角形，则（）A．mn＝0B．m﹣n＝0C．m+n＝0D．m2﹣3n2＝07．若关于x的方程log a x−a x=0(a＞0且a≠1)有实数解，则a的值可以为（）A．10B．e C．2D．5 48．已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则“cos（α1﹣α2）＞0”是“k1k2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知{a n}是公比为q（q≠1）的等比数列，S n为其前n项和．若对任意的n∈N*，S n＜a11−q恒成立，则（）A ．{a n }是递增数列B ．{a n }是递减数列C ．{S n }是递增数列D ．{S n }是递减数列10．蜜蜂被誉为“天才的建筑师”．蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构．右图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成．设BC ＝1，∠GPI ＝∠IPK ＝∠KPG ＝θ≈109°28'，则上顶的面积为（ ）（参考数据：cosθ=−13，tan θ2=√2)A ．2√2B ．3√32C ．9√22D ．9√24二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2023-2024学年浙江省杭州市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ={x|3x−1≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．[1，3]B ．（1，3]C ．[﹣1，1]D ．[﹣1，1）2．已知复数z 满足z =−z i （i 为虚数单位），且|z |=√2，则z 2＝（ ） A ．2iB ．﹣2iC ．√2+√2iD ．√2−√2i3．已知随机变量X 1，X 2分别满足二项分布X 1～B （n 1，13），X 2～B （n 2，13），则“n 1＞n 2”是“D （X 1）＞D （X 2）”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若0＜x ＜12，则不等式1x +11−2x的最小值是（ ）A ．3+2√2B ．6C ．4√2D ．95．冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：lg 2≈0.3）（ ） A ．3小时B ．4小时C ．5小时D ．6小时6．已知定义在R 上的函数f （x ）满足sin xf （x ）+cos xf ′（x ）＞0，则（ ） A ．f(π3)＜√3f(π6)B ．f(π6)＜√3f(π3)C ．f(π3)＞√3f(π6)D ．f(π6)＞√3f(π3)7．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a n +1＝a n +b n ，b n +1＝a n ﹣b n ，则a n ＝（ ） A ．2n ﹣1B ．2n−12C ．2n+12D ．22n−1+(−1)n48．已知四面体ABCD ，△ABC 是边长为6的正三角形，DA ＝DB ＝2√3，二面角D ﹣AB ﹣C 的大小为23π，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．40πB ．52πC ．72πD ．84π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年北京市石景山区高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A ＝{﹣2，0，2，4}，B ＝{x |x 2≤4}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，0，2}B ．{0，2}C ．{﹣2，2}D ．{0，2，4}2．若复数z 1＝1+2i 与复数z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，则z 1z 2＝（ ） A ．5B ．﹣5C ．3D ．﹣33．(x 2−2x)4展开式中含x 5的项的系数为（ ）A ．8B ．﹣8C ．4D ．﹣44．已知向量a →=（5，m ），b →=（2，﹣2），若（a →−b →）⊥b →，则m ＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．2D ．﹣25．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＝15，S 5＝65，则a 1+a 4＝（ ） A ．24B ．26C ．28D ．306．直线2x ﹣y +m ＝0与圆x 2+y 2﹣2x ﹣4＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ） A ．﹣5＜m ＜3B ．0＜m ＜5C ．﹣9＜m ＜3D ．﹣7＜m ＜37．设函数f(x)={log 2(2−x)，x ＜12x−1，x ≥1，则f （﹣2）+f （log 210）＝（ ）A ．2B ．5C ．7D ．108．在△ABC 中，2a cos A ＝b cos C +c cos B ，则∠A ＝（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π39．已知函数f （x ）＝ln |x +1|﹣ln |x ﹣1|，则f （x ）（ ） A ．是偶函数，且在（﹣1，1）上单调递增 B ．是奇函数，且在（1，+∞）上单调递减C ．是偶函数，且在（﹣∞，﹣1）上单调递增D ．是奇函数，且在（﹣1，1）上单调递减10．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在正方形ADD 1A 1内（不含边界），则在正方形DCC 1D 1内（不含边界）一定存在一点Q ，使得（ ）A．PQ∥AC B．PQ⊥ACC．AC⊥平面PQC1D．平面PQC1∥平面ABC 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2023-2024学年山东省泰安市高三(上)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知A={1,2,a+4}，B={a,6}，若A∩B=B，则实数a=( )A. 0B. 1C. 2D. 32.设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，且z1=1−i，则z1z2=( )A. 2B. 0C. −2iD. −23.“x>0”是“2x+12x>2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知向量a=(2,n),b=(m,3)，若a−b=(−2,−4)，则向量a在向量b上的投影向量为( )A. 1B. 55C. (4,3) D. (45,35)5.已知f(x)=ax3−2x2+bx+a2(a,b∈R)在x=1处的极大值为5，则a+b=( )A. −2B. 6C. −2或6D. −6或26.已知sin(θ−π4 )cos2θ=−22，则sin2θ=( )A. 1516B. −1516C. 34D. −347.已知f(x)=(45)|x−1|，则下列不等关系正确的是( )A. f(log26)<f(log0.51.25)<f(1)B. f(log0.51.25)<f(log26)<f(1)C. f(1)<f(log0.51.25)<f(log26)D. f(1)<f(log26)<f(log0.51.25)8.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1，若点F2关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且F1P⋅F1F2=b2，则C的离心率为( )A. 13B. 23C. 17−23D. 13−23二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2023-2024学年北京市大兴区高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市大兴区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U ＝{x |x ＞1}，集合A ＝{x |x ≥2}，则∁U A ＝（ ） A ．{x |1＜x ≤2}B ．{x |x ＜2}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ≤1}2．若复数z 满足i •（z +i ）＝1，则复数z 的虚部是（ ） A ．﹣2B ．2C ．﹣1D ．03．(x 2−1x)6的展开式中的常数项为（ ）A ．20B ．﹣20C ．15D ．﹣154．设向量a →，b →，若|a →|=1，b →=(−3，4)，b →=λa →(λ＞0)，则a →=（ ） A ．(45，−35)B ．(−45，35)C ．(35，−45)D ．(−35，45)5．已知函数f （x ）＝2x ﹣1，则不等式f （x ）≤x 的解集为（ ） A ．（﹣∞，2]B ．[0，1]C ．[1，+∞）D ．[1，2]6．在△ABC 中，“C =π2”是“sin 2A +sin 2B ＝1”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知定点M （1，3）和抛物线C ：x 2＝8y ，F 是抛物线C 的焦点，N 是抛物线C 上的点，则|NF |+|NM |的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．68．已知a ＞b ＞0且ab ＝10、则下列结论中不正确的是（ ） A ．lga +lgb ＞0 B ．lga ﹣lgb ＞0 C ．lga ⋅lgb ＜14D ．lga lgb＞19．木楔在传统木工中运用广泛．如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，且△ADE ，△BCF 均为等边三角形，EF ∥CD ，EF ＝4，则该木楔的体积为（ ）A ．√2B ．2√2C ．2√23D ．8√2310．设无穷等差数列{a n }的公差为d ，集合T ＝{t |t ＝sin a n ，n ∈N *}．则（ ） A ．T 不可能有无数个元素B ．当且仅当d ＝0时，T 只有1个元素C ．当T 只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为12D ．当d =2πk，k ≥2，k ∈N ∗时，T 最多有k 个元素，且这k 个元素的和为0 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．设{a n }是等比数列，a 1＝1，a 2•a 4＝16，则a 5＝ ． 12．若双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的一条渐近线方程为2x ﹣y ＝0，则b ＝ ． 13．能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则ab ＞c 2”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为 ．14．如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆O ，外框是以为O 中心，边长为2的正六边形ABCDEF ，则O 到线段AC 的距离为 ；若P 是圆O 上的动点，则AC →⋅AP →的取值范围是 ．15．设函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）满足如下性质：（i ）若将f （x ）的图象向左平移2个单位，则所得的图象关于y 轴对称，（ii ）若将f （x ）图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再向左平移12个单位，则所得的图象关于原点对称．给出下列四个结论：①f （1）＝f （3）；②f （0）＝0；③f （2）+f （4）＝0；④f(−12)f(112)≤0．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程，16．（14分）如图．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，CA ＝CB =√5，AA 1=AB ＝2，D 、E 分别为AB ，AA 1的中点．（1）求证：平面CDE ⊥平面ABB 1A 1；（2）求直线CE 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值．17．（13分）在△ABC中，a＝1，b＝2．（1）若c=2√2，求△ABC的面积：（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求∠A．条件①：∠B＝2∠A；条件②：∠B=π3+∠A；条件③：∠C＝2∠A．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（13分）为了解客户对A，B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知A，B两家公司的调查问卷分别有120份和80份，全部数据统计如下：假设客户对A，B两家快递公司的评价相互独立．用频率估计概率，（1）从该地区选择A快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A快递公司配送时效的评价不低于75分的概率；（2）分别从该地区A和B快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记X为这2份问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求X的分布列和数学期望；（3）记评价分数x≥85为“优秀”等级，75≤x＜85为“良好”等级，65≤x＜75为“一般”等级、已知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区A，B两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况．你认为小王选择A，B哪家快递公司合适？说明理由．19．（15分）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为√3 2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，过点T （4，0）的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线BM 与直线x ＝1相交于点P ，直线AN 与y 轴相交于点Q ．求证：△OAQ 与△OTP 的面积之比为定值． 20．（15分）已知函数f(x)=ax +ln1−x1+x． （1）若曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线斜率为0，求a 的值； （2）当a ＝4时，求f （x ）的零点个数；（3）证明：0≤a ≤2是f （x ）为单调函数的充分而不必要条件．21．（15分）若各项为正的无穷数列{a n }满足：对于∀n ∈N *，a n+12−a n 2=d ，其中d 为非零常数，则称数列{a n }为D 数列．记b n ＝a n +1﹣a n ．（1）判断无穷数列a n =√n 和a n ＝2n 是否是D 数列，并说明理由； （2）若{a n }是D 数列，证明：数列{b n }中存在小于1的项； （3）若{a n }是D 数列，证明：存在正整数n ，使得∑ n i=11a i＞2024．2023-2024学年北京市大兴区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U ＝{x |x ＞1}，集合A ＝{x |x ≥2}，则∁U A ＝（ ） A ．{x |1＜x ≤2}B ．{x |x ＜2}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ≤1}解：U ＝{x |x ＞1}，集合A ＝{x |x ≥2}，则∁U A ＝{x |1＜x ＜2}． 故选：C ．2．若复数z 满足i •（z +i ）＝1，则复数z 的虚部是（ ） A ．﹣2B ．2C ．﹣1D ．0解：∵i •（z +i ）＝1，∴z +i =1i=−i ，解得z ＝﹣2i ，∴z 的虚部为﹣2． 故选：A ．3．(x 2−1x)6的展开式中的常数项为（ ）A ．20B ．﹣20C ．15D ．﹣15解：通项公式T r +1=∁6r （x 2）6﹣r(−1x)r =（﹣1）r ∁6r x 12﹣3r ， 令12﹣3r ＝0，解得r ＝4．∴展开式中的常数项=∁64=15． 故选：C ．4．设向量a →，b →，若|a →|=1，b →=(−3，4)，b →=λa →(λ＞0)，则a →=（ ） A ．(45，−35)B ．(−45，35)C ．(35，−45)D ．(−35，45)解：设a →=（m ，n ），∵若|a →|=1，b →=(−3，4)，b →=λa →(λ＞0)， ∴λm ＝﹣3，λn ＝4，且m 2+n 2＝1，即9λ2+16λ2=1，∴λ2＝25，又λ＞0， ∴λ＝5，∴m =−35，n =45，∴a →=（m ，n ）＝（−35，45）．故选：D ．5．已知函数f （x ）＝2x ﹣1，则不等式f （x ）≤x 的解集为（ ）A．（﹣∞，2]B．[0，1]C．[1，+∞）D．[1，2]解：令g（x）＝f（x）﹣x＝2x﹣x﹣1，则g′（x）＝2x ln2﹣1，令g′（x）＝0，得2x=1ln2=log2e，即x＝log2（log2e），当x∈（﹣∞，log2（log2e））时，g′（x）＜0，当x∈（log2（log2e），+∞）时，g′（x）＞0，∴g（x）在区间（﹣∞，log2（log2e））上单调递减，在区间（log2（log2e），+∞）上单调递增，又g（0）＝0，g（1）＝0，∴当x∈[0，1]时，g（x）＝f（x）﹣x＝2x﹣x﹣1≤0，∴不等式f（x）≤x的解集为[0，1]．故选：B．6．在△ABC中，“C=π2”是“sin2A+sin2B＝1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：在△ABC中，当C=π2时，则A+B=π2，故sin2A+sin2B=sin2A+sin2(π2−A)=sin2A+cos2A＝1，故充分性成立，当A＝120°，B＝30°，满足sin2A+sin2B＝1，但C≠π2，故必要性不成立，综上所述，在△ABC中，“C=π2”是“sin2A+sin2B＝1”的充分不必要条件．故选：A．7．已知定点M（1，3）和抛物线C：x2＝8y，F是抛物线C的焦点，N是抛物线C上的点，则|NF|+|NM|的最小值为（）A．3B．4C．5D．6解：作出抛物线C：x2＝8y的图象如图：点M（1，3）在抛物线C：x2＝8y内，抛物线的准线方程为y＝﹣2，过M作准线的垂线，垂足为K，垂线交抛物线于N，则此时|NF|+|NM|取最小值为|MK|＝3﹣（﹣2）＝5．8．已知a ＞b ＞0且ab ＝10、则下列结论中不正确的是（ ） A ．lga +lgb ＞0 B ．lga ﹣lgb ＞0 C ．lga ⋅lgb ＜14D ．lga lgb＞1解：∵a ＞b ＞0且ab ＝10，∴a b＞1，b =10a ，a ＞√10（若a ≤√10，则b ＜√10，ab ＜10，与已知矛盾），∴lgab ＝lga +lgb ＝lg 10＝1＞0，A 正确； ∴lg ab =lga ﹣lgb ＞lg 1＝0，B 正确；由a ＞√10，得lga ＞12，∴（lga −12）2＞0，∴lga •lgb ＝lga •lg 10a=lga （1﹣lga ）＝﹣（lga −12）2+14＜14，C 正确；∵lga lgb −1=lga−lgb lgb 中，分子lga ﹣lgb ＞0，但分母lgb 的符号不确定，故lga lgb−1的符号不确定，D 错误． 故选：D ．9．木楔在传统木工中运用广泛．如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，且△ADE ，△BCF 均为等边三角形，EF ∥CD ，EF ＝4，则该木楔的体积为（ ）A ．√2B ．2√2C ．2√23D ．8√23解：如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，由四边形ABCD 是边长为2的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥CD ，EF ＝4， 得EG ＝HF ＝1，AG ＝GD ＝BH ＝HC =√3． 取AD 的中点O ，连接GO ，可得GO =√2， ∴S △ADG ＝S △BCH =12×√2×2=√2． ∴该木楔子的体积V ＝V E ﹣ADG +V F ﹣BCH +V AGD ﹣BHC ＝2V E ﹣ADG +V AGD ﹣BHC =2×13×√2×1+√2×2=8√23．10．设无穷等差数列{a n }的公差为d ，集合T ＝{t |t ＝sin a n ，n ∈N *}．则（ ） A ．T 不可能有无数个元素B ．当且仅当d ＝0时，T 只有1个元素C ．当T 只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为12D ．当d =2πk，k ≥2，k ∈N ∗时，T 最多有k 个元素，且这k 个元素的和为0 解：对于A ，不妨令a n ＝n ，则d ＝1，则t ＝sin a n ，由于y ＝sin x 的周期为2π，且对称轴为x =π2+kπ，k ∈Z ，则对任意的a i ，a j ，i ，j ∈N *，i ≠j ，必有sin a i ≠sin a j ，当a n 有无穷项时，T 中有无数元素，A 错误；对于B ，令a n ＝n π，此时d ＝π，此时sin n π＝0，T 中只有一个元素0，B 错误；对于C ，若T 中只有两个元素，根据y ＝sin x 的周期性与中心对称性，sin a n 的值必一正一负，因为若两个值都为正，必不满足等差数列的定义，所以该两个数的乘积必为负，C 错误； 对于D ，当d =2πk ，k ≥2，k ∈N ∗时，在y ＝sin x 的一个周期[0，2π）内，取a 1＝0，此时k ×2πk=2π，比如取k ＝5，此时sin a 1，sin a 2，⋯，sin a 5两两不相等，此时T 有5个元素；而结合y ＝sin x 的周期为2π可知，必有sin a i 必周期性重复出现，所以T 中最多有k 个元素； 再证明和为0，∑ k−1i=0sin(α+2iπk )=12sin πk ∑ k−1i=0[sin(α+2iπk )sin πk ]=12sin πk ∑ k−1i=0[cos(α+2i−1k π)−cos(α+2i+1k π)]=12sin πk[cos(α−πk )−cos （α+2k−1k π）]＝0，D 正确． 故选：D ．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．设{a n }是等比数列，a 1＝1，a 2•a 4＝16，则a 5＝ 16 ．解：因为等比数列{a n }中，a 1＝1，a 2a 4=a 12⋅q 4=16，则q 4＝16，所以a 5=a 1⋅q 4=16．故答案为：16．12．若双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的一条渐近线方程为2x ﹣y ＝0，则b ＝ 2 ．解：双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0），则渐近线为y =±ba =±b ， 双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的一条渐近线方程为2x ﹣y ＝0，即y ＝2x ，b ＞0，则b ＝2． 故答案为：2．13．能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则ab ＞c 2”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为 ﹣1，﹣2，﹣3（答案不唯一） ．解：当a ＝﹣1，b ＝﹣2，c ＝﹣3时，满足a ＞b ＞c ， 但ab ＝2，c 2＝9，ab ＜c 2，故“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则ab ＞c 2”是假命题． 故答案为：﹣1，﹣2，﹣3（答案不唯一）．14．如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆O ，外框是以为O 中心，边长为2的正六边形ABCDEF ，则O 到线段AC 的距离为 1 ；若P 是圆O 上的动点，则AC →⋅AP →的取值范围是 [6﹣2√3，6+2√3] ．解：如图以O 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴，AD 的垂直平分线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设点P （cos θ，sin θ）（0≤θ≤2π），由题意知，A （﹣2，0），O （0，0），C （1，−√3），直线AC 的斜率k =−√31−(−2)=−√33，AC 的方程为y ﹣0=√33（x +2），即x +√3y +2＝0，故O 到线段AC 的距离d =2√1+(√3)2=1；又AC →=（3，−√3），AP →=（2+cos θ，sin θ），AC →⋅AP →=6+3cos θ−√3sin θ＝6+2√3（√32cos θ−12sin θ）＝6+2√3sin （π3−θ）∈[6﹣2√3，6+2√3]．故答案为：1；[6﹣2√3，6+2√3]．15．设函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）满足如下性质：（i ）若将f （x ）的图象向左平移2个单位，则所得的图象关于y 轴对称，（ii ）若将f （x ）图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再向左平移12个单位，则所得的图象关于原点对称．给出下列四个结论：①f （1）＝f （3）；②f （0）＝0；③f （2）+f （4）＝0；④f(−12)f(112)≤0．其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．解：∵将f （x ）的图象向左平移2个单位，则所得的图象关于y 轴对称，∴f （x ）的图象关于x ＝2对称，∴f （﹣x ）＝f （x +4），∴f （1）＝f （3），∴①正确；∵将f （x ）图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再向左平移12个单位，则所得的函数为f （2x +1），又f （2x +1）的图象在R 上关于原点对称，∴f （﹣2x +1）+f （2x +1）＝0，∴2f （1）＝0，∴f （1）＝0， ∴f （x ）关于（1，0）对称，∴f （﹣x ）＝﹣f （x +2），又f （﹣x ）＝f （x +4）， ∴f （x +4）＝﹣f （x +2），∴f （x +2）＝﹣f （x ）， ∴f （x +4）＝f （x ），∴f （x ）的周期T ＝4，∵f （﹣x ）＝﹣f （x +2），∴f （0）＝﹣f （2），而x ＝2是f （x ）的对称轴，∴f （2）不一定为0， ∴f （0）＝0不一定成立，∴②错误；∵f （0）＝﹣f （2），∴f （2）+f （0）＝0，由周期性可知f （0）＝f （4）， ∴f （2）+f （4）＝0，∴③正确； ∵f （x ）的周期T ＝4，∴f （112）＝f （4+32）＝f （32），又f （x +2）＝﹣f （x ），∴f （32）＝﹣f （−12），∴f （112）＝f （4+32）＝f （32）＝﹣f （−12），∴f （−12）f （112）=−[f(−12)]2≤0，∴④正确．故答案为：①③④．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程，16．（14分）如图．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，CA ＝CB =√5，AA 1=AB ＝2，D 、E 分别为AB ，AA 1的中点．（1）求证：平面CDE ⊥平面ABB 1A 1；（2）求直线CE 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值．（1）证明：由BB 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，可得BB 1⊥CD ， 由CA ＝CB ，D 为AB 中点，可得CD ⊥AB ， 又AB ∩BB 1＝B ，AB ，BB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以CD ⊥平面ABB 1A 1，又CD ⊂平面CDE ， 所以平面CDE ⊥平面ABB 1A 1；（2）解：由（1）知：DA ，DC ，BB 1两两垂直， 过D 作Dz ∥BB 1，则DA ，DC ，Dz 两两垂直， 故以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由CA ＝CB =√5，AA 1=AB ＝2，D 、E 分别为AB ，AA 1的中点， 可得B （﹣1，0，0），C （0，2，0），C 1（0，2，2），E （1，0，1）， 则CE →=(1，−2，1)，CB →=(−1，−2，0)，CC 1→=(0，0，2)， 设平面BCC 1B 1的法向量为n →=(x ，y ，z)，则有{n →⋅CB →=−x −2y =0n →⋅CC 1→=2z =0，令x ＝2，则y ＝﹣1，z ＝0，可得平面BCC 1B 1的一个法向量为n →=(2，−1，0)，设直线CE 与平面BCC 1B 1所成角为θ，则有sinθ=|cos ＜CE →，n →＞|=|CE →⋅n →||CE →||n →|=4√6×√5=2√3015，故直线CE 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为2√3015．17．（13分）在△ABC中，a＝1，b＝2．（1）若c=2√2，求△ABC的面积：（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求∠A．条件①：∠B＝2∠A；条件②：∠B=π3+∠A；条件③：∠C＝2∠A．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）在△ABC中，a＝1，b＝2，c=2√2，由余弦定理，可得cos C=a2+b2−c22ab=1+4−82×2×1=−34，又C∈（0，π），可得sin C=√1−916=√74，故S△ABC=12ab⋅sinC=12×1×2×√74=√74；（2）若选条件①：由题意有B＝2A，a＝1，b＝2，则由正弦定理，可得sinBsinA=ba，即sin2AsinA=2cos A＝2，即cos A＝1，又A∈（0，π），cos A≠1，故△ABC不存在；若选条件②：由题意有B=π3+A，a＝1，b＝2，则由正弦定理，可得sinBsinA=ba，即sin(π3+A)sinA=2，即32sinA−√32cosA=0，即√3sin(A−π6)=0，所以sin(A−π6)=0，又A∈（0，π），所以A−π6∈(−π6，5π6)，故A−π6=0，即A=π6；若选条件③：由题意有C＝2A，a＝1，b＝2，则由正弦定理，可得sinCsinA=ca，即sin2AsinA=2cosA=ca，由余弦定理，可得b2+c2−a22bc=c2a，即4+c2﹣1＝2c2，解得c=√3，故cos A=c2a=√32，又A∈（0，π），所以A=π6；综上，只能选择条件②或③，解得A=π6．18．（13分）为了解客户对A，B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知A，B两家公司的调查问卷分别有120份和80份，全部数据统计如下：假设客户对A ，B 两家快递公司的评价相互独立．用频率估计概率，（1）从该地区选择A 快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A 快递公司配送时效的评价不低于75分的概率；（2）分别从该地区A 和B 快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记X 为这2份问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求X 的分布列和数学期望；（3）记评价分数x ≥85为“优秀”等级，75≤x ＜85为“良好”等级，65≤x ＜75为“一般”等级、已知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区A ，B 两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况．你认为小王选择A ，B 哪家快递公司合适？说明理由．解：（1）根据题中数据，该地区参与A 快递公司调查的问卷共120份，样本中对A 快递公司配送时效的评价不低于75分的问卷共29+47＝76 份，所以样本中对A 快递公司配送时效的评价不低于75分的频率为76120=1930，估计该地区客户对A 快递公司配送时效的评价不低于75分的概率1930； （2）X 的所有可能取值为0，1，2，记事件C 为“从该地区A 快递公司的样本调查问卷中随机抽取1份，该份问卷中的服务满意度评价不低于75分”，事件D 为“从该地区B 快递公司的样本调查问卷中随机抽取1份，该份问卷中的服务满意度评价不低于75分”，由题设知，事件C ，D 相互独立，且P(C)=24+56120=23，P(D)=12+4880=34， 所以P （X ＝0）＝P （CD ）＝（1−23）×（1−34）=112，P （X ＝1）＝P （CD ∪C D ）＝（1−23）×34+23×(1−34)=512，P （X ＝2）＝P （CD ）=23×34=12，所以X的分布列为：故X的数学期望E（X）＝0×112+1×512+2×12=1712；（3）答案不唯一，答案示例1：小王选择A快递公司合适，理由如下：根据样本数据，估计A快递公司配送时效评价为“优秀”的概率是29120，估计B快递公司配送时效评价为“优秀”的概率是1 5，因为29120＞15，故小王选择A快递公司合适，答案示例2：小王选择B快递公司合适，理由如下：由（1）知，估计A快递公司配送时效评价为“良好”以上的概率是1930，由样本数据可知，估计B快递公司配送时效评价为“良好”以上的概率是16+4080=5680=710，因为1930＜710，故小王选择B快递公司合适．19．（15分）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为√3 2．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为原点，过点T（4，0）的直线l交椭圆C于点M，N，直线BM与直线x＝1相交于点P，直线AN与y轴相交于点Q．求证：△OAQ与△OTP的面积之比为定值．解：（1）由题意可得a＝2，e=ca=√32，可得c=√3，所以b2＝a2﹣c2＝4﹣3＝1，所以椭圆C的方程为：x24+y2＝1；证明：（2）显然直线l的斜率存在且不为0，由题意设直线l的方程为x＝my+4，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立{x=my+4x24+y2=1，整理可得：（4+m2）y2+8my+12＝0，则Δ＝82m2﹣4×12×（4+m2）＞0，即m2＞12，且y1+y2=−8m4+m2，y1y2=124+m2，可得y1y2y1+y2=−128m=−32m，即2my1y2＝﹣3（y1+y2），设直线BM的方程为y=y1x1−2（x﹣2），令x＝1，可得y P=−y1x1−2=−y1my1+2，直线AN 的方程为y =y 2x 2+2（x +2），令x ＝0，可得y Q =2y 2x 2+2=2y 2my 2+6， 所以S △OAQ S OTP=12|OA|⋅|y Q |12|OT|⋅|y P |=24•|2y 2my 2+6y 1my 1+2|＝|my 1y 2+2y 2my 1y 2+6y 1|＝|−32(y 1+y 2)+2y 2−32(y 1+y 2)+6y 1|=13•|y 2−3y 1−y 2+3y 1|=13，为定值． 即证得：△OAQ 与△OTP 的面积之比为定值，且定值为13．20．（15分）已知函数f(x)=ax +ln1−x1+x． （1）若曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线斜率为0，求a 的值； （2）当a ＝4时，求f （x ）的零点个数；（3）证明：0≤a ≤2是f （x ）为单调函数的充分而不必要条件． 解：（1）函数f(x)=ax +ln1−x 1+x 的导数为f ′（x ）＝a +1+x 1−x •−2(1+x)2=a +2x 2−1， 可得曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线斜率为a ﹣2＝0，解得a ＝2； （2）当a ＝4时，f （x ）＝4x +ln 1−x 1+x ，由1−x1+x＞0，解得﹣1＜x ＜1，f （x ）的定义域为（﹣1，1），关于原点对称，f （﹣x ）+f （x ）＝﹣4x +ln 1+x 1−x +4x +ln 1−x1+x=0+ln 1＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ），可得f （x ）为奇函数，则f （0）＝0， 当0＜x ＜1时，f （x ）的导数为f ′（x ）＝4+2x 2−1=4x 2−2x 2−1， 当0＜x ＜√22时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；当√22＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减， 可得f （x ）在x =√22处取得最大值，又x →1时，f （x ）→﹣∞，所以0＜x ＜1时，f （x ）有一个零点；由奇函数的性质可得﹣1＜x ＜0时，f （x ）有一个零点， 则当a ＝4时，f （x ）的零点个数为3；（3）证明：由f （x ）＝ax +ln 1−x1+x为单调函数，即f （x ）在（﹣1，1）内递增，或递减．由f ′（x ）＝a +2x 2−1，若f （x ）在（﹣1，1）内递增，则f ′（x ）≥0，即a ≥21−x 2恒成立． 由g （x ）=21−x 2∈[2，+∞），则a ≥21−x 2不恒成立，即f （x ）在（﹣1，1）内不为递增函数． 若f （x ）在（﹣1，1）内递减，则f ′（x ）≤0，即a ≤21−x 2恒成立． 由g （x ）=21−x 2∈[2，+∞），则a ≤2， 所以，f （x ）为单调函数的充要条件为a ≤2， 而{a |0≤a ≤2}⫋（﹣∞，2]，则0≤a ≤2是f （x ）为单调函数的充分而不必要条件．21．（15分）若各项为正的无穷数列{a n }满足：对于∀n ∈N *，a n+12−a n 2=d ，其中d 为非零常数，则称数列{a n }为D 数列．记b n ＝a n +1﹣a n ．（1）判断无穷数列a n =√n 和a n ＝2n 是否是D 数列，并说明理由； （2）若{a n }是D 数列，证明：数列{b n }中存在小于1的项； （3）若{a n }是D 数列，证明：存在正整数n ，使得∑ n i=11a i＞2024． 解：（1）数列a n =√n 是D 数列．理由如下：a n+12−a n 2=(√n +1)2−(√n)2=1满足D 数列定义，数列a n =2n 不是D 数列．理由如下：a n+12−a n 2=(2n+1)2−(2n )2=22n+2−22n =3⋅22n 不是常数；（2）以下证明：d ＞0．假设d ＜0，由a n+12−a n 2=d 知{a n 2}为等差数列，故a n 2=a 12+(n −1)d ，因为{a n }是各项为正的无穷数列，当n 取大于[−a 12d ]+1 的整数时，a n 2≤a 12+([−a 12d]+2−1)d ＜0，与已知矛盾，所以假设不成立，所以d ＞0，以下证明{a n } 是递增数列．因为d ＞0，a n+12=a n 2+d ＞a n 2，且{a n }是各项为正的无穷数列，所以a n +1＞a n ， 所以{a n } 是递增数列，以下证明：∀t ＞0，∃k ∈N *，当n ≥k 时，a n ＞t ， 若t ＜a 1，当n ＞1时，显然a n ＞t ， 若t ≥a 1，取k =[t 2−a 12d]+2， 当n ≥k时，a n2≥a 12+([t 2−a 12d ]+2−1)d ＞t 2，即a n ＞t 成立， 因为b n =a n+1−a n =d a n+1+a n ＜d2a n，取t =d 2，当m ≥k 时，a n ＞t ，此时，b n ＜d2⋅d 2=1．所以若{a n } 是D 数列，则数列{b n }中存在小于1的项； （3）由（2）知，∃k ∈N ，当n ≥k 时，b n ＜1，即a π+1＜a n +1， 以此类推，0＜a k +m ＜a k +m ﹣1+1＜a k +m ﹣2+2＜…＜a k +m ，m ∈N ， 所以1a k+m＞1a k +m，m ∈N *，设此时 2s−1≤a k ＜2s ，s ∈N *，令 n ＝k +m ，所以∑n i=11a i＞∑k+mi=k1a i＞1a k＞1a k+1+1a k+2+⋯+1a k+m＞12s+12s+1+12s+2+⋯+12s+m，因为12s+12s+1+12s+2+⋯+1s2s+(2s−1)＞12s+2s=12，所以当m＝2s+2×2024﹣1，m∈N*，∑n i=11a i ＞∑k+mi=k1a i＞12s+12s+1+12s+2+⋯+12s+(2s+2×2024−1)=(12s+12s+1+⋯+12s+(2s−1))+(12s+1+12s+1+1+⋯+12s+1+(2s+1−1))+...+(12s+2×2024+12s+2×2024+1+⋯+12s+2×2024+(2s+2×2024−1))＞2×20242=2024．所以存在正整数n，使得∑n i=11a n＞2024．。
2023-2024学年山东省临沂市罗庄区高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省临沂市罗庄区高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足z ＝1﹣2i ，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若集合A ＝{x |3x 2﹣8x ﹣3≤0}，B ＝{x |x ＞1}，定义集合A ﹣B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，则A ﹣B ＝（ ） A ．[−13，3]B ．[−13，1)C ．[−13，1]D ．（1，3]3．已知函数f （x ），g （x ）的定义域为R ，则“f （x ），g （x ）为周期函数”是“f （x ）+g （x ）为周期函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是棱CC 1的中点．记AB 1→=a →，AC →=b →，AD 1→=c →，AM →用a →，b →，c →表示为（ ） A ．14a →+34b →+14c →B ．34a →+14b →+14c →C ．14a →+14b →+34c →D ．14a →+34b →+34c →5．过圆C ：x 2+y 2＝2外一点P （a ﹣1，a ）作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点（ ） A ．（﹣2，2）B ．（2，﹣2）C ．（2，2）D ．（﹣2，﹣2）6．已知（2﹣x ）2024＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2024x 2024，则a 1+2a 2+3a 3+…+2024a 2024＝（ ） A ．2024B ．﹣2024C ．1D ．220247．已知实数a ，b 满足ae a ＝e 2，ln b e =e 3b，其中e 是自然对数的底数，则ab 的值为（ ）A ．e 2B ．e 3C ．2e 3D ．e 48．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，圆O ：x 2+y 2=94（a 2+b 2），直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于M ，N 两点，若四边形AMBN 的面积为9b 2，则C 的离心率为（ ） A ．54B ．85C ．√52D ．2√105二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，则（ ）A ．{a n+1a n}是等差数列 B ．{a n +1﹣a n }是等差数列C ．{log 3a n }等比数列D ．{a n a n +1}是等比数列10．2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛，中国“梦之队”包揽了该项目的冠亚军．已知某次跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为x i （i ＝1，2，3，4，5），平均数为x ，若随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为y i （i ＝1，2，3，4），平均数为y ，下面说法正确的是（ ）A ．新数据的极差可能等于原数据的极差B ．新数据的中位数可能等于原数据的中位数C ．若x =y ，则新数据的方差一定大于原数据方差D ．若x =y ，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数11．伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的π倍，这种方法已具有积分计算的雏形．已知椭圆C 的面积为12√5π，离心率为23，F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，A 为椭圆C 上的动点，则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的标准方程可以为x 236+y 220=1 B ．若∠F 1AF 2=π3，则S △F 1AF 2=20√3C ．存在点A ，使得∠F 1AF 2=π2 D ．2|AF 1|+1|AF 2|的最小值为14+√2612．已知a ∈R ，函数f （x ）＝ax 3﹣x +1有两个极值点x 1，x 2，则（ ） A ．a 可能是负数B ．若a ＝4，则函数f （x ）在(12，f(12))处的切线方程为y ＝2xC ．f （x 1）+f （x 2）为定值D ．若存在x 0∈R ，使得|f(x 0+2)−f(x 0)|≤12，则0＜a ≤54三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题p ：“存在实数m ，使方程x 2+mx +1＝0有实数根”，则“非p ”形式的命题是 ． 14．设函数y =4sin(2x +π4)在区间[t ，t +π4]上的最大值为g （t 1），最小值为g （t 2），则g （t 1）﹣g （t 2）的最小值为 ．15．已知F 是椭圆C ：x 216+y 27=1的左焦点，点P 为该椭圆上一动点，若A(1，√5)在椭圆内部，则|PF |+|P A |的最大值为 ．16．已知函数f(x)={−√−x 2−2x ，x ≤0xlnx ，x ＞0，若关于x 的不等式f （x ）＞ax ﹣e （e 是自然对数的底数）在R 上恒成立，则a 的取值范围 ． 四、解答题：17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且acosC +12c =b ．（1）求A ：（2）若a ＝2，△ABC 的面积为√3，求△ABC 的周长．18．（12分）记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝﹣6，且满足S n+1+S n +a 2a n+1=3．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记数列{b n }的前n 项和为T n ，若b 3n ＝2n ﹣a n ，b 3n ﹣1＝a n ﹣2，b 3n ﹣2＝a n +n ，求T 3n ． 19．（12分）在三棱锥P ﹣ABC 中，PC ＝AB ＝AC =√22BC ＝1，PC ⊥平面ABC ，点M 是棱P A 上的动点，点N 是棱BC 上的动点，且PM =CN =x(0＜x ＜√2)． （1）当x =√22时，求证：MN ⊥AC ；（2）当MN 的长最小时，求二面角A ﹣MN ﹣C 的余弦值．20．（12分）数轴上的一个质点Q 从原点出发，每次随机向左或向右移动1个单位长度，其中向左移动的概率为13，向右移动的概率为23，记点Q 移动n 次后所在的位置对应的实数为X n ．（1）求X 3和X 4的分布列和期望；（2）当n ＝10时，点Q 在哪一个位置的可能性最大，并说明理由．21．（12分）已知圆M ：(x +√5)2+y 2=9的圆心为M ，圆N ：(x −√5)2+y 2=1的圆心为N ，一动圆与圆N 内切，与圆M 外切，动圆的圆心E 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）已知点P （2，0），直线l 不过P 点并与曲线C 交于A ，B 两点，且PA →•PB →=0，直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由． 22．（12分）已知a ∈R ，设函数f （x ）＝aln （x +a ）+lnx ． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若f(x)≤a 2x +ln xa恒成立，求实数a 的取值范围．2023-2024学年山东省临沂市罗庄区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足z ＝1﹣2i ，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵z ＝1﹣2i ，∴z =1+2i ，则z 在复平面内对应的点的坐标为（1，2），位于第一象限． 故选：A ．2．若集合A ＝{x |3x 2﹣8x ﹣3≤0}，B ＝{x |x ＞1}，定义集合A ﹣B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，则A ﹣B ＝（ ） A ．[−13，3]B ．[−13，1)C ．[−13，1]D ．（1，3]解：由3x 2﹣8x ﹣3≤0得−13≤x ≤3，则A =[−13，3]，又A ﹣B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，则A ﹣B =[−13，1]．故选：C ．3．已知函数f （x ），g （x ）的定义域为R ，则“f （x ），g （x ）为周期函数”是“f （x ）+g （x ）为周期函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：两个周期函数之和是否为周期函数，取决于两个函数的周期的比是否为有理数，若为有理数，则有周期，若不为有理数，则无周期．f （x ）＝sin2x 的周期为π，g （x ）＝sin πx 的周期为2，则当f （x ）+g （x ）时，只有周期的整数倍才是函数的周期，则不是充分条件； 若f （x ）＝sin x +x ，g （x ）＝﹣x ，则f （x ）+g （x ）＝sin x +x ﹣x ＝sin x 为周期函数，但f （x ）＝sin x +x ，g （x ）＝x 为周期函数不正确，故不是必要条件；因此为不充分不必要条件． 故选：D ．4．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是棱CC 1的中点．记AB 1→=a →，AC →=b →，AD 1→=c →，AM →用a →，b →，c →表示为（ ） A ．14a →+34b →+14c →B ．34a →+14b →+14c →C ．14a →+14b →+34c →D ．14a →+34b →+34c →解：如图，以点D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则：A （1，0，0），D 1（0，0，1），C （0，1，0），B 1（1，1，1），M(0，1，12)，∴AD 1→=(−1，0，1)，AB 1→=(0，1，1)，AC →=(−1，1，0)，AM →=(−1，1，12)，设AM →=xAB 1→+yAC →+zAD 1→，∴(−1，1，12)=(−y −z ，x +y ，x +z)，∴{−y −z =−1x +y =1x +z =12，解得{ x =14y =34z =14，∴AM →=14a →+34b →+14c →．故选：A ．5．过圆C ：x 2+y 2＝2外一点P （a ﹣1，a ）作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点（ ） A ．（﹣2，2）B ．（2，﹣2）C ．（2，2）D ．（﹣2，﹣2）解：由题意可知，CA ⊥P A ，CB ⊥PB ，则点C 、A 、P 、B 四点共圆，是以CP 为直径的圆，设该圆为圆D ， C （0，0），P （a ﹣1，a ），圆D 的圆心为（a−12，a2），半径r =|CP|2=√a 2+(a−1)22，圆D 的方程为(x −a−12)2+(y −a 2)2=a 2+(a−1)24，化简整理可得，x 2﹣（a ﹣1）x +y 2﹣ay ＝0，圆C 与圆D 作差可得直线AB 的方程，即（a ﹣1）x +ay ＝2，即a （x +y ）﹣x ﹣2＝0，即{x +y =0−x −2=0，解得{x =−2y =2，故直线AB 过定点（﹣2，2）．故选：A ．6．已知（2﹣x ）2024＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2024x 2024，则a 1+2a 2+3a 3+…+2024a 2024＝（ ） A ．2024B ．﹣2024C ．1D ．22024解：因为（2﹣x ）2024＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2024x 2024，所以2024（2﹣x ）2023（2﹣x ）′＝a 1+2a 2x +…+2024a 2024x 2023， 令x ＝1，则a 1+2a 2+3a 3+…+2024a 2024＝﹣2024． 故选：B ．7．已知实数a ，b 满足ae a ＝e 2，ln b e =e 3b，其中e 是自然对数的底数，则ab 的值为（ ）A ．e 2B ．e 3C ．2e 3D ．e 4解：由题知e 2﹣a ＝a ＞0，所以2﹣a ＝lna ，所以2﹣a ﹣lna ＝0， 因为lnb e =e 3b，则b （lnb ﹣1）＝e 3，lnb +ln （lnb ﹣1）＝3，所以2﹣（lnb ﹣1）﹣ln （lnb ﹣1）＝0，令f （x ）＝2﹣x ﹣lnx ，（0，+∞），则f （a ）＝f （lnb ﹣1）＝0， 因为f '（x ）＝﹣1−1x =−x+1x＜0恒成立，所以f （x ）＝2﹣x ﹣lnx 在（0，+∞）上单调递减， 所以f （a ）＝f （lnb ﹣1）＝0⇔a ＝lnb ﹣1，即a +1＝lnb ， 因为2﹣a ＝lna ，所以a +1+2﹣a ＝lna +lnb ＝lnab ＝3，即ab ＝e 3． 故选：B ．8．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，圆O ：x 2+y 2=94（a 2+b 2），直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于M ，N 两点，若四边形AMBN 的面积为9b 2，则C 的离心率为（ ） A ．54B ．85C ．√52D ．2√105解：根据对称性，设点P 在左支上，设圆心O 到弦AB 的距离为m ，圆心O 到弦MN 的距离为n ，则根据题意可得：{m 2+n 2=c 2m −n =a，∴（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝c2﹣2mn＝a2，∴mn=b 22，∴{m2+n2=c2m2n2=b44，又易知圆O的半径的平方为：r2=9c24，∴根据题意知四边形AMBN的面积为：1 2|AB||MN|=12×2√r2−m2×2√r2−n2=2√r4−(m2+n2)r2+m2n2=2√(9c24)2−c2⋅9c24+b44=√45c4+4b42=9b2，∴45c4+4b4＝324b4，∴9c4＝64b4，∴3c2＝8b2＝8（c2﹣a2），∴8a2＝5c2，∴双曲线C的离心率e=√c2a2=√85=2√105．故答案为：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，则（）A．{a n+1a n}是等差数列B．{a n+1﹣a n}是等差数列C．{log3a n}等比数列D．{a n a n+1}是等比数列解：因为数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n＝3n﹣1，所以a n+1a n=3，故{a n+1a n}是等差数列，A正确；a n+1﹣a n＝3n﹣3n﹣1＝2×3n﹣1，则{a n+1﹣a n}是等比数列，B错误；log3a n＝n﹣1，则{log3a n}是等差数列，C错误；a n a n+1＝3n﹣1•3n＝32n﹣1，则{a n a n+1}是等比数列，D正确．故选：AD．10．2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛，中国“梦之队”包揽了该项目的冠亚军．已知某次跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为x i（i＝1，2，3，4，5），平均数为x，若随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为y i（i＝1，2，3，4），平均数为y，下面说法正确的是（）A．新数据的极差可能等于原数据的极差B．新数据的中位数可能等于原数据的中位数C ．若x =y ，则新数据的方差一定大于原数据方差D ．若x =y ，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数解：对于A 中，若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，此时新数据的极差可能等于原数据的极差，所以A 正确；对于B 中，不妨假设x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5，当12(x 2+x 4)=x 3时，若随机删去的成绩是x 3，此时新数据的中位数等于原数据的中位数，所以B 正确；对于C 中，若x =y ，即删去的数据恰为平均数，根据方差的计算公式，分子不变，分母变小，所以方差会变大，所以C 正确；对于D 中，若x =y ，即删去的数据恰为平均数，在按从小到大的顺序排列的5个数据中， 因为5×40%＝2，此时原数据的40%分位数为第二数和第三个数的平均数， 删去一个数据后的4个数据，从小到大的顺序排列，可得4×40%＝1.6， 此时新数据的40%分位数为第二个数，显然新数据的40%分位数小于原数据的40%分位数，所以D 错误． 故选：ABC ．11．伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的π倍，这种方法已具有积分计算的雏形．已知椭圆C 的面积为12√5π，离心率为23，F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，A 为椭圆C 上的动点，则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的标准方程可以为x 236+y 220=1 B ．若∠F 1AF 2=π3，则S △F 1AF 2=20√3C ．存在点A ，使得∠F 1AF 2=π2 D ．2|AF 1|+1|AF 2|的最小值为14+√26解：对于A ：由{ab =12√5c a =23a 2=b 2+c 2，解得a =6，b =2√5，c =4，则椭圆C 的标准方程为x 236+y 220=1，故A 正确；对于B ：由定义可知|AF 1|+|AF 2|＝12，由余弦定理可得，cos ∠F 1AF 2=|AF 1|2+|AF 2|2−|F 1F 2|22|AF 1||AF 2|=(|AF 1|+|AF 2|)2−2|AF 1||AF 2|−|F 1F 2|22|AF 1||AF 2|=122−2|AF 1||AF 2|−642|AF 1||AF 2|=12，解得|AF 1||AF 2|=803，则S △F 1AF 2=12|AF 1||AF 2|sin∠F 1AF 2=12×803×√32=20√33，故B 错误；对于C ：当点A 为短轴的一个端点时，∠F 1AF 2最大，此时cos ∠F 1AF 2=62+62−822×62=19＞0，∠F 1AF 2为锐角， 则不存在点A ，使得∠F 1AF 2=π2，故C 错误；对于D ：2|AF 1|+1|AF 2|=112(2|AF 1|+1|AF 2|)(|AF 1|+|AF 2|)=112(2+2|AF 2||AF 1|+1+|AF 1||AF 2|)≥112(3+2√2)=14+√26， 当且仅当2|AF 2||AF 1|=|AF 1||AF 2|，即|AF 1|=√2|AF 2时，等号成立，故D 正确； 故选：AD ．12．已知a ∈R ，函数f （x ）＝ax 3﹣x +1有两个极值点x 1，x 2，则（ ） A ．a 可能是负数B ．若a ＝4，则函数f （x ）在(12，f(12))处的切线方程为y ＝2xC ．f （x 1）+f （x 2）为定值D ．若存在x 0∈R ，使得|f(x 0+2)−f(x 0)|≤12，则0＜a ≤54解：由f （x ）＝ax 3﹣x +1，得f ′（x ）＝3ax 2﹣1，当a ≤0时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，无极值，故A 错误；若a ＝4，则f(x)=4x 3−x +1，f′(x)=12x 2−1，f(12)=12−12+1=1，f′(12)=3−1=2，∴函数f （x ）在(12，f(12))处的切线方程为y −1=2(x −12)，y =2x ，故B 正确；当a ＞0时，由3ax 2﹣1＝0，解得x 1=−√13a ，x 2=√13a，∴f （x ）在区间（﹣∞，x 1），（x 2，+∞）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 在区间（x 1，x 2）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， ∴x 1是f （x ）的极大值点，x 2是f （x ）的极小值点， 而3ax 12−1=0，3ax 22−1=0，ax 12=13，ax 22=13，∴f （x 1）+f （x 2）=ax 13−x 1+1+ax 23−x 2+1=x 1(ax 12−1)+x 2(ax 22−1)+2=−23(x 1+x 2)+2=2为定值，故C 正确；若存在x 0∈R ，使得|f(x 0+2)−f(x 0)|≤12，则|a(x 0+2)3−(x 0+2)+1−(ax 03−x 0+1)|≤12，∴|3ax 02+6ax 0+4a −1|≤14，−14≤3ax 02+6ax 0+4a −1≤14，∴{3ax 02+6ax 0+4a −1≥−143ax 02+6ax 0+4a −1≤14，∴{3ax 02+6ax 0+4a −34≥03ax 02+6ax 0+4a −54≤0，又a ＞0，∴3ax 02+6ax 0+4a −34≥0必存在， 对于3ax 02+6ax 0+4a −54≤0，则有Δ=36a 2−12a(4a −54)=−12a 2+15a ≥0， ∴a （4a ﹣5）≤0，解得0＜a ≤54，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题p ：“存在实数m ，使方程x 2+mx +1＝0有实数根”，则“非p ”形式的命题是 对任意实数m ，方程x 2+mx +1＝0没有实数根 ．解：∵p ：存在实数m ，使方程x 2+mx +1＝0有实数根，存在的否定词为任意， ∴非p 形式的命题是：对任意实数m ，方程x 2+mx +1＝0没有实数根， 故答案为：对任意实数m ，方程x 2+mx +1＝0没有实数根．14．设函数y =4sin(2x +π4)在区间[t ，t +π4]上的最大值为g （t 1），最小值为g （t 2），则g （t 1）﹣g （t 2）的最小值为 4﹣2√2． ．解：易知函数y =4sin(2x +π4)的最小正周期T =2π2=π，t +π4−t =π4，所以区间[t ，t +π4] 的长度是函数y =4sin(2x +π4)的最小正周期的14，所以当区间[t ，t +π4]关于y =4sin(2x +π4)的图象的对称轴对称时，g （t 1）﹣g （t 2）取得最小值，易知t+t+π42=t +π8，所以当x =t +π8 时，函数y =4sin(2x +π4)取得最值±4，不妨设g （t 1）＝4，则，所以sin （2t 1+712π）＝1，即2t 1+712π=π2+2k π，k ∈Z ，解得t 1=−π24+k π，k ∈Z ，所以g （t 2）＝4sin （2t 1+π4）＝4sin[2×（−π24+k π）+π4]＝4sin π6=2，g(t 2)=4sin(2t +π3)=4sin[2(kπ−π24)+π3]=4sin(2kπ+π4)=√22=2√2，k ∈Z ，所以g （t 1）﹣g （t 2） 的最小值为4﹣2√2． 故答案为：4﹣2√2．15．已知F 是椭圆C ：x 216+y 27=1的左焦点，点P 为该椭圆上一动点，若A(1，√5)在椭圆内部，则|PF |+|P A |的最大值为 11 ．解：设椭圆C 的右焦点为F ′，则根据题意可得a ＝4，b =√7，c ＝3，∴F ′（3，0）， ∵P 为该椭圆上一动点，A(1，√5)在椭圆内部，∴|PF |+|P A |＝2a ﹣|PF ′|+|P A |≤2a +|AF ′|＝8+√4+5=11， 当且仅当A ，F ′，P 三点共线时，等号成立， ∴|PF |+|P A |的最大值为11． 故答案为：11．16．已知函数f(x)={−√−x 2−2x ，x ≤0xlnx ，x ＞0，若关于x 的不等式f （x ）＞ax ﹣e （e 是自然对数的底数）在R 上恒成立，则a 的取值范围 (1−e 22e，2)． ．解：f （x ）＞ax ﹣e 在R 上恒成立等价于f （x ）的图像恒在直线y ＝ax ﹣e 的上方， 画出f(x)={−√−x 2−2x ，x ⩽0xlnx ，x ＞0的图象，如下所示．直线y ＝ax ﹣e 恒过定点（0，﹣e ），当直线y ＝ax ﹣e 与y ＝xlnx ，x ＞0相切时， 设切点P （x 0，x 0lnx 0），求导得y ′＝lnx +1，则斜率k ＝1+lnx 0， 由1+lnx 0=x 0lnx 0+ex 0，解得x 0＝e ，则切线的斜率为2． 当直线y ＝ax ﹣e 与y =−√−(x +1)2+1，x ≤0相切时， 直线y ＝ax ﹣e 与半圆（x +1）2+y 2＝1（y ⩽0）相切， 由√a 2+1=1，解得a =1−e 22e， 由图可知，a 的取值范围是(1−e 22e，2)． 故答案为：(1−e 22e，2)．四、解答题：17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且acosC +12c =b ．（1）求A ：（2）若a ＝2，△ABC 的面积为√3，求△ABC 的周长． 解：（1）因为acosC +12c =b ，所以由正弦定理得：sinAcosC +12sinC =sinB =sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C ，所以12sinC =cosAsinC ，因为sin C ≠0，所以cosA =12，因为A ∈（0，π），所以A =π3；（2）因为△ABC 的面积为√3，所以12bcsinA =√3，所以bc ＝4，由余弦定理得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝（b +c ）2﹣2bc ﹣bc ， （b +c ）2＝a 2+3bc ＝4+3×4＝16，解得b +c ＝4， 所以a +b +c ＝2+4＝6，所以△ABC 的周长为6．18．（12分）记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝﹣6，且满足S n+1+S n +a 2a n+1=3．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记数列{b n }的前n 项和为T n ，若b 3n ＝2n ﹣a n ，b 3n ﹣1＝a n ﹣2，b 3n ﹣2＝a n +n ，求T 3n ． 解：（1）因为S n +1+S n +a 2＝3a n +1，则当n ≥2时，S n +S n ﹣1+a 2＝3a n ， 两式相减可得a n +1+a n ＝3a n +1﹣3a n （n ≥2），则a n +1＝2a n （n ≥2）， 当n ＝1时，S 2+S 1+a 2a 2=3，解得a 2＝2a 1，所以{a n }是首项为﹣6，公比为2的等比数列， 所以a n =−6×2n−1=−3×2n ，即a n =−3×2n ； （2）因为b 3n +b 3n ﹣1+b 3n ﹣2＝a n +3n ﹣2＝﹣3×2n +3n ﹣2， 则T 3n ＝（b 1+b 2+b 3）+（b 4+b 5+b 6）+…+（b 3n ﹣2+b 3n ﹣1+b 3n ） ＝﹣3×（21+22+⋯+2n ）+3（1+2+3+…+n ）﹣2n =−3×2(1−2n)1−2+3n2(n +1)−2n=32n 2−12n +6−6⋅2n ． 19．（12分）在三棱锥P ﹣ABC 中，PC ＝AB ＝AC =√22BC ＝1，PC ⊥平面ABC ，点M 是棱P A 上的动点，点N 是棱BC 上的动点，且PM =CN =x(0＜x ＜√2)． （1）当x =√22时，求证：MN ⊥AC ；（2）当MN 的长最小时，求二面角A ﹣MN ﹣C 的余弦值．证明：（1）在平面ABC 内过点C 作CD ⊥AC ，使得点D 与点B 在AC 同侧， ∵PC ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴PC ⊥AC ，PC ⊥CD ，则PC ，AC ，CD 两两互相垂直．以C 为坐标原点，CA →，CD →，CP →正方向为x ，y ，z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则C （0，0，0），A （1，0，0），P （0，0，1）； 由AB =AC =√22BC 得，AB 2+AC 2＝BC 2，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴B （1，1，0）； 同理可得：△APC 为等腰直角三角形， 当x =√22时，AM =12AP ，CN =12CB ，∴M ，N 分别是AP ，CB 中点， ∴M(12，0，12)，N(12，12，0)，∴MN →=(0，12，−12)，CA →=(1，0，0)，∴MN →⋅CA →=0×1+12×0+(−12)×0=0，∴MN ⊥AC ；（2）由（1）可得：A （1，0，0），P （0，0，1），B （1，1，0），△ABC ，△APC 为等腰直角三角形， ∴M(√22x ，0，1−√22x)，N(√22x ，√22x ，0)，则MN 2=(√22x −√22x)2+(0−√22x)2+(1−√22x)2=x 2−√2x +1；∴当x =√22时，MN 最小，∴M ，N 分别是AP ，CB 中点，∴M(12，0，12)，N(12，12，0)，∴CM =(12，0，12)，CN =(12，12，0)，AM →=(−12，0，12)，AN →=(−12，12，0)，设平面CMN 的法向量为a →=(x 1，y 1，z 1)，则{CM →⋅a →=12x 1+12z 1=0CN →⋅a →=12x 1+12y 1=0，令x 1＝﹣1，解得：y 1＝1，z 1＝1，∴α→=(−1，1，1)；设平面AMN 的法向量β→=(x 2，y 2，z 2)，则{AM →⋅β→=−12x 2+12z 2=0AN →⋅β→=−12x 2+12y 2=0，令x 2＝1，解得：y 2＝1，z 2＝1，∴β→=(1，1，1)； ∴|cos ＜α→，β→＞|=|a →⋅β→||α→|⋅|β→|=1√3×√3=13， 由图形可知：二面角A ﹣MN ﹣C 为钝二面角，∴二面角A ﹣MN ﹣C 的余弦值为−13．20．（12分）数轴上的一个质点Q 从原点出发，每次随机向左或向右移动1个单位长度，其中向左移动的概率为13，向右移动的概率为23，记点Q 移动n 次后所在的位置对应的实数为X n ．（1）求X 3和X 4的分布列和期望；（2）当n ＝10时，点Q 在哪一个位置的可能性最大，并说明理由． 解：（1）根据题意结合二项分布可得，当n ＝4时， P(X 4=−4)=(13)4=181，P(X 4=−2)=C 41(13)3(23)1=881P(X 4=0)=C 42(13)2(23)2=827，P(X 4=2)=C 43(13)1(23)3=3281，P(X 4=4)=(23)4=1681．E(X 4)=43；当n ＝3时，P(X 3=−3)=(13)3=127，P(X 3=−1)=C 31(13)2(23)1=29，P(X 3=1)=C 32(13)1(23)2=49，P(X 3=3)=C 33(13)0(23)3=827．E （X 3）＝1．（2）设点Q 向右移动m 次，向左移动10﹣m 次的概率为P m ，则P m =C 10m (13)10−m (23)m，P m P m−1=C 10m (13)10−m (23)m C 10m−1(13)11−m (23)m−1=2C 10m C 10m−1=2(11−m)m=22m−2当m ＞7时，P m ＜P m ﹣1，P m 随m 的值的增加而减小， 当m ≤7时，P m ＞P m ﹣1，P m 随m 的值的增加而增加，所以当m ＝7时，P m 最大，此时点Q 所在的位置对应的实数应为4．21．（12分）已知圆M ：(x +√5)2+y 2=9的圆心为M ，圆N ：(x −√5)2+y 2=1的圆心为N ，一动圆与圆N 内切，与圆M 外切，动圆的圆心E 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）已知点P （2，0），直线l 不过P 点并与曲线C 交于A ，B 两点，且PA →•PB →=0，直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由． 解：（1）如图，设圆E 的圆心为E （x ，y ），半径为r ，由题可得圆M 半径为3，圆N 半径为1，则|EM |＝r +3，|EN |＝r ﹣1， 所以|EM |﹣|EN |＝4＜|MN |=2√5，由双曲线定义可知，E 的轨迹是以M ，N 为焦点、实轴长为4的双曲线的右支， 又M （−√5，0），N （√5，0），所以动圆的圆心E 的轨迹方程为x 24−y 2=1，（x ≥2），即曲线C 的方程为x 24−y 2=1，（x ≥2）．（2）设直线l 的方程为x ＝my +t ，联立{x =my +t x 24−y 2=1，(x ≥2)，消去x 得（m 2﹣4）y 2+2mty +t 2﹣4＝0， 由题意直线与曲线有两个交点，则m 2﹣4≠0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），其中x 1≥2，x 2≥2， 由韦达定理得：y 1+y 2=−2mt m 2−4，y 1y 2=t 2−4m 2−4，又点P （2，0），所以PA →=（x 1﹣2，y 1），PB →=（x 2﹣2，y 2）， 因为PA →•PB →=0，所以（x 1﹣2）（x 2﹣2）+y 1y 2＝0，则（my 1+t ﹣2）（my 2+t ﹣2）+y 1y 2＝（m 2+1）y 1y 2+（mt ﹣2m ）（y 1+y 2）+（t ﹣2）2 =(m 2+1)(t 2−4)−2mt(mt−2m)+(t−2)2(m 2−4)m 2−4=0，即3t 2﹣16t +20＝0，解得t =103（t ＝2舍去）， 当t =103，直线l 的方程为x ＝my +103，m ≠±12， 故直线l 恒过点（103，0）． 22．（12分）已知a ∈R ，设函数f （x ）＝aln （x +a ）+lnx ． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若f(x)≤a 2x +ln xa恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）∵函数f （x ）＝aln （x +a ）+lnx ， ∴f ′(x)=a x+a +1x =(a+1)x+ax(x+a)，x ＞0且x ＞﹣a ， ①当a ≥0时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增； ②当a ≤﹣1时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减； ③当﹣1＜a ＜0时，−a a+1＞−a ＞0，x ∈(−a ，−aa+1)时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减； x ∈(−aa+1，+∞)时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增． （2）f(x)≤a 2x +ln xa恒成立，即f(x)=aln(x +a)+lnx ≤a 2x +ln xa恒成立，所以aln （x +a ）﹣a 2x +lna ≤0恒成立． 令h （x ）＝aln （x +a ）﹣a 2x +lna ，则ℎ′(x)=a x+a −a 2=−a 2x+a−a 3x+a，令h'（x）＝0，解得x=1−a2 a，当a≥1时，h'（x）≤0，则h（x）在（0，+∞）单调递减，则只需满足h（0）＝alna+lna≤0，∴lna≤0，解得0＜a≤1，∴a＝1；当0＜a＜1时，可得h（x）在(0，1−a2a)单调递增，在(1−a2a，+∞)单调递减，则ℎ(x)max=ℎ(1−a2a)=aln1a−a(1−a2)+lna≤0，整理可得lna﹣a2﹣a≤0，令φ（a）＝lna﹣a2﹣a，则φ′(a)=1a−2a−1=−(a+1)(2a+1)a，则φ（a）＝lna﹣a2﹣a在(0，12)单调递增，在(12，1)单调递减，则φ(a)max=φ(12)=−ln2−34＜0，故0＜a＜1时，h（x）≤0恒成立，综上，实数a的取值范围为{a|0＜a≤1}．。
浙江省杭州市2023-2024学年高三上学期期末数学试题含答案
2023-2024学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2230A x x x =--≤，311B x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.[]1,3 B.(]1,3 C.[]1,1- D.[)1,1-【答案】D 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义求解即可.【详解】由2230x x --≤可得：()()130x x +-≤，解得：13x -≤≤，由311x ≤-可得3101x -≤-，即3101x x -+≤-，即()()1401x x x ⎧--≥⎨≠⎩，解得：1x <或4x ≥，故[]1,3A =-，()[),14,B ∞∞=-⋃+，所以A B = [)1,1-.故选：D .2.已知复数z 满足i z z =-（i 为虚数单位），且z =，则2z =（）A.2iB.2i-C.D.【答案】B 【解析】【分析】设i z a b =+，结合共轭复数的定义和复数的模公式求出即可.【详解】设i z a b =+，(),R a b ∈，则i z a b =-，因为i z z =-，则()()i i i i 0a b a b a b a b a b +=--⨯⇒+++=⇒=-，又z =，则222a b +=，解得1,1a b ==-或1,1a b =-=，所以1i z =-或1i z =-+，所以()221i 2i z =-=-或()221i 2i z =-+=-，故选：B.3.已知随机变量1X ，2X 分别满足二项分布111~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，221~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则“12n n >”是“()()12D X D X >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由二项分布的方差公式求出()()12,D X D X ，再由充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】因为111~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，221~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()1112221121121,1339339D X n n D X n n ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-==⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12n n >，则()()12D X D X >，若()()12D X D X >，则12n n >.所以“12n n >”是“()()12D X D X >”的充要条件.故选：C .4.若102x <<，则1112x x+-的最小值是（）A.3+B.6C. D.9【答案】A 【解析】【分析】由2(12)1x x +-=，得到1111[2(12)]()1212x x x x x x+=+-+--，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为102x <<，可得120x ->，且2(12)1x x +-=，则1111122[2(12)]()3121212x x x x x x x x x x -+=+-+=++---33≥+=+，当且仅当12212x x x x -=-时，即22x =时，等号成立，所以1112x x+-的最小值是3+.故选：A.5.冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：lg 20.3≈）（）A.3小时 B.4小时C.5小时D.6小时【答案】C 【解析】【分析】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要x 分钟，则231210000x⋅=，两边同时取对数得，结合对数的运算性质求解即可.【详解】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要x 分钟，则231210000x ⋅=，两边同时取对数得，lg 2lg10000423x⋅==，所以42392306.7lg 20.3x ⨯=≈≈，所以大约需要306.7560≈小时.故选：C .6.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()sin cos 0xf x xf x '+>，则（）A.ππ36f ⎫⎫⎛⎛< ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭B.ππ63f f ⎫⎫⎛⎛< ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭C.ππ36f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.ππ63f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】构造函数()()cos f x F x x=，ππ,Z 2x k k ≠+∈，求导得到其单调性，从而得到ππ63F F ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简后得到答案.【详解】令()()cos f x F x x=，ππ,Z 2x k k ≠+∈，故()()()2cos sin 0cos f x x f x xF x x+='>'恒成立，故()()cos f x F x x=在πππ,π,Z 22k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递增，故ππ63F F ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππππππ6363ππ163cos cos6322f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭<⇒⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B7.已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，1n n n a a b +=+，1n n n b a b +=-，则n a =（）A.12n - B.122n - C.122n + D.()21142nn -+-【答案】D 【解析】【分析】根据递推关系，归纳出数列{}n a 的奇数项与偶数项分别为公比为2的等比数列，进而可得数列{}n a 的通项公式.【详解】因为1n n n a a b +=+，1n n n b a b +=-，则112n n n a b a +++=，又211n n n a a b +++=+，则22n n a a +=，所以数列{}n a 的奇数项与偶数项分别为公比为2的等比数列，由111a b ==可得2112a a b =+=，则数列{}n a 的各项为1,2,2,4,4,8,8, ，其中奇数项的通项公式为1122122n n n a a --=⋅=，偶数项的通项公式为122222n n n a a -=⋅=，所以数列{}n a 的通项公式为()21142nn n a -+-=.故选：D8.已知四面体ABCD ，ABC 是边长为6的正三角形，DA DB ==，二面角D AB C --的大小为2π3，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（）A.40πB.52πC.72πD.84π【答案】B 【解析】【分析】画出图形，找出外接球球心的位置，利用OD OC r ==以及图形几何关系表示出相应的线段长度，结合勾股定理列方程求出外接球半径即可得解.【详解】如图，取AB 中点E ，连接,CE DE ，因为ABC 是边长为6的正三角形，DA DB ==，则由三线合一可知,AB CE AB DE ⊥⊥，所以二面角D AB C --的平面角为2π3CED ∠=，取三角形ABC 的外心1O ，设外接球的球心为O ，则1OO ⊥平面ABC ，且OA OB OC OD r ====，其中r 为四面体ABCD 外接球的半径，过点D 作DG 垂直平面ABC ，垂足为点G ，由对称性可知点G 必定落在1O E 的延长线上面，由几何关系，设DF x =，而由正弦定理边角互换得112sin 60AB C O =⨯=进而1162O E CE CO =-=⨯-，由勾股定理得DE ==从而()πcos πcos 3EG DE CED DE =⋅-∠=⋅=，()π3sin πsin 32DG DE CED DE =⋅-∠=⋅=，所以132OO FG x ==-，12OF O G ==，所以由OD OC r ==得，2222231222r x r x ⎧⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得5,2x r ==，所以四面体ABCD 的外接球的表面积为24π52πr =.故选：B.【点睛】关键点点睛：关键是合理转换二面角D AB C --的大小为2π3，并求出外接球半径，由此即可顺利得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知平面向量)a =，(),3b x =- ，则下列命题正确的是（）A.若a b∥，则x =- B.若a b ⊥，则x =C.若a b +=，则0x = D.若5π,6a b =，则x =【答案】ABD 【解析】【分析】A.由共线向量定理求解判断；B.利用向量的数量积运算求解判断；C.利用向量的模公式求解判断；D.由向量的夹角公式求解判断.【详解】A.若a b∥，则13x ⨯=-，解得x =-，故正确；B .若a b ⊥()130+⨯-=，解得x =C.若a b +=，0x =或x =-D.若5π,6a b =，则5πcos ,cos 62a b ===- ，解得x =故选：ABD 10.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为菱形，且π3DAB ∠=，12A A AB =，11A AB A AD ∠=∠，O 为11AC 的中点，P 为线段1AB 上的动点，则下列命题正确的是（）A.{}1,,OA BD AB可作为一组空间向量的基底B.{},,OA OD AB可作为一组空间向量的基底C.直线//OP 平面1C BDD.向量CP 在平面11AB D 上的投影向量为OP【答案】BCD 【解析】【分析】选项A ，找到11BD B D =，容易判断{}111,,OA B D AB 共面，从而做出判断即可；选项B ，先找到含有两个向量,OA OD 的平面OAD ，判断AB与平面OAD 的关系即可；选项C ，证明平面11//AB D 平面1C BD 即可；选项D ，证明OC 垂直平面11AB D 即可.【详解】如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -，对于选项A ，11BD B D =，三个向量{}111,,OA B D AB 都在平面11AB D ，即三个向量{}111,,OA B D AB 共面，则{}1,,OA BD AB也共面，{}1,,OA BD AB不可作为一组空间向量的基底，选项A 错误；对于选项B ，两个向量,OA OD都在平面OAD ，显然直线AB 与平面OAD 是相交关系，AB不与平面OAD 平行，故三个向量{},,OA OD AB不共面，可作为一组空间向量的基底，选项B 正确；对于选项C ，由于11//BD B D ，11//AB DC ，易得11//B D 平面1C BD ，1//AB 平面1C BD ，从而有平面11//AB D 平面1C BD ，且OP ⊂平面11AB D ，所以直线//OP 平面1C BD ，选项C 正确；对于选项D ，取{}1,,AB AD AA作为一组空间向量的基底，1111()2OC OC C C AB AD AA =+=+- ，111()2B D BD AD AB ==- ，1111()2OA OA A A AB AD AA =+=-+-，其中22111111()()42OC B D AD AB AA AB AA AD ⋅=-+⋅-⋅ ，因为底面ABCD 为菱形，且π3DAB ∠=，12A A AB =，11A AB A AD ∠=∠，得22AD AB = ，11AA AB AA AD ⋅=⋅，所以110OC B D ⋅= ，即11OC B D ⊥，11OC B D ⊥，其中2211[()]2OC OA AA AB AD ⋅=-+ ，显然22134AA AB = ，2222222111π3[()](2)(2cos )24434AB AD AB AD AB AD AB AB AB AB +=++⋅=++= ，所以0OC OA ⋅=，即OC OA ⊥ ，OC OA ⊥，因为11OC B D ⊥，OC OA ⊥，且11B D ⊂平面11AB D ，OA ⊂平面11AB D ，11B D OA O ⋂=，所以OC ⊥平面11AB D ，所以向量CP 在平面11AB D 上的投影向量为OP，选项D 正确；故选：BCD.11.已知函数()cos 2f x x =，()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.将函数()y f x =的图象右移π12个单位可得到函数()y g x =的图象B.将函数()y f x =的图象右移π6个单位可得到函数()y g x =的图象C.函数()y f x =与()y g x =的图象关于直线π24x =对称D.函数()y f x =与()y g x =的图象关于点7π,024⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】ACD【解析】【分析】由三角函数的平移变换可判断A ，B ；由()π12g x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可判断C ；由()7π12g x f x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭可判断D .【详解】因为()ππππsin 2cos 2cos 23236g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-++=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，将函数()y f x =的图象右移π12个单位可得到ππcos 2cos 2126y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，将函数()y f x =的图象右移π6个单位可得到ππcos 2cos 263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确，B 错误；由A 选项可知，()π12g x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =与()π12y g x f x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图象关于直线π24x =对称，故C 正确；若函数()y f x =与()y g x =的图象关于点7π,024⎛⎫⎪⎝⎭对称，则在()y f x =上取点()11,A x y 关于7π,024⎛⎫ ⎪⎝⎭的对称点117π,12A x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭必在()y g x =上，所以11cos 2y x =，所以1117π7ππ7ππsin 2sin 21212363g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1113πsin 2cos 22x x y ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD .12.（多选）已知数据1234567x x x x x x x <<<<<<，若去掉4x 后剩余6个数的平均数比7个数的平均数大，记1x ，2x ，3x ，4x 的平均数与方差为1x ，21s ，记4x ，5x ，6x ，7x 的平均数与方差为2x ，22s ，则（）A.1242x x x +>B.1242x x x +<C.()()47222212441414k k k k s s x x x x ==⎡⎤->---⎢⎥⎣⎦∑∑D.()()47222212441414k k k k s s x x x x ==⎡⎤-<---⎢⎥⎣⎦∑∑【答案】AC 【解析】【分析】根据平均数的大小列出不等式变形即可判断AB ，根据方差公式作差后变形，利用1242x x x +>，即可判断CD.【详解】因为123567123456767x x x x x x x x x x x x x +++++++++++>，所以12356746x x x x x x x +++++>，所以()()1234456748x x x x x x x x x +++++++>，所以1242x x x +>，故A 正确，B 错误；2222222222212346412724123455674444 x x x x x x x x x x x x x s x s x x ⎡⎤+++++++++⎛⎫-=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎡⎤+++⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()2222222212356217144x x x x x x x x ⎡⎤=++-+++-⎢⎥⎣⎦()()()()2222221235621217144x x x x x x x x x x ⎡⎤=++-+++-⎣+⎦()()()222222123564271184x x x x x x x x x ⎡⎤>++-++-⎣+⎦()()4722441414k k k k x x x x ==⎡⎤---⎢⎥⎣⎦∑∑，故C 正确，D 错误.故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线y =的倾斜角是___________.【答案】0【解析】【分析】根据斜率得到倾斜角.【详解】y =的斜率为0，设倾斜角为[)0,πα∈，则tan 0α=，解得0α=，故倾斜角为0故答案为：014.已知二项式()12nx +的展开式中含2x 的项的系数为84，则n =___________.【答案】7【解析】【分析】应用二项展开式的通项公式求解即可.【详解】二项式()12nx +中含2x 的项为：223C (2)n T x =，该项的系数为22(1)2C 42(1)2n n n n n -=⨯=-，由于该项的系数为84，得方程2(1)84n n -=，即2420n n --=，解得7n =或6-（舍去），故答案为：7.15.位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.如图，为测量杭州世纪中心塔高AB ，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得70BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，108CD =米，在点C 测得塔顶A 的仰角为80°，则塔高AB 为___________米.（结果保留整数，参考数据：cos800174︒≈.）【答案】310【解析】【分析】设AB h =米，进而可得tan80h BC =︒，在BCD △中由正弦定理求出BC ，求解即可得出答案.【详解】设AB h =米，因为在点C 测得塔顶A 的仰角为80°，所以80BCA ∠=︒，在ABC 中，tan 80AB hBC BC=︒=，所以tan80h BC =︒，在BCD △中，因为70BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，所以180703080CBD ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理得sin sin 30CD BC CBD =∠︒，所以1081sin 802BC=︒，则1108542sin 80sin 80BC ⨯==︒︒，所以545454tan 80tan 80310sin 80cos800.174h BC =︒=⋅︒=≈≈︒︒米.故答案为：310.16.已知点P 是双曲线C ：()22221,0x y a b a b-=>与圆222213x y a c +=+在第一象限的公共点，若点P 关于双曲线C 其中一条渐近线的对称点恰好在y 轴负半轴上，则双曲线C 的离心率e =___________.【答案】62【解析】【分析】根据题意，联立双曲线与圆的方程，求得点P 的坐标，再求得其对称点Q 的坐标，再由1PQ b k a ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，化简即可得到,a b 的关系，再由离心率公式，即可得到结果.【详解】联立22222222113x y a b x y a c ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，取0,0x y >>，解得2333x a y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即,33P a b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设点P 关于双曲线C 的渐近线by x a=-的对称点为Q ，则Q 恰好在y 轴负半轴上，且OQ OP ==0,Q ⎛ ⎝，由点P 与点Q 关于渐近线b y x a =-对称，所以直线PQ 的斜率为a b，233a b =，即3233b a b =，化简可得222a b =，所以2c e a ====.故答案为：2四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，4a =，8b =，角C 为锐角，已知ABC 的面积为.（1）求c ；（2）若CD 为AB 上的中线，求BDC ∠的余弦值.【答案】（1）c =（2）34.【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式和余弦定理求解即可；（2）因为CD 为AB 上的中线，所以()12CD CA CB =+，对其两边同时平方可求出CD = ，再由余弦定理求解即可.【小问1详解】由ABC 的面积为可得：1sin 2ab C =因为4a =，8b =，解得：得sin 4C =，由角C 为锐角得3cos 4C =，故2222cos 32c a b ab C =+-=，解得c =【小问2详解】因为CD 为AB 上的中线，所以()12CD CA CB =+，所以()22212cos 4CD CA CB CA CB ACB =++⋅，()2212cos 4b a b a ACB =++⋅1364162483244⎛⎫=++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，解得：CD =.故22222222243cos 2422242BD DC a BDC BD DC +-+-∠===⋅⋅⋅.18.已知n S 为公差为2的等差数列{}n a 的前n 项和，若数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.（1）求n a ；（2）求数列{}2n S 的前n 项和.【答案】（1）2n a n=（2）11410233n n +++-.【解析】【分析】（1）由等差中项的性质可得3212132S S S a a a ⋅=+，再由等差数列的通项公式和前n 项和公式代入化简可求得12a =，即可求出答案；（2）由（1）得2n S n n =+，则242n nnS =+，再由等比数列的前n 项和公式和分组求和法求解即可.【小问1详解】因为数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，所以3212132S S S a a a ⋅=+，因为n S 为公差为2的等差数列{}n a 的前n 项和，则111122362124a a a a ++⋅=+++，解得12a =.故()2212n a n n =+-=.【小问2详解】由（1）得()122n n n a a S n n +==+，故242n n nS =+，故数列{}2n S 的前n 项和为()()114142124102141233n nn n ++--=+=+---.19.已知直三棱柱111ABC A B C -，1122AB AC AA ===，AB AC ⊥，D ，E 分别为线段1CC ，1BB 上的点，1CD =.（1）证明：平面BDA ⊥平面1ECA ；（2）若点1B 到平面1ECA 的距离为47，求直线BD 与平面1ECA 所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1121.【解析】【分析】（1）建系，分别求出平面BDA 和平面1ECA 的法向量，利用两法向量垂直，两面垂直即可证明；（2）设出E 点坐标，由已知点面距离利用向量法解出点E 坐标，再代入线面角的向量公式求出即可.【小问1详解】证明：在直三棱柱中，AB AC ⊥，1AA ⊥平面ABC ，所以以A 为原点，AB ，AC ，1AA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点()10,0,4A ，()2,0,0B ，()12,0,4B ，()0,2,0C ，()0,2,1D ，则()2,2,1BD =- ，()2,0,0AB = ，()10,2,4A C =-，设BE t =，则()2,0,E t ，()2,2,EC t =--设平面BDA 和平面1ECA 的法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z ==，则11111122020n BD x y z n AB x ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩，取11y =，则()10,1,2n =- ；22222122220240n EC x y mz n A C y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取21z =，则24,2,12m n -⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，因为120n n ⋅=，所以平面BDA ⊥平面1ECA .【小问2详解】设点()2,0,E t ，由()10,2,4A C =- ，()12,0,4A E t =- 得平面1ECA 的法向量()4,4,2n t =-，由()112,0,0A B =得点1B 到平面1ECA 的距离1147A B n d n⋅===，解得83t =，由()2,2,1BD =- ，4,4,23n ⎛⎫= ⎪⎝⎭得，直线BD 与平面1ECA 所成的角的正弦值为11cos ,21BD n BD n BD n ⋅==⋅ .20.已知点1F ，2F 为椭圆C ：2212x y +=的左，右焦点，椭圆C 上的点P ，Q 满足12//F P F Q ，且P ，Q在x 轴上方，直线1FQ ，2F P 交于点G .已知直线1PF 的斜率为()0k k >.（1）当1k =时，求12PF QF +的值；（2）记1PFG ，2QF G △的面积分别为1S ，2S ，求12S S -的最大值.【答案】（1（2）2.【解析】【分析】（1）由椭圆的性质可得1211PF QF PF Q F =+'+，再利用弦长公式求解即可；（2）利用已知条件将12S S -表示出来，在利用基本不等式即可求解.【小问1详解】设直线1PF 与椭圆的另一个交点为Q '，由椭圆的对称性得Q ，Q '关于原点对称.设点()11,P x y ，()22,Q x y '.因为C ：2212x y +=中222,1,1a b c ====，所以()11,0F ，所以当1k =时，直线1PF 的方程为：1y x =+，联立直线1y x =+与椭圆22220x y +-=的方程得2340x x +=，所以12124,03x x x x +=-=，所以1243x x -==，所以12111212PF QF PF Q F x x +=+=-=-='【小问2详解】由题可设直线1PF 的方程为：1yx k=-，联立直线1y x k =-与椭圆22220x y +-=得：2212210y y k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，所以122221122ky y k k k+==++，1212121212F F P F F Q F F P F F Q S S S S S S '-=-=- ，()()1211221212111222122222F F y F F y y y y y kk=⋅-⋅-=⨯+=+=≤+，所以当12k k =即2k =时等号成立，12S S -取到最大值2.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的面积问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于y 的一元二次方程的形式,得到韦达定理；②表示出12S S -的面积，将韦达定理代入，再借助基本不等式即可求出面积的最大值.21.我国有天气谚语“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”，说的是如果中秋节有降水，则来年的元宵节亦会有降水.某同学想验证该谚语的正确性，统计了40地5年共200组中秋节与来年元宵节的降水状况，整理如下：中秋天气元宵天气合计降水无降水降水194160无降水5090140合计69131200（1）依据0.05α=的独立性检验，能否认为元宵节的降水与前一年的中秋节降水有关？（2）从以上200组数据中随机选择2组，记随机事件A 为二组数据中中秋节的降水状况为一降水一无降水，记随机事件B 为二组数据中元宵节的降水状况为一降水一无降水，求()P B A .参考公式与数据：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）无关（2）47105【解析】【分析】（1）计算2χ的值，与临界值比较得出结论；（2）利用条件概率公式求解.【小问1详解】零假设为0H ：元宵节的降水与中秋节的降水无关.()222200199041502003400.3 3.84169131601406913160140χ⨯⨯-⨯⨯==≈<⨯⨯⨯⨯⨯⨯，因为20.05x χ<，所以没有充分证据推断0H 不成立，故元宵节的降水与中秋节的降水无关.【小问2详解】中秋节的降水状况为一降水一无降水概率为()220014060C P A ⨯=，中秋节、元宵节的降水状况均为一降水一无降水概率为()220019904150C P AB ⨯+⨯=，故()()()47105P AB P B A P A ==.22.定义满足()()00f x f x '=的实数0x 为函数()y f x =的然点.已知()()ln e xf x x a -=+.（1）证明：对于a ∀∈R ，函数()y f x =必有然点；（2）设0x 为函数()y f x =的然点，判断函数()()()0g x f x f x =-的零点个数并证明.【答案】（1）证明见解析（2）2个零点，证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数零点存在原理，结合导数的性质、题中定义进行运算证明即可；（2）根据（1）的结论，结合函数零点存在原理、结合放缩法进行求解即可.【小问1详解】()1ln e x f x x a x -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，由()()f x f x '=得1ln 02x a x -+=.令()1ln 2h x x a x=-+，因为()h x 在()0,∞+上单调递增，故()h x 至多一个零点，又因为()1e02e aah --=-<，()2222221e 2102e a ah a a a a ++=++->++>，所以()220e ,ea ax -+∃∈使()00h x =，故对于a ∀∈R ，函数()y f x =有唯一然点0x .【小问2详解】由（I ）得001ln 2a x x =-，()1ln e xg x x a x -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭令()1ln G x x a x =--，因为()G x 在()0,∞+上单调递减，且()00102G x x =>，()2222221e 210eaa G a a a a ++=---<---<，故()220,e at x +∃∈使()0G t =，()g x 在(]0,t 上单调递增，在[),t +∞上单调递减.因为()00g x =，故()()00g t g x >=，将001ln 2a x x =-代入，得()00001e ln ln e 22x x g x x x x x --⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()002000020010c 211ln 1e 2211e e e 22e x x x x x x g x x x --+-⎛⎫+++⎪-⎛⎫⎝⎭++=⋅-⋅ ⎪-⎝⎭()000020011e 221e 12e e 2x x x x x x -⎛⎫++ ⎪- ⎪<-⎛⎫ ⎪⋅+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()0000000e 2e 21e 02e e 222(e 2)x x x x x x x -⎛⎫+ ⎪- ⎪=-< ⎪⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()g x 有2个零点.【点睛】关键点睛：根据题中定义，运用零点存在原理是解题的关键.。
2023-2024学年山东省淄博市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |log 0.5（x ﹣1）＞0}，B ＝{x |2x ＜4}，则（ ） A ．A ＝BB ．A ∩B ＝∅C ．A ∩B ＝BD ．A ∪B ＝B2．已知复数z 满足z ⋅z =4，则复数|z|=（ ） A ．2B ．4C ．8D ．163．设随机变量X ～N （μ，σ2），且P （X ＜a ）＝3P （X ≥a ），则P （X ≥a ）＝（ ） A ．0.75B ．0.5C ．0.3D ．0.254．已知正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱AA 1与底面ABCD 所成的角为60°，则该正四棱台的体积为（ ） A ．28√3B ．84√2C ．28√63D ．28√25．已知等边△ABC 的边长为√3，P 为△ABC 所在平面内的动点，且|PA →|=1，则PB →⋅PC →的取值范围是（ ） A ．[−32，92]B ．[−12，112]C ．[1，4]D ．[1，7]6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则对∀n ∈N *，a n +1＞|a n |，是“nS n +1＞（n +1）S n ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数f （x ），g （x ）的定义域都为R ，g '（x ）为g （x ）的导函数，g '（x ）的定义域也为R ，且f （x ）+g '（x ）＝2，f （x ）﹣g '（4﹣x ）＝2，若g （x ）为偶函数，则下列结论中一定成立的个数为（ ） ①f （4）＝2 ②g '（2）＝0 ③f （1）＝f （3） ④f （﹣1）+f （﹣3）＝4 A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数f(x)=sin(2πx)+1x−2，则直线y ＝x ﹣2与f （x ）的图象的所有交点的横坐标之和为（ ） A ．0B ．8C ．12D ．16二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．函数f(x)=3sin(2x −π3+φ)+1，φ∈（0，π），且f （x ）为偶函数，则下列说法正确的是（ ）A．φ=5π6B．f（x）图象的对称中心为(π4+kπ2，1)，k∈ZC．f（x）图象的对称轴为x=π2+kπ，k∈ZD．f（x）的单调递减区间为[−π2+kπ，kπ]，k∈Z10．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为s12，平均数为x1；去掉的两个数据的方差为s22，平均数为x2；原样本数据的方差为s2，平均数为x，若x=x2，则下列说法正确的是（）A．x=x1B．15s2=14s12+s22C．剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数D．剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数11．如图，多面体ABCDEF，底面ABCD为正方形，BF⊥底面ABCD，DE∥BF，AB＝DE＝BF＝1，动点G在线段AF上，则下列说法正确的是（）A．多面体ABCDEF的外接球的表面积为3πB．△CGD的周长的最小值为√3−√61C．线段CG长度的取值范围为[√62，√2]D．CG与平面AEC所成的角的正弦值最大为2√2 312．已知函数f（x）＝xe x，g（x）＝xlnx，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）与函数g（x）有相同的极小值B．若方程f（x）＝a有唯一实根，则a的取值范围为a≥0C．若方程g（x）＝a有两个不同的实根x1，x2，则x1x2＞a2D．当x＞0时，若f（x1）＝g（x2）＝t，则x1x2＝t成立三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．将序号分别为1，2，3，4，5，6的六张参观券全部分给甲、乙等5人，每人至少一张，如果分给甲的两张参观券是连号，则不同分法共有 种．14．已知圆C 1：x 2+y 2−2ax +4by +4=0，则直线ax ﹣2by +2＝0与圆C 2：x 2+y 2=1的位置关系是 ．15．已知函数f(x)=3sin(π4x +φ)(φ∈R)的部分图象如图所示，A ，B 分别为图象的最低点和最高点，过A ，B 作x 轴的垂线分别交x 轴于点A '，B '．将画有该图象的纸片沿着x 轴折成120°的二面角A ﹣A 'B '﹣B ，此时|AB |＝ ．16．已知实数x ，y 满足x 2﹣3lnx ﹣y ＝0，则√x 2+y 2−mx +my +m 22(m ∈R)的最小值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设函数f （x ）＝sin （ωx −π6）+sin （ωx −π2），其中0＜ω＜3，已知f （π6）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在[−π4，3π4]上的最小值．18．（12分）如图，AB 是半球O 的直径，AB ＝4，M ，N 依次是底面AB ̂上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且∠PON ＝60°． （1）证明：PB ⊥PM ；（2）若点P 在底面圆上的射影为ON 中点，求直线PM 与平面P AB 所成的角的正弦值．19．（12分）设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos A ﹣a cos B ． （1）求证：B ＝2A ； （2）求ba的取值范围；（3）若c＝1，求△ABC面积的取值范围．20．（12分）已知{a n}和{b n}均为等差数列，a1＝b1＝1，a3＝a1+a2，b5＝b4+a2，记c n＝max{b1﹣na1，b2﹣na2，…，b n﹣na n}（n＝1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）计算c1，c2，c3，猜想数列{c n}的通项公式并证明；（2）设数列{1(3−c n)(2−c n)}的前n项和为S n，若S n＜−m2+4m对任意n∈N*恒成立，求偶数m的值．21．（12分）已知函数ℎ(x)=e x−1−x x2．（1）若x＞0时，恒有h（x）＞a，求a的取值范围；（2）证明：当x＞1时，e x（1+lnx）＞ex2．22．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，根据以往甲、乙两名运动员对阵的比赛数据可知，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15．规定第1回合是甲先发球．（1）求第3回合由甲发球的概率；（2）①设第i回合是甲发球的概率为p i，证明：{p i−13}是等比数列；②已知：若随机变量X i服从两点分布，且P（X i＝1）＝1﹣P（X i＝0）＝q i，i＝1，2，…，n，则E(∑n i=1X i)=∑n i=1q i．若第1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行n个回合比赛后，甲的总得分的期望．2023-2024学年山东省淄博市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|log0.5（x﹣1）＞0}，B＝{x|2x＜4}，则（）A．A＝B B．A∩B＝∅C．A∩B＝B D．A∪B＝B解：不等式log0.5（x﹣1）＞0，即为log0.5（x﹣1）＞log0.51，根据对数函数的单调性知，0＜x﹣1＜1，解得1＜x＜2，所以A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|2x＜22}＝{x|x＜2}，所以A⊆B，从而A∩B＝A，A∪B＝B．故选：D．2．已知复数z满足z⋅z=4，则复数|z|=（）A．2B．4C．8D．16解：由于zz=4，所以|z|2＝z z=4，故|z|＝2．故选：A．3．设随机变量X～N（μ，σ2），且P（X＜a）＝3P（X≥a），则P（X≥a）＝（）A．0.75B．0.5C．0.3D．0.25解：随机变量X～N（μ，σ2），显然P（X＜a）+P（X≥a）＝1，而P（X＜a）＝3P（X≥a），所以P（X≥a）＝0.25．故选：D．4．已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱AA1与底面ABCD所成的角为60°，则该正四棱台的体积为（）A．28√3B．84√2C．28√63D．28√2解：记正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面的中心为O，O1，连接OO1，在平面ACC1A1中过A1作A1E平行于OO1，交AC于E，如图所示：则由正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的性质可知OO1⊥底面ABCD，从而A1E⊥底面ABCD，所以∠A1AE为侧棱AA1与底面ABCD所成的角，即∠A1AE＝60°，因为正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面边长分别为2和4，所以A1C1=2√2，AC=4√2，则AE=12(4√2−2√2)=√2，故A1E=AE⋅tan60°=√2×√3=√6，即正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的高为√6，所以该正四棱台的体积为13×(22+√22×42+42)×√6=28√63．故选：C ．5．已知等边△ABC 的边长为√3，P 为△ABC 所在平面内的动点，且|PA →|=1，则PB →⋅PC →的取值范围是（ ） A ．[−32，92]B ．[−12，112]C ．[1，4]D ．[1，7]解：以A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B （√3，0），C （√32，32），由题意设P （cos θ，sin θ），（0≤θ＜2π）， 则PB →=(√3−cosθ，−sinθ)，PC →=(√32−cosθ，32−sinθ)， ∴PB →⋅PC →=(√3−cosθ)(√32−cosθ)−sinθ(32−sinθ)=32−3√32cosθ+cos 2θ−32sinθ+sin 2θ =52−3sin(θ+π3)， ∵0≤θ＜2π，∴π3≤θ+π3＜7π3，可得52−3sin(θ+π3)∈[−12，112]．故选：B ．6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则对∀n ∈N *，a n +1＞|a n |，是“nS n +1＞（n +1）S n ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若对∀n ∈N *，都有a n +1＞|a n |，可得a 2＞|a 1|，a 3＞|a 2|，a 4＞|a 3|，⋯，a n +1＞|a n |， 因为|a n |≥a n 恒成立，所以a n +1＞a n ＞a n ﹣1＞⋯＞a 2＞a 1，即数列{a n }为递增数列，S n+1n+1=(n+1)(a 1+a n+1)2n+1=a 1+a n+1，S nn n(a 1+a n )2n+1=a 1+a n ，所以S n+1n+1＞S n n，即nS n +1＞（n +1）S n 成立，所以充分性成立；反之：若对∀n ∈N *，都有nS n +1＞（n +1）S n ，即S n+1n+1＞S n n，可得(n+1)(a 1+a n+1)2n+1＞n(a 1+a n )2n，解得a n +1＞a n ，所以d ＝a n +1﹣a n ＞0，即数列{a n }为递增数列，例如：数列a n ＝n ﹣7为递增数列，可得a 1＝﹣6，a 2＝﹣5， 此时a 2＞|a 1|不成立，即必要性不成立；所以对∀n ∈N *，a n +1＞|a n |，是“nS n +1＞（n +1）S n ”的充分不必要条件． 故选：A ．7．已知函数f （x ），g （x ）的定义域都为R ，g '（x ）为g （x ）的导函数，g '（x ）的定义域也为R ，且f （x ）+g '（x ）＝2，f （x ）﹣g '（4﹣x ）＝2，若g （x ）为偶函数，则下列结论中一定成立的个数为（ ） ①f （4）＝2 ②g '（2）＝0 ③f （1）＝f （3） ④f （﹣1）+f （﹣3）＝4 A ．1B ．2C ．3D ．4解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，g （x ）为偶函数，即g （﹣x ）＝g （x ）， 两边同时求导数可得：﹣g ′（﹣x ）＝g ′（x ）， 则g ′（x ）是定义域为R 的奇函数，则有g ′（0）＝0，在f （x ）﹣g '（4﹣x ）＝2中，令x ＝4可得：f （4）﹣g ′（0）＝2，必有f （4）＝2，①正确； 对于②，又由f （x ）+g '（x ）＝2，则有f （x ）﹣g '（﹣x ）＝2， 同时，f （x ）﹣g '（4﹣x ）＝2，两式联立可得g ′（4﹣x ）＝g ′（﹣x ），变形可得g ′（x +4）＝g ′（x ），g ′（x ）是周期为4的周期函数，则有g ′（2）＝g ′（﹣2），又由g ′（x ）为奇函数，则g ′（2）＝﹣g ′（﹣2）， 必有g ′（2）＝g ′（﹣2）＝0，②正确；对于③，在f （x ）+g '（x ）＝2中，令x ＝1可得：f （1）+g '（1）＝2， 在f （x ）﹣g '（4﹣x ）＝2中，令x ＝3可得：f （3）﹣g ′（1）＝2， 有f （1）+f （3）＝4，③错误；对于④，在f（x）+g'（x）＝2中，令x＝﹣1可得：f（﹣1）+g'（﹣1）＝2，在f（x）﹣g'（4﹣x）＝2中，令x＝﹣3可得：f（﹣3）﹣g′（7）＝2，而g′（x）是周期为4的周期函数，则有g′（7）＝g′（﹣1），必有f（﹣1）+f（﹣3）＝4，④正确．有3个命题正确．故选：C．8．已知函数f(x)=sin(2πx)+1x−2，则直线y＝x﹣2与f（x）的图象的所有交点的横坐标之和为（）A．0B．8C．12D．16解：由f（x）＝x﹣2可得sin(2πx)=x−2−1x−2，令g（x）＝sin（2πx），ℎ(x)=x−2−1x−2，则函数g（x）＝sin（2πx）的定义域为R，其最小正周期为T=2π2π=1，g（4﹣x）＝sin[2π（4﹣x）]＝sin（8π﹣2πx）＝﹣sin（2πx）＝﹣g（x），所以，函数g（x）的图象关于点（2，0）对称，函数ℎ(x)=x−2−1x−2的定义域为{x|x≠2}，对任意的x∈{x|x≠2}，ℎ(4−x)=(4−x)−2−1(4−x)−2=2−x−12−x=−ℎ(x)，所以，函数h（x）的图象也关于点（2，0）对称，因为函数y＝x﹣2、y=−1x−2在（2，+∞）上均为增函数，则函数h（x）在（2，+∞）上也为增函数，如下图所示：由图可知，函数g（x）、f（x）的图象共有六个交点，其中这六个点满足三对点关于点（2，0）对称，因此，直线y＝x﹣2与f（x）的图象的所有交点的横坐标之和为4×3＝12．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．函数f(x)=3sin(2x−π3+φ)+1，φ∈（0，π），且f（x）为偶函数，则下列说法正确的是（）A．φ=5π6B．f（x）图象的对称中心为(π4+kπ2，1)，k∈ZC．f（x）图象的对称轴为x=π2+kπ，k∈ZD．f（x）的单调递减区间为[−π2+kπ，kπ]，k∈Z解：∵f(x)=3sin(2x−π3+φ)+1为偶函数，∴φ−π3=kπ+π2（k∈Z），∴φ＝kπ+5π6（k∈Z），又φ∈（0，π），∴φ=5π6，A正确；∴f（x）＝3sin（2x+π2）+1＝3cos2x+1，令2x＝kπ+π2（k∈Z），得x=kπ2+π4（k∈Z），∴f（x）图象的对称中心为(π4+kπ2，1)（k∈Z），B正确；令2x＝kπ（k∈Z），得x=kπ2（k∈Z），∴f（x）图象的对称轴方程为x=kπ2（k∈Z），C错误；令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），得kπ≤x≤kπ+π2（k∈Z），∴f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ+π2]（k∈Z），D错误．故选：AB．10．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为s12，平均数为x1；去掉的两个数据的方差为s22，平均数为x2；原样本数据的方差为s2，平均数为x，若x=x2，则下列说法正确的是（）A．x=x1B．15s2=14s12+s22C．剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数D．剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数解：A．剩下的28个样本数据的和为28x1，去掉的两个数据和为2x2，原样本数据和为30x，所以28x1+ 2x2=30x，因为x=x2，所以x=x1，故A选项正确；B．设x1＜x2＜x3＜⋯＜x29＜x30，s12=128[(x2−x1)2+(x3−x1)2+⋯+(x29−x1)2]，因为x1=x2=x，所以s22=12[(x1−x1)2+(x30−x1)2]，所以28s12+2s22=[(x1−x1)2+(x2−x1)2+(x3−x1)2+⋯+(x29−x1)2+(x30−x1)2]=30s2，所以15s2=14s12+s22，故B选项正确；C．剩下28个数据的中位数等于原样本数据的中位数，故C选项错误；D．去掉2个数据，则剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数，故D正确．故选：ABD．11．如图，多面体ABCDEF，底面ABCD为正方形，BF⊥底面ABCD，DE∥BF，AB＝DE＝BF＝1，动点G在线段AF上，则下列说法正确的是（）A．多面体ABCDEF的外接球的表面积为3πB．△CGD的周长的最小值为√3−√61C．线段CG长度的取值范围为[√62，√2]D．CG与平面AEC所成的角的正弦值最大为2√2 3解：对于A：由题意可知，多面体ABCDEF可以放在如图所示的正方体当中，设DF 中点为O ，则O 为多面体ABCDEF 的外接球球心， 所以多面体ABCDEF 的外接球半径为√12+12+122=√32， 则多面体ABCDEF 的外接球的表面积为4π×（√32）2＝3π，故A 正确； 对于B ：△CGD 的周长为CG +GD +CD ＝CG +GD +1，将△ADF ，△AFC 如下图所示展开，当D ，G ，C 三点共线时，CG +GD 最小，由AD ＝1，AF =AC =CF =√2，DF =√3， 则AD 2+AF 2＝DF 2，所以∠DAF ＝90°，∠F AC ＝60°， 所以∠DAC ＝150°，在△ACD 中，由余弦定理得，CD 2＝AD 2+AC 2﹣2AC •AC cos ∠150°， 所以CD =√1+2−2×1×√2×(−√32)=√3+√6，则△CGD 的周长最小为√3+√6+1，故B 错误；对于C ，以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系：则C （0，1，0），设G （1，m ，m ），0≤m ≤1，则CG =√1+(m −1)2+m 2=√2(m −12)2+32∈[√62，√2]，故C 正确；对于D ：由A （1，0，0），C （0，1，0），E （0，0，1），所以AC →=(−1，1，0)，AE →=(−1，0，1)，CG →=(1，m −1，m)，设平面AEC 法向量n →=（x ，y ，z ），由{n →⋅AC →=−x +y =0n →⋅AE →=−x +z =0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，则n →=（1，1，1）， 则CG 与平面AEC 所成角的正弦值为|CG →⋅n →||CG →||n →|=√3×√2(m 2−m+1)=√2√3×√(m −2)2+4，因为0≤m ≤1，所以1m≥1，当1m=1，即m ＝1时，移动CG 与平面AEC 所成角的正弦值最大为√2√3×√(2)2+4=√63，故D 错误． 故选：AC ．12．已知函数f （x ）＝xe x ，g （x ）＝xlnx ，则下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）与函数g （x ）有相同的极小值B ．若方程f （x ）＝a 有唯一实根，则a 的取值范围为a ≥0C ．若方程g （x ）＝a 有两个不同的实根x 1，x 2，则x 1x 2＞a 2D ．当x ＞0时，若f （x 1）＝g （x 2）＝t ，则x 1x 2＝t 成立 解：对于A ，f （x ）＝xe x ，f '（x ）＝（x +1）e x ，当x ＜﹣1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞﹣1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 所以f （x ）的极小值为f(−1)=−1e，g （x ）＝xlnx ，g ′（x ）＝lnx +1，当0＜x ＜1e 时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减；当x ＞1e 时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，所以g （x ）的极小值为g(1e )=−1e，故A 正确；对于B ，若方程f （x ）＝xe x ＝a 有唯一实根， 由于当x →﹣∞时，f （x ）→0，且f （0）＝0，结合f （x ）的单调性和最值可知，a ≥0或a =−1e，故B 错误；对于C ，因为方程g （x ）＝a 有两个不同的实根x 1，x 2， 假设x 1＞x 2，则a ＜0，{x 1lnx 1=ax 2lnx 2=a ，即{lnx 1=ax 1lnx 2=a x 2， 两式相减得，x 1−x 2lnx 1−lnx 2=−1ax 1x 2，下面证对数均值不等式：x1−x2lnx1−lnx2＞√x1x2(x1＞x2)，即证x1x2−1ln x1x2＞√x1x2，设m=√x1x2(m＞1)，即证m2−12lnm＞m，即证m−1m−2lnm＞0，令φ(m)=m−1m−2lnm(m＞1)，则φ′(m)=1+1m2−2m=(m−1)2m2＞0，则φ（m）在（1，+∞）单调递增，当m＞1时，φ（m）＞φ（1）＝0，得证．所以x1−x2lnx1−lnx2=−1ax1x2＞√x1x2，则√x1x2＞−a＞0，即x1x2＞a2，故C正确；对于D，当x＞0时，若f（x1）＝g（x2）＝t，则x1e x1=lnx2e lnx2=t⇒f（x1）＝f（lnx2），显然x1＞0，lnx2＞0，则x1＝lnx2，则x1x2＝x2lnx2＝t，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．将序号分别为1，2，3，4，5，6的六张参观券全部分给甲、乙等5人，每人至少一张，如果分给甲的两张参观券是连号，则不同分法共有120种．解：由题意得，如果分给甲的两张参观券是连号，则有C51=5种分法，再将剩余的4张分给剩余4个人，有A44=24种分法，所以一共有5×24＝120种分法．故答案为：120．14．已知圆C1：x2+y2−2ax+4by+4=0，则直线ax﹣2by+2＝0与圆C2：x2+y2=1的位置关系是相交．解：因为（x﹣a）2+（y+2b）2＝a2+4b2﹣4表示圆C1的方程，所以a2+4b2﹣4＞0，即a2+4b2＞4．因为圆C2的圆心到直线ax﹣2by+2＝0的距离22=√a2+4b2＜22=1，所以直线ax﹣2by+2＝0与圆C2：x2+y2=1相交．故答案为：相交．15．已知函数f(x)=3sin(π4x+φ)(φ∈R)的部分图象如图所示，A，B分别为图象的最低点和最高点，过A，B作x轴的垂线分别交x轴于点A'，B'．将画有该图象的纸片沿着x轴折成120°的二面角A﹣A'B'﹣B，此时|AB|＝√43．解：函数f(x)=3sin(π4x +φ)(φ∈R)的部分图象如图所示，A ，B 分别为图象的最低点和最高点，过A ，B 作x 轴的垂线分别交x 轴于点A '，B '， ∴由题意得AA ′＝BB ′＝3，A ′B ′=12×2ππ4=4， ∴|AB |=√(BB′→+B′A′→+A′A →)2=√BB ′→2+B′A′→2+A′A →2+2|BB′→|⋅|A′A →|cos60°=√9+16+9+2×3×3×12=√43． 故答案为：√43．16．已知实数x ，y 满足x 2﹣3lnx ﹣y ＝0，则√x 2+y 2−mx +my +m 22(m ∈R)的最小值为 √2 ． 解：由题意得√x 2+y 2−mx +my +m 22=√(x −m 2)2+(y +m2)2，即求曲线y ＝x 2﹣3lnx 上一点到(m 2，−m2)距离的最小值，又因为(m 2，−m2)在直线y ＝﹣x 上，所以当曲线与直线y ＝﹣x 平行时，所求距离取得最小值， 因为x 2﹣3lnx ﹣y ＝0，所以y ＝x 2﹣3lnx ，y ′＝2x −3x ，令y ′＝2x −3x =−1，解得x ＝1或x =−32 （舍），当x ＝1时，点（1，1）到直线x +y ＝0距离为√2=√2，即所求曲线y ＝x 2﹣3lnx 上一点到 (m 2，−m2) 距离的最小值为√2．故答案为：√2．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设函数f （x ）＝sin （ωx −π6）+sin （ωx −π2），其中0＜ω＜3，已知f （π6）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在[−π4，3π4]上的最小值．解：（Ⅰ）函数f （x ）＝sin （ωx −π6）+sin （ωx −π2）＝sin ωx cos π6−cos ωx sin π6−sin （π2−ωx ）=√32sin ωx −32cos ωx=√3sin （ωx −π3），又f （π6）=√3sin （π6ω−π3）＝0，∴π6ω−π3=k π，k ∈Z ，解得ω＝6k +2， 又0＜ω＜3， ∴ω＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）=√3sin （2x −π3），将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y =√3sin （x −π3）的图象；再将得到的图象向左平移π4个单位，得到y =√3sin （x +π4−π3）的图象，∴函数y ＝g （x ）=√3sin （x −π12）； 当x ∈[−π4，3π4]时，x −π12∈[−π3，2π3]，∴sin （x −π12）∈[−√32，1]， ∴当x =−π4时，g （x ）取得最小值是−√32×√3=−32．18．（12分）如图，AB 是半球O 的直径，AB ＝4，M ，N 依次是底面AB ̂上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且∠PON ＝60°． （1）证明：PB ⊥PM ；（2）若点P 在底面圆上的射影为ON 中点，求直线PM 与平面P AB 所成的角的正弦值．解：（1）证明：连接AM ，OM ，MN ，PN ，∵M ，N 依次是底面AB̂的两个三等分点，∴四边形OMNB 为菱形， 设MB ∩ON ＝Q ，则Q 为ON 的中点，且ON ⊥MB ， 又∵OP ＝ON ，∠PON ＝60°，故△OPN 为等边三角形， 连接PQ ，则ON ⊥PQ ，又∵MB ∩PQ ＝Q ，∴ON ⊥面PMB ，∵PB ⊂面PMB ，∴ON ⊥PB ，∵M ，N 依次是底面AB̂的两个三等分点，∴ON ∥AM ， ∴AM ⊥PB ，又因为AB 是半球O 的直径，P 是半球面上一点，因此P A ⊥PB ， 又AM ∩P A ＝A ，∴PB ⊥面P AM ，∵PM ⊂面P AM ，∴PB ⊥PM ； （2）根据题意可知PQ ⊥面AMB ，如图建立空间直角坐标系，则P(0，0，√3)，M(√3，0，0)，B(−√3，0，0)，A(√3，−2，0)， PM →=（√3，0，−√3），PA →=（√3，﹣2，−√3），BA →=(2√3，−2，0)，则{n →⋅PA →=√3x −2y −√3z =0n →⋅BA →=2√3x −2y =0，令x ＝1，则y =√3，z ＝﹣1，因此n →=(1，√3，−1)， 设直线PM 与平面P AB 所成角为θ，sinθ=|n →⋅PM→|n →||PM →||=√35×6=√105，直线PM 与平面P AB 所成的角的正弦值为√105．19．（12分）设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos A ﹣a cos B ． （1）求证：B ＝2A ； （2）求ba的取值范围；（3）若c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． （1）证明：因为a ＝b cos A ﹣a cos B ，由正弦定理得sin A ＝sin B cos A ﹣sin A cos B ，所以sin A ＝sin （B ﹣A ）， 又因为△ABC 为锐角三角形，可得A ，B ∈(0，π2)，所以B −A ∈(−π2，π2)，可得A ＝B ﹣A ，即B ＝2A ．（2）解：因为B ＝2A ，且△ABC 为锐角三角形，且C =π−(A +B)=π−32B ＜π2，可得B ＞π3，所以π3＜B ＜π2，又因为B ＝2A ，即π3＜2A ＜π2，可得π6＜A ＜π4，所以√22＜cosA ＜√32，则b a =sinB sinA =sin2A sinA =2cosA ∈(√2，√3)，即b a的取值范围是(√2，√3)．（3）解：由正弦定理得a=sinAsinC，b=sinBsinC，所以S=12absinC=12⋅sinA⋅sinBsinC=12⋅sinA⋅sin2Asin3A=12⋅sinA⋅sin2Asin2A⋅cosA+cos2A⋅sinA=sinA⋅cosA3cos2A−sin2A=13 tanA −tanA，又由π6＜A＜π4，可得√33＜tanA＜1，设f(x)=3x−x在(√33，1)为单调递减函数，可得3tanA−tanA∈(2，8√33)，所以S∈(√38，12)，故S的取值范围是(√38，12)．20．（12分）已知{a n}和{b n}均为等差数列，a1＝b1＝1，a3＝a1+a2，b5＝b4+a2，记c n＝max{b1﹣na1，b2﹣na2，…，b n﹣na n}（n＝1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）计算c1，c2，c3，猜想数列{c n}的通项公式并证明；（2）设数列{1(3−c n)(2−c n)}的前n项和为S n，若S n＜−m2+4m对任意n∈N*恒成立，求偶数m的值．解：（1）设等差数列{a n}，{b n}的公差分别为d1，d2，∵a1＝b1＝1，a3＝a1+a2，b5＝b4+a2，∴1+2d1＝2+d1，d2＝1+d1，解得d1＝1，d2＝2，∴a n＝1+（n﹣1）＝n，b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．c n＝max{b1﹣na1，b2﹣na2，…，b n﹣na n}（n＝1，2，3，…），c1＝max{b1﹣a1}＝0，c2＝max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}＝max{﹣1}＝﹣1，c3＝max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}＝max{﹣2，﹣3，﹣4}＝﹣2．猜想数列{c n}的通项公式c n＝1﹣n．证明：∵b k+1﹣na k+1﹣（b k﹣na k）＝b k+1﹣b k﹣n（a k+1﹣a k）＝2﹣n，∴数列{b k﹣na k}为单调递减数列，∴c n＝b1﹣na1＝1﹣n．（2）1(3−c n)(2−c n)=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，∴数列{1(3−c n)(2−c n)}的前n项和为S n＝（12−13）+（13−14）+…+（1n+1−1n+2）=12−1n+2，∵S n＜−m2+4m对任意n∈N*恒成立，∴12≤−m2+4m，化为：2m2﹣8m+1≤0，解得：4−√142≤m≤4+√142，∴偶数m的值为2．21．（12分）已知函数ℎ(x)=e x−1−x x2．（1）若x＞0时，恒有h（x）＞a，求a的取值范围；（2）证明：当x＞1时，e x（1+lnx）＞ex2．解：（1）若x＞0时，恒有h（x）＞a，所以当x＞0时，e x﹣1﹣x﹣ax2＞0恒成立，设f（x）＝e x﹣1﹣x﹣ax2（x≥0），令g（x）＝f'（x）＝e x﹣1﹣2ax（x≥0），则g（′x）＝e x﹣2a，显然g′（x）在（0，+∞）单调递增．故当x＞0时，g'（x）＞g'（0）＝1﹣2a，当a≤12时，1﹣2a≥0，则g'（x）＞0 对x＞0恒成立，则f'（x）在（0，+∞）单调递增，从而当x＞0时，f'（x）＞f'（0）＝0，即f（x）在（0，+∞）单调递增，所以当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0，符合题意；当a＞12时，g（0）＝1﹣2a＜0，又因为g'[ln（1+2a）]＝e ln（1+2a）﹣2a＝1＞0，所以存在x0∈（0，ln（1+2a）），使得g'（x0）＝0，所以当0＜x＜x0时，g'（x0）＜0，即f'（x）单调递减，f'（x）＜f'（0）＝0，则f（x）单调递减，此时f（x）＜f（0）＝0，不符合题意，综上所述，a的取值范围为(−∞，12 ]；证明：（2）要证当x＞1时，e x（1+lnx）＞ex2，即证e x−1(1+lnx)x2−1＞0，设m（x）=e x−1(1+lnx)x2−1，x≥1，则m′（x）=(1+lnx)e x−1x2−(1+2lnx)e x−1x3=xlnx−2lnx+x−1x3⋅e x−1，令n（x）＝xlnx﹣2lnx+x﹣1（x≥1），则n′(x)=lnx+2−2x单调递增，所以当x＞1时，n′（x）＞n′（1）＝0，即m（x）单调递增，则当x＞1时，m′（x）＞0，即m（x）单调递增，所以当x＞1时，m(x)=e x−1(1+lnx)x2−1＞m(1)=0，原式得证．22．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，根据以往甲、乙两名运动员对阵的比赛数据可知，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分的概率为45，甲得分的概率为15．规定第1回合是甲先发球．（1）求第3回合由甲发球的概率；（2）①设第i回合是甲发球的概率为p i，证明：{p i−13}是等比数列；②已知：若随机变量X i服从两点分布，且P（X i＝1）＝1﹣P（X i＝0）＝q i，i＝1，2，…，n，则E(∑n i=1X i)=∑n i=1q i．若第1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行n个回合比赛后，甲的总得分的期望．解：（1）设“第3回合由甲发球”为事件A，则P(A)=35×35+25×15=1125，所以第3回合由甲发球的概率为11 25．（2）①证明：第i（i≥2）回合是甲发球分两种情况：第一种情况为第i﹣1回合是甲发球且甲得分，第二种情况为第i﹣1回合是乙发球且甲得分，则p i=35p i−1+15(1−p i−1)，即p i=25p i−1+15，所以p i−13=25(p i−1−13)，i≥2，又因为p1−13=1−13=23≠0，所以p i−13≠0，所以p i−13p i−1−13=25，i≥2，即{p i−13}是首项为23，公比为25的等比数列．②因为{p i−13}是首项为23，公比为25的等比数列，所以p i−13=23×(25)i−1，即p i=23×(25)i−1+13，记第i回合甲得分为X i，显然X i服从两点分布，且事件X i＝1等价于第i+1回合是甲发球，故P（X i＝1）＝p i+1，又因为甲、乙连续进行n个回合比赛后，甲的得分为X＝X1+X2+…+X n，所以E（X）＝E（∑n i=1X i）=∑n i=1p i+1=∑n i=1[23×(25)i+13]=23×25[1−(25)n]1−25+n3=n3+49[1−(25)n]，故甲的总得分的期望为n3+49[1−(25)n]．。
2023-2024学年广东省汕头市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省汕头市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知2i是关于x的方程2x2+q＝0的一个根，则实数q的值为（）A．8B．﹣8C．4D．﹣42．设表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，则（）A．向东南走B．向西南走C．向东南走D．向西南走3．已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤8}，A∩（∁U B）＝{1，3，5}，则集合B为（）A．{2，4，6，7}B．{0，2，4，6，8}C．{0，2，4，6，7，8}D．{0，1，2，3，4，5，6，7，8}4．已知直线l1：2x﹣ay+1＝0和l2：（a﹣1）x﹣y+a＝0平行，则实数a＝（）A．﹣1B．2C．﹣1或2D．15．已知，则tanθ＝（）A．B．C．D．6．关于椭圆与双曲线的关系（）A．焦点相同B．顶点相同C．焦距相等D．离心率相等7．已知函数，下列函数是奇函数的是（）A．f（x+1）+1B．f（x﹣1）+1C．f（x﹣1）﹣1D．f（x+1）﹣18．已知数列{a n}的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为P、Q、R，则“{a n}为等比数列”的一个必要条件为（）A．（P+Q）﹣R＝Q2B．P2+Q2＝P（Q+R）C．P+Q＝R D．Q2＝PR二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．某科技攻关青年团队共有10人，其年龄（单位：岁）分布如表所示（）A．中位数是34B．众数是32C．第25百分位数是29D．平均数为34.310．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：∀x、y∈（0，+∞），f（x）（y）＝f（xy），且当0＜x＜1时，f（x），若f（2）＝1，则（）A．f（1）＝0B．f（x）在（0，+∞）上单调递减C．D．f（2）+f（22）+⋯+f（220）＝5511．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.71828…，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则（）A．k＜0且b＞0B．在10℃的保鲜时间是60小时C．要使得保鲜时间不少于15小时，则储存温度不低于30℃D．在零下2℃的保鲜时间将超过150小时12．在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，，E是底面ABC上（含边界），F是三棱锥P﹣ABC的外接球O表面上的一个动点，则（）A．当E在线段AB上时，PE⊥BCB．EF的最大值为4C．当F A∥平面PBC时，点F的轨迹长度为2πD．存在点F，使得平面P AC与平面PFB夹角的余弦值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（1+x）n（n∈N*）的展开式中x2项的系数为15，则n＝．14．若正四棱台的上、下底边长分别为2、4，侧面积为，则该棱台体积为．15．已知函数在区间[0，π]上恰有三个零点．16．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图①1，F2的椭圆C与双曲线S构成，现一光线从左焦点F1发出，依次经S与C反射，又回到了点F1，历时t1秒；若将装置中的S去掉，如图②1发出，经C两次反射后又回到了点F1，历时t2秒．若C与S的离心率之比为2：3，则＝．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝6，．（1）求角A的大小；（2）M为△ABC的重心，AM的延长线交BC于点D，且，求△ABC的面积．18．（12分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，首项为a1，已知S4＝4S2，且a2n＝2a n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{（﹣1）n•a n}的前n项和．19．（12分）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E、F分别为边AB、AC的中点将△AEF沿EF翻折至△A1EF，得四棱锥A1﹣EFCB，设P为A1C的中点．（1）证明：FP∥平面A1BE；（2）若平面A1EF⊥平面EFCB，求平面BPF与平面BCF夹角的余弦值．20．（12分）《国家学生体质健康标准》是我国对学生体质健康方面的基本要求，是综合评价学生综合素质的重要依据．为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查．获得如下信息：①男生所占比例为60%；②不喜欢体育锻炼的学生所占比例为45%；③喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人．（1）完成2×2列联表，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析喜欢体育锻炼与性别是否有关联？（2）（ⅰ）从这200名学生中采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人．记事件A＝“至少有2名男生”、B＝“至少有2名喜欢体育锻炼的男生”、C＝“至多有1名喜欢体育锻炼的女生”．请计算P（B|A）（ABC）的值．（ⅱ）对于随机事件A、B、C，P（A）＞0，P（AB）＞0（ABC）与P（A）•P（B|A）（C|AB）的大小关系，并给予证明．参考公式及数据：，n＝a+b+c+d．21．（12分）已知圆心在y轴上移动的圆经过点A（0，﹣4），且与x轴、y轴分别交于B（x，0）、C（0，y），过点B垂直于x轴的直线与过点C垂直于y轴的直线交于点M．（1）求点M的轨迹T的方程；（2）点P、Q在曲线T上，以PQ为直径的圆经过原点O，作OH⊥PQ，使得|RH|为定值，若存在；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣a（x﹣1），a∈R．（1）若f（x）≥0，求实数a的值；（2）当n∈N*时，证明：．2023-2024学年广东省汕头市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知2i是关于x的方程2x2+q＝0的一个根，则实数q的值为（）A．8B．﹣8C．4D．﹣4解：由题意，2×（2i）3+q＝0，解得q＝8．故选：A．2．设表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，则（）A．向东南走B．向西南走C．向东南走D．向西南走解：表示“向东走10km”，，即2，根据向量加法的平行四边形法则可知，＝表示向东南走10．故选：A．3．已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤8}，A∩（∁U B）＝{1，3，5}，则集合B为（）A．{2，4，6，7}B．{0，2，4，6，8}C．{0，2，4，6，7，8}D．{0，1，2，3，4，5，6，7，8}解：全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤8}，A∩（∁U B）＝{4，3，5}，∴{8，3，5}⊆A，5，5}⊆∁U B∴集合B＝{0，2，4，6，4，8}．故选：C．4．已知直线l1：2x﹣ay+1＝0和l2：（a﹣1）x﹣y+a＝0平行，则实数a＝（）A．﹣1B．2C．﹣1或2D．1解：当l1：2x﹣ay+8＝0，l2：（a﹣7）x﹣y+a＝0不相交时，2×（﹣4）＝（﹣a）×（a﹣1），解得a＝﹣1或a＝3，当a＝﹣1时，l1：7x+y+1＝0，l8：﹣2x﹣y﹣1＝8，即2x+y+1＝6，不符合题意，当a＝2时，l1：3x﹣2y+1＝6，l2：x﹣y+2＝3，两直线平行．故选：B．5．已知，则tanθ＝（）A．B．C．D．解：由，解得，又由，解得，因为，所以，又因为，得，所以．故选：C．6．关于椭圆与双曲线的关系（）A．焦点相同B．顶点相同C．焦距相等D．离心率相等解：由椭圆，得，k＜9，25﹣k﹣（6﹣k）＝16，所以椭圆的焦点在x轴上，0），0），由双曲线，得焦点在y轴上，所以2c＝2；所以椭圆与双曲线有相同的焦距．故选：C．7．已知函数，下列函数是奇函数的是（）A．f（x+1）+1B．f（x﹣1）+1C．f（x﹣1）﹣1D．f（x+1）﹣1解：由于，定义域为（﹣∞，+∞），故，定义域为（﹣∞，+∞）+2＝8+ln，即f（x+6）+1不是奇函数，A错误；，定义域为（﹣∞，+∞），即f（x﹣1）+1不是奇函数；f（x﹣2）﹣1＝ln，定义域为（﹣∞，+∞），即f（x﹣1）﹣1不是奇函数，C错误；，定义域为（﹣∞，+∞），，即为奇函数．故选：D．8．已知数列{a n}的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为P、Q、R，则“{a n}为等比数列”的一个必要条件为（）A．（P+Q）﹣R＝Q2B．P2+Q2＝P（Q+R）C．P+Q＝R D．Q2＝PR解：若{a n}为等比数列，则P、Q2＝P（R﹣Q），整理得P2+Q8＝P（Q+R），因此“{a n}为等比数列”的一个必要条件为“P2+Q2＝P（Q+R）”．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．某科技攻关青年团队共有10人，其年龄（单位：岁）分布如表所示（）A．中位数是34B．众数是32C．第25百分位数是29D．平均数为34.3解：把10个人的年龄由小到大排列为28，29，32，32，40，45，这组数据的中位数为32，众数为32，选项B正确；由25%×10＝2.5，得这组数据的第25百分位数是第7个数，选项C正确；这组数据的平均数为，选项D正确．故选：BCD．10．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：∀x、y∈（0，+∞），f（x）（y）＝f（xy），且当0＜x＜1时，f（x），若f（2）＝1，则（）A．f（1）＝0B．f（x）在（0，+∞）上单调递减C．D．f（2）+f（22）+⋯+f（220）＝55解：∀x、y∈（0，f（x）+f（y）＝f（xy），令f（x）＝log a x（x＞0），∴3＜x＜1时，f（x）＜0，∴a＞3，又f（2）＝log a2＝1，∴a＝8，∴f（x）＝log2x（x＞0），∴f（1）＝4，A正确；f（x）在（0，+∞）上单调递增；又|f（x）|＝|log2x|＝|﹣log2x|＝||＝；f（2）+f（22）+⋯+f（720）＝log22++...+＝210≠55．故选：AC．11．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.71828…，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则（）A．k＜0且b＞0B．在10℃的保鲜时间是60小时C．要使得保鲜时间不少于15小时，则储存温度不低于30℃D．在零下2℃的保鲜时间将超过150小时解：因为该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，易得y＝e kx+b是减函数，结合复合函数的单调性可知k＜0，又120＝e b＞4，可知b＞0；又30＝e20k+b，即30＝e20k•e b，故，，则，故B正确；若e kx+b≥15，则，结合，不等式化为e kx≥e30k，即kx≥30k，又k＜2，故C错误；当x＝﹣2时，，故D错误．故选：AB．12．在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，，E是底面ABC上（含边界），F是三棱锥P﹣ABC的外接球O表面上的一个动点，则（）A．当E在线段AB上时，PE⊥BCB．EF的最大值为4C．当F A∥平面PBC时，点F的轨迹长度为2πD．存在点F，使得平面P AC与平面PFB夹角的余弦值为解：对于A：由已知AB2+BC2＝AC7，即AB⊥BC，又P A⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，所以P A⊥BC，又P A，P A∩AB＝A，所以BC⊥面P AB，所以PE⊥BC，A正确：对于B：设三棱锥P﹣ABC的外接球O半径为R，将三棱锥P﹣ABC补成正方体ABCD﹣PGHI三棱锥P﹣ABC的外接球O即为正方体ABCD﹣PGHI的外接球，则，则EF的最大值为外接球的直径，即，B错误；对于C：当F A∥平面PBC时，点F的轨迹为过点A且与面PBC平行的平面与外接球的交线，产生的轨迹是一个圆，设其半径为r，设点A到面PBC的距离为h，因为V P﹣ABC＝V A﹣PBC，所以，解得，所以，所以点F的轨迹长度为2πr＝2π，C正确；对于D：取线段AC的中点M，连接BM，在正方体ABCD﹣PGHI中，明显有BM⊥面P AC，即点B到面P AC距离为线段BM的长，且，设平面P AC与平面PFB的交线为l，平面P AC与平面PFB的夹角为θ，过B作BN⊥l交l与N，连接MN，明显有BM⊥l，BN⊥l，BM，所以l⊥面BMN，则∠BNM为平面P AC与平面PFB夹角，则，又由图象可得，所以，所以，所以，又．所以存在点F，使得平面P AC与平面PFB夹角的余弦值为．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（1+x）n（n∈N*）的展开式中x2项的系数为15，则n＝6．解：展开式中含x2的项为，则，解得n＝6，故答案为：2．14．若正四棱台的上、下底边长分别为2、4，侧面积为，则该棱台体积为．解：如图，设该正四棱台为ABCD﹣A1B1C5D1，在等腰梯形ABB1A5中，过A1作A1E⊥AB于E，则AE＝8．由该正四棱台的侧面积为4××（2+4）×A6E＝，得A1E＝，则A1A＝．连接AC，A1C7，则AC＝，A8C1＝，在等腰梯形ACC1A1中，过A8作A1F⊥AC于F，则AF＝．根据正四棱台的性质可知，A8F⊥平面ABCD．在Rt△AF A1中，．该正四棱台的体积V＝××（4+16+．故答案为：．15．已知函数在区间[0，π]上恰有三个零点．解：根据题意，可得f（x）＝0时，，即．分别取k＝3，2，3，3，…，f（x）在区间（0，，，，…，因为f（x）区间[0，π]上恰有三个零点，解得．故答案为：．16．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图①1，F2的椭圆C与双曲线S构成，现一光线从左焦点F1发出，依次经S与C反射，又回到了点F1，历时t1秒；若将装置中的S去掉，如图②1发出，经C两次反射后又回到了点F1，历时t2秒．若C与S的离心率之比为2：3，则＝6．解：不妨设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，在图①中，由椭圆定义可得|BF3|+|BF2|＝2a2，由双曲线定义可得|AF2|﹣|AF1|＝4a2，由以上两式可得|AF1|+|AB|+|BF2|＝2a1﹣3a2，所以△ABF1的周长为5a1﹣2a7；在图②中，光线从椭圆的一个焦点发出，此时直线CD经过点F2，所以△CDF1的周长为4a1，又椭圆与双曲线焦点相同，C与S的离心率之比为2：7，可得3a2＝7a1，因为两次所用时间分别为t1，t3，而光线速度相同，则＝＝＝2．故答案为：6．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝6，．（1）求角A的大小；（2）M为△ABC的重心，AM的延长线交BC于点D，且，求△ABC的面积．解：（1）在△ABC中，∵，由正弦定理可得，∵5＜B＜π，∴sin B≠0，即，∴，∵0＜A＜π，∴，∴，故，即；（2）∵M为△ABC的重心，AM的延长线交BC于点D，且，∴点D为BC中点，且，在△ABC中，a＝8，2+c4﹣36，在△ABD和△ACD中，，化简得b4+c2＝72，∴bc＝b2+c7﹣36＝72﹣36＝36，故，∴△ABC的面积为．18．（12分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，首项为a1，已知S4＝4S2，且a2n＝2a n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{（﹣1）n•a n}的前n项和．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由S4＝4S7，可得4a1+6d＝4（2a4+d），即d＝2a1，由a2n＝2a n+1，n∈N*，可得a3＝a1+d＝2a6+1，即d＝a1+5，解得a1＝1，d＝3，则a n＝1+2（n﹣3）＝2n﹣1；（2）数列{（﹣7）n•a n}，即数列{（﹣1）n•（2n﹣3）}，设数列{（﹣1）n•a n}的前n项和为T n，当n为偶数时，T n＝﹣1+6﹣5+7﹣...﹣（2n﹣3）+（2n﹣8）＝2+2+...+8＝2•＝n；当n为奇数时，T n＝T n﹣5﹣（2n﹣1）＝n﹣5﹣2n+1＝﹣n，所以数列{（﹣5）n•a n}的前n项和为（﹣1）n n．19．（12分）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E、F分别为边AB、AC的中点将△AEF沿EF翻折至△A1EF，得四棱锥A1﹣EFCB，设P为A1C的中点．（1）证明：FP∥平面A1BE；（2）若平面A1EF⊥平面EFCB，求平面BPF与平面BCF夹角的余弦值．解：（1）证明：取A1B的中点Q，连接PQ，则有PQ∥BC，且PQ＝，又EF∥BC BC，所以PQ∥EF，且PQ＝EF，则四边形EFPQ为平行四边形，则FP∥EQ，又FP⊄平面A8BE，EQ⊂平面A1BE，所以FP∥平面A1BE．（2）取EF中点O，BC中点G，因为平面A2EF⊥平面EFCB，且交线为EF1O⊥平面EFCB，所以OA1、OE、OG两两垂直，以O为坐标原点，OE、OA5所在直线分别为x，y，z轴，则，F（﹣1，7，B（2，，C（﹣8，，因为P是A1C的中点，所以P（﹣3，，），所以＝（﹣7，0，﹣），，，0），，），设平面BFP的法向量＝（x，y，则，取x＝1，得，﹣），由题知，平面BCF的一个法向量为，设平面BPF与平面BCF夹角为θ，则cosθ＝＝＝，所以平面BPF与平面BCF夹角的余弦值为．20．（12分）《国家学生体质健康标准》是我国对学生体质健康方面的基本要求，是综合评价学生综合素质的重要依据．为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查．获得如下信息：①男生所占比例为60%；②不喜欢体育锻炼的学生所占比例为45%；③喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人．（1）完成2×2列联表，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析喜欢体育锻炼与性别是否有关联？（2）（ⅰ）从这200名学生中采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人．记事件A＝“至少有2名男生”、B＝“至少有2名喜欢体育锻炼的男生”、C＝“至多有1名喜欢体育锻炼的女生”．请计算P（B|A）（ABC）的值．（ⅱ）对于随机事件A、B、C，P（A）＞0，P（AB）＞0（ABC）与P（A）•P（B|A）（C|AB）的大小关系，并给予证明．参考公式及数据：，n＝a+b+c+d．解：（1）∵男生所占比例为60%，∴男生有200×60%＝120人，∵不喜欢体育锻炼的学生所占比例为45%，∴不喜欢体育锻炼的学生有200×45%＝90人，∴喜欢体育锻炼的学生有200﹣90＝110人，∵喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人，∴喜欢体育锻炼的男生有80人，喜欢体育锻炼的女生有30人，∴2×2列联表为：假设H8：是否喜欢体育锻炼与性质无关联，根据表中数据，计算得：＝≈16.498＞10.828，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断H0不成立，∴喜欢体育锻炼与性别有关联．（2）（ⅰ）依题意随机抽取的20名学生中，喜欢体育锻炼的男生有6人，喜欢体育锻炼的女生有3人，不喜欢体育锻炼的女生有5人，事件B|A表示“在至少有7名男生喜欢体育锻炼的条件下，至少有2名男生喜欢体育锻炼”，事件ABC表示“2男生2女生都喜欢体育锻炼”和“3男生中至少2人喜欢体育锻炼”，∴P（B|A）＝＝，P（ABC）＝＝．（ii）对于随机事件A，B，C，P（A）＞3，则P（ABC）＝P（A）P（B|A）P（C|AB）．证明如下：P（A）P（B|A）P（C|AB）＝P（A）•＝P（ABC）．21．（12分）已知圆心在y轴上移动的圆经过点A（0，﹣4），且与x轴、y轴分别交于B（x，0）、C（0，y），过点B垂直于x轴的直线与过点C垂直于y轴的直线交于点M．（1）求点M的轨迹T的方程；（2）点P、Q在曲线T上，以PQ为直径的圆经过原点O，作OH⊥PQ，使得|RH|为定值，若存在；若不存在，说明理由．解：（1）因为圆心在y轴上移动的圆经过点A（0，﹣4）与C（3，所以AC为动圆的直径，又动圆经过点B（x，故AB⊥CB，于是，即x6＝4y，而过点B垂直于x轴的直线与过点C垂直于y轴的直线交于点M，则M（x，故点M的轨迹T的方程为x2＝4y．（2）存在，理由如下：如图，依题意，直线PQ的斜率存在且截距大于0，故设其方程为y＝kx+m（m＞0），P（x7，y1），Q（x2，y7），联立，消去y得，x6﹣4kx﹣4m＝2，故Δ＝16（k2+m）＞0，则x5x2＝﹣4m，故，因为以PQ为直径的圆经过原点O，所以OP⊥OQ，则，则﹣6m+m2＝0，解得m＝7或m＝0（舍去），故直线PQ为y＝kx+4，显然经过定点N（6，又因为OH⊥PQ，则点H在以ON为直径的圆上，取ON中点R（0，2），则，因此，存在定点R（7．22．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣a（x﹣1），a∈R．（1）若f（x）≥0，求实数a的值；（2）当n∈N*时，证明：．解：（1）由f（x）≥0，得．令，则．注意到h（1）＝0，所以x＝4是函数h（x）的极小值点，所以，得a＝1．当a＝1时，，则函数h（x）在（0，在（6，所以h（x）≥h（1）＝0，满足条件．（2）证明：由（1）可得，．令，则，所以，即．令g（x）＝x﹣sin x（x＞2），则g′（x）＝1﹣cos x≥0，所以函数g（x）在（6，+∞）上单调递增，故g（x）＞g（0）＝0，则sin x＜x（x＞0），所以，＜[ln（n+2）﹣lnn]+[ln（n+2）﹣ln（n+1）]+⋯+[ln（7n）﹣ln（2n﹣1）]＝．故原不等式成立．。
2023-2024学年山东省济南市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项 1．已知集合M ＝{x |1≤x ＜5}，N ＝{x |x 2﹣x ＜2}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ＜2} B ．{x |﹣1＜x ＜5}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |1≤x ＜5}2．若z =1+i2+i，则其共轭复数z =（ ） A ．13+13iB ．13−13iC ．35+15iD ．35−15i3．已知曲线y ＝lnx 与曲线y =a(x −1x)在交点（1，0）处有相同的切线，则a ＝（ ）A ．1B ．12C ．−12D ．﹣14．已知直线l 经过点（2，4），则“直线l 的斜率为﹣1”是“直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝2相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，∠BAD =π3，若BE →=EC →，CF →=2FD →，则AE →⋅AF →=（ ）A ．4B ．6C ．18D ．226．已知sin(x +π4)=45，则sin2x 的值为（ ）A ．1825B ．725C ．−725D ．−16257．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，坐标原点为O ，过点F 的直线与C 交于A ，B 两点，且点O 到直线AB 的距离为√2，则△OAB 的面积为（ ） A ．4√2B ．8√2C ．16√2D ．32√28．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 2＝2，且a n +2＝（2+|cos nπ2|）a n ﹣|sin nπ2|，则S 2024＝（ ）A ．32024﹣1011B ．32024+1011C ．31012﹣1011D ．31012+1011二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2．A
解析：A 【解析】
【分析】
根据题意，作出可行域，分析 y 的几何意义是可行域内的点 x, y 与原点 O 连线的斜率，
x
根据图象即可求解. 【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示，
y x
的几何意义是可行域内的点
x,
y
与原点 O
连线的斜率，由
x
y
y 1 2
0
，得点
A
的
坐标为 1, 2 ，所以 kOA 2 ，同理， kOB 2 ，
（1）求证：数列 bn 是等比数列;
（2）求数列an的前 n 项和 Sn .
23．△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，且
a( 3 sin B cos C) (c b) cos A ．
（1）求 A ；
（2）若 b
3
，点
D
在
BC
边上，
CD
2
，
ADC
3
，求
△ABC
的面积．
24．在△ ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ，已知
3cos(B C) 1 6cos B cos C ，（1）求 cos A（2）若 a 3，△ ABC 的面积为 2 2 ， 求 b、c
25．△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，向量 ＝(2sinB,2－cos2B)， ＝
x2 x a2 a 1,即 x2 x a2 a 1 0 恒成立,
12 41 a2 a 1 0,
1 a 3
2
2
故选：C
【点睛】
本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当 x R 时,利用判别式是解题
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B 解析：B 【解析】 【分析】 作出可行域，求出 m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式 求得最小值． 【详解】
作出可行域，如图 ABC 内部（含边界），作直线 l : 2x y 0 ，平移该直线，当直线 l 过点 A(3, 0) 时， 2x y 取得最大值 6，所以 m 6 ．
化目标函数为 y 2x z ，
联立
x x
y 7 0 3y 1 0
，解得
A（5,
2）.
由图象可知，当直线过点 A 时，直线在 y 轴上截距最小， z 有最大值 25- 2 8 .
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.
6．A
解析：A
【解析】 【分析】
由正弦定理求出 c ，
所以 y 的取值范围是 , 2
x 故选： A
【点睛】
2, .
本题考查简单的线性规划，考查斜率型目标函数问题，考查数形结合思想，属于中等题型.
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
由 sin A: sin B : sin C 5:11:13 ，得出 a : b : c 5:11:13 ，可得出角 C 为最大角，并利
个数有（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
12．在直角梯形 ABCD中， AB//CD ， ABC 90 ， AB 2BC 2CD ，则
cosDAC （ ）
A． 2 5 5
二、填空题
B． 5 5
C． 3 10 10
D． 10 10
yx
13．已知
x,
y
满足约束条件
x
y
4
，则
z
2
x
y
的最大值为__________．
A． 1 a 1
B． 0 a 2
C． 1 a 3
2
2
D． 3 a 1
2
2
11． ABC 中有：①若 A B ，则 sinA>sinB ；②若 sin2A sin2B ，则 ABC —定为
等腰三角形；③若 acosB bcos A c ，则 ABC —定为直角三角形.以上结论中正确的
个正方形就叫做 n 阶幻方.记 n 阶幻方的一条对角线上数的和为 Nn (如：在 3 阶幻方中，
N3 15 )，则 N10 （ ）
A．1020
B．1010
C．510
D．505
8．设数列an是等差数列，且 a2 6 ， a8 6 ， Sn 是数列an的前 n 项和，则
（ ）．
A． S4 S5
y 2 0
14．设函数
f
(x)
x2Leabharlann 1 ，对任意x2 3
,
，
f
x m
4m2
f
(
x)
f
(x 1) 4 f
(m) 恒
成立，则实数 m 的取值范围是 .
15．已知数列an的前 n 项和 sn = 3n2 -2n+1,则通项公式 an. = _________
16．已知数列an、bn 满足 bn ln an ， n N* ，其中bn是等差数列，且
a3 a1007 e4 ，则 b1 b2 b1009 ________． x y 0
17．设 x, y 满足约束条件{x 2 y 3 ，则 z x 4 y 的最大值为 . x2y 1
18．设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，若 S5 10 ， S10 5 ，则公差 d （___）． 19．等差数列an前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1 1, ak a4 0 ，则 k .
定是( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
x y 7 0， 5．设 x，y 满足约束条件 x 3y 1 0, 则 z 2x y 的最大值为（ ）.
3x y 5 0，
A．10
B．8
C．3
D．2
6．在△ABC 中，若 tan A 1，C 150，BC 1，则△ABC 的面积 S 是( ) 3
A． 3 3 8
B． 3 3 4
C． 3 3 8
D． 3 3 4
7．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将 1，2，...，9 填入 33 的方格
内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于 15 (如图）.一般地，将连续的正整数
1，2，3，…， n2 填入 n n 的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这
详解： 数列an为等差数列， a2 a8 2a5
又 a2 6, a8 6 ， a5 =0 由数列前 n 项和的定义 S5 S4 a5 ， S5 S4
故选 B.
点睛：本题考查等差数列的性质与前 n 项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运
用数列的基本概念与性质.
9．C
解析：C 【解析】 由约束条件画出可行域，如下图，可知当过 A(0,1)点时，目标函数取最小值 5，选 C.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据新运算的定义, x a x a x2 x a2 a ,即求 x2 x a2 a 1恒成
立,整理后利用判别式求出 a 范围即可 【详解】
A B A1 B
xa x a
x a = x a 1 x a x a x a 1 x2 x a2 a x a 1对于任意的实数 x R 恒成立,
形内角和定理化简得到 cos Asin C 0 ，即可确定 ABC 的形状．
【详解】
sin B，结合三角
cos2 C a b 2 2a
1 cos C sin A sin B 化简得 sin AcosC sin B
2
2sin A
B (A C)
sin AcosC sin(A C) 即 cos AsinC 0
1 4 1 (a b)( 1 4) 1 (5 b 4a ) 1 (5 2 b 4a ) 3 ，当且仅当 b 4a ，
ab 6
ab 6 a b 6
ab 2
ab
即 a 1 ,b 2 时等号成立，即 1 4 的最小值为 3 ．
33
ab
2
故选：B.
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基 本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．
(2sin2(
)，－1)，
.
(1)求角 B 的大小； (2)若 a＝ ，b＝1，求 c 的值．
26．在 ABC 中，角 A ， B 、 C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 3a b . cos A sin B
（1）求 A ；
（2）若 a 2 ，且 cosB C 2sin Bsin C cosC ，求 ABC 的面积.
x
A． ,2 2,
B． 2,2
C． , 2 2,
D． 2,2
3．若 ABC 的三个内角满足 sin A: sin B : sin C 5:11:13 ，则 ABC （ ）
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
4．在 ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c， cos2 C a b ，则 ABC 的形状一 2 2a
sinC 0
cos A 0 即 A = 900 ABC 是直角三角形
故选 A 【点睛】
本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简 cos2 C a b 时，将边化 2 2a
为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略．
5．B
解析：B 【解析】 【分析】 作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最 优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图：