傅里叶变换光学

中山大学光信息专业实验报告：傅里叶光学变换系统

一、实验目的和内容

1、了解透镜对入射波前的相位调制原理。

2、加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。

3、观察透镜的傅氏变换（FT ）图像，观察4f 系统的反傅氏变换（IFT ）图像，并进行比较。

4、在4f 系统的变换平面（T ）插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。

二、实验原理

1、透镜的FT 性质及常用函数与图形的关学频谱分析

透镜由于本身厚度的不同，使得入射光在通过透镜时，

图1 点的厚度。设原复振幅分布为(,)L U x y 的光通过透镜后，幅分布受到透镜的位相调制，附加了一个位相因子(,)x y ϕ为(,)L U x y '：

图1

(,)(,)exp[(,)]L L U x y U x y j x y ϕ'= （1） 若对于任意一点（x ，y ）透镜的厚度为(,)D x y ，透镜的中心厚度为0D 。光线由该点通过透镜时在透镜中的距离为(,)D x y ，空气空的距离为0D －(,)D x y ，透镜折射率为n ，则该点的总的位相差为：

00(,)[(,)](,)(1)(,)x y k D D x y knD x y kD k n D x y ϕ=-+=+- （2）

（2）中的k ＝2π/λ，为入射光波波数。

用位相延迟因子(,)t x y 来表示即为：

0(,)exp()exp[(1)(,)]t x y jkD jk n D x y =- （3）

由此可见只要知道透镜的厚度函数(,)D x y 就可得出其相位调制。在球面镜傍轴区域，用抛物面近似球面，可以得到球面透镜的厚度函数为：

22012

111(,)()()2D x y D x y R R =-+- （4） 其中1R 、2R 是构成透镜的两个球面的曲率半径。公式（4）对双凹、双凸、或凹凸透镜都成立。引入焦距f ，其定义为： 12

111(1)()n f R R =-- （5） 代入（3）得： 220(,)exp()exp[()]2k t x y jknD j x y f

=-+ （6） 式（6）即是透镜位相调制的表达式，它表明复振幅(,)L U x y 通过透镜时，透镜各点都发生位相延迟。

从式（6）容易看出第一项位相因子0exp()jknD 仅表示入射光波的常量位相延迟，不影响位相的空间分布，即波面形状，所以在运算过程中可以略去。第二项22exp[()]2k j x y f

-+是具有调制作用的因子，它表明光波通过透镜的位相延迟与该点到透镜中心的距离的平方成正比。而且与透镜的焦距有关。当考虑透镜孔径后，有：

22(,)exp[()](,)2k t x y j x y p x y f

=-+ （7） 其中的(,)p x y 为透镜的光瞳函数，表达式为：

1(,)0p x y ⎧=⎨⎩ 孔径内 其 它

（8） 2、透镜的傅里叶变换性质

在单色平面波垂直照射下，夫琅和斐衍射光场的复振幅分布正比于衍射屏透射系数的傅里叶变换。衍射图像的强度分布正比于衍射屏的功率谱分布。一般情况下，我们是将夫朗和斐衍射图像成像到透镜的像方焦平面出，这就是说，作为成像元件的透镜，就相当于傅里叶变换器。

如图2所示，设单位振幅的单色平面光垂直照射一透射系数为(,)t x y 的衍射屏，与衍射屏相距Z 处放置一焦距为f 的薄透镜L ，先观察其像方平面L 的光场分布。为了讨论方便，这里我们忽略透镜材料的吸收、散射、透镜表面的反射以及透镜孔径大小等因素的影响。

图2 透镜的傅里叶变换性质 设(,)E x y 、11E(,)x y 、11E (,)x y '、(,)f f E x y 分别表示衍射屏后、透镜输入平面、输出平面以及像方平面出光波场的复振幅分布。由于透镜的相位调制特性，输出平面与输入平面出光波场之间的关系由下式决定：

221111E (,)E(,)exp[()]2k x y x y i x y f

'=-+ （9） 而从透镜输出平面到像方焦平面，光波相当于经历一次菲涅耳衍射。夫朗和斐近似下观察到平面上的衍射光场复振幅 ：

2222100111111()()2()0011111(,)E(,)iz iz

ikz x y x y z z i z ux vy e E x y e x y e e dx dy i z λλλ+∞++-+-∞=⎰⎰ ＝221001()22111111{E(,)exp[()]}iz

ikz x y z e e F x y i x y i z z λπλλ++ （10） 式中u 和v 分别表示1x 和1y 方向的空间频率。于是由（9）和（10）式，透镜像方焦平面上的光波场复振幅(,)f f E x y 分布应具有如下形式：

222221111(,){E (,)exp()}2f f x y ikf ik f f f x y e E x y e F x y ik i f f

λ++'= ＝22211{E(,)}f f x y ikf ik f

e e F x y i

f λ+ （ ,f f

x y u v f f λλ== ） （11）

在单位振幅的平面波垂直照射下，透镜衍射屏的光波场复振幅分布(,)E x y 即等于衍射屏的透射系数(,)t x y ，故其频谱分布为：

{(,)}{(,)}(,)F E x y F t x y T u v ==

（12）

该频谱分量从衍射屏传播到透镜的输入平面处，产生一个相位延迟(,,)u v z ϕ，即有：

(,)(,)exp[(,,)]E u v T u v i u v z ϕ= （13） 在傍轴条件下(,,)u v z ϕ具有如下的形式：

222(,,)()2

k u v z kz z u v ϕλ=-+ （14） 由此可以得到透镜输入平面处光波场的频谱分布为：

22211{(,)}(,)(,)exp[()]2k F E x y E u v T u v ikz i

z u v λ==-+ （15） 代入（11）得透镜像方焦平面处的广场分布为： 222222(,)exp[()](,)2f f x y ikf ik f f f e k E x y e ikz i

z u v T u v i f λλ+=-+ ＝22()

(1)2(,)f f

x y z ik z f ik f f e e T u v i f λ++- （,f

f

x y u v f f λλ==） （16）

从上式可以看到，在单色平面波垂直照射下，透镜像方焦平面处的光场除了一个常数因子外和一个二次因子外，其余的反应了衍射屏透射系数得傅里叶变换。经过进一步的分析我们可以得到在用透镜对二维关学图像进行傅里叶变换时，若将图像放置在透镜的物方焦平面上，则在透镜的像方焦平面上得到输入图像准确的傅里叶变换。若将输入图像放置在透镜与其像方焦平面之间，则像方焦平面上频谱图样的大小可随衍射屏到像方焦平面的距离的变化而改变；并且当输入图像紧贴透镜后放置时可获得最大的频谱图样。而对于球面波照射时，傅里叶变换平面将不是在透镜的像方平面。而是光源的共轭像平面上。

3．透镜孔径的衍射与滤波特性

由于孔径的衍射效应，任何具有有限大小通过光孔径的光学成像系统，均不存在如几何光学中所说的理想像点。所谓共轭像点，实际上是由系统孔径引起的，以物点的几何像点为中心的夫琅和斐衍射图样的中央亮斑——艾里斑。其次，透镜有限大小的通光孔径，也限制了衍射屏函数的较高频率成分（具有较大入射倾角的平面波分量）的传播。这可以从图3可以看出：

图3

：透镜孔径引起渐晕效应