李楠：一元二次方程全章复习
初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料
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初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。
注意一下几点：①只含有一个未知数;②未知数的次数是2;③是整式方程。
知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项。
知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
21.2降次——解一元二次方程21.2.1配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=?a.(2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。
(3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
一元二次方程全章复习与巩固—知识讲解
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．已知（m－1）x|m|+1+3x－2＝0是关于x的一元二次方程，求m的值.【答案与解析】依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1，解得m＝±1，又∵m－1≠0，∴m≠1，故m＝－1.【总结升华】依题意可知m－1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m的值即可.特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.举一反三：【变式】若方程2(2)310mm x mx---=是关于x的一元二次方程，求m的值．【答案】根据题意得22,20,mm⎧=⎪⎨-≠⎪⎩解得所以当方程2(2)310mm x mx--=是关于x的一元二次方程时，2m=-．类型二、一元二次方程的解法2．解下列一元二次方程．(1)224(3)25(2)0x x---=； (2)225(3)9x x-=-； (3)2(21)4(21)40x x++++=．【答案与解析】(1)原方程可化为：22[2(3)][5(2)]0x x---=，即(2x-6)2-(5x-10)2＝0，∴ (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)＝0，即(7x-16)(-3x+4)＝0，∴ 7x-16＝0或-3x+4＝0，∴116 7x=，24 3x=． (2)25(3)(3)(3)x x x-=+-，25(3)(3)(3)0x x x--+-=，∴ (x-3)[5(x-3)-(x+3)]＝0，即(x-3)(4x-18)＝0，∴ x-3＝0或4x-18＝0，∴13x=，292x=．(3)2(21)4(21)40x x++++=，∴2(212)0x++=．即2(23)0x+=，∴1232x x==-．【总结升华】 (1)方程左边可变形为22[2(3)][5(2)]x x---，因此可用平方差公式分解因式；(2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的(x-3)2有公共的因式，可移项后提取公因式(x-3)后解题；(3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)2＝0再求解．举一反三：【变式】解方程： (1)3x+15＝-2x2-10x； (2)x2-3x＝(2-x)(x-3)．【答案】(1)移项，得3x+15+(2x2+10x)＝0，∴ 3(x+5)+2x(x+5)＝0，即(x+5)(3+2x)＝0，∴ x+5＝0或3+2x＝0，∴15x=-，232x=-．(2)原方程可化为x(x-3)＝(2-x)(x-3)，移项，x(x-3)-(2-x)(x-3)＝0，∴ (x-3)(2x-2)＝0，∴ x-3＝0或2x-2＝0，∴13x=，21x=．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根．则a 满足（ ）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠5【答案】A ；【解析】①当50a -=，即5a =时，有410x --=，14x =-，有实数根；②当50a -≠时，由△≥0得2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥，解得1a ≥且5a ≠． 综上所述，使关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根的a 的取值范围是1a ≥．答案：A【总结升华】注意“关于x 的方程”与“关于x 的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为0．4． k 为何值时，关于x 的二次方程2690kx x -+=（1）k 满足 时,方程有两个不等的实数根； （2）k 满足 时,方程有两个相等的实数根；（3）k 满足 时,方程无实数根. 【答案】（1）10k k ≠＜，且；（2）1k =；（3）1k ＞. 【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围. 【总结升华】根据判别式ac b 42-=∆及k ≠0求解.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5．已知关于x 的方程222(2)0x m x m --+=，试探求：是否存在实数m 使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】存在．设方程两根为x 1、x 2，根据题意，得122(2)x x m +=-，212x x m =，221256x x +=， 而222121212()2x x x x x x +=+-，于是有[]222(2)256m m --=，整理得28200m m --=， 解这个方程得110m =， 22m =-，当10m =时，△＝ 2224[2(2)]41440b ac m m -=---=-<， 当2m =-时，△＝2224[2(2)]4480b ac m m -=---=>， 所以符合条件的m 的值为-2．【总结升华】由两个实数根的平方和等于56，列出关系式，再由根与系数关系求出m的值，通过判别式去验证m值是否符合题意，从而得出结论.举一反三：【变式】已知关于x的方程2(1)(23)10k x k x k-+-++=有两个不相等的实数根1x、2x．(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)根据题意，得△＝(2k-3)2-4(k-1)(k+1)＝224129412130k k k k-+-=-+>，所以1312k<．由k-1≠0，得k≠1.当1312k<且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；(2) 不存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则12231kx xk -+=-=-，解得32k=．当32k=时，判别式△＝-5＜0，方程没有实数根．所以不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数．类型五、一元二次方程的应用6．甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C 地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B 地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度.【答案与解析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时.根据题意，得54(4)2040460x xx x++=-+解之,得x1=16，x2=－2.经检验：x1=16，x2=－2都是原方程的根，但x2=－2不合题意，舍去.∴当x=16时，x+4=20.答：甲每小时行驶16千米，乙每小时行驶20千米.【总结升华】注意解题的格式，解分式方程应用题要双检验，即验根、符合题意.举一反三：【变式】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解(提高)
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）责编：康红梅【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.【高清ID 号：388528 关联的位置名称（播放点名称）：根系关系】2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．已知（m －1）x |m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.【答案与解析】依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1，解得m ＝±1，又∵m －1≠0，∴m ≠1，故m ＝－1.【总结升华】依题意可知m －1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m 的值即可.特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.举一反三：【变式】若方程2(2)310m m x mx ---=是关于x 的一元二次方程，求m 的值．【答案】 根据题意得22,20,m m ⎧=⎪⎨-≠⎪⎩ 解得所以当方程2(2)310m m x mx ---=是关于x 的一元二次方程时，2m =-．类型二、一元二次方程的解法2．解下列一元二次方程．(1)224(3)25(2)0x x ---=； (2)225(3)9x x -=-； (3)2(21)4(21)40x x ++++=．【答案与解析】(1)原方程可化为：22[2(3)][5(2)]0x x ---=，即(2x-6)2-(5x-10)2＝0，∴ (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)＝0，即(7x-16)(-3x+4)＝0，∴ 7x-16＝0或-3x+4＝0，∴ 1167x =，243x =． (2)25(3)(3)(3)x x x -=+-，25(3)(3)(3)0x x x --+-=，∴ (x-3)[5(x-3)-(x+3)]＝0，即(x-3)(4x-18)＝0，∴ x-3＝0或4x-18＝0，∴ 13x =，292x =． (3)2(21)4(21)40x x ++++=，∴ 2(212)0x ++=．即2(23)0x +=，∴ 1232x x ==-． 【总结升华】 (1)方程左边可变形为22[2(3)][5(2)]x x ---，因此可用平方差公式分解因式；(2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的(x-3)2有公共的因式，可移项后提取公因式(x-3)后解题；(3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)2＝0再求解．举一反三：【变式】解方程： (1)3x+15＝-2x 2-10x ； (2)x 2-3x ＝(2-x)(x-3)．【答案】(1)移项，得3x+15+(2x 2+10x)＝0，∴ 3(x+5)+2x(x+5)＝0，即(x+5)(3+2x)＝0，∴ x+5＝0或3+2x ＝0，∴ 15x =-，232x =-． (2)原方程可化为x(x-3)＝(2-x)(x-3)，移项，x(x-3)-(2-x)(x-3)＝0，∴ (x-3)(2x-2)＝0，∴ x-3＝0或2x-2＝0，∴ 13x =，21x =．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根．则a 满足（ ）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠5【答案】A ；【解析】①当50a -=，即5a =时，有410x --=，14x =-，有实数根；②当50a -≠时，由△≥0得2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥，解得1a ≥且5a ≠．综上所述，使关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根的a 的取值范围是1a ≥．答案：A【总结升华】注意“关于x 的方程”与“关于x 的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为0．【高清ID 号：388528 关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的根的判别式】4． k 为何值时，关于x 的二次方程2690kx x -+=（1）k 满足 时,方程有两个不等的实数根；（2）k 满足 时,方程有两个相等的实数根；（3）k 满足 时,方程无实数根.【答案】（1）10k k ≠＜，且；（2）1k =；（3）1k ＞.【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围.【总结升华】根据判别式ac b 42-=∆及k ≠0求解.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5．（2016•凉山州）已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，则x 1﹣x 1x 2+x 2的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，结合根与系数的关系可得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2，将其代入x 1﹣x 1x 2+x 2中即可算出结果．【答案】D ．【解析】解：∵x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，∴x 1+x 2=﹣=﹣，x 1•x 2==﹣2，∴x 1﹣x 1x 2+x 2=﹣﹣（﹣2）=．故选D ．【总结升华】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．举一反三：【变式】已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)根据题意，得△＝(2k-3)2-4(k-1)(k+1)＝224129412130k k k k -+-=-+>， 所以1312k <．由k-1≠0，得k ≠1. 当1312k <且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根； (2) 不存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则122301k x x k -+=-=-，解得32k =． 当32k =时，判别式△＝-5＜0，方程没有实数根． 所以不存在实数k ，使方程的两个实数根互为相反数．类型五、一元二次方程的应用6．（2015•青岛模拟）随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，求甲店、乙店这两个月的月平均增长率各是多少？【答案与解析】解：设乙店销售额月平均增长率为x ，由题意得：10（1+2x ）2﹣15（1+x ）2=10，解得 x 1=60%，x 2=﹣1（舍去）．2x=120%．答：甲、乙两店这两个月的月平均增长率分别是120%、60%．【总结升华】此题考查了一元二次方程的应用，为运用方程解决实际问题的应用题型．举一反三：【变式】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。
一元二次方程章节知识点复习资料
一元二次方程章节知识点复习资料【知识点一】一元二次方程的解1. 已知2230x x --=，则224x x -的值为（ ）A ．﹣6 B. 6 C ．﹣2或6 D ．﹣2或302.若2x =-是关于x 的一元二次方程22502x ax a -+=的一个根， 则a 的值为（ ）A.1或4B.-1或-4C.-1或4D.1或-43.已知α是一元二次方程20x x --=1较大的根，则下面对α的估计正确的是（ ）A ．0＜α＜1B ． 1＜α＜1.5C ． 1.5＜α＜2D ． 2＜α＜3 4.已知关于x 的一元二次方程x 2+ax +b =0有一个非零根﹣b ，则a ﹣b 的值为（ ）.1 . 1 .0 .2A B C D --5.若1x =-是关于x 的一元二次方程2310x x m +++=的一个解，则m 的值为 ．6.若正数a 是一元二次方程x 2﹣5x +m =0的一个根，﹣a 是一元二次方程x 2+5x ﹣m =0的一个根，则a 的值是 ．【知识点二】一元二次方程的解法1.一元二次方程x 2﹣x ﹣2=0的解是（ ）A .x 1=1，x 2=2B .x 1=1，x 2=﹣2C . x 1=﹣1，x 2=﹣2D .x 1=﹣1，x 2=22.一元二次方程220x x --=1的解是（ ）12121212. 1 .11.11.11A x x B x C x D x ===+=-=+=-=-=-3.方程220x x -=的解为 ．4.方程x 2﹣3x =0的根为 ．5．若一元二次方程ax 2=b （ab ＞0）的两个根分别是m +1与2m ﹣4，则b a= ． 6.解方程：x 2﹣5x ﹣6=0.7.解方程：2x 2﹣4x ﹣1=0．【知识点三】一元二次方程根的判别式1.一元二次方程x 2﹣4x +5=0的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根2.关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m =0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）9999. . . .4444A mB mC mD m ><=<- 3.一元二次方程x 2﹣2x +m =0总有实数根，则m 应满足的条件是（ ）. 1 . 1 . 1 .1Am B m C m D m >=<≤4.等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程2120x x k -+=的两个根，则k 的值是（ ）A .27B .36C .27或36D .185.已知关于x 的方程22(1)04m x m x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是 ．6.已知关于x 的方程（k ﹣1）x 2﹣（k ﹣1）x +14=0有两个相等的实数根，求k 的值．7.已知关于x 的一元二次方程（a +c ）x 2+2bx +（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x =﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【知识点四】一元二次方程的根与系数的关系1.已知1x 、2x 是一元二次方程0142=+-x x 的两个根，则21x x ⋅等于（ ）A . 4-B . 1-C . 1D . 42.若α、β是一元二次方程2260x x +-=的两根，则α2+β2=（ ）A .﹣8B .32C .16D .403.若方程210x x +-=的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ）A . 1αβ+=-B . 1αβ=-C . 223αβ+=D . 111αβ+=-4.已知一元二次方程的两根分别是2和﹣3，则这个一元二次方程是（ ）A.2680x x +=﹣ B. 2230x x +=﹣ C. 260x x =﹣﹣ D. 260x x +=﹣ 5.若12,x x 是一元二次方程210160x x ++=的两个根，则12x x +的值是（ ）A.﹣10B.10C.﹣16D.166.x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +m ﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m 使12110x x +=成立？则正确的是结论是（ ） A .m =0时成立 B .m =2时成立 C .m =0或2时成立 D .不存在7.若α、β是方程2230x x 的两个实数根，则22αβ+=___.8.若关于x 的方程22(2)0x k x k +-+=的两根互为倒数，则k = ．9.已知a ，b 是方程x 2﹣x ﹣3=0的两个根，则代数式2a 3+b 2+3a 2﹣11a ﹣b +5的值为 ．10.已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，则m 2﹣mn +3m +n = ．11.方程x 2+2kx +k 2﹣2k +1=0的两个实数根x 1，x 2满足x 12+x 22=4，则k 的值为 ．12.已知关于x 的方程x 2+ax +a ﹣2=0（1）若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【知识点五】实际问题与一元二次方程1.某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x ，那么x 满足的方程是（ ）2222.100(1)81 .100(1)81 .100(1%)81 .10081A x B x C x D x +=-=-==2.某果园2018年水果产量为100吨，2020年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为（ ）A .100)1(1442=-xB .144)1(1002=-xC .100)1(1442=+xD .144)1(1002=+x3.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为（ ）11.(1)28 .(1)28 .(1)28 .(1)2822A x xB x xC x xD x x +=-=+=-=4.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=155.现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得．6.如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为x m，由题意列得方程．7.学校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率．8.某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程、已知2018年投资1000万元，预计2020年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同．（1）求平均每年投资增长的百分率；（2）已知河道治污每平方需投入400元，园林绿化每平方米需投入200元，若要求2020年河道治污及园林绿化总面积不少于35000平方米，且河道治污费用不少于园林绿化费用的4倍，那么园林绿化的费用应在什么范围内？9.某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？10. 天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准（如图所示）：某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？11.如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？12.某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x．（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为万元．（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率.。
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一元二次方程章节复习一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧*⇒韦达定理根的判别解与解法，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
)0(02≠=++a c bx“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x xkx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx xm m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。
★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。
⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。
★3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。
★★4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622。
★★5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a -★★★6、若=•=-+y x 则y x 324,0352 。
(2021年整理)一元二次方程知识点归纳与复习
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一元二次方程专题知识点1：一元二次方程的概念及一般形式1、方程（1）3x-1=0;(2） 2310x -=;(3) 2130x x+=；(4) 221(1)(2)x x x -=--; （5） 2(52)(37)15x x x +-=；(6） 232x y x +=.其中一元二次方程的个数为 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）2(5)3x x x --=- （2）(21)(5)6x x x -+=知识点2：用直接开平方法解一元二次方程 3、用直接看平方法解一元二次方程：（1）2169x = （2）2450x -=（3)2x--=（4）（21)40x+-=4(21)360知识点3：用配方法解一元二次方程4、用配方法解方程2250--=时，原方程变形为（ )x xA、2x+= D、2(2)9x-=(2)9x+= B、2(1)6(1)6x-= C、25、用配方法解一元二次方程:（1）2x x213+=-+=（2）22410x x知识点4:用公式法解一元二次方程6、用公式法解一元二次方程：（1）2410++=-x x x441018 x x+-=（2）2知识点5：根的判别式(24-)的应用b ac7、若关于x的一元二次方程2210--=有两个不相等的实数根，则实数m的取值mx x范围是（）A、m〉—1B、m>-1且m≠0C、m〈1D、m〈1且m≠08、已知a、b、c分别是三角形ABC的三边,其中a=1,c=4,且关于x的方程240x x b-+=有两个相等的实数根,试判断三角形ABC的形状。
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解一元二次方程是高中数学中的重要内容，它是一种形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的方法有因式分解、配方法和求根公式法。
下面将对这些解法进行讲解。
一、因式分解法如果一元二次方程能够因式分解为两个一次因式的乘积，即 (px + q) (rx + s) = 0，那么方程的解就可以直接得到。
具体步骤如下：1. 将二次方程化简成标准形式：ax^2 + bx + c = 0；2. 因式分解方程：(px + q) (rx + s) = 0；3. 解方程：px + q = 0 或 rx + s = 0；4.求解方程得到x的值。
例如，对方程x^2-5x+6=0应用因式分解法：1.方程已经是标准形式；2.可以将方程改写为(x-2)(x-3)=0；3.解方程得到x-2=0或x-3=0；4.求解方程可得x=2或x=3，这就是原方程的解。
二、配方法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，有时候可以通过配方法将方程转化为一个平方差或一个完全平方式。
具体步骤如下：1.当a≠0时，将方程两边同时除以a，化简为x^2+(b/a)x+c/a=0；2. 计算出一个值k，使得(b/a)^2 + 2(b/a)k + k^2 = k^2、其中，2(b/a)k为bx的一半，k^2为(c/a)的相反数的一半；3.将方程变形为(x+k)^2+m=0，即(x+k)^2=-m；4.解方程得到x+k=±√(-m)；5.求解方程得到x的值。
例如，对方程x^2-6x+8=0应用配方法：1.将方程化简为(x-3)^2-1=0；2.得到k=3，使得(-6/2)^2+2(-6/2)k+k^2=1；3.方程变形为(x-3)^2=1；4.解方程得到x-3=±1；5.求解方程可得x=2或x=4，这就是原方程的解。
三、求根公式法一元二次方程的求根公式是美国数学家Vieta发现的，它的公式形式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
2024九年级数学上册“第二十一章一元二次方程“必背知识点
2024九年级数学上册“第二十一章一元二次方程”必背知识点一、一元二次方程的定义定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数 （一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。
其中，ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c 是常数项。
方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
二、一元二次方程的解法1. 配方法步骤：一移 （把常数项移到等号的右边）、二除 （方程两边都除以二次项系数）、三配 （方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式）、四开 （若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解）。
2. 公式法求根公式：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠。
0），如果b²-4ac ≥ 0，则方程的两个根为x1,2=−b±√b2−4ac2a 根的判别式：Δ = b² - 4ac。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
当Δ < 0时，方程无实数根。
3. 直接开平方法适用条件：如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
步骤：移项、使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1、两边直接开平方。
4. 因式分解法方法：把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解。
三、一元二次方程的根与系数的关系对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），若其两个根为x₁和x₂，则有：x₁ + x₂ = -b/ax₁x₂ = c/a四、一元二次方程的实际应用列一元二次方程解应用题的一般步骤：审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
一元二次方程全章复习与巩固—知识讲解基础-精品
《一元二次方程》全章复习与巩固一知识讲解（基础）【学习目标】1 .了解一元二次方程及有关概念；2 .掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次——解一元二次方程;3 .掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法.【知识网络】［一元二次方程根的判 H别式4=炉妞及性^」分析实际问题的数量 n 关系列二元二次方程u 实际问题I【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元 二次方程.2. 一元二次方程的一般式：ax 2+坛+<?=0（a =0） 3. 一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程； 其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0,看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最 高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0. 要点二、一元二次方程的解法女扁"热量|一元二3G疝卜 二元二次方程-一一元二次方法一一元二次方程的 定义及f 形式I一元二次方程 的有关概念常数项元二次^程的解।L I 直接开平方法一元二程根 与系数的关系二^项系数! 一次项系数 一配方法 —公式法1.基本思想一元二次方程•降次一元一次方程2.基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法.要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程+hx+c=0(6Zw0)中，b2一4。
叫做一元二次方程。
x2+bx+c=0(a w0)的根的判别式，通常用来表示，即△=(1)当△>()时，一元二次方程有2个不相等的实数根；(2)当△=()时，一元二次方程有2个相等的实数根；(3)当△<()时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程ox?+"+。
一元二次方程专题复习资料全
一元二次方程专题复习知识盘点1. 方程中只含有 _个未知数.并且整理后未知数的最高次数是 _ 这样的_ 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式(a 、b、C、为常数.a ) 。
2. 一元二次方程的解法：(1)____________________________________________________________ 直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 _____________________ 的平方•而另一边是一个 ________ 时•可以根据 ________ 的意义•通过开平方法求出这个方程的解。
(2)配方法：用配方法解一元二次方程aχ2∙ bx ∙ c = O a = O的一般步骤是：①化二次项系数为.即方程两边同时除以二次项系数；②移项.使方程左边为 ______ 项和________ 项.右边为______ 项；③配方.即方程两边都加上_________________ 的平方；④化原方程为(X - m)2= n的形式.如果n是非负数.即n _ 0.就可以用____________ 法求出方程的解。
如果n v 0.则原方程_______ 。
(3) ______________________________________________ 公式法：方程ax2+bx+c = 0(a ≠0).当b2—4ac ___________________________ 0 时.x = ________(4)因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为_______ ;②将方程的左边化成两个_____ 的乘积；③令每个因式都等于. 得到两个______________ 方程；④解这两个方程.它们的解就是原方程的解。
3. 一元二次方程的根的判别式(1) ______________________________________________________ b2—4ac>0= —元二次方程aχ2∙ bx ∙ c = 0 a = 0有两个_____________________ 的实数根,即X^= ------------------ , X2 = --------------------(2)b2 -4ac=0= —元二次方程有两个________ 的实数根.即Xi =X2 ------ -------- ,(3)b2 -4ac<0= —元二次方程aχ2■ bx■ c = 0 a = 0 ____ 实数根。
《一元二次方程全章复习》教案
《一元二次方程全章复习》教案教学目标教学目标：对本章内容进行梳理总结并建立知识体系，综合应用本章知识解决问题. 教学重点：对本章内容进行梳理总结，综合应用本章知识解决问题.教学难点：通过对本章内容进行梳理，建立知识体系.教学过程时间教学环节主要师生活动50ʺ梳理知识结构知识结构2ʹ40ʺ1ʹ1. 一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程.一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)例1 已知关于x的方程(2)310mm x mx-++=是一元二次方程，则m 的值为.解：由题意得20,2.mm-≠⎧⎨=⎩①②由①得m≠2.由②得m=±2.∴m=-2.2. 一元二次方程ax2+bx+c=0的解法基本思路：降次基本方法：直接开平方法配方法{10,0. m-≠>m≠1.△=(-2)2-4(m解得m<2.m≠1.代入原方程，得1)2-2×(-1)+16ʹ15ʺ= k2-2k+1=(k-1)2．∵(k-1)2≥0，∴方程总有两个实数根．(2) 解：2(3)(1)(3)(1).212k k k kx+±-+±-==⨯即x1=k+1，x2=2．∵方程有一个根小于1，∴k+1<1．∴k<0．∴k的取值范围是k<0．小结：①证明一元二次方程根的情况.②已知一元二次方程的根的具体情况时，需要解出方程的根，再根据条件解决问题.4. 一元二次方程的实际应用➢增长(降低) 率问题➢几何图形问题➢销售问题➢传播问题、单(双) 循环比赛问题等一般步骤：审设列解验答例4 随着经济建设的发展，某省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业. 据统计，2019年全省5G基站的数量约3.6万座. 若计划到2020年底，全省5G基站的数量是2019年的53倍；到2022年底，全省5G基站的数量将达到17.34万座.(1) 计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座?(2) 按照计划，求2020年底至2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率.解：(1) 3.6×53=6 (万座).答: 计划到2020年底，全省5G基站的数量为6万座.(2) 设2020年底至2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x.6(1+x)2=17.34.x1=0.7，x2=-2.7(不合题意，舍去).答：2020年底至2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%.1ʹ35ʺ课堂小本章知识结构图知能演练提升一、能力提升1.如图,把一块长为40 cm,宽为30 cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形,然后把纸板的四边沿虚线折起,并用胶带粘好,即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600 cm2,设剪去小正方形的边长为x cm,则可列方程为()A.(30-2x)(40-x)=600B.(30-x)(40-x)=600C.(30-x)(40-2x)=600D.(30-2x)(40-2x)=6002.如图,某小区规划在一块长为30 m,宽为20 m的长方形空地ABCD上修建三条同样宽的通道,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种花草.要使每一块花草地的面积都为78 m2,那么通道的宽应设计成多少米?设通道的宽为x m,由题意列得的方程为.3.若直角三角形的三条边长为三个连续偶数,且面积为24 cm2,则此三角形的三条边长分别为.4.如图,若某幼儿园有一面长为16 m 的墙,计划用32 m长的围栏靠墙围成一个面积为120 m2的矩形草坪ABCD,则该矩形草坪BC边的长为.5.如图,在△ABC中,∠B=90°,点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那么几秒后△PBQ的面积等于8 cm2?★6.在一块长为16 m,宽为12 m的矩形荒地上,要建造一个花园,要求花园面积是荒地面积的一半,下面分别是小华与小芳的设计方案.(1) 同学们都认为小华的方案是正确的,但对小芳的方案是否符合条件有不同意见,你认为小芳的方案符合条件吗?若不符合,请用方程的方法说明理由;(2)你还有其他的设计方案吗?请在图③中画出你所设计的草图,将花园部分涂上阴影,并加以说明.二、创新应用★7.如图,在宽为20 m,长为32 m的矩形地面上修建同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540 m2,求道路的宽.(参考数据:322=1 024,522=2 704,482=2 304)知能演练·提升一、能力提升1.D2.x2-35x+66=0由题意可知,每一块小矩形花草地的长都是30-2x3 m,宽都是20-x2m.所以可得30-2x3×20-x2=78.化简,得x2-35x+66=0.3.6 cm,8 cm,10 cm4.12 m设BC边的长为x m,根据题意得x·32-x2=120,解得x1=12,x2=20,∵20>16, ∴x2=20不合题意,舍去.故该矩形草坪BC边的长为12 m.5.解设x s后△PBQ的面积等于8 cm2,则12(6-x)·2x=8,解得x1=2,x2=4.经检验,这两个解都符合题意.所以点P,Q分别从点A,B同时出发,2 s或4 s后△PBQ 的面积等于8 cm2.6.解(1)不符合.设小路宽度均为x m,根据题意,得(16-2x)(12-2x)=12×16×12,解这个方程,得x1=2,x2=12.但x2=12不符合题意,应舍去,所以x=2.故小芳的方案不符合条件,小路的宽度应为2 m.(2)答案不唯一.例如:二、创新应用7.解法一由题意转化为图①,设道路宽为x m,根据题意,得(20-x)(32-x)=540,整理得x2-52x+100=0,解得x1=50(不合题意,舍去),x2=2.故道路宽为2 m.解法二由题意转化为图②,设道路宽为x m,根据题意,得20×32-(20+32)x+x2=540,整理得x2-52x+100=0,解得x1=2,x2=50(不合题意,舍去).故道路宽为2 m.。
《一元二次方程》复习课件
3、将一元二次方程x2-2x-2=0化成(x+a)2=b的形式
是 (x－1)2=3；此方程的根是 x 1 3 .
4、用配方法解方程x2+8x+9=0时，应将方程变形为
(D )
A.(x+4)2=7
B.(x+4)2=－9
C.(x+4)2=25
D.(x+4)2=－7
第二环节 基础知识重现
5、解下列一元二次方程 (1) 4x2－16x+15=0 (用配方法解) (2) 9－x2=2x2－6x(用分解因式法解) (3) (x＋1)(2－x)=1 (选择适当的方法解)
(20－16+x)((200－10x)=1350 解得x1=11，x2=5 当x=11时，200－10x=200－10×11=90; 当x=5时，200－10x=200－10×5=150 答：当每支钢笔涨价11元或5元时，月利润可达1350元. 当每支钢笔涨价11元时，应进货90支；当每支钢笔涨价 5元时，应进货150支.
3、王老师假期中去参加高中同学聚会，聚会时，所有
到会的同学都互相握了一次手，王老师发现共握手435
次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同
x(x 1) 435
学共有x人，则根据题意，可列方程： 2
.
4、初三、三班同学在临近毕业时，每一个同学都将自
己的照片向全班其他同学各送一张以表示纪念，全班
6、用一块面积为888cm2的矩形材料做一个无盖的长 方体盒子，要求盒子的长为25cm，宽为高的2倍，盒 子的宽和高应为多少？
第四环节：巩固提高
7、一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接
到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北
一元二次方程复习参考课件教学提纲
3.公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当 b 2 4ac 0时,它 的 根 是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
2.几何与方程
• 例1 .一块长方形草地的长和宽分别为20cm和
15cm,在它的四周外围环绕着宽度相等的小路.已
知小路的面积为246cm2,求小路的宽度.
解 : 设 小 路 的 宽 度xm, 根 据 题 意, 得 20+2x
(20 2x)15 2x 25 15 246.
20
15+2x 15
1.数字与方程
例1.一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个 位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.
解 :设这两位数的个位数字为x,根据题意,得
x2 10x 3 x.
整理得x2 11x 30 0.
解 得 x1 5, x2 6. x 3 5 3 2,或x 3 6 3 3. 答 : 这个两位数为25,或36.
整理得 :
2x2 35x 123 0,
解得 :
x1
3;
x2
41 (不合题意, 舍去). 2
答 :小路的宽度为3m.
几何与方程
例2. 如图,在一块长92m,宽60m的矩形 耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等. 水渠把耕地分成面积均为885m2的6个 矩形小块,水渠应挖多宽.
解 : 设 水 渠 的 宽 度xm, 根 据 题 意, 得
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1.关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0 有两个 不相等的实数根，则K的取值范围是 ； 2.判断关于的一元二次方程x2-mx+m-2=0的 根的情况是 ； 3.若方程2x2+3x-1=0的两个根分别为x1，x2， 则（1+x1）（1+x2）的值是 ； 4.设关于x的方程x2-2x+m=0的两根为x1，x2，
一元二次方程 （复习课）
温故知新1 ☞一元二次方程的定义 只含有一个未知数,未知数的最高次 数是2的整式方程,叫做一元二次方程。
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 思考
一元二次方程ax²+bx +c =0 （1）若x=1是它的一个根，则a+b+c= ____； 若x=m是它的一个根，则_______； （2）若a-b+c=0，则方程必有一根为_____。
课堂小结及小组评价
谈谈本节课你有哪些收获？ 还有那些困惑？
由课代表宣布本节课表现优 秀的小组及个人。。。
课堂小结及小组评价
②当b2-4ac＜0时，方程无实根
b c x1+x2= x1.x2= a a
一提二套三分组，阵法熟练不马虎；
因式分解法
3项十字相乘法，4项以上要分组。
温故知新3
☞ 列一元二次方程解应用题
题型：几何图形面积、体积问题、增长率（含负增 长）问题、经济类问题、数字问题及其它
步骤:
审、设、列、解、检、答． 注意:在列一元二次方程解应用题时，由于 所得的根有两个，所以要检验这两个根是 否符合实际问题的要求．
若2x1-x2=1，则方程两实根是__，m= __ ． 5.已知方程x2+3x-2011=0的两个根分别为a，b, 则a2+2a-b的值是______ ；
【有效训练三】 列方程解应用题 1.某企业2010年盈利1500万元，2012年盈利
2160万元，若每年盈利的年增长率相同，预计 2013年盈利多少万元？ 2.某商店将进价为8元的商品按每件10元售出， 每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少 销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的 销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应 将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为 640元？
【三】达标检测
1.关于x的一元二次方程 （m-2）x2+（2m-1）x+m2-4=0 的一个根是0， 则m的值是___． 2.若x=1是方程x2-ax+2=0 的一个根， 则方程的另一个根为 ； 3.一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元 降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是 ___________ 。 4.解方程： （1）2（x+3）2 = x（x+3） （2）x2-2x+3=0
【有效训练一】一元二次方程的解法 1.按要求解方程 ①用配方法解: 2x2-12x+5=0 ②用公式法解： 3x2 +5（2x+1)=0 2.用适当的方法解： ①（x-1）2 = 2x-2
② x（x+5）=24
3.三角形的每条边的长都是方程x2-6x+8=0 的根，则三角形的周长是 ；
根的判别式与韦达定理的运用 【有效训练二】
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 温故知新2 ☞ 的解法 (x+m)2=n （n ≥0)
直 平 接 方Leabharlann 开 法配 方 法 公 式 法 当二次项系数为1时，方程两边 都加上一次项系数一半的平方 一元二次方程根的 判别式：b2-4ac 一元二次方程根与系 数的关系（韦达定理）
解 法
b b 2 4ac ①当b2-4ac≥0时，x1,2= 2a