切比雪夫级数
4阶切比雪夫滤波器
4阶切比雪夫滤波器————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第六章 无限脉冲响应数字滤波器的设计6.1 数字滤波器的基本概念6。
2 模拟滤波器的设计6.3 用脉冲响应不变法设计IIR 数字低通滤波器6。
4 用双线性变换法设计IIR 数字低通滤波器6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法6.1 数字滤波器的基本概念1。
数字滤波器的分类数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应（IIR ）滤波器和有限脉冲响应（FIR ）滤波器。
它们的系统函数分别为：（6。
1.1)（6.1.2)图6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性110()1()()M r r r N kk k N n n b z H z a z H z h n z -=-=--==+=∑∑∑)(e j ωH )(e j ωH )(e j ωH )(e j ωH 0低通0高通0带通0带阻ωωωωπ2-π2-π2-π2-π-π-π-π-πππππ2π2π2π22数字滤波器的技术要求我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。
假设数字滤波器的传输函数H(e j ω）用下式表示:通带内和阻带内允许的衰减一般用dB 数表示，通带内允许的最大衰减用αp 表示，阻带内允许的最小衰减用αs 表示，αp 和αs 分别定义为：（6。
1.3)（6.1。
4)如将|H(ej0)｜归一化为1，（6。
1.3)和(6.1.4)式则表示成:（6.1。
5） (6.1.6)3. 数字滤波器设计方法概述IIR 滤波器和FIR 滤波器的设计方法是很不相同的。
IIR 滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。
其设计步骤是:先设计模拟滤波器得到传输函数Ha （s ），然后将Ha （s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H （z)。
切比雪夫大数定理证明
切比雪夫大数定理证明介绍切比雪夫大数定理是概率论中的一个重要定理，它是指在一定条件下，随机变量的均值与其数学期望的差距在一定范围内的概率非常高。
该定理广泛应用于统计学、金融学、电子工程等领域，是理解概率分布、随机变量行为的关键概念之一。
切比雪夫大数定理的表述设X是一个随机变量，它的数学期望为μ，方差为σ^2。
对于任意正数ε，有：P(|X-μ| ≥ ε) ≤ σ^2 / ε^2其中，P(…)表示概率，|X-μ|表示X与μ的差的绝对值，ε表示一个正数，σ^2为X的方差。
切比雪夫大数定理的证明思路切比雪夫大数定理的证明思路是通过上述不等式来推导。
首先，由于方差是非负的，可以将右边的分母ε^2移到左边，得到：ε^2 * P(|X-μ| ≥ ε) ≤ σ^2接下来，可以使用定义来证明该不等式。
切比雪夫大数定理的证明过程步骤一：引入指示函数为了更方便地证明切比雪夫大数定理，我们引入一个指示函数I，它的定义如下：I = { 1, 当 |X-μ| ≥ ε{ 0, 当 |X-μ| < ε也就是说，指示函数I表示X与μ的差是否大于等于ε。
步骤二：方差的定义根据方差的定义可得：σ^2 = ∫(X-μ)^2 * f(x)dx其中，f(x)是X的概率密度函数。
步骤三：变换不等式将步骤一引入的指示函数I代入方差的定义可得：σ^2 = ∫(X-μ)^2 * I * f(x)dx这里的I与前面引入的指示函数I是同一个函数。
由于指示函数I只会取0和1，所以可以进一步变换不等式：σ^2 = ∫(X-μ)^2 * I * f(x)dx = ∫(X-μ)^2 * I * f(x)dx + ∫(X-μ)^2 * (1-I) * f(x)dx = ∫(X-μ)^2 * I * f(x)dx + ∫(X-μ)^2 * (1-I) * f(x)dx = ∫(X-μ)^2 * f(x)dx = σ^2这个等式说明了无论X与μ的差是否大于等于ε，方差σ^2的值都不会改变。
切比雪夫多项式
切比雪夫多项式概述：切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。
通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。
切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。
切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。
这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。
相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。
基本性质：对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。
并且当n为偶（奇）数时，它们是关于x 的偶（奇）函数，在写成关于x的多项式时只有偶（奇）次项。
按切比雪夫多项式的展开式：一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下，多项式按切比雪夫多项式的展开可以用Clenshaw 递推公式计算。
第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定。
也可以用母函数表示。
第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出。
此时母函数为Clenshaw递推公式在数值分析中，Clenshaw递推公式(由Charles William Clenshaw发现)是一个求切比雪夫多项式的值的递归方法。
切比雪夫多项式N次切比雪夫多项式，是下面形式的多项式p(x)其中T n是n阶切比雪夫多项式Clenshaw递推公式Clenshaw递推公式可以用来计算切比雪夫多项式的值。
给定我们定义于是(注)上面的公式在N=0,1的情况下无意义。
此时我们可以用下面的公式：(downward, omit if N=0)这里或者其中是第二类切比雪夫多项式棣莫弗（de Moivre）原理设两个复数（用三角形式表示）Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+i sinθ2），则:Z1Z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].解析证：先讲一下复数的三角形式的概念。
在复平面C上，用向量Z(a,b）来表示Z=a+bi.于是，该向量可以分成两个在实轴，虚轴上的分向量.如果向量Z与实轴的夹角为θ，这两个分向量的模分别等于rcosθ,risinθ（r=√a^2+b^2）.所以，复数Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ）.这里θ称为复数Z的辐角.因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），所以Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1）（cosθ2+isinθ2）=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2）]=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].其实该定理可以推广为一般形式：推广设n个复数Z1=r1(co sθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），……，Zn=rn(cosθn+isinθn），则：Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)].解析证：用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。
切比雪夫级数分解
算法说明：当一个连续函数定义在区间[-1,1]上时，它可以展开成切比雪夫级数。
即：()()n n n f x f T x ∞==∑ 其中()n T x 为n 次切比雪夫多项式，具体表达可通过递推得出：0()1T x =，1()T x x =11()2n n n T x xT x T x +-=-它们之间满足如下的正交关系：110,,02,0n mn m n m ππ-≠⎧⎪⎪==≠⎨⎪==⎪⎩⎰在实际应用中，可根据所需的精度来截取有限的项数，切比雪夫级数中的系数由下式决定：101()f x f dx π-=⎰12()()n T x f x f dx π-=⎰在MA TLAB 中编程实现的切比雪夫逼近法函数为：Chebyshev 。
功能：用切比雪夫多项式逼近已知函数。
调用格式：Chebyshev(y,k,x0)f =其中，y 为已知函数；k 为逼近已知函数所需项数；f 是求得的切比雪夫逼近多项式在x0处的逼近值。
程序源代码（m 文件）：function f = Chebyshev(y,k,x0) %用切比雪夫多项式逼近已知函数 %已知函数：y%逼近已知函数所需项数：k %逼近点的x 坐标：x0%求得的切比雪夫逼近多项式或在x0处的逼近值：fsyms t;T(1:k+1) =t;T(1) = sym('1');T(2) = t;c(1:k+1) = sym('0');c(1)=int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(1)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;c(2)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(2)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;f = c(1)+c(2)*t;for i=3:k+1T(i) = 2*t*T(i-1)-T(i-2);c(i) = 2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/2;f = f + c(i)*T(i);f = vpa(f,6);if(i==k+1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = vpa(f,6);endendend应用实例：切比雪夫应用实例。
切比雪夫大数定律意义
切比雪夫大数定律意义摘要：1.引言2.切比雪夫大数定律的定义和意义3.切比雪夫大数定律与其他大数定律的比较4.切比雪夫大数定律的应用5.结论正文：1.引言切比雪夫大数定律是概率论中的一个重要定理，它对于研究随机变量的收敛性和极限分布具有重要意义。
本文将从切比雪夫大数定律的定义和意义入手，比较它与其他大数定律的异同，并探讨其在实际应用中的重要性。
2.切比雪夫大数定律的定义和意义切比雪夫大数定律是指在一定条件下，随机变量的方差趋于稳定的定值。
具体来说，当随机变量X 的方差存在时，随着样本容量n 的增大，样本均值x_n 的标准差σ_n 会趋于一个稳定值，即存在一个正数c 使得：σ_n ≤c。
这个稳定值c 称为切比雪夫常数。
切比雪夫大数定律的意义在于，它告诉我们在一定条件下，随机变量的方差具有共同上界，这意味着随着样本容量的增大，样本均值的分布将越来越集中，从而为我们估计总体参数提供了依据。
3.切比雪夫大数定律与其他大数定律的比较切比雪夫大数定律与其他著名的大数定律，如马尔科夫大数定律和伯努利大数定律有密切联系，但它们之间存在一些本质区别。
马尔科夫大数定律是指在一定条件下，随机变量的均值趋于稳定。
与切比雪夫大数定律不同的是，马尔科夫大数定律关注的是均值的稳定性，而切比雪夫大数定律关注的是方差的稳定性。
伯努利大数定律是指在一定条件下，随机变量的概率分布趋于二项分布。
与切比雪夫大数定律相比，伯努利大数定律更强调随机变量之间的独立性。
4.切比雪夫大数定律的应用切比雪夫大数定律在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在统计学中，切比雪夫大数定律可以用来估计总体参数的置信区间；在机器学习中，切比雪夫大数定律可以用来分析算法的稳定性和收敛性；在金融领域，切比雪夫大数定律可以用来评估投资风险和回报。
5.结论切比雪夫大数定律是概率论中的一个重要定理，它对于研究随机变量的收敛性和极限分布具有重要意义。
通过与其他大数定律的比较，我们可以更好地理解切比雪夫大数定律的本质和应用场景。
高中数学竞赛切比雪夫(Chebyshev)多项式知识整理-教学文档
方法一：余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦．这样就产生余弦的n 倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题．通过研究，发现cos n α都是关于2cos α的首项系数为1的、次数等于α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进一步得到cos n α的一些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式．在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦cos n α是众所周知的偶函数，它的倍角公式如：2cos 22cos 1αα=- ，(1)3cos34cos 3cos ααα=-． (2)它们都是由余弦cos α的幂整系数线性组合来表倍角的余弦．这样就自然产生了余弦的n 倍角能否用余弦cos α的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得42cos 48cos 8cos 1ααα=-+ ，(3)53cos516cos 20cos 5cos αααα=-+ ．(4)观察公式(1—4)，可以发现．如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2cos α的首系数为1的、次数等于公式左边α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式．由此猜测2cos n α也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明．猜想2,02cos (1)(2cos )m n m n m m n a αα-==-∑，(;n N m N +∈∈) (5)(5)式可改写为：n/312112cos (2cos )(1)(2cos )ent n mm n m n m m n n C mααα----==+-∑ ，(9) (9)式称为n 倍角余弦公式．12424cos 2(cos )(cos )(cos )n n n n n n n αααααα-----=-++…，其中i α为正整数． 因为余弦cos α在[]0,απ∈上单调，对应值为1降到1-，即cos α[]1,1∈-，[]0,απ∈ ．因此存在反函数，若令cos x α=，则arccos x α=，[]1,1x ∈-，[]0,απ∈．因此，在余弦n 倍角公式中令arccos x α=，[]0,απ∈，[]1,1x ∈-，则倍角公式为于是cos(arccos )n x 首项系数为12n -的多项式，各项系数是整数，符号依次变化，x 的幂依次递减2次，若递减到最后，幂次为负，则该项取零．若记cos(arccos )n x =()n T x ，则()n T x 满足，12()2()()n n n T x xT x T x --=-，()n T x 称为切比雪夫多项式．从递推关系可以得到：第一类切比雪夫多项式有许多良好的性质，例如：1．(cos )cos(),,n T n R n N θθθ=∈∈．(分析：令cos x θ=，arccos x θ=) 2．()(1)()n n n T x T x -=-，,x C n N ∈∈．这表明()n T x 当n 为奇(偶)数时是奇(偶)函数．3．()1,,1n T x x R x ≤∈≤．4．21(0)0m T +=，2(0)(1),m m T m N =-∈．5．函数列{}()n T x 的生成函数为（分析：生成函数又叫母函数，在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息．使用母函数解决问题的方法称为母函数方法．母函数的思想就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造．母函数是解决组合计数问题的有效工具之一，其思想方法是把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂的相加对应起来．）6．函数列{}()n T x 满足2阶递推关系（分析：由三角恒等式cos(1)cos(1)2cos cos n n n θθθθ++-=）最小偏差切比雪夫在1857年提出这样一个问题：在最高项系数为1的n 次多项式中，寻求在区间[]1,1-上与零的偏差最小的多项式．换句话说，就是寻求[]1,1n x C ∈-在1n H -中的最佳一致逼近多项式1()n P x *-，这里定理 在区间[]1,1-上所有最高项系数为1的多项式中，与零的偏差最小，其偏差为112n -． ()n U x 称为第n 个第二类切比雪夫多项式，前7个第二类切比雪夫多项式为： 第二类切比雪夫多项式也有许多良好的性质，例如：1．()(1)(),,n n n U x U x x C n N -=-∈∈．即当以为奇(偶)数时是奇(偶)函数． 2．21(0)0m U +=，2(0)(1)m m U =-，(1)1n U n =+,(1)(1)(1)n n U n -=-+，m N ∈．3．函数列{}()n U x 的生成函数为4．()1,,1n U x n x R x ≤+∈≤．5．函数列{}()n U x 满足2阶递推关系两类切比雪夫多项式的关系定理1设()n T x 和()n U x 分别为第一类和第二类切比雪夫多项式，0n ≥为整数，则证明 由两类切比雪夫多项式的定义得而则比较式在子两边n t 项的系数，即有4切比雪夫多项式的应用4.1切比雪夫多项式插值切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用．这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值．相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近． 切比雪夫多项式插值法：定理：设01,,x x …,n x 为区间[],a b 上1n +个互不相同的点，[]1(),n f x C a b +∈，则对任何[],x a b ∈,存在[]01,,,x n x x x ξ∈，使得拉格朗日插值余()()()n R x f x L x =-，满足其中插值多项式的余项极小化：要使拉格朗日插值多项式()n L x 尽量逼近()f x ，就要使余项()n R x 尽量小．在 ()n R x 中，()f x 是固定的，而 x ξ又是未知数，所以要减小()n R x ，只有恰当选择节点集，使得在插值区间内余项的最大值为极小值．为了应用切比雪夫多项式，首先应将插值区间[],a b ,通过简单变换归一化到区间[−1,1],做变换()12k k z b a x b a =-++⎡⎤⎣⎦ 所以插值节点应取为()121cos 222k k z b a b a n π+⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦. 其中0,1,2,,1k n =-，所以下面我们只需要讨论区间[−1,1]上的函数的切比雪夫插值法： 当取定第一类切比雪夫点21cos ,0,1,2,,22k k x k n n π+==+后，令()1111max n n x M f x ++-≤≤=，则有()()11max 1max (1)!2(1)!n n n n x R x M M n n ++=≤++∏，故切比雪夫插值法可以使得余项的最大值极小化，得到较佳逼近多项式.。
切比雪夫阶数确定 -回复
切比雪夫阶数确定-回复切比雪夫阶数确定：理解和应用引言：切比雪夫阶数是一个与信号分析、滤波器设计和系统控制相关的重要概念。
它被广泛用于确定系统的性能和稳定性，同时也可以应用于图像处理和数据压缩等领域。
本文将详细探讨切比雪夫阶数的定义、计算方法和应用，帮助读者全面了解和运用这一概念。
第一部分：切比雪夫阶数的定义切比雪夫阶数是指在特定条件下，给定系统或信号能够在频域或空域中达到指定波动范围的最小阶数。
它与系统的稳定性和性能有着密切的关系，并且可以用于评估系统的抗干扰能力和频率响应。
第二部分：切比雪夫阶数的计算方法切比雪夫阶数的计算需要通过系统或信号的特性来确定。
一般来说，可以使用以下步骤来计算切比雪夫阶数：1. 确定指定波动范围：根据具体的问题或需求，确定系统或信号在频域或空域中允许的波动范围，通常以最大振幅或能量损失为衡量标准。
2. 找到波动范围内的极值点：对于给定系统或信号的频率响应曲线或波形，找到处于指定波动范围内的极值点，这些点代表了系统或信号的极限情况。
3. 计算极值点之间的差值：根据极值点的位置和数值，计算它们之间的差值，这将是切比雪夫阶数的一个重要参考。
4. 确定最小阶数：通过比较差值的大小，找到最小的阶数，使得系统或信号在指定波动范围内的极值点可以达到或接近于设定的要求。
第三部分：切比雪夫阶数的应用切比雪夫阶数在工程和科学领域有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用示例：1. 滤波器设计：在滤波器设计中，切比雪夫阶数可以用于确定滤波器的频率响应和抗干扰能力。
通过选择合适的阶数，可以实现滤波器在指定频率范围内的响应特性。
2. 系统控制：在系统控制中，切比雪夫阶数可以用于评估系统的闭环稳定性和阻尼能力。
通过计算阶数，可以确定控制器的参数设置，以实现系统的稳定和鲁棒性。
3. 图像处理：在图像处理中，切比雪夫阶数可以应用于图像压缩、去噪和边缘检测等方面。
通过计算阶数，可以确定压缩比、滤波器参数和边缘检测算法的性能。
切比雪夫积分不等式
切比雪夫积分不等式切比雪夫积分不等式是一个经典的数学定理，又称切比雪夫不等式。
该定理最初是由俄国数学家切比雪夫所发现的，但是至今仍有很多研究者在研究该定理。
切比雪夫积分不等式在几何、代数、数学分析以及给定性质函数等领域中都具有重要意义。
切比雪夫积分不等式是由切比雪夫于1859年提出的，原文如下：“如果函数f（x）在0≤x≤1上连续，其导数在0≤x≤1上除了x = 0和x = 1外值均不为0，而在0≤x≤1上的值有限，则∫0s1f（x）dx> 1/2f（1/2）。
”下面我们来进一步解释切比雪夫积分不等式的定义及其数学意义。
切比雪夫积分不等式主要指上面引用的定理，它指的是给定的函数f（x）满足以下条件：（1）f（x）在区间[0,1]上连续；（2）对f （x）在区间[0,1]上除x=0和x=1外的每个点处求导数不为零；（3）f（x）在区间[0,1]上具有有限值。
下面我们详细讨论切比雪夫积分不等式的证明及其数学意义。
证明切比雪夫积分不等式：首先，根据切比雪夫定理的条件，我们知道f（x）在区间[0,1]上连续，f（x）的导数在区间[0,1]上除了x=0和x=1外值均不为0，并且f（x）的值在[0,1]之间是有限的。
其次，我们令a、b为f（x）在[0,1]区间上的任意两个不相等的点，显然，存在一个某一点x = c，使得f（x）在[a,b]区间上取得最大值；由于f（x）在区间[0,1]上的导数在x=0和x=1外值均不为0，并且f（x）在区间[0,1]上具有有限值，因此可以得出最大值的点c处的导数为0，即f（c）= 0继续往下，由于f（x）在[a,b]区间上是连续的，所以可以于当a x c时f（x）的导数为正，当c x b时f（x）的导数为负。
从而可以得出∫a bf（x）dx = 0而前面我们说过，c为f（x）在[a,b]区间上取得最大值的点，因此f（c）≥f（x）（x为[a,b]区间上任一点）结合上述两个等式，我们可以得出切比雪夫积分不等式：∫0s1f（x）dx> 1/2f（1/2）从这里我们可以推出，当f（x）在[0,1]区间上取得最大值时，其积分值会大于等于1/2f（1/2）切比雪夫积分不等式可以说是一个几何性质，但也可以具有更广泛的应用，例如在数学分析中，有时需要证明某种定义或性质，例如f（x）是否满足Rolle定理。
常用十个切比雪夫展开公式
常用十个切比雪夫展开公式
切比雪夫展开公式是数学中常用的展开方法之一，可以将一个
函数在给定的区间上展开成一组以切比雪夫多项式为基函数的级数。
下面介绍常用的十个切比雪夫展开公式。
1. 零阶切比雪夫多项式展开公式：
$T_0(x) = 1$
2. 一阶切比雪夫多项式展开公式：
$T_1(x) = x$
3. 二阶切比雪夫多项式展开公式：
$T_2(x) = 2x^2 - 1$
4. 三阶切比雪夫多项式展开公式：
$T_3(x) = 4x^3 - 3x$
5. 四阶切比雪夫多项式展开公式：
$T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1$
6. 五阶切比雪夫多项式展开公式：
$T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x$
7. 六阶切比雪夫多项式展开公式：
$T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1$
8. 七阶切比雪夫多项式展开公式：
$T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x$
9. 八阶切比雪夫多项式展开公式：
$T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1$
10. 九阶切比雪夫多项式展开公式：
$T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x$
以上是常用的十个切比雪夫展开公式，通过这些公式，我们可以将函数在给定区间上展开成切比雪夫多项式的级数形式，方便进一步计算和分析。
切比雪夫级数
算法说明：当一个连续函数定义在区间[-1,1]上时，它可以展开成切比雪夫级数。
即：()()n n n f x f T x ∞==∑其中()n T x 为n 次切比雪夫多项式，具体表达可通过递推得出：0()1T x =，1()T x x =11()2n n n T x xT x T x +-=-它们之间满足如下的正交关系：110,()(),02,0n m T x T x dx n m n m ππ-≠⎧⎪⎪==≠⎨⎪==⎪⎩⎰在实际应用中，可根据所需的精度来截取有限的项数，切比雪夫级数中的系数由下式决定：1011()f x f dx π-=⎰112()()n T x f x f dx π-=⎰在MATLAB 中编程实现的切比雪夫逼近法函数为：Chebyshev 。
功能：用切比雪夫多项式逼近已知函数。
调用格式：Chebyshev(y,k,x0)f = 其中，y 为已知函数；k 为逼近已知函数所需项数；f是求得的切比雪夫逼近多项式在x0处的逼近值。
程序源代码（m文件）：function f = Chebyshev(y,k,x0)%用切比雪夫多项式逼近已知函数%已知函数：y%逼近已知函数所需项数：k%逼近点的x坐标：x0%求得的切比雪夫逼近多项式或在x0处的逼近值：fsyms t;T(1:k+1) =t;T(1) = sym('1');T(2) = t;c(1:k+1) = sym('0');c(1)=int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(1)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/p i;c(2)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(2)/sqrt(1-t^2),t,-1,1) /pi;f = c(1)+c(2)*t;for i=3:k+1T(i) = 2*t*T(i-1)-T(i-2);c(i) =2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/2;f = f + c(i)*T(i);f = vpa(f,6);if(i==k+1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = vpa(f,6);endendend，应用实例：切比雪夫应用实例。
4阶切比雪夫滤波器
第六章 无限脉冲响应数字滤波器的设计6.1 数字滤波器的基本概念 6.2 模拟滤波器的设计6.3 用脉冲响应不变法设计IIR 数字低通滤波器 6.4 用双线性变换法设计IIR 数字低通滤波器 6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计 6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法 6.1 数字滤波器的基本概念 1. 数字滤波器的分类数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。
它们的系统函数分别为：(6.1.1)(6.1.2)图 6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性2我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。
假设数字滤波器的传输函数H(e j ω)用下式表示： 通带内和阻带内允许的衰减一般用dB 数表示，通带内允许的最大衰减用αp 表示，阻带内允许的最小衰减用αs 表示，αp 和αs 分别定义为： (6.1.3)(6.1.4)如将|H(ej0)|归一化为1，(6.1.3)和(6.1.4)式则表示成：(6.1.5)(6.1.6)3. 数字滤波器设计方法概述IIR 滤波器和FIR 滤波器的设计方法是很不相同的。
IIR 滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。
其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字0110()1()()Mr r r N kk k N nn b z H z a z H z h n z -=-=--==+=∑∑∑)(e j ωH )(e j ωH )(e j ωH )(e j ωH 0低通0高通0带通0带阻ωωωωπ-π2-π2-π2-π-π-π-π-ππππ2π2π2π2()()()j j j H e H e e ωωωΩ=00()20lg ()()20lg ()p s j p j j s j H e dB H e H e dB H e ωωαα==20lg ()20lg ()ps j p j sH e dB H e dB ωωαα=-=-滤波器的系统函数H(z)。
切比雪夫阶数确定 -回复
切比雪夫阶数确定-回复切比雪夫阶数的确定是数值分析中一个重要的主题。
切比雪夫多项式有着广泛的应用，特别是在数值逼近问题中。
在本文中，我们将一步一步回答关于切比雪夫阶数确定的问题，并介绍切比雪夫多项式的基本概念和性质。
首先，让我们先来了解一下切比雪夫多项式。
切比雪夫多项式是定义在闭区间[-1, 1]上的一组正交多项式。
它们是通过递归定义得到的，其公式如下：T_0(x) = 1T_1(x) = xT_n(x) = 2xT_{n-1}(x) - T_{n-2}(x) (n ≥2)其中，T_n(x)表示切比雪夫多项式的第n项，x表示自变量。
切比雪夫多项式的性质之一是，它们在闭区间[-1, 1]上有恰好n个不同的零点，这些零点被称为切比雪夫节点。
切比雪夫多项式的阶数就等于节点个数。
那么，如何确定切比雪夫多项式的阶数呢？一种常用的方法是基于逼近误差的角度。
在数值逼近问题中，我们通常会选择一个合适的多项式来近似一个函数，使得在给定的误差限度下能够较好地逼近原函数。
假设我们需要近似一个连续函数f(x)，我们可以使用切比雪夫多项式来实现逼近。
切比雪夫多项式的逼近性质告诉我们，最佳逼近近似发生在切比雪夫节点上，即在节点处误差最小。
因此，我们可以选择切比雪夫多项式的阶数为节点个数，以最大程度地减小逼近误差。
具体来说，我们可以通过以下步骤来确定切比雪夫阶数：1. 确定逼近误差限度：首先，我们需要确定逼近误差限度，即对于给定的误差限度ε，我们希望逼近多项式与原函数之间的差距不超过ε。
2. 计算切比雪夫节点：在闭区间[-1, 1]上，我们可以使用以下公式来计算切比雪夫节点：x_k = cos((2k + 1)π/ (2n + 2)) (0≤k≤n)其中，n为切比雪夫阶数，k为节点编号，x_k为切比雪夫节点。
3. 计算逼近多项式：使用切比雪夫节点来构造逼近多项式。
根据切比雪夫多项式的性质，我们知道在切比雪夫节点处，逼近多项式与原函数之间的差距达到最小。
第一类切比雪夫多项式最高次幂的系数
第一类切比雪夫多项式最高次幂的系数下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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切比雪夫极点公式
切比雪夫极点公式
【原创实用版】
目录
1.切比雪夫极点公式的定义和背景
2.切比雪夫极点公式的应用领域
3.切比雪夫极点公式的推导过程
4.切比雪夫极点公式的实际应用案例
5.切比雪夫极点公式的意义和价值
正文
切比雪夫极点公式，是统计学中一种用于估计一个数据集的极值的公式，该公式由俄国数学家切比雪夫（Chebyshev）提出，因此得名。
这个公式在很多领域都有应用，例如经济学、物理学、生物学等，尤其在工程领域中，对于保证系统的可靠性和安全性有着重要的意义。
切比雪夫极点公式的应用领域广泛，主要可以用来估计数据的极值，比如在工程领域中，可以用来估计设备的最大承载能力，以确保设备的安全运行。
在经济学中，可以用来估计某种商品的最大需求量，以便企业进行生产计划。
在物理学中，可以用来估计某种物理量的最大值，以便科学家进行实验设计。
切比雪夫极点公式的推导过程比较复杂，涉及到高级的数学知识，这里就不详细描述了。
简单来说，切比雪夫极点公式是通过大量的实验数据和理论分析得出的。
切比雪夫极点公式的实际应用案例也非常多，比如在航空航天领域，为了保证飞行器的安全，就需要使用切比雪夫极点公式来估计飞行器的最大载荷。
在桥梁工程中，为了保证桥梁的安全，也需要使用切比雪夫极点公式来估计桥梁的最大承重。
切比雪夫阶数确定 -回复
切比雪夫阶数确定-回复关于切比雪夫阶数（Chebyshev order）的确定方法。
切比雪夫阶数是用来衡量点集合与曲线之间的拟合程度的数值。
它是由俄罗斯数学家切比雪夫（Pafnuty Lvovich Chebyshev）在19世纪发展而来的，并且在工程、数值分析、信号处理等领域被广泛应用。
在本文中，我们将一步一步地介绍确定切比雪夫阶数的方法。
首先，让我们来了解一下切比雪夫曲线。
切比雪夫曲线是指在给定的定义域上拥有最小切比雪夫阶数的多项式曲线。
其定义域可以是有限区间，也可以是无限区间。
在本文中，我们将以定义域为有限区间进行讨论。
第一步，确定最小和最大x值。
在给定点集合中，我们需要先找出最小和最大的x值。
这将帮助我们确定切比雪夫多项式的定义域。
第二步，计算切比雪夫多项式的值。
切比雪夫多项式是根据下列公式计算的：T_k(x) = cos(k * arccos(x))其中，T_k(x)是切比雪夫多项式的第k阶，x是定义域内的变量。
第三步，计算点与曲线之间的最大差距。
对于给定点集合中的每个点，我们需要计算该点与切比雪夫多项式曲线之间的差距。
差距的计算方法是将该点的y值与曲线在相应x值处的y值之差的绝对值。
然后，我们需要找出这些差距中的最大值。
第四步，确定切比雪夫阶数。
切比雪夫阶数是点集合与曲线之间的最大差距减去一个小误差值后的结果。
这个小误差通常被称为拟合误差容限（fitting error tolerance）。
拟合误差容限的大小取决于具体应用的要求。
第五步，检验拟合程度。
在确定了切比雪夫阶数后，我们可以将点集合和切比雪夫多项式曲线进行对比。
我们可以观察点集合中的每个点与曲线之间的差距，并评估拟合程度。
如果拟合程度不符合要求，我们可以尝试调整拟合误差容限或选择更高阶数的切比雪夫多项式。
最后，需要注意的是，切比雪夫阶数的确定不是一个绝对的过程，而是需要根据具体的应用需求进行调整。
阶数越高，曲线与点集合间的拟合程度越好，但计算复杂度也会增加。
切比雪夫滤波器的阶数计算公式
切比雪夫滤波器的阶数计算公式
切比雪夫滤波器是一种经典的数字信号处理滤波器，它以切比雪夫多项式为基础，能够在频域上实现对信号的滤波。
在设计切比雪夫滤波器时，我们需要确定滤波器的阶数，以满足特定的滤波需求。
切比雪夫滤波器的阶数计算公式如下：
阶数= log10(1/δ) / [log10(1/ωc) * log10(1/ε)]
其中，δ表示通带最大允许波动的幅度，ωc表示通带截止频率，ε表示阻带最小衰减比。
通过这个公式，我们可以根据滤波器的要求来计算出合适的阶数。
阶数越高，滤波器的性能越好，但计算和实现的难度也会增加。
切比雪夫滤波器的阶数计算公式是基于数学原理推导出来的，它能够准确地帮助我们确定滤波器的阶数。
在实际应用中，我们可以根据具体的滤波需求和性能要求，利用这个公式来计算出最佳的阶数，然后设计和实现相应的滤波器。
切比雪夫滤波器的阶数计算公式是一种重要的工具，它能够帮助我们确定滤波器的阶数，从而实现对信号的精确滤波。
在实际应用中，我们可以根据具体的需求和要求，灵活地使用这个公式，来设计和实现满足我们需要的滤波器。
定理1切比雪夫定理
数理统计在生产上,研究工作中具有广泛的作用.例如化工 产品的研究,它有温度,压力,物质的浓度,反应时间等因素的 影响,而每个因素又有几种情况,如温度有200C~2000C内 分成6种情况,则46=4096种要每一个都做,不但费时间,而且 费金钱.学习数理统计后我们只要做几次试验就可以了.
D 169 13
p(180 220) p( 200 220 180 20) p( 200 20)
2
13 13
p(
20 13
200 13
20) 13
0 (1.54) 0 (1.54)
20 (1.54) 1
2 0.938221 0.87644
二项分布以正态分布为极限
例2 10部机器独立工作,每部停 i 1
Xi
|
} 1(2)
定理2可由定理1得到证明.这里我们说明上述两个定理都在概 率意义下的极限结论,通常称为依概率收敛. 一般,设X1,X2,..Xn是一个随机变量序列,a是一个常数,若对于任 意给定的ε>0,有 limP{|Xn-a|<ε}=1 则称该序列依概率收敛于a.
定理2表明:当n很大时随机变量X1, X 2 , , X n 的算术平X=ΣX i /n
数理统计的重要内容是抽样方法和统计推断.学习数理统 计要注意1,抽样的本身是随机现象,它以概率论为基础的.数 学期望和方差都依靠概率论的结果.
因此要学好概率论.2,在学习数理统计时需要用部分的资 料来正确地推断整体的情况,到底要多少资料才有把握,它 们的精确度如何,希望同学在学习中注意.
概率论与数理统计 5.1 切比雪夫不等式和大数定律 ppt课件
=
1
.
16
伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况 . 在实际
问题的处理中辛钦定理十分有用也很重要 .
事实上, 由辛钦定理可知, 如果随机变量
X1 ,X2 , … , Xn … 相互独立, 服从同一分布且具有数
学期望 μ , 则前 n 个随机变量的算术平均值
依概率收敛于它们的数学期望 μ .
11
2、定理5.2(切比雪夫定理的特殊情况):
设随机变量 X1 ,X2 , … , Xn , … 相互独立 , 且
具有相同的数学期望和方差:
E( Xk ) = , D( Xk ) = 2 .
作前n个随机变量的算术平均
1n X = n k=1 Xk
则对于任意正数 ε , 有
lim P X
( X E( X ))2
f (x) X E( X )
2
dx
1
2
(X
)2
f ( x)dx
D( X )
2
4
例1、 已知正常男性成人血液中, 单位白细胞数 (单位:个/mL)平均是7300, 均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计单位白细胞数在 5200～9400之间的概率 .
P
1n n k =1
Xk
2 /n
1
Hale Waihona Puke 2=12 n 2
由概率性质知
13
P
1n n k=1 X k
1
.
两边关于 n 取极限,即令 n , 则
切比雪夫多项式详细
切比雪夫多项式详细切比雪夫多项式是与有关，以递归方式定义的一系列序列。
通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un 表示。
切比雪夫多项式T n或U n代表n阶多项式。
切比雪夫多项式在中有重要的应用。
这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。
相应的插值多项式能最大限度地降低，并且提供多项式在的最佳一致逼近。
在的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程和相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。
这些方程是的特殊情形.定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定也可以用表示第二类切比雪夫多项式由以下给出此时为从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么看：是:的实部（参见），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。
用显式来表示尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有类似，第二类切比雪夫多项式满足以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见, p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:归递公式两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:T0(x) = 1 U ? 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) ? (1 ? x2)Un ? 1(x)Un(x) = xUn ? 1(x) + Tn(x)证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替xTn(x) ? (1 ? x2)Un(x)正交性Tn 和Un 都是区间[?1,1] 上的系.第一类切比雪夫多项式带权即:可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.类似地，第二类切比雪夫多项式带权即:其后形成的是).基本性质对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。
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算法说明：当一个连续函数定义在区间[-1,1]上时，它可以展开成切比雪夫级数。
即：()()n n n f x f T x ∞==∑其中()n T x 为n 次切比雪夫多项式，具体表达可通过递推得出：0()1T x =，1()T x x =11()2n n n T x xT x T x +-=-它们之间满足如下的正交关系：110,()(),02,0n m T x T x dx n m n m ππ-≠⎧⎪⎪==≠⎨⎪==⎪⎩⎰在实际应用中，可根据所需的精度来截取有限的项数，切比雪夫级数中的系数由下式决定：101()f x f dx π-=⎰12()()n T x f x f dx π-=⎰在MA TLAB 中编程实现的切比雪夫逼近法函数为：Chebyshev 。
功能：用切比雪夫多项式逼近已知函数。
调用格式：Chebyshev(y,k,x0)f =其中，y 为已知函数；k 为逼近已知函数所需项数；f 是求得的切比雪夫逼近多项式在x0处的逼近值。
程序源代码（m 文件）：function f = Chebyshev(y,k,x0) %用切比雪夫多项式逼近已知函数 %已知函数：y%逼近已知函数所需项数：k %逼近点的x 坐标：x0%求得的切比雪夫逼近多项式或在x0处的逼近值：fsyms t;T(1:k+1) =t;T(1) = sym('1');T(2) = t;c(1:k+1) = sym('0');c(1)=int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(1)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;c(2)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(2)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;f = c(1)+c(2)*t;for i=3:k+1T(i) = 2*t*T(i-1)-T(i-2);c(i) = 2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/2;f = f + c(i)*T(i);f = vpa(f,6);if(i==k+1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = vpa(f,6);endendend应用实例：切比雪夫应用实例。
用切比雪夫公式（取6项）逼近函数12x，并求当x=0.5时的函数值。
解：利用程序求解方程，在MATLAB命令窗口中输入：>> Chebyshev('1/(2-x)',6) %调用创建的函数euler，输出切比雪夫多项式的6个项再在MATLAB命令窗口中输入：>> Chebyshev('1/(2-x)',6,0.5) %调用创建的函数euler，输出当x=0.5时的函数值输出结果：流程图：否二、拉压杆系的静不定问题。
由n根杆（CB1，CB2...CB n）组成的桁架结构如图2-1所示，受力P作用，各杆的横截面积分别为A i，材料弹性模量为E，长度为L i，求各杆的轴力N i以及节点C处的位移。
图2-11、假设：①由P的作用，C点移动到C’点；②C到C’的水平距离为dx，垂直距离为dy；③各杆与水平面夹角分别为α1，α2…αi…αn；④每根杆长度的变化为dL1，dL2…dL i…dL n；⑤力P与水平面夹角为α。
2、思路：（1）如图2-2所示，以CB i 为例说明各杆的几何关系，由于，≈0，因此dL i=B i C’-B i C≈B i C’-B i D=DC’，过C点作DC’的平行线CG ，因，故，所以CF=dxcosαi ，FG=dysinαi,故可得几何方程①。
图2-2（2）根据图2-3所示各轴力以及外力x,y方向合力为0，建立平衡方程②、③：图2-3（3）由公式①、②、③共有n+2个公式，求解n个轴力，以及A点位移dx、dy，建立如下所示的线性方程组：...（4）建立[Pcosα,Psinα，0，0，0…0]’的常数矩阵，以及如下所示的系数矩阵（5）再用求逆法求解此线性方程组，即用常数矩阵除以系数矩阵，得出结果。
3、源程序：（文件名称为main）clear;clc;Ei=input('请输入各杆的刚度:(注意用[]括起来)'); %输入刚度矩阵EiLi=input('请输入各杆的长度:(注意用[]括起来) ');%输入杆的长度矩阵Li Ai=input('请输入各杆的横截面积:(注意用[]括起来) ');%输入杆的横截面积矩阵Aiai=input('请输入各杆与水平面的夹角:(注意用[]括起来) ');%输入杆与水平面的夹角矩阵aiP=input('请输入外力P: ');%输入外加力Pa=input('请输入P与水平面的夹角: ')%输入外加力P与x的夹角n1=length(Ei);n2=length(Li);n3=length(Ai);if(n1~=n2|n2~=n3|n1~=n3)disp('输入数据错误')elsen=n1;end%判断数据大小是否一致Ki=Li./(Ei.*Ai);C=zeros(n+2,1);C(1,1)=P*cos(a);C(2,1)=P*sin(a);C(3:n+2,1)=zeros(n,1);%建立方程组等号右边常数的矩阵D=zeros(n+2,n+2);D(1,:)=[cos(ai),0,0];D(2,:)=[sin(ai),0,0];for(i=1:n)D(i+2,i)=Ki(i);endD(3:n+2,n+1)=(-cos(ai));D(3:n+2,n+2)=(-sin(ai));%建立方程组系数矩阵x=D\C;x=x';%求解该线性方程组，得出C点位移以及每根杆的轴力disp('节点在x、y方向上的位移分别：')x(n+1:n+2)disp('各杆的轴力分别为：')x(1:n)%输出结果4、流程图：5、程序举例应用：设三根杆组成的支架如图2-4所示，挂一重物P=3000N 。
设L=3m ，各杆的横截面积分别为：A 1=15010-6m 2，A 2=20010-6m 2，A 3=30010-6m 2，材料的弹性模量均为E=200109N/m 2，求各杆所受力的大小以及C 点位移解：①运行main 文件（即前文中写的源程序）；②输入题中所给数据； [200e9,200e9,200e9];[3/sin(pi/3),3/sin(pi/2),3/sin(pi/4)]; [150e-6,200e-6,300e-6]; [pi/3,pi/2,3*pi/4]; 3000; 0;③得出结果；图2-5（1）；一、流程图：建立函数文件输入MATLAB指令若不成立修改结果二、源程序代码：建立被积函数文件funofuno.mfunction f=funo(x)f=(1./((2*pi).^0.5)).*exp(-x.^2./2);计算积分，在MATLAB命令窗中输入：>> quad('funo',0,1)三、结果：ans =0.3413（2）；一、流程图：建立函数文件输入MATLAB指令若不成立修改结果二、源程序代码：计算积分，在MATLAB命令窗中输入：>> syms x;>> y=sin(x)./x;>> eval(int(y,x,0,1)) %eval()函数的功能就是将括号内的字符串视为语句并运行三、结果：ans =0.9461（3）;一、流程图：建立函数文件输入MATLAB指令若不成立修改结果二、源程序代码：建立被积函数文件funsfuns.mfunction f=funs(x)f=x.^(-x);计算积分，在MATLAB命令窗中输入：>> quad('funs',0,1)三、结果：ans =1.2913（4）; 一、流程图：建立函数文件输入MATLAB指令若不成立修改结果二、源程序代码：建立被积函数文件funffunf.mfunction f=funf(x)f=exp(2x)*[sin(x)].^2;计算积分，在MATLAB命令窗中输入：>> d=pi/1000;>> x=0:d:2*pi;>> nt=length(x);>> y=funs(x);>> sc=cumsum(y)*d;>> scf=sc(nt)三、结果：scf =1.9970（5）;一、流程图：输入MATLAB指令若不成立修改结果二、源程序代码：在MATLAB命令窗中输入：>> f=inline('(1.+(r.^2).*sin(o)).^0.5','r','o'); >> I=dblquad(f,0,1,0,2*pi)三、结果：I =6.1879。