九年级上册数学 二次函数单元测试卷附答案

九年级上册数学二次函数单元测试卷附答案一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝1 2 x

﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；

（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝1

2

x2﹣

3

2

x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值

为4；（3）Q的坐标为（5

3

，﹣

28

9

）或（﹣

11

3

，

92

9

）．

【解析】

【分析】

（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；

（2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，1

2

x2﹣

3

2

x﹣2），进而根据S

＝S△PHB+S△PHC＝1

2

PH•（x B﹣x C），进行计算即可求解；

（3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解．

【详解】

解：（1）对于直线y＝1

2

x﹣2，

令x＝0，则y＝﹣2，

令y＝0，即1

2

x﹣2＝0，解得：x＝4，

故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），

将点C的坐标代入上式并解得：a＝1

2

，

故抛物线的表达式为y＝

1

2

x2

﹣

3

2

x﹣2①；

（2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H，

设点P（x，

1

2

x2﹣

3

2

x﹣2），则点H（x，

1

2

x﹣2），

S＝S△PHB+S△PHC＝

1

2

PH•（x B﹣x C）＝

1

2

×4×（

1

2

x﹣2﹣

1

2

x2+

3

2

x+2）＝﹣x2+4x，

∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；

（3）①当点Q在BC下方时，如图2，

延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形，

则点C是RQ的中点，

在△BOC中，tan∠OBC＝

OC

OB

＝

1

2

＝tan∠ROC＝

RC

BC

，

则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB22

(2)

x x

5＝BQ，

在△QRB中，S△RQB＝

1

2

×QR•BC＝

1

2

BR•QK，即

1

2

2x•2x＝

1

2

5，

解得：KQ

5

∴sin∠RBQ＝

KQ

BQ

5

5x

＝

4

5

，则tanRBH＝

4

3

，

在Rt△OBH中，OH＝OB•tan∠RBH＝4×4 3

＝

16

3

，则点H（0，﹣

16

3

），

由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为y＝

4

3

（x﹣4）②，

联立①②并解得：x＝4（舍去）或

5

3

，

当x＝

5

3

时，y＝﹣

28

9

，故点Q（

5

3

，﹣

28

9

）；

②当点Q在BC上方时，

同理可得：点Q的坐标为（﹣

11

3

，

92

9

）；

综上，点Q的坐标为（

5

3

，﹣

28

9

）或（﹣

11

3

，

92

9

）．

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等，注意分类讨论思维的应用，避免遗漏．

2．如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB 于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；

（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，当1

2

36

25

S

S

时，求点P的坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+

2

3

E'B的最小值．

【答案】（1）抛物线y＝﹣

3

4

x2+

9

4

x+3，直线AB解析式为y＝﹣

3

4

x+3；（2）P（2，3

2

）；（3）

410

3

【解析】