20_2第二型曲线积分

当方向由 A 到 B 改为由 B 到 A 时, 每一小曲线段的 方向改变, 从而所得的 xi ,yi也随之改变符号, 故
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有
Pdx Qdy Pdx Qdy.
AB
BA
(5)
而第一型曲线积分的被积表达式只是函数 f ( x, y)与
弧长的乘积, 它与曲线L的方向无关. 这是两种类型
ciQi )dy
ci ( L Pidx Qidy);
i 1
i 1
i 1
2. 若有向曲线 L 由有向曲线 L1, L2 ,L , Lk首尾衔接而
成, P dx Qdy,(i 1,L , k) 都存在, 则 Li
L P dx Qdy 也存在, 且
k
P dx Qdy
P dx Qdy.
L
i 1 Li
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二．第二型曲线积分的计算
第二型曲线积分也可化为定积分来计算. 设平面曲线
x (t),
L
:
y
(t
),
t [ , ],
其中(t), (t) 在 [ , ]上具有一阶连续导函数, 且
点 A与 B的坐标分别为(( ), ( )) 与 (( ), ( )).
又设 P( x, y) 与 Q( x, y) 为 L上的连续函数, 则沿 L
由此便可得公式(6). 对于沿封闭曲线L的第二型曲线积分(2)的计算, 可
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在 L 上任意选取一点作为起点, 沿L所指定的方向前
进, 最后回到这一点.
y
例1 计算
3
B(2, 3)
L xydx ( y x)dy,
其中 L 分别沿图 20-3中的路线: (i) 直线段 AB;
2
C
1
D(2,1)
曲线积分的一个重要区别.
类似与第一型曲线积分, 第二型曲线积分也有如下
一些主要性质:
1．若 L Pidx Qidy (i 1,2,L ,k) 存在，则
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k
k
( L
ci Pi )dx (
ciQi )dy 也存在, 且
i 1
i 1
k
k
k
( L
ci Pi )dx (
限为函数 P( x, y),Q( x, y)沿有向曲线 L 上的第二型
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曲线积分, 记为
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
或
P( x, y)dx Q( x, y)dy AB
(1)
上述积分(1)也可写作
L P( x, y)dx LQ( x, y)dy
或
P( x, y)dx Q( x, y)dy
a3
sin3
t
1 2
a3
sin2
t
1 2
a
2
(1
b)(t
1 2
sin
2t
)
π 0
1 a2 (1 b)π. 2
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例4 求在力 F( y, x, x y z) 作用下, (i)质点由 A 沿螺旋线 L1到 B 所作的功(图20-5), 其中 L1 : x a cos t, y a sin t, z bt,0 t 2π; (ii)质点由A沿直线 L2到 B 所作的功. 解 如本节开头所述, 在空间曲线 L上力F所作的功 为
W L F ds L ydx xdy ( x y z)dz.
(i) 由于 dx a sin tdt,dy acos tdt,dz bdt,
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W 2π (a2 sin2 t a2 cos2 t ab cos t ab sin t b2t)dt 0 2π(πb2 a2 ).
解 (i) L xdy ydx
1
[
x(4
x
)
2
x
2
]dx
0
16x2dx 6 2.
0
3
1
O A(1,0) x
图 20 4
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1
(ii) L xdy ydx 0 (2x 2x)dx
4 1 2. 2
(iii)在OA一段上, y 0,0 x 1; 在 AB 一段上,
L P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz, (4)
或简写成
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当把
L Pdx Qdy Rdz.
F ( x, y) (P( x, y),Q( x, y), R( x, y)) 与
ds (dx, dy, dz)
看作三维向量时, (4)式也可表示成(3)式的向量形式. 第二型曲线积分与曲线 L 的方向有关. 对同一曲线,
x 1,0 y 2; 在 BO 一段上与(ii)一样是 y 2 x 从
x 1 到 x 0 的一段. 所以
1
xdy ydx 0dx 0,
OA
0
2
xdy ydx 1dy 2,
AB
0
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xdy ydx xdy ydx 2 . (见(ii))
BO
OB
§2 第二型曲线积分
第二型曲线积分与第一型曲线积分不同的 是在有方向的曲线上定义的积分, 这是由于 第二型曲线积分的物理背景是求变力沿曲线 作的功,而这类问题显然与曲线的方向有关.
一、第二型曲线积分的定义 二、第二型曲线积分的计算 三、两类曲线积分的联系
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一． 第二型曲线积分的定义
在物理中还遇到过另一 种类型的曲线积分问题. 例如一质点受力 F ( x, y) 的作用沿平面曲线 L 从 点 A 移动到点 B, 求力 F ( x, y)所作的功,见图 20-2.
AD
AD
1
2
沿直线 DB : x 2, y y(1 y 3) 的线积分为
3
xydx ( y x)dy ( y x)dy ( y 2)dy 0.
DB
DB
1
沿直线 BA 的线积分可由(i)及公式(5)得到:
xydx ( y x)dy xydx ( y x)dy 25 .
L
AB
(3)
于是, 力F( x, y) (P( x, y),Q( x, y)) 沿有向曲线
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L : »AB 对质点所作的功为
W L P( x, y)dx Q( x, y)dy.
若L为空间有向可求长曲线, P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)为定义在L上的函数, 则可按上述办法类 似地定义沿空间有向曲线L上的第二型曲线积分, 并记为
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n
n
wk.baidu.com
n
W Wi P(i , i )xi Q(i , i )yi .
i 1
i 1
i 1
当细度 || T || 0 时, 上式右边和式的极限就应该是
所求的功. 这种类型的和式极限就是下面所要讨论
的第二型曲线积分.
定义1 设函数 P( x, y) 与 Q( x, y)定义在平面有向可
y
B(Mn )
M1 A(M0 )
L
(x, y)
Q
M2
Mn1
P
F
O
x
图 20 2
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为此在曲线 »AB 内插入 n 1个分点 M1 , M2 ,L Mn1 ,
它们与 A M0 , B Mn 一起把有向曲线 »AB 分成 n
个有向小曲线段 M¼ i1Mi (i 1, 2,L , n). 若记小曲线
1
2
(10
x3
32
x2
35
x
12)dx
10
.
1
3
(iii)这里L是一条封闭曲线, 故可从 A开始, 应用上段
的性质2, 分别求沿 AD, DB, BA 上的线积分然后相 加即可得到所求之曲线积分. 由于沿直线 AD : x x, y 1(1 x 2)的线积分为
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2
3
xydx ( y x)dy xydx xdx .
AB
AB
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为书写简洁起见, (1)式常简写成
Pdx Qdy 或 Pdx Qdy.
L
AB
若L为封闭的有向曲线, 则记为
ÑL Pdx Qdy.
(2)
若记 F( x, y) (P( x, y),Q( x, y)), ds (dx, dy), 则(1)
式可写成向量形式
F ds 或 F ds.
A(1,1)
O 12
图 20 3
3x
(ii) ¼ ACB 抛物线: y 2( x 1)2 1 ;
(iii) ·ADBA (三角形周界).
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解 (i)直线 L 的参数方程为
x 1 t,
y
1
2t
,
t [0, 1].
故由公式(6)可得
xydx ( y x)dy AB
1
则 L Pdx Qdy Rdz
[P( x(t), y(t), z(t))x(t) Q( x(t), y(t), z(t)) y(t)
R( x(t), y(t), z(t))z(t)]dt.
(7)
这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致.
例3 计算第二型曲线积分
I xydx ( x y)dy x2dz, L
因此
Ñ xdy ydx xdy ydx
L
OA AB BO
0 2 2 0.
沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与
(6) 式相仿. 设空间有向光滑曲线 L 的参量方程为
x x(t ),
L
:
y
y(t ),
t
,
z z(t ),
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起点为( x( ), y( ), z( )), 终点为( x( ), y( ), z( )),
BA
AB
6
所以
ÑL xydx ( y
x)dy
3 2
0
25 6
8 3
.
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例2 计算L xdy ydx, 这里 L 为:
(i) 沿抛物线 y 2x2, 从 O 到 B的一段(图20-4);
(ii) 沿直线OB : y 2x; (iii) 沿封闭曲线 O·ABO.
y
2
B(1, 2)
0 [(1 t)(1 2t) 2t]dt
1
(1
5t
2t 2 )dt
25
.
0
6
(ii)曲线 ¼ ACB 为抛物线 y 2( x 1)2 1, 1 x 2,
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所以
xydx ( y x)dy ¼ ACB
2
{ x[2(
x
1)2
1] [2(
x
1)2
1
x]4(
x
1)}dx
段 M¼ i1Mi 的弧长为 si , 则分割 T 的细度为
||
T
||
max
1i n
si
.
设力 F ( x, y) 在 x 轴和 y 轴方向的投影分别为
P( x, y) 与 Q( x, y), 那么
F( x, y) (P( x, y), Q( x, y)).
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又设小曲线段 M¼ i1Mi 在 x 轴和 y 轴上的投影分别为 xi xi xi1 与 yi yi yi1, 其中 ( xi , yi ) 与 ( xi1, yi1 ) 分别为点 Mi 与 Mi1 的坐标. 记
(ii) L2 的参量方程 x a, y 0, z t,0 t 2πb.
xi xi xi1, yi yi yi1,(i 1, 2,L , n).
在每个小曲线段 M¼ i1Mi 上任取一点 (i , i ),若极限
n
n
lim
||T ||0
i 1
P(i , i )xi
lim
||T ||0
i 1
Q(i , i )yi
存在且与分割 T 与点 (i , i ) 的取法无关, 则称此极
LMi1Mi (xi , yi ), 于是力 F ( x, y)在小曲线段 M¼ i1Mi 上所作的功
Wi F (i , i ) LMi1Mi P(i , i )xi Q(i , i )yi , 其中 (i , i )为小曲线段 M¼ i1Mi 上任一点. 因而力
F ( x, y)沿曲线 »AB 所作的功近似地等于
求长度曲线L : »AB上. 对L 的任一分割T ,它把 L 分
成n个小曲线段 M¼ i1Mi (i 1, 2,L , n),
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其中 M0 A, Mn B. 记个小曲线段 M¼ i1Mi 的弧长
为 si ,分割
T
的细度
|| T
||
max
1in
si
.
又设
T
的分点
M i 的坐标为( xi , yi ), 并记
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从 A 到 B 的第二型曲线积分
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
[P((t), (t)) (t) Q((t), (t)) (t)]dt. (6)
读者可仿照§1中定理20.1的方法分别证明
L P( x, y)dx P((t), (t))(t)dt,
LQ( x, y)dx Q((t), (t)) (t)dt,
L是螺旋线: x a cos t, y a sin t, z bt 从 t 0 到
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t π上的一段(参见图 20－5).
解 由公式 (7),
I π (a3 cos t sin2 t a2 cos2 t a2 sin t cos t a2bcos2 t )dt 0
1 3