第八章 高斯光束
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第八章 高斯光束
• 掌握高斯光束的基本性质，包括高斯光束参数 与腰斑半径的相互计算和高斯光束任意位置处 光斑半径与等相位面曲率半径的计算。 • 掌握q参数及其传输规律，掌握高斯光束q参数 的定义、计算和传输规律。 • 掌握透镜对高斯光束的变换规律，掌握高斯光 束的聚焦与准直方法。 • 了解高斯光束的匹配概念与方法。
共焦腔基模光束的理论发散角具有毫弧度的数量级，它的方向 性相当好。由于高阶模的发散角是随着模的阶次的增大而增大， 所以多模振荡时，光束的方向性要比单基模振荡差。
高斯光束既不是平面波也不是球面波，在傍轴近似条件下， 可以将其看作一种曲率中心与曲率半径都随传播过程而不 断改变的非均匀球面波。
高斯光束的基本性质
1 1 1 3.14 10 i 2 i 2i 3 2 q R w 0.5 3.14 (10 ) 1 2i 2i q 0.4 0.2i (m) 2 i 4 1 5
6
(2)
w( z ) w0 1
2
z z ( f ) 2 f f
其中，
2 w0 f f , 或 w0
二、基模高斯光束在自由空间的传输规律
1）基横模TEM00的场振幅U00和强度I00分布分别为：
U 00 x2 y 2 exp 2 z I 00 U 00
2
x2 y 2 exp 2 2 z
共焦腔中等位相面的分布
当z=0时， R z ，束腰所在位置处的等相位面为平面 当 z 时 R z z ，离束腰无限远时等相位面为 平面，曲率中心在束腰位置处。 当 z 2 f 时 R z min 2 f 。 当 z f 时 当 0 z f 时 R z 2 f ，表明等相位面的曲率中心在 f ,
光束在均匀介质和类透镜介质中的传播
• 高斯分布：
– 在统计学中更多的被称为正态分 布，它指的是服从以下概率密度 函数的分布：
x 2 1 f ( x; , ) exp 2 2 2
Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855)
2
波动方程 也称亥姆 霍兹方程
光束在均匀介质和类透镜介质中的传播
• 下面我们研究类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中传播的是一种 近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光轴方向传播。可以假设光场 2 的横向分布只与 r x2 y 2 有关，因此波动方程中的算符 可以表示 为： 2 2 2
共焦场等相面的分布 如果在场的任意一个等相位面处放上一块具有相应曲率的反 射镜片,则入射在该镜片上的场将准确地沿着原入射方向返 回,这样共焦场分布将不会受到扰动.这是非常重要的性质.
思路： 共焦腔
共焦腔的模式理论
等价的稳定球面腔 等价的稳定球面腔的模式理论
处理原则：稳定球面腔与共焦腔的等价性。
三、基模高斯光束的特征参数
1 z 2 R z f2
讨论
腰处的q参数
q0=q(0)=if
z w( z ) (f ) f
2
fz参数
q (z) z if
f R (z) z z
2
WR参数
1 1 l = - i 2 q (z ) R (z ) p w (z )
q参数
例1 某高斯光束波长为=3.14m,腰斑半径为 w0=1mm,求腰右方距离腰50cm处的(1)q参数 (2)光斑半径w与等相位面曲率半径R 2 6 w 3 . 14 10 解 (1) w f 0 f 1m
R z 2 f，表明等相位面的曲率中心在
f ,0
4) 远场发散角 2 (全角) 定义为双曲线的两条渐近线之间的夹角
2 2 2 2 z 2 L 0 ( z ) 0 1 ( 2 ) 0 2 lim 2 ( z ) z z
0 在各向同性介质中有介电常数不随位置而发生变化，即
假设折射率n的空间变化很小，即n(r)满足慢变近似，此时可以将电磁场表示为：
E 2 综合上三式可以得到 u E (4) 2 t
2
2 E 0 k (r ) E 0 0 i t E ( x, y, z , t ) Re E 0 ( x , y , z )e 代入(4)式 2 2 k ( r ) u (r )
特征参数：可以完全确定高斯光束形状与位置 的物理量
１、fz参数
焦参数f (或腰斑半径w0)与腰位置z(观察点坐标)
基模光斑半径随z按双曲线规律的变化
２、w(z)和R(z)参数
观察点z处光斑半径w(z)与等相位面曲率半径R(z)
w( z ) w0 z 1 2 f
2
z (f ) f
2）当场振幅为轴上( x2 y 2 0 )的值的e-1倍，即强度为轴上的值的e-2倍时， 所对应的横向距离 z 即z 处截面内基模的有效截面半径为；
z f w0 , w z w0 1 f 3)共焦场中等相位面的分布如图所示。
2
x2 y 2 1 z 00 ( x, y , z ) k z tg 2 R (z ) f 2 w2 2 f 0 R z z 1 z z z
2r 2 I (r ) I 0 exp 2
r2 A(r ) A0 exp 2
P T P
I (r )2 rdrd 1 exp 2 I (r )2 rdrd 孔径Βιβλιοθήκη Baidu径 a
证
z2 w( z ) (f ) f
1 p f = 2 w l f 2 + z2
f2 R (z) z z
1 1 z f z if i 2 i 2 2 2 2 2 q R W z f z f z f2
z 2 f 2 (z 2 f 2 )( z if ) q z if z if (z if )( z if )
光束在均匀介质和类透镜介质中的传播
• 类透镜介质中的波动方程
– 在各向同性、无电荷分布的介质中，Maxwell方程组的微分形式为：
E H t H E u t E 0
(1) (2) (3)
2 2
f2 R( z ) z z
f z 0 .5 z
z f 1 f
2
z2 f 2 0 .5 z
f 2 z2 1 f
① ②
z2 f 2 0 .5 z
f z 1 f
2 2
① ②
z 2 ②/ ①: f
z2f
f 2 4f 2 1 f
5f f
2
5f2 f 0
0 0 2 0 0
2
2
2
ω/2
39.3%
ω
86.5%
3ω/2
98.89%
2ω
99.99%
功率透过比
– 在激光应用中，高斯光束总要通过各种光学元件，从上面推导可知，只 要光学元件的孔径大于3ω/2，即可保证高斯光束的绝大部分功率有效透过。
共焦谐振腔 共焦谐振腔的性能介于平行平面腔与球面腔之间， 其特点如下： 1）镜面较易安装、调整； 2）较低的衍射损耗； 3）腔内没有过高的辐射聚焦现象； 4）模体积适度； 共焦谐振腔一般应用于连续工作的激光器
0 r2 E E0 exp 2 ( z) ( z)
§1 高斯光束的基本性质 W(Z)
一、基模高斯光束
稳定球面腔的行波场
-f
-
w0
0 -w0
x2 y2 w2 ( z )
f
Z
w0 2x 2y Emn ( x, y , z ) Hm( )H n ( )e w( z ) w( z ) w( z )
f (5 f 1) 0
f 0 (舍去)
0 .2 2 z 2 1 0 .2
f 0 .2 m
z 2 0.2 0.2 2 0.16
z 0 .4 m
f 3.14 10 6 0.2 w0 0.447 mm 3.14
0
z=0.5m
3.14 10 6 q=0.5+i(m)
(2)
w (z) w 0
z2 0 .5 2 1 2 w 0 1 2 1.12mm f 1
2 2
f 1 R ( z ) z 0 .5 2 .5 m z 0 .5
例2 高斯光束在某处的光斑半径为w=1mm, 等相位 面曲率半径为R=0.5m, 求此高斯光束(1)该处的q参 数 (2)腰斑半径w0及腰位置(光波长为=3.14m) 解 (1)
1. 高斯光束在其轴线附近可看作是一种非均匀高斯
球面波，
2.在其传播过程中曲率中心不断改变
3.其振幅在横截面内为一高斯光束
4.强度集中在轴线及其附近 5.等相位面保持球面
• 高斯光束的孔径
– 从基模高斯光束的光束半径表达式可以得到截面上振幅的分布为： – 则其光强分布为：
– 考虑垂直于高斯光束传播方向上存在一无限大平面，以光轴为中心开一 半径为a的孔，则透过该孔径的光功率与总功率的比值为左下式，通过计 算可以得到不同孔径的功率透过率。
e i ( x , y , z )
基模行波场为
w0 E00 (x, y , z ) e w(z )
2 z w z w0 1 f f2 R z z z
x2 y2 w2 (z )
e
x2 y2 1 z i k z tg 2R( z ) f
2
f R (z) z z
2
３、q参数
(1)定义 (2)计算
1 1 i 2 q(z) R (z) w ( z )
w02 if 束腰位置处 z 0 ，有 q0 i
q (z) z if
禳 镲1 1 = Re 镲 睚 镲 R( z ) q( z ) 镲 铪 禳 镲 1 1 镲 = p / l Im 睚 镲 w2 ( z ) q( z ) 镲 铪
r
2
2
1 2 2 2 z r r r z
我们假设 2 ，其中a为集中大部分能量的横截面半径，这一假设说 明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于单一的横向场分量，其单色平 面波的表达式为：E ( x, y, z )e ikz其中e-ikz表示波数为k的严格平面波， 为了研究修正平面波，我们引入了修正因子 ( x, y, z ) ，它包含了相位 和振幅修正两部分。 • 该修正因子满足慢变近似： ' k , " k 2 将这些相关假设带入波动 方程可以得到： 2 2ik ' kk 2 r 2 0 • 令修正因子取以下形式： 为什么取这种形式？这是对波动方程 k 进行长期研究得到的解，既满足方程， E 0 exp i p( z ) r 2 2q ( z ) 又有明确的、能够被实验证实的物理 意义。 •
E E 2 E
2 H E 对2式求旋度： E u u 2 t t
且由3式：
1 E E E 0 E E
• 掌握高斯光束的基本性质，包括高斯光束参数 与腰斑半径的相互计算和高斯光束任意位置处 光斑半径与等相位面曲率半径的计算。 • 掌握q参数及其传输规律，掌握高斯光束q参数 的定义、计算和传输规律。 • 掌握透镜对高斯光束的变换规律，掌握高斯光 束的聚焦与准直方法。 • 了解高斯光束的匹配概念与方法。
共焦腔基模光束的理论发散角具有毫弧度的数量级，它的方向 性相当好。由于高阶模的发散角是随着模的阶次的增大而增大， 所以多模振荡时，光束的方向性要比单基模振荡差。
高斯光束既不是平面波也不是球面波，在傍轴近似条件下， 可以将其看作一种曲率中心与曲率半径都随传播过程而不 断改变的非均匀球面波。
高斯光束的基本性质
1 1 1 3.14 10 i 2 i 2i 3 2 q R w 0.5 3.14 (10 ) 1 2i 2i q 0.4 0.2i (m) 2 i 4 1 5
6
(2)
w( z ) w0 1
2
z z ( f ) 2 f f
其中，
2 w0 f f , 或 w0
二、基模高斯光束在自由空间的传输规律
1）基横模TEM00的场振幅U00和强度I00分布分别为：
U 00 x2 y 2 exp 2 z I 00 U 00
2
x2 y 2 exp 2 2 z
共焦腔中等位相面的分布
当z=0时， R z ，束腰所在位置处的等相位面为平面 当 z 时 R z z ，离束腰无限远时等相位面为 平面，曲率中心在束腰位置处。 当 z 2 f 时 R z min 2 f 。 当 z f 时 当 0 z f 时 R z 2 f ，表明等相位面的曲率中心在 f ,
光束在均匀介质和类透镜介质中的传播
• 高斯分布：
– 在统计学中更多的被称为正态分 布，它指的是服从以下概率密度 函数的分布：
x 2 1 f ( x; , ) exp 2 2 2
Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855)
2
波动方程 也称亥姆 霍兹方程
光束在均匀介质和类透镜介质中的传播
• 下面我们研究类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中传播的是一种 近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光轴方向传播。可以假设光场 2 的横向分布只与 r x2 y 2 有关，因此波动方程中的算符 可以表示 为： 2 2 2
共焦场等相面的分布 如果在场的任意一个等相位面处放上一块具有相应曲率的反 射镜片,则入射在该镜片上的场将准确地沿着原入射方向返 回,这样共焦场分布将不会受到扰动.这是非常重要的性质.
思路： 共焦腔
共焦腔的模式理论
等价的稳定球面腔 等价的稳定球面腔的模式理论
处理原则：稳定球面腔与共焦腔的等价性。
三、基模高斯光束的特征参数
1 z 2 R z f2
讨论
腰处的q参数
q0=q(0)=if
z w( z ) (f ) f
2
fz参数
q (z) z if
f R (z) z z
2
WR参数
1 1 l = - i 2 q (z ) R (z ) p w (z )
q参数
例1 某高斯光束波长为=3.14m,腰斑半径为 w0=1mm,求腰右方距离腰50cm处的(1)q参数 (2)光斑半径w与等相位面曲率半径R 2 6 w 3 . 14 10 解 (1) w f 0 f 1m
R z 2 f，表明等相位面的曲率中心在
f ,0
4) 远场发散角 2 (全角) 定义为双曲线的两条渐近线之间的夹角
2 2 2 2 z 2 L 0 ( z ) 0 1 ( 2 ) 0 2 lim 2 ( z ) z z
0 在各向同性介质中有介电常数不随位置而发生变化，即
假设折射率n的空间变化很小，即n(r)满足慢变近似，此时可以将电磁场表示为：
E 2 综合上三式可以得到 u E (4) 2 t
2
2 E 0 k (r ) E 0 0 i t E ( x, y, z , t ) Re E 0 ( x , y , z )e 代入(4)式 2 2 k ( r ) u (r )
特征参数：可以完全确定高斯光束形状与位置 的物理量
１、fz参数
焦参数f (或腰斑半径w0)与腰位置z(观察点坐标)
基模光斑半径随z按双曲线规律的变化
２、w(z)和R(z)参数
观察点z处光斑半径w(z)与等相位面曲率半径R(z)
w( z ) w0 z 1 2 f
2
z (f ) f
2）当场振幅为轴上( x2 y 2 0 )的值的e-1倍，即强度为轴上的值的e-2倍时， 所对应的横向距离 z 即z 处截面内基模的有效截面半径为；
z f w0 , w z w0 1 f 3)共焦场中等相位面的分布如图所示。
2
x2 y 2 1 z 00 ( x, y , z ) k z tg 2 R (z ) f 2 w2 2 f 0 R z z 1 z z z
2r 2 I (r ) I 0 exp 2
r2 A(r ) A0 exp 2
P T P
I (r )2 rdrd 1 exp 2 I (r )2 rdrd 孔径Βιβλιοθήκη Baidu径 a
证
z2 w( z ) (f ) f
1 p f = 2 w l f 2 + z2
f2 R (z) z z
1 1 z f z if i 2 i 2 2 2 2 2 q R W z f z f z f2
z 2 f 2 (z 2 f 2 )( z if ) q z if z if (z if )( z if )
光束在均匀介质和类透镜介质中的传播
• 类透镜介质中的波动方程
– 在各向同性、无电荷分布的介质中，Maxwell方程组的微分形式为：
E H t H E u t E 0
(1) (2) (3)
2 2
f2 R( z ) z z
f z 0 .5 z
z f 1 f
2
z2 f 2 0 .5 z
f 2 z2 1 f
① ②
z2 f 2 0 .5 z
f z 1 f
2 2
① ②
z 2 ②/ ①: f
z2f
f 2 4f 2 1 f
5f f
2
5f2 f 0
0 0 2 0 0
2
2
2
ω/2
39.3%
ω
86.5%
3ω/2
98.89%
2ω
99.99%
功率透过比
– 在激光应用中，高斯光束总要通过各种光学元件，从上面推导可知，只 要光学元件的孔径大于3ω/2，即可保证高斯光束的绝大部分功率有效透过。
共焦谐振腔 共焦谐振腔的性能介于平行平面腔与球面腔之间， 其特点如下： 1）镜面较易安装、调整； 2）较低的衍射损耗； 3）腔内没有过高的辐射聚焦现象； 4）模体积适度； 共焦谐振腔一般应用于连续工作的激光器
0 r2 E E0 exp 2 ( z) ( z)
§1 高斯光束的基本性质 W(Z)
一、基模高斯光束
稳定球面腔的行波场
-f
-
w0
0 -w0
x2 y2 w2 ( z )
f
Z
w0 2x 2y Emn ( x, y , z ) Hm( )H n ( )e w( z ) w( z ) w( z )
f (5 f 1) 0
f 0 (舍去)
0 .2 2 z 2 1 0 .2
f 0 .2 m
z 2 0.2 0.2 2 0.16
z 0 .4 m
f 3.14 10 6 0.2 w0 0.447 mm 3.14
0
z=0.5m
3.14 10 6 q=0.5+i(m)
(2)
w (z) w 0
z2 0 .5 2 1 2 w 0 1 2 1.12mm f 1
2 2
f 1 R ( z ) z 0 .5 2 .5 m z 0 .5
例2 高斯光束在某处的光斑半径为w=1mm, 等相位 面曲率半径为R=0.5m, 求此高斯光束(1)该处的q参 数 (2)腰斑半径w0及腰位置(光波长为=3.14m) 解 (1)
1. 高斯光束在其轴线附近可看作是一种非均匀高斯
球面波，
2.在其传播过程中曲率中心不断改变
3.其振幅在横截面内为一高斯光束
4.强度集中在轴线及其附近 5.等相位面保持球面
• 高斯光束的孔径
– 从基模高斯光束的光束半径表达式可以得到截面上振幅的分布为： – 则其光强分布为：
– 考虑垂直于高斯光束传播方向上存在一无限大平面，以光轴为中心开一 半径为a的孔，则透过该孔径的光功率与总功率的比值为左下式，通过计 算可以得到不同孔径的功率透过率。
e i ( x , y , z )
基模行波场为
w0 E00 (x, y , z ) e w(z )
2 z w z w0 1 f f2 R z z z
x2 y2 w2 (z )
e
x2 y2 1 z i k z tg 2R( z ) f
2
f R (z) z z
2
３、q参数
(1)定义 (2)计算
1 1 i 2 q(z) R (z) w ( z )
w02 if 束腰位置处 z 0 ，有 q0 i
q (z) z if
禳 镲1 1 = Re 镲 睚 镲 R( z ) q( z ) 镲 铪 禳 镲 1 1 镲 = p / l Im 睚 镲 w2 ( z ) q( z ) 镲 铪
r
2
2
1 2 2 2 z r r r z
我们假设 2 ，其中a为集中大部分能量的横截面半径，这一假设说 明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于单一的横向场分量，其单色平 面波的表达式为：E ( x, y, z )e ikz其中e-ikz表示波数为k的严格平面波， 为了研究修正平面波，我们引入了修正因子 ( x, y, z ) ，它包含了相位 和振幅修正两部分。 • 该修正因子满足慢变近似： ' k , " k 2 将这些相关假设带入波动 方程可以得到： 2 2ik ' kk 2 r 2 0 • 令修正因子取以下形式： 为什么取这种形式？这是对波动方程 k 进行长期研究得到的解，既满足方程， E 0 exp i p( z ) r 2 2q ( z ) 又有明确的、能够被实验证实的物理 意义。 •
E E 2 E
2 H E 对2式求旋度： E u u 2 t t
且由3式：
1 E E E 0 E E