高中数学 3.2.3用空间向量求空间角 新人教A版选修2-1
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3.2.3立体几何中的向量方法 ——空间“角”问题
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
复习回顾
• 直线的方向向量 • 平面的法向量
• 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
则(1)a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3
.
复习回顾
• 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、
D1
①证明：以 DA、 DC、 DD为1 正交基底， A1 建立空间直角坐标系如图。则可得
M
B1
所 以 M A(2， 0， 1)， M C(0， 2， 1)，
B 1O(1， 1， 2)
D O
A(2， 0， 0)， C(0， 2， 0)， M(0， 0， 1)， A
B
B1(2， 2， 2)， O(1， 1， 0)。
所以：AF1
(1, 2
0,1),
11
BD1
(, 2
,1) 2
A
C1
F1
D1
C
B1
By
x
cosAF 1,BD 1
|
AF1 AF1
• ||
BD1 BD1
|
1 1 4 53
30 10
42 30
所以 B D 1 与 A F 1 所成角的余弦值为 1 0
[悟一法] 利用向量求异面直线所成的角的步骤为： (1)确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线线角与向量夹角的关系；当向量夹角为锐 角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹 角为向量夹角的补角．
二、线面角：直线和直线在平面内的射影所成的角，
叫做这条直线和这个平面所成的角.
直线与平面所成角的范围： [ 0 , ]
A
2
n
思考：如何用空间向量的夹角
表示线面角呢？
B
O
结论：sin |cosn,AB|
例2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，
求A1B与平面A1B1CD所成的角
①向量法
z
得n (1,1,4) 又 AD(0,8,0),
A1
3
B1 M
NN C 1
D1
A
|01•80| 3 34
,
8• 12 12 (4)2 34
xB
3
A D 与 平 面 A N M 所 成 角 的 正 弦 值 是 3 34 34
Dy
C
[悟一法] 利用向量法求直线与平面所成角的步骤为： (1)确定直线的方向向量和平面的法向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为 锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线 面角等于这个夹角减去90°.
⇔
⇔ .
⑹ l ⊥ α⇔
⇔
.
引例：
如图所示，四边形ABCD是边 长为6的正方形，SA 平面 ABCD，SA=8,M是SA的中点， 过M和BC的平面交SD于N.
(1)求二面角M-BC-D的平面角的正切值； (2)求CN与平面ABCD所成角的正切值； (3)求CN与BD所成角的余弦值； 求平面SBC与SDC所成角的正弦值
AN •n 0
4y3z 0
D1
NC1
Dy
C
练习：在长方体 ABCDA1B1C1D 1中， AB 6,AD 8,
AA1 6, M 为 B 1 C 1 上 的 一 点 , 且 B 1 M 2 ,点 N在 线 段 A1D上 ，
A1N 5, 求 A D 与 平 面 A N M 所 成 的 角 的 正 弦 值 .
取 A 1B 1 、 A 1 C 1 的 中 点 D 1 、 F 1 ， 求 B D 1 与 A F 1 所 成 的 角 的 余 弦 值 .
解：如图所示，建立空间直角坐标
z
系 C ,如xy图z 所示，设 则C：C1 1
A(1,0,0),B(0,1,0), F1(12,0,1),D1(12,12,1) A 1
四等分点，求异面直线DF1与BE1的夹角余弦值
？
z
D1
F1
C1
A1
E1 B1
① 传统法：平移
D
C
y
② 向量法
A
B
x
练习：R tA B C 中 ， B C A 9 0 0 ,现 将 A B C 沿 着 平 面 ABC 的 法 向 量
平 移 到 A 1 B 1 C 1 位 置 ， 已 知 BCCACC1，
D1
C1 ② 传统法
A1
B1
O
D A
C B
练习：在长方体 ABCDA1B1C1D 1中， AB 6,AD 8,
AA1 6, M 为 B 1 C 1 上 的 一 点 , 且 B 1 M 2 ,点 N在 线 段 A1D上 ，
A1N 5, 求 A D 与 平 面 A N M 所 成 的 角 的 正 弦 值 .
一、线线角：异面直线所成的锐角或直角
范围：
C
0,
2
D 思考：空间向量的夹角与
A
D 1 异面直线的夹角有什么关系？
B
设 直 线 C D 的 方 向 向 量 为 a ， A B 的 方 向 向 量 为 b
a
a， b
a
a， b b
b
|
|
结论： cos | cosCD ,AB|
例1.如图所示的正方体中，已知F1与E1为Biblioteka β的法向量分别为n1、n2.
则⑴l1∥l2或l1与l2重合⇔ a∥b
a＝ tb
⇔
a⊥b . a· b ＝ 0
⑵ l1⊥l2⇔
⇔ n1∥n2 . n1＝tn2
⑶ α∥β 或n1⊥αn与2 β 重n1 合·⇔n2＝ 0
.
n1⊥ a
n1 · a ＝ 0
⑷α ⊥ β⇔n1∥ a
⇔n1＝t a .
⑸l∥α或l⊂α⇔
解：如图建立坐标系A-xyz,则
A(0,0,0), M(6,2,6)
z
A1
B1 M
由A 1N5,可得 N (0,4,3)
A
设 A M 平 的 ( 6 ,2 ,6 ) 面 法 A n N , (x ( 0 ,向 , y 4 ,,z 3 ) ) 由 ,.量 x B
AM
•n
0
即 6x2y6z 0
三、面面角：
以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角必须满足：
A O
l
B
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
范围:[0,]
10
三、面面角：
向量法
n1，n2
n2
n1， n2
n2
n1
n1
l
l
cos cosn1,n2 cos cosn1,n2
结论 co： scosn1,n2
关键：观察二面角的范围
例3.已知正方体 AB C A 1B D 1 C 1D 1 的边长为2，
O为AC和BD的交点，M为 的中DD点1
z
（1）求证： 直线B1O 面MAC; （2）求二面角 B1MAC的余弦值.
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
复习回顾
• 直线的方向向量 • 平面的法向量
• 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
则(1)a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3
.
复习回顾
• 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、
D1
①证明：以 DA、 DC、 DD为1 正交基底， A1 建立空间直角坐标系如图。则可得
M
B1
所 以 M A(2， 0， 1)， M C(0， 2， 1)，
B 1O(1， 1， 2)
D O
A(2， 0， 0)， C(0， 2， 0)， M(0， 0， 1)， A
B
B1(2， 2， 2)， O(1， 1， 0)。
所以：AF1
(1, 2
0,1),
11
BD1
(, 2
,1) 2
A
C1
F1
D1
C
B1
By
x
cosAF 1,BD 1
|
AF1 AF1
• ||
BD1 BD1
|
1 1 4 53
30 10
42 30
所以 B D 1 与 A F 1 所成角的余弦值为 1 0
[悟一法] 利用向量求异面直线所成的角的步骤为： (1)确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线线角与向量夹角的关系；当向量夹角为锐 角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹 角为向量夹角的补角．
二、线面角：直线和直线在平面内的射影所成的角，
叫做这条直线和这个平面所成的角.
直线与平面所成角的范围： [ 0 , ]
A
2
n
思考：如何用空间向量的夹角
表示线面角呢？
B
O
结论：sin |cosn,AB|
例2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，
求A1B与平面A1B1CD所成的角
①向量法
z
得n (1,1,4) 又 AD(0,8,0),
A1
3
B1 M
NN C 1
D1
A
|01•80| 3 34
,
8• 12 12 (4)2 34
xB
3
A D 与 平 面 A N M 所 成 角 的 正 弦 值 是 3 34 34
Dy
C
[悟一法] 利用向量法求直线与平面所成角的步骤为： (1)确定直线的方向向量和平面的法向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为 锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线 面角等于这个夹角减去90°.
⇔
⇔ .
⑹ l ⊥ α⇔
⇔
.
引例：
如图所示，四边形ABCD是边 长为6的正方形，SA 平面 ABCD，SA=8,M是SA的中点， 过M和BC的平面交SD于N.
(1)求二面角M-BC-D的平面角的正切值； (2)求CN与平面ABCD所成角的正切值； (3)求CN与BD所成角的余弦值； 求平面SBC与SDC所成角的正弦值
AN •n 0
4y3z 0
D1
NC1
Dy
C
练习：在长方体 ABCDA1B1C1D 1中， AB 6,AD 8,
AA1 6, M 为 B 1 C 1 上 的 一 点 , 且 B 1 M 2 ,点 N在 线 段 A1D上 ，
A1N 5, 求 A D 与 平 面 A N M 所 成 的 角 的 正 弦 值 .
取 A 1B 1 、 A 1 C 1 的 中 点 D 1 、 F 1 ， 求 B D 1 与 A F 1 所 成 的 角 的 余 弦 值 .
解：如图所示，建立空间直角坐标
z
系 C ,如xy图z 所示，设 则C：C1 1
A(1,0,0),B(0,1,0), F1(12,0,1),D1(12,12,1) A 1
四等分点，求异面直线DF1与BE1的夹角余弦值
？
z
D1
F1
C1
A1
E1 B1
① 传统法：平移
D
C
y
② 向量法
A
B
x
练习：R tA B C 中 ， B C A 9 0 0 ,现 将 A B C 沿 着 平 面 ABC 的 法 向 量
平 移 到 A 1 B 1 C 1 位 置 ， 已 知 BCCACC1，
D1
C1 ② 传统法
A1
B1
O
D A
C B
练习：在长方体 ABCDA1B1C1D 1中， AB 6,AD 8,
AA1 6, M 为 B 1 C 1 上 的 一 点 , 且 B 1 M 2 ,点 N在 线 段 A1D上 ，
A1N 5, 求 A D 与 平 面 A N M 所 成 的 角 的 正 弦 值 .
一、线线角：异面直线所成的锐角或直角
范围：
C
0,
2
D 思考：空间向量的夹角与
A
D 1 异面直线的夹角有什么关系？
B
设 直 线 C D 的 方 向 向 量 为 a ， A B 的 方 向 向 量 为 b
a
a， b
a
a， b b
b
|
|
结论： cos | cosCD ,AB|
例1.如图所示的正方体中，已知F1与E1为Biblioteka β的法向量分别为n1、n2.
则⑴l1∥l2或l1与l2重合⇔ a∥b
a＝ tb
⇔
a⊥b . a· b ＝ 0
⑵ l1⊥l2⇔
⇔ n1∥n2 . n1＝tn2
⑶ α∥β 或n1⊥αn与2 β 重n1 合·⇔n2＝ 0
.
n1⊥ a
n1 · a ＝ 0
⑷α ⊥ β⇔n1∥ a
⇔n1＝t a .
⑸l∥α或l⊂α⇔
解：如图建立坐标系A-xyz,则
A(0,0,0), M(6,2,6)
z
A1
B1 M
由A 1N5,可得 N (0,4,3)
A
设 A M 平 的 ( 6 ,2 ,6 ) 面 法 A n N , (x ( 0 ,向 , y 4 ,,z 3 ) ) 由 ,.量 x B
AM
•n
0
即 6x2y6z 0
三、面面角：
以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角必须满足：
A O
l
B
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
范围:[0,]
10
三、面面角：
向量法
n1，n2
n2
n1， n2
n2
n1
n1
l
l
cos cosn1,n2 cos cosn1,n2
结论 co： scosn1,n2
关键：观察二面角的范围
例3.已知正方体 AB C A 1B D 1 C 1D 1 的边长为2，
O为AC和BD的交点，M为 的中DD点1
z
（1）求证： 直线B1O 面MAC; （2）求二面角 B1MAC的余弦值.