傅里叶变换—_光学元件的变换

x2 y2
U1(x, y) t(x, y) Aexp[ jk
] 2s
x y exp[ jk(n 1)x] Aexp[ jk x2 y2 ] exp[ jk ] 2s
2
2

x2 Aexp{ jk[

y2
(n
1)x]}
2z
2s
Aexp{ jk[ x2 y2 2(n 1)x (n 1)2 2 (n 1)2 2 ]}
16/88
二、透镜的变换特性
❖平面波同一波阵面
A A‘
上不同点经过的光
程不同，位相增量
也不同，因此经过
透镜之后，造成波
B B’
F’
阵面弯曲，形成会
聚球面波。 ❖凹透镜的分析类似
C C‘
17/88
二、透镜的变换特性
在透镜前后各取一平面，则光场的入射波前函数 和透射波前函数分别为：（薄透镜条件下）
U1(x, y) A1(x, y) exp[ j1(x, y)]
四 透镜的傅里叶变换特性
❖ 将其所有都塞到积分式内，则可以得到一个冗长的 公式，好在如果你物理思想清晰的话，公式并不显 得很艰难：
P1 P2 U1 U2
(光瞳内) (光瞳外)
19/88
二、透镜的变换特性
在一般的光学系统中，我们讨论理想的薄透镜， 即振幅透过率是1，从而我们有a=1，即透镜仅是 位相的函数。
(x, y) k(1 nd(x, y) 2 )
nd(x, y) n(d0 1 2 )
(x, y) 0 k(n 1)(1 2 ) 0 knd0
y1
)
❖ 由透明物体到透镜前是发生一个菲涅耳衍射，从而 有
UL (x, y)
1
(d1)
U1( x1 ,
y1)
exp

jk
[(x

x1)2 ( y z(d2 )
y1 ) 2
] dx1dy1
42/88
四 透镜的傅里叶变换特性
❖ 此式未记常数相位因子，当忽略透镜孔径的衍射作 用时，透镜的作用是一个位相变换器，所以透镜后 的复振幅为

x,
y


exp

j
k 2f
x2 y2


透镜对入射光场的位相变换效应简化表达式，该式与入射波无关，与透镜无关
22/88
二、透镜的变换特性
2 结论： 薄透镜的作用相当于一个位相变换器， 光波经过透镜之后，由于各处位相延迟 不同造成波面形状的改变，进而改变了 传播方式
23/88
二、透镜的变换特性
2f
21/88
f
1
(n 1)( 1 1 )
r1 r2
二、透镜的变换特性
tL

x,
y


exp

jkn0

exp

j
k 2f
x2 y2


常数位相因子 与坐标位置（x,y）无关 研究具体问题可以略去
光波经过透镜后发生位相变换 附加了一个与坐标有关的二次 位相因子
tL
傅里叶光学
第六章 光学元件的变换特性
2009年10月 王成
第六章 光学元件的变换特性 序 一 棱镜与柱面镜的变换特性 二 透镜的变换特性 三 相因子与变换 四 透镜的傅里叶变换特性 五 高斯光束经透镜的变换 六 光学计算机
2/88
序 光学元件
透明与不透明 成像与不成像 几何光学与衍射光学元件
问题： 透镜和计算机之间有什么关系?
二、透镜的变换特性
3 透镜的成像性质
❖ 透镜的焦距
平面波沿光轴传播到透镜，透镜前的xy平面与波阵面重合， 所以得到
U 'L (x, y)
Aexp

jk 2f
(x2

y
2
)

这是一个会聚至焦点上的球面波，
对于凹透镜，可以写成
U L (x,
y)

A exp

j
k 2f
(x2 y2)
1 1 1 s' f s
30/88
第六章 光学元件的变换特性 序 一 棱镜与柱面镜的变换特性 二 透镜的变换特性 三 相因子与变换 四 透镜的傅里叶变换特性 五 高斯光束经透镜的变换 六 光学计算机
31/88
三 相因子与变换
1、相因子与变换 ❖ 相因子与光学元件存在对应关系 ❖ 在变换分析中，利用相因子进行物理分析 ❖ 在实际工作中，利用相因子进行光路实现
U1

A exp{ -
jk [[ x
ຫໍສະໝຸດ Baidu

(n
1) ]2
2s

y2
]} exp[

jk
(n
1)2
2s
2
]
它就是一个平移后的二次相因子 也是平面波斜入射后经过一个透镜成像
34/88
三 相因子与变换
讨论： 一个焦距为(-s)的发散透镜，作用于一列偏向角
为(n 1) 的平面波，而结果是成为一束发散于新的 点的球面波
❖ 尼科耳棱镜
一 棱镜的变换特性
14/88
第六章 光学元件的变换特性 序 一 棱镜与柱面镜的变换特性 二 透镜的变换特性 三 相因子与变换 四 透镜的傅里叶变换特性 五 高斯光束经透镜的变换 六 光学计算机
15/88
二、透镜的变换特性
1 薄透镜的变换特性
r2
r1

薄透镜：厚度与曲率半径相比足够小
37/88
四 透镜的傅里叶变换特性
--物在透镜之前
(x1,y1)
物
(x,y)
透镜
发散球面波
菲涅尔衍射
光源
(xi,yi) 菲涅尔衍射 共轭面
S
透过
透镜位相变换
S’
U1 U1’
UL UL’
U
d1
d0
di
38/88
四 透镜的傅里叶变换特性
❖ 从光源到物体前表面－球面波传播 ❖ 从物体前表面到物体后表面－透过 ❖ 从物体后表面到透镜前表面－菲涅耳衍射 ❖ 透镜前表面到透镜后表面－透镜的位相变换 ❖ 透镜后表面到光源共轭面（观察面）－菲涅耳衍
是等高变向出射
2 ( nd )
0

2
nd0
7/88

0

2
(n
1)

0

2
(n
1)x
一 棱镜的变换特性
❖ 若棱镜方位为任意状态，则用两个方向角的余角 来标定棱镜的取向，此时位相差应写成
(x, y) 0 k(n 1)(1x 2 y) k 2
5/88
一 棱镜的变换特性
棱镜的变换特性
❖棱镜元件的基本作 用不是成像而是偏 转，它可将一个方 向的平行光束变换 为另一个方向的平 行光束
6/88
一 棱镜的变换特性
❖ 目标：讨论位相变化
t0 exp[ j(x, y)]
❖设定光线在第二个界面 (x, y) 2 (x, y) 1 (x, y)
❖若对光振动的复振幅透过率可以用下式表示：
tL

x,
y


exp

j
k 2f
x2 y2


则作用就相当于一个焦距为f的透镜。
❖ 通过全息照相的方法可以获得含有上式形式 透过率的透明片--全息透镜
24/88
二、透镜的变换特性
讨论
这个结果表明，光振动通过薄透镜后，各点都发 生位相延迟
32/88
三 相因子与变换
2 透镜相因子便是一个二次函数
记住一点，有透镜存在，就相当于在原来的波 函数上配上一个二次相因子，同样的，当波函数有 一个二次相因子的话，那就是有一个透镜存在，它 可是真实的，也可能是虚幻的，但波函数却有着发 散或会聚的性质，这一点却是真实的
33/88
三 相因子与变换
3 棱镜成像公式再讨论
四 透镜的傅里叶变换特性
U1 ( x1 ,
y1)

a0 d1 d0
exp

jk
x12 y12 2(d1 d0
)

❖ 其中d1，d0都是代数量，且d1-d0>0
41/88
四 透镜的傅里叶变换特性
❖ 经过透明物体后复振幅为
U1(
x1,
y1
)

t
(
x1
,
y1
)U1
(
x 1
,
❖ 会聚透镜， 中心点位相延迟最多
k n 0
偏离中心，位相延迟逐渐减少 k (x2 y2 )
2f
25/88
二、透镜的变换特性
❖ 发散透镜
透镜中心，位相延迟最小 k n 0
偏离中心，位相延迟增大
k (x2 y2) 2f
26/88
二、透镜的变换特性
27/88
二、透镜的变换特性
28/88
照明时的球面波所携带的二次相因子，在成 像过程中竟可以扮演为一个等效的光学元件，起一 个透镜的聚散作用，这一角色变换可就意味深长了。 在全息光学中有相当好的体现
35/88
第六章 光学元件的变换特性 序 一 棱镜与柱面镜的变换特性 二 透镜的变换特性 三 相因子与变换 四 透镜的傅里叶变换特性 五 高斯光束经透镜的变换 六 光学计算机
因子的变换函数作用在波前函数，那么其实际效果 就好像被作用的波前函数经历了棱镜的作用
9/88
一 棱镜变换特性
3 棱镜成像公式
设球面波照明棱镜，点源至棱镜的距离为S，则球
面波照射棱镜前表面的波面为
U0 (x, y)

A exp[
jk
x2 y2 ]
2s
10/88
x2 y2
exp[ jk
]
2z
一 棱镜的变换特性
这说明像点和物点等远，两者横向间隔为
d (n 1)s
后面会进一步讨论这个公式的物理意义
12/88
❖ 五棱镜
一 棱镜的变换特性
双面反射棱镜，可使 入射光线垂直转向。
即使入射光线与入射 面并非严格垂直, 其由于 其结构特点使得出射光线 不随五棱镜的位置变化而 改变，出射光线精确垂直 转向
13/88
36/88
四 透镜的傅里叶变换特性
❖傅里叶方法在光学中得到卓有成效的应用，重 要的原因就是透镜能够实现傅里叶变换
❖曾经看到的傅里叶变换： （1）单位振幅平面波垂直照明下的夫朗和费 衍射获得衍射屏透过率函数的傅立叶变换 （2）会聚光照射下的菲涅耳衍射在通过汇聚 中心的观察屏上也获得衍射屏透过率函数的傅 里叶变换
射
39/88
四 透镜的傅里叶变换特性
1、物在透镜前 点光源S在P0平面上，位于坐标原点,物在
P1平面上，设它的复振幅透过率t(x1,y1)， 观察屏放在透镜右方，与透镜的距离为某一
确定值di，P0和P1平面的与透镜的距离分别 为d0，d1，设 d0 f
讨论的目的是在观察面上什么时候能得到频谱
40/88
3/88
序 衍射屏
光学元件与透过率 将光学元件视为一衍射屏，则其透过率将是一个
位相型函数
UL (x, y) exp[ j(x, y)]UL (x, y)
4/88
第六章 光学元件的变换特性 序 一 棱镜的变换特性 二 透镜的变换特性 三 相因子与变换 四 透镜的傅里叶变换特性 五 高斯光束经透镜的变换 六 光学计算机
UL (x,
y)
UL (x,
y) exp
jk
x2 y2 2f

❖ 由透镜出射后，又是一个菲涅耳衍射，于是有
U (xi , yi )
1
di

U1(
x,
y)
exp
jk
[(xi

x)2 ( yi zdi
y)2 ]dxdy
43/88
❖略去常数项因子，得到棱镜位相变换函数
t(x, y) exp[ jk(n 1)x]
❖ 比较棱镜与平面波
t(x, y) exp[ jk (n 1)(1x 2 y)]
8/88
一 棱镜的变换特性
2、棱镜与一次函数 ❖ 棱镜为位相变换函数，其相因子为一次相因子
❖ 相因子与变换性质是一一对应的 即在某种波前变换的场合如果出现了一次相

29/88
二、透镜的变换特性
❖ 薄透镜的成像公式
U1(x, y)

Aexp[ - jk
x2 y2 2s
]
U2 (x, y)
t(x,
y) Aexp[ - jk
x2 y2 ]
2s
x2 y2
x2 y2
exp[- jk
] Aexp[- jk
]
2f
2s
Aexp[- jk x2 y2 ] 2s'
U 2 (x, y) A2 (x, y) exp[ j2 (x, y)]
18/88
二、透镜的变换特性
于是透镜的屏函数表现为
t
(
x,

y)
x,

Uy
2
U1

A2 A1
exp[ j(2
1)]
0
0

a exp[ j(2


0
1)].
.
r r

D 2 D 2
2s
2s
2s
2s
U1

A exp{
jk [[ x
(n
1) ]2
2s

y2
]}exp[
jk
(n 1)2 2
2s
]
11/88
一 棱镜的变换特性
略去与xy无关的常数相因子，则此式表明经过 棱镜的变换还是球面波，但是中心位置在 (x’,y’,z’)，且有
x' (n 1)s, y' 0, z' s
20/88
二、透镜的变换特性
1(x, y) r1
r12
(x2

y2)

x2 y2 2r1
2 (x, y) (r2 )
(r2 )2
(x2

y2)

x2 y2 2r2
(x, y) k(n 1)(1 2 )
(x, y) k x2 y2